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| "Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz" | 19 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Hi easymathematics,
nur etwas zur Darstellung des mathematischen Textsatzes um die Lesbarkeit zu verbessern: Die äußeren Klammern kannst du mit \big vergrößern. sin und cos würde ich ein Leerzeichen oder \cdot voranstellen, wenn Variablen davor stehen.
Beispiel:
\[\begin{equation}
a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cdot cos(\alpha) -\big( b \cdot sin(\gamma) - c\cdot sin(\beta) \big)^2
\end{equation}\]
Gruß, Slash\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Das Problem ist hier nicht, dass irgendwelche Leerzeichen fehlen, sondern dass sin und cos gar nicht als Funktion erkennbar sind:
a = b cos(\gamma) + c cos(\beta) $\quad\longrightarrow
\quad$ $a = b cos(\gamma) + c cos(\beta)$
a = b \cos(\gamma) + c \cos(\beta) $\quad\longrightarrow
\quad$ $a = b \cos(\gamma) + c \cos(\beta)$\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo zusammen,
eigentlich ist die Kommentarfunktion ja für inhaltliche Diskussionen über Artikel gedacht. 😄
Für solche technischen Sachen gibt es auf dem MP ein mittlerweile wohl etwas in Vergessenheit geratenes Feature: den Änderungsvorschlag.
@easymathematics:
Ich habe dir einen solchen Änderungsvorschlag gesendet, der die bisher angeregten Verbesserungen enthält bzw. umsetzt. Schau ihn dir durch: wenn du damit einig bist, brauchst du nichts weiter zu tun, als per Mausklick zuzustimmen. Dann wird die neue Version zeitnah freigeschaltet.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Vielen lieben Dank an alle. :)
Es tut mir leid für die Anfänger-Fehler. :D\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Der Kosinussatz lautet nicht, wie in (8) behauptet,
$a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(\alpha)$
sondern
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$
Der Fehler liegt beim Übergang von (5) zu (6); es gilt nämlich $\cos(\pi-x)=-\cos{x}$.
Grüße Squire\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)@Squire:
Es steht doch richtig ein Minuszeichen an der von dir erwähnten Stelle.
Vielleicht wurde es ja mittlerweile korrigiert, aber jedenfalls steht der Kosinussatz unter (8) schon korrekt da.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)@Diophant: (6) und (8) wurden von Autor/in mittlerweile korrigiert.
Grüße Squire
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\(\begingroup\)Hallo,
Das Argument leuchtet mir nicht ein. Man kann ja alle Gleichungen in die Form "$=0$" bringen und dann addieren, auch wenn sie nichts miteinander zu tun haben, etwa
$$E_\text{kin}-\frac{m}{2}v^2=c^2-a^2-b^2\enspace.$$
Das macht sie noch lange nicht äquivalent.
Zum Beweis des Sinussatzes benötigt man einzig die Definition des Sinus (man betrachtet eine gemeinsame Höhe), beim Beweis des Cosinussatzes braucht man üblicherweise neben der Definition des Cosinus noch den Satz des Pythagoras. Diese Voraussetzungen benötigst du alle auch (und zusätzlich mit dem Additionstheorem noch ein recht schweres weiteres Geschütz).
Ich bin nicht so sicher ob deine Umformungen nicht vielleicht einfach insgeheim beide Sätze separat beweisen und aufaddieren. Ausserdem ist es doch auch seltsam, dass man für diese schwächere Äquivalenzaussage mehr Beweisschritte benötigt, als für die Beweise von Sinus- und Cosinussatz zusammen.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ich glaube nicht, dass die Kommentarfunktion dafür gedacht ist, LaTeX Verbesserungen und einfache Rechenfehler anzumerken. Wie Diophant schon vorgeschlagen hat, gibt es hierfür ein Feature vom MP und man kann kleine Fehler auch per PM erklären. :p
Das Resultat finde ich nett. Ich kannte es noch nicht, obwohl ich in der Schulzeit sehr viel zur Elementargeometrie gelesen habe. Danke für den Artikel!
@traveller Der Beweis ist schon richtig. Die Äquivalenz wird im "finalen Argument" erklärt.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Dass der Beweis und das Resultat richtig sind bezweifle ich nicht, sondern ob die "Äquivalenz" nicht eine triviale ist wie in meinem Beispiel.
