Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien

Limes-Skizzen

Erinnerung an Kegel

Wir setzen ein paar Grundlagen der Kategorientheorie, insbesondere was Limites und Kolimites sind, als bekannt voraus. Trotzdem wiederholen wir hier noch einmal die Grundbegriffe dafür, damit die Notationen klar sind. Sei $I$ ein gerichteter Multigraph (also Mehrfachkanten sind erlaubt) und $\mathcal{E}$ eine Kategorie. Ein Diagramm $X$ der Form $I$ in $\mathcal{E}$ besteht aus einer Familie von Objekten $X_i \in \mathcal{E}$ für alle Knoten $i \in I$ sowie einer Familie von Morphismen $X_i \to X_j$ für alle Kanten $i \to j$. Ein Kegel $(T \to X_i)_{i \in I}$ an $X$ besteht aus einem Objekt $T \in \mathcal{E}$ (der Spitze) zusammen Morphismen $T \to X_i$ für alle Knoten $i \in I$, sodass für alle Kanten $i \to j$ das Dreieck kommutiert: $\require{xypic} \xymatrix{ & T \ar[dr] \ar[dl] & \\ X_i \ar[rr] && X_j} $ Ein Limes-Kegel ist ein universeller Kegel an $X$. Die Begriffe Kokegel und Kolimes-Kokegel werden dual dazu definiert.

Limes-Skizzen und ihre Modelle

Sei nun $\mathcal{E}$ eine kleine Kategorie. Wir definieren eine Limes-Skizze in $\mathcal{E}$ als eine Menge $\mathscr{S}$ von Kegeln in $\mathcal{E}$. Die Diagramme dürfen hier unterschiedliche Formen besitzen. Ist $\mathscr{S}$ eine Limes-Skizze in $\mathcal{E}$, so definieren wir $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ als die Kategorie der Funktoren $F : \mathcal{E} \to \mathbf{Set}$, für die gilt: Jeder Kegel in $\mathscr{S}$ wird von $F$ auf einen Limes-Kegel abgebildet. Für jeden Kegel $(T \to X_i)_{i \in I}$ in $\mathscr{S}$ muss also $(F(T) \to F(X_i))_{i \in I}$ ein Limes-Kegel in $\mathbf{Set}$ sein. Solche Funktoren nennen wir auch Modelle von $\mathscr{S}$. Natürlich können wir $\mathbf{Set}$ auch durch irgendeine andere Kategorie $\mathcal{C}$ ersetzen, dann ist $\mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S})$ per Definition die Kategorie der Funktoren $F : \mathcal{E} \to \mathcal{C}$, welche die Kegel in $\mathscr{S}$ auf Limes-Kegel in $\mathcal{C}$ abbilden. Wir bleiben allerdings erst einmal beim Spezialfall $\mathbf{Set}$. Sei zum Beispiel $\mathcal{E}$ die Kategorie mit zwei Objekten $X,Y$, einem Morphismus $i : X \to Y$ und den Identitäten von $X$ und $Y$. Es bestehe $\mathscr{S}$ nur aus dem folgenden Kegel: $\require{xypic} \xymatrix{ & X \ar[dr]^{\mathrm{id}_X} \ar[dl]_{\mathrm{id}_X} \ar[dd]^{i} & \\ X \ar[dr]_{i} && X \ar[dl]^{i} \\ & Y & } $ Ein Modell dieser Limes-Skizze besteht dann aus zwei Mengen $A,B$ und einer Abbildung $f : A \to B$ derart, dass $\require{xypic} \xymatrix{ & A \ar[dr]^{\mathrm{id}_A} \ar[dl]_{\mathrm{id}_A} \ar[dd]^{f} & \\ A \ar[dr]_{f} && A \ar[dl]^{f} \\ & B & } $ ein Limes-Kegel in $\mathbf{Set}$ ist. Das bedeutet, dass $f$ ein Monomorphismus in $\mathbf{Set}$, also injektiv ist. Ein Morphismus $(f: A \to B) \to (f': A' \to B')$ ist ein Paar von Morphismen $A \to A'$, $B \to B'$, sodass das offensichtliche Quadrat kommutiert. Wir sehen also $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \cong \mathbf{Mono}(\mathbf{Set}) \subseteq \mathbf{Mor}(\mathbf{Set})$.

Monoide als Modelle einer Limes-Skizze

Wir beschreiben nun ein Beispiel für eine Limes-Skizze $\mathscr{S}$ mit $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Mon}$, die Kategorie der Monoide: Dazu braucht unsere Kategorie $\mathcal{E}$ zunächst ein Objekt $X$ und einen Morphismus $m : X^2 \to X$, welcher die Multiplikation interpretieren wird. Ein solches Objekt $X^2$ (die Potenz ist hier zunächst reine Notation) müssen wir also auch hinzufügen, und es benötigt zwei Morphismen $\require{xypic} \xymatrix{ & X^2 \ar[dl]_{p_1} \ar[dr]^{p_2} & \\ X && X, } $ und diesen Kegel fügen wir zu unserer Skizze hinzu, damit unsere Modelle $X^2$ tatsächlich als Produkt von $X$ mit sich selbst $X$ interpretieren. Weiterhin brauchen wir ein Objekt $X^0 = \ast$, welches unsere Modelle als finales Objekt interpretieren sollen. Fügen wir also noch einen Morphismus $t_1 : X \to \ast$ zur Kategorie hinzu, sowie zur Skizze den Kegel mit Spitze $\ast$ an das leere Diagramm. Wir brauchen einen Morphismus $e : \ast \to X$, welcher das neutrale Element interpretieren wird. Die Neutralität können wir durch die Gleichung von Morphismen $m \circ (\mathrm{id}_X,e) = \mathrm{id}_X = m \circ (e,\mathrm{id}_X)$ ausdrücken, wobei $(\mathrm{id}_X,e) : X \to X^2$ (und analog dann $(e,\mathrm{id}_X)$) ein Morphismus mit $p_1 \circ (\mathrm{id}_X,e) = \mathrm{id}_X$ und $p_2 \circ (\mathrm{id}_X,e) = e \circ t_1$ sei; diesen müssen wir also auch noch zu $\mathcal{E}$ hinzufügen. Die Assoziativität wird ausgedrückt durch die Gleichung $m \circ (m \times \mathrm{id}_X) = m \circ (\mathrm{id}_X \times m) : X^3 \to X,$ wobei $X^3$ ein weiteres Objekt mit drei Morphismen $q_1,q_2,q_3 : X^3 \to X$ sei. Den Kegel $\require{xypic} \xymatrix{ & X^3 \ar[dl]_{q_1} \ar[d]^{q_2} \ar[dr]^{q_3} & \\ X & X & X } $ fügen wir zur Skizze hinzu. Um den Morphismus $m \times \mathrm{id}_X : X^3 \to X^2$ zu kennzeichnen, brauchen wir noch einen Morphismus $q_{1,2} : X^3 \to X^2$ mit $p_1 \circ q_{1,2} = q_1$, $p_2 \circ q_{1,2} = q_2$, und wir fordern $p_1 \circ (m \times \mathrm{id}_X) = m \circ q_{1,2}$ und $p_2 \circ (m \times \mathrm{id}_X) = q_3$. Analog brauchen wir für den Morphismus $\mathrm{id}_X \times m : X^3 \to X^2$ noch einen Morphismus $q_{2,3} : X^3 \to X^2$. Die Kategorie $\mathcal{E}$ hat demnach $4$ Objekte und $13$ Morphismen + $4$ Identitäten; wir haben tatsächlich alle Kompositionen definiert. Die Skizze $\mathscr{S}$ in $\mathcal{E}$ hat drei Kegel. Unsere Konstruktion ist gerade so gemacht, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Mon}$ (bis auf Äquivalenz) die Kategorie der Monoide ist.