Dass die gleichen Voraussetzungen (und mit dem Additionstheorem noch eine weitere) benutzt werden, um auf mehr Zeilen eine schwächere Aussage zu beweisen als Sinus- und Cosinussatz sollte doch stutzig machen.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Wie viele Schritte notwendig sind spielt doch erstmal nicht wirklich eine Rolle.
Es ist ein nettes Resultat mehr nicht.
Was genau sollte mich also stutzig machen?
Und eine geschickte 0 zu addieren ist überhaupt kein Problem. Ich sehe nix Verwerfliches.
Und ich denke, Du solltest den Beweis nochmal in Ruhe nachvollziehen.
Dein Beispiel geht völlig am Thema vorbei.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Wäre das "Finale Argument" nicht eher... Wenn in einem Dreieck der Projektionssatz, die Innenwinkelsumme und der Sinussatz gelte, dann gilt auch der Cosinussatz.
Schließlich baut der Beweis auf diese 4 Sätze in einen Dreieck auf... Der Rest (Additionstheoreme, trigonometrischer Pythagoras) eher grundlegende Eigenschaften der Winkelfunktionen.
Ist halt die Frage ob man wirklich so viele Sätze für den Zusammenhang benötigt... \(\endgroup\)
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\(\begingroup\)... zumal aus dem Projektionssatz auch sofort der Kosinussatz folgt (siehe Wikipedia etwa, Trigonometrischer Beweis) und umgekehrt. Der Sinussatz ist hier eher ein Umweg.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Und aus der "Innenwinkelsumme" (im Sinne von dass man ein Dreieck in 2 sich berührende rechtwinklig Dreiecke teilen kann) folgt der Sinussatz 🤔\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Der "trigonometrische Beweis" auf Wikipedia ist ziemlich ähnlich, kommt aber ohne explizites Additionstheorem aus.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo mga010,
es ging ja nicht darum, den Kosinussatz zu beweisen, sondern die Äquivalenz von Sinus- und Kosinussatz zu beweisen.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Auch ganz ohne geometrischen Bezug folgt aus dem Sinussatz der Kosinussatz: Für fünf beliebige reelle Zahlen \(a, b, c, \alpha, \beta\) gilt, wenn
\(\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(180° - \alpha - \beta)}\)
dann
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(180° - \alpha - \beta)\).
Zur Abkürzung \(\gamma = 180° - \alpha - \beta\) schreiben kann man unabhängig davon, ob das in einem geometrischen Objekt gilt oder nicht.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Guter Artikel. Interessante Betrachtungsweise.
Gewissermaßen auch mutig einen solchen Artikel zu schreiben, da bei solchen weniger schweren Themen plötzlich jeder ein Experte ist und sich berufen fühlt, Kommentare / Kritiken / ... zu hinterlassen, die man sich dann anzuhören hat.
Daher hätte ich es auch gelassen, nur als Tip:
(1) Du darfst m.E. ruhig ("übertrieben") ausführlich sein. Wenn Du z.B. "trigonometrischer Pythagoras" erwähnst, dann schreibe diesen auch aus. Ein Mittelstufenschüler kann den Artikel gut lesen, wenn er aber den Begriff nicht kennt, ist die Sache an der Stelle für ihn erledigt.
(2) "Beweis: klar ABHAKUNG" ist m.E. kein schöner Stil.
Ich würde an der betreffenden Stelle schreiben:
Beweis: Der Projektionssatz folgt ohne Weiteres aus folgender Abbildung.
$
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={ label={[#1]:$#2$} },
Dreieck/.style={thick},
]
\pgfmathsetmacro{\a}{3}
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5}
\pgfmathsetmacro{\c}{4}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))}
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Seiten
\draw[thick] (B) -- (C) node[near end, right]{$$};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};
% Höhen einzeichnen
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha);
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};
\draw pic [angle radius=0.175*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
% Punkte
\foreach \P in {Ha}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
$
(3) Die Gepflogenheiten des Formelsatzes wurden bereits erwähnt. \(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Wario,
vielen Dank für Deinen Hinweis.
Daran habe ich nicht gedacht.
Ich werde Deine Ergänzungen berücksichtigen und ausbessern!
Danke dafür. :)\(\endgroup\)
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