Partielle Ordnungen als Modelle einer Limes-Skizze

Wir konstruieren hier eine Limes-Skizze $\mathscr{S}$ mit $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Pos}$. Wir brauchen zunächst zwei Objekte $X,R$ und zwei Morphismen $r_1,r_2 : R \to X$. Wir möchten, dass $\{r_1,r_2\}$ in unseren Modellen eine Mono-Quelle sein wird (also $(r_1,r_2) : R \to X^2$ ein Monomorphismus ist, sofern $X^2$ existieren sollte) und fügen daher den Kegel $\require{xypic} \xymatrix{ & R \ar[dr]^{\mathrm{id}_R} \ar[dl]_{\mathrm{id}_R} & \\ R \ar[dr]^{r_1} \ar[ddr]_{r_2} && X \ar[dl]_{r_1} \ar[ddl]^{r_2} \\ & X & \\ & X & } $ zur Skizze hinzu (die beiden vertikalen Morphismen $R \to X$ haben wir der Übersichtlichkeit halber nicht eingezeichnet). Soweit haben wir schon einmal eine Relation modelliert. Die Reflexivität der Relation stellen wir mit einem Morphismus $i : X \to R$ sicher, der $r_1 \circ i = \mathrm{id}_X = r_2 \circ i$ erfüllt. Um die Transitivität zu formulieren, brauchen wir das Faserprodukt $R \times_{r_2,r_1} R$, also ein weiteres Objekt zusammen mit zwei Morphismen $p_1,p_2 : R \times_{r_2,X,r_1} R \to R$ mit $r_2 \circ p_1 = r_1 \circ p_2$. Wir fügen den Kegel $\require{xypic} \xymatrix{ & R \times_{r_2,r_1} R \ar[dr]^{p_2} \ar[dl]_{p_1} & \\ R \ar[dr]^{r_2} && X \ar[dl]_{r_1} \\ & X &} $ hinzu. Wir fügen zur Kategorie einen Morphismus $t : R \times_{r_2,r_1} R \to R$ hinzu, welcher $r_1 \circ t = r_1 \circ p_1$ und $r_2 \circ t = r_2 \circ p_2$ erfüllt. Um zu sehen, was das mit der Transitivität im üblichen Sinne zu tun hat, stellen wir uns kurz einmal vor, dass wir uns nicht in unserer kleinen Kategorie befinden, die wir gerade aufbauen, sondern in $\mathbf{Set}$. Dann ist also $r = (r_1,r_2) : R \to X^2$ eine injektive Abbildung, also bis auf Isomorphie einfach eine Teilmenge $R \subseteq X^2$ mit $r_1(a,b)=a$, $r_2(a,b)=b$, und das Faserprodukt oben besteht gerade aus den Paaren $((a,b),(b,c))$ mit $(a,b) \in R$ und $(b,c) \in R$. Die Abbildung $t$ macht daraus $(a,c)$. Schließlich müssen wir die Antisymmetrie formulieren. Dazu müssen wir das Objekt modellieren, welches aus den Paaren $((a,b),(b,a))$ mit $(a,b) \in R$ und $(b,a) \in R$ besteht. Das ist das "Doppel-Faserprodukt" $R \times_{(r_1,r_2);(r_2,r_1)} R$, welches zusammen mit zwei Morphismen $q_1,q_2 : R \times_{(r_1,r_2);(r_2,r_1)} R \to R$ kommt, die $r_1 \circ q_1 = r_2 \circ q_2$ und $r_2 \circ q_1 = r_1 \circ q_2$ erfüllen. Der zugehörige Kegel sieht also so aus: $\require{xypic} \xymatrix{ & R \times_{(r_1,r_2);(r_2,r_1)} R \ar[dr]^{q_2} \ar[dl]_{q_2} & \\ R \ar[dr]^{r_1} \ar[ddr]_{r_2} && X \ar[dl]_{r_2} \ar[ddl]^{r_1} \\ & X & \\ & X & } $ Die Forderung $(a,b) \in R, (b,a) \in R \implies a=b$ bzw. $\implies (a,b)=(b,a)$ in der Elementschreibweise können wir nun einfach durch $q_1 = q_2$ formulieren. Unsere kleine Kategorie hat also $4$ Objekte $R$, $X$, $R \times_{r_2,r_1} X$ und $R \times_{(r_2,r_1);(r_1,r_2)} R$, und neben den $4$ Identitäten noch $7$ Morphismen $r_1,r_2,i,p_1,p_2,t,q_1=q_2$. Die Skizze $\mathscr{S}$ besteht aus drei Kegeln. Per Konstruktion gilt außerdem $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Pos}$, die Kategorie der partiellen Ordnungen. Ein Modell von $\mathscr{S}$ ist nämlich (bis auf Isomorphie) eine Menge $X$ zusammen mit einer Relation $R \subseteq X^2$, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist, und ein Morphismus $(X,R) \to (Y,S)$ besteht aus zwei Abbildungen $f : X \to Y$, $g : R \to S$ mit $g(a,b) = (f(a),f(b))$, das heißt $g$ ist eindeutig und existiert genau dann, wenn $f$ relationserhaltend ist. Wenn wir in dieser Konstruktion den letzten Teil zur Antisymmetrie weglassen, erhalten wir eine Skizze $\mathscr{S}$ mit $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Pre}$, der Kategorie der Präordnungen.

Exkurs: Lokal präsentierbare Kategorien

Wir könnten jetzt noch weitermachen und eine ganze Reihe von Beispielkategorien als Modell-Kategorien von Limes-Skizzen schreiben (die übrigens nichts mit den Modellkategorien aus der Homotopietheorie zu tun haben). Tatsächlich aber kann man ganz allgemein angeben, welche Kategorien sich auf diese Weise gewinnen lassen: es sind genau die lokal präsentierbaren Kategorien. Eine Standard-Referenz für ihre Theorie ist das Buch Locally presentable and accessible categories von Adámek-Rosický, kurz [AR]. Wir wiederholen hier kurz ihre Definition, geben dann ein paar Beispiele und formulieren dann das Theorem, welche sie kennzeichnet; alle Beweise und weitere Details finden sich in dem genannten Buch. Ein Objekt $A$ einer Kategorie heißt endlich präsentierbar, wenn $\mathrm{Hom}(A,-)$ gerichtete Kolimites erhält. Eine Kategorie heißt lokal endlich präsentierbar, wenn sie kovollständig ist und es eine Menge von endlich präsentierbaren Objekten gibt, sodass jedes Objekt der Kategorie ein gerichteter Kolimes von Objekten aus dieser Menge ist. Ist allgemeiner $\lambda$ eine reguläre Kardinalzahl (oben hatten wir den Spezialfall $\lambda=\aleph_0$), so nennen wir ein Objekt $A$ $\lambda$-präsentierbar, wenn $\mathrm{Hom}(A,-)$ $\lambda$-gerichtete Kolimites erhält; hierbei heißt eine partielle Ordnung $\lambda$-gerichtet, wenn jede Teilmenge mit $<\lambda$ Elementen eine obere Schranke besitzt, und ein $\lambda$-gerichteter Kolimes bezieht sich auf Diagramme vom Typ einer $\lambda$-gerichteten partiellen Ordnung. Eine Kategorie heißt lokal $\lambda$-präsentierbar, wenn sie kovollständig ist und es eine Menge von $\lambda$-präsentierbaren Objekten gibt, sodass des Objekt der Kategorie ein $\lambda$-gerichteter Kolimes von Objekten aus dieser Menge ist. Eine lokal präsentierbare Kategorie ist eine Kategorie, welche lokal $\lambda$-präsentierbar für eine reguläre Kardinalzahl $\lambda$ ist. Ein sehr großer Anteil der "nicht-geometrischen" Kategorien aus der Praxis ist lokal präsentierbar. Jede Kategorie von algebraischen Strukturen eines festen Typs ist lokal endlich präsentierbar, zum Beispiel $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ring}$, $\mathbf{Mod}_R$, $\mathbf{Mon}$. Die Kategorie $\mathbf{Pos}$ der partiellen Ordnungen ist lokal endlich präsentierbar. Wenn $X$ ein quasikompaktes quasisepariertes Schema ist, dann ist ihre Kategorie quasikohärenter Garben $\mathbf{QCoh}(X)$ lokal endlich präsentierbar. (Für beliebige Schemata $X$ ist $\mathbf{QCoh}(X)$ zumindest lokal präsentierbar.) Die Kategorie $\mathbf{Ban}_1$ der Banachräume zusammen mit linearen Kontraktionen ist lokal $\aleph_1$-präsentierbar. Die Kategorie $\mathbf{Top}$ der topologischen Räume ist nicht lokal präsentierbar, die Kategorie der Mannigfaltigkeiten ebenfalls nicht (allerdings ist eine Erweiterung, die Kategorie der diffeologischen Räume, lokal präsentierbar). Das folgende Resultat ist Corollary 1.52 in [AR]. Theorem. Eine Kategorie ist genau dann lokal präsentierbar, wenn sie äquivalent zu $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ für eine Limes-Skizze $\mathscr{S}$ ist. Dieses Theorem sagt insbesondere aus, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ kovollständig ist (was zunächst einmal überhaupt nicht klar ist). Tatsächlich ist diese Kategorie (laut dem Beweis in [AR]) eine reflektive Unterkategorie von $\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set})$, der Kategorie aller Funktoren $\mathcal{E} \to \mathbf{Set}$. Kolimites werden also gebildet, indem man den Reflektor auf den in der Funktorkategorie gebildeten (also punktweise konstruierten) Kolimes anwendet. Der Reflektor ist nur leider in der Allgemeinheit nicht so einfach zu beschreiben; er wird über eine transfinite Komposition gebildet. Es gibt indes noch viele weitere Charakterisierungen von lokal präsentierbaren Kategorien, siehe Theorem 1.46 in [AR]. Diese sind für uns hier aber nicht weiter relevant. Es ist bemerkenswert, dass lokal präsentierbare Kategorien noch viele weitere nützliche Eigenschaften aufweisen. Als Beispiel sei genannt, dass sie stets "co-wellpowered" sind (Theorem 1.58 in [AR]), was wiederum zur Folge hat, dass der spezielle Satz über adjungierte Funktoren (siehe Categories for the Working Mathematician von S. Mac Lane, Abschnitt V.8) anwendbar ist. Wir können daher festhalten: Theorem. Ist $\mathcal{C}$ eine lokal präsentierbare Kategorie und $\mathcal{D}$ irgendeine Kategorie, so ist jeder kostetige Funktor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ein linksadjungierter Funktor.

Kolimes-Skizzen

Kolimes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien werden völlig analog zur Limes-Skizzen und ihren Modell-Kategorien definiert: Eine Kolimes-Skizze in einer kleinen Kategorie ist eine Menge von Kokegeln, und ein Modell ist ein Funktor auf dieser Kategorie, welcher die Kokegel zu Kolimes-Kokegeln abbildet. Jede Limes-Skizze $\mathscr{S}$ in einer kleinen Kategorie $\mathcal{E}$ lässt sich auch als eine Kolimes-Skizze $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ in der dualen Kategorie $\mathcal{E}^{\mathrm{op}}$ interpretieren. Ein Funktor $F : \mathcal{E} \to \mathcal{C}$ ist genau dann ein Modell von $\mathscr{S}$, wenn $F^{\mathrm{op}} : \mathcal{E}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ ein Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ ist.

Universelle Eigenschaft von Modell-Kategorien

Für eine Limes-Skizze $\mathscr{S}$ beschreiben wir in diesem Abschnitt eine universelle Eigenschaft ihrer Modell-Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ innerhalb der $2$-Kategorie der kovollständigen Kategorien. Das bedeutet, wir geben für jede kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ eine Beschreibung der Kategorie $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C})$ der kostetigen Funktoren $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathcal{C}$ an.

Kovervollständigung

Wir setzen das folgende Resultat über die Kovervollständigung $\widehat{\mathcal{E}} := \mathrm{Hom}(\mathcal{E}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})$ einer kleinen Kategorie $\mathcal{E}$ voraus (siehe z.B. hier): Satz 1. Jeder Funktor $F : \mathcal{E} \to \mathcal{C}$ in eine kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ setzt sich entlang der Yoneda-Einbettung $Y : \mathcal{E} \hookrightarrow \widehat{\mathcal{E}}$ zu einem kostetigen Funktor $- \otimes_{\mathcal{E}} F : \widehat{\mathcal{E}} \to \mathcal{C}$ fort. Explizit bildet dieser eine Prägarbe $P \in \widehat{\mathcal{E}}$ auf das folgende (als Tensorprodukt notierte) Koende in $\mathcal{C}$ ab: $\displaystyle P \otimes_{\mathcal{E}} F := \int^{X \in \mathcal{E}} P(X) \otimes F(X)$ Dabei verwenden wir unterm Koende die Notation $S \otimes C := \bigoplus_{s \in S} C$ für Mengen $S$ und Objekte $C \in \mathcal{C}$. Genauer gesagt liefert diese Konstruktion eine Äquivalenz von Kategorien $\mathrm{Hom}_c(\widehat{\mathcal{E}},\mathcal{C}) \simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathcal{C}), \quad G \rightarrow G \circ Y, \quad - \otimes_{\mathcal{E}} F \leftarrow F.$ Eine Dualisierung liefert die Äquivalenz $\mathrm{Hom}_c(\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set}),\mathcal{C}) \simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{E}^{\mathrm{op}},\mathcal{C}), \quad G \rightarrow G \circ Y, \quad F \otimes_{\mathcal{E}} - \leftarrow F.$ Der kostetige Funktor $F \otimes_{\mathcal{E}} -$ ist linksadjungiert, und zwar zum Funktor $\mathrm{Hom}(F(-),-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set}),$ der $C \in \mathcal{C}$ auf den Funktor $\mathrm{Hom}(F(-),C) : \mathcal{E} \to \mathbf{Set}$ abbildet. Es ist übrigens eine gute Übung, sich diese Zusammenhänge einmal ganz konkret für den Fall aufzuschreiben, dass $\mathcal{E}$ genau ein Objekt besitzt, also letztlich ein Monoid ist.

Kostetige Funktoren auf reflektiven Unterkategorien

Wir sagen, eine Kategorie erfüllt SAFT (Special Adjoint Functor Theorem), wenn jeder auf ihr definierte kostetige Funktor ein linksadjungierter Funktor ist. Zum Beispiel erfüllt jede lokal präsentierbare Kategorie SAFT. Satz 2. Sei $I : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein volltreuer Funktor zwischen kovollständigen Kategorien. Sei $R : \mathcal{B} \to \mathcal{A}$ ein zu $I$ rechtsadjungierter Funktor. (Sprich, wir können $\mathcal{A}$ als reflektive Unterkategorie von $\mathcal{B}$ ansehen.) Ist dann $\mathcal{C}$ eine beliebige kovollständige Kategorie, so gibt es eine Äquivalenz von Kategorien zwischen $\mathrm{Hom}_c(\mathcal{A},\mathcal{C})$ und der vollen Unterkategorie von $\mathrm{Hom}_c(\mathcal{B},\mathcal{C})$ der kostetigen Funktoren $F : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$, für die $F \circ \eta : F \to F \circ I \circ R$ ein Isomorphismus ist $(\ast)$, wobei $\eta : \mathrm{id}_\mathcal{B} \to I \circ R$ die Einheit der Adjunktion ist. Wenn außerdem $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ SAFT erfüllen, so ist die Bedingung $(\ast)$ äquivalent dazu, dass der zu $F$ rechtsadjungierte Funktor $F^{\vee} : \mathcal{C} \to \mathcal{B}$ über $I$ faktorisiert. Beweis. Sei $\varepsilon : R \circ I \to \mathrm{id}_\mathcal{A}$ die Koeinheit. Weil $I$ volltreu ist, ist $\varepsilon$ ein Isomorphismus. Sei $G : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor. Dann ist $F := G \circ R : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor. Ist $F \circ \eta = G \circ R \circ \eta$ ein Isomorphismus wegen $(\varepsilon \circ R) \circ (R \circ \eta) = \mathrm{id}_R$. Nun sei umgekehrt $F : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor, für den $F \circ \eta : F \to F \circ F \circ I \circ R$ ein Isomorphismus ist. Wir müssen zeigen, dass $G := F \circ I : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ kostetig ist (was zunächst einmal nicht klar ist, weil $I$ nicht kostetig sein muss). Sei $(A_i)_{i \in I}$ ein Diagramm in $\mathcal{A}$. Dann ist bekanntlich $\mathrm{colim}_{i \in I}(A_i) \cong R(\mathrm{colim}_{i \in I}(I(A_i)))$. Es folgt $G(\mathrm{colim}_{i \in I}(A_i)) \cong F(I(R(\mathrm{colim}_{i \in I}(I(A_i))))) \cong F(\mathrm{colim}_{i \in I}(I(A_i))) \cong \mathrm{colim}_{i \in I}(F(I(A_i))) = \mathrm{colim}_{i \in I}(G(A_i)).$ Dabei handelt es sich um den kanonischen Morphismus $\mathrm{colim}_{i \in I}(G(A_i)) \to G(\mathrm{colim}_{i \in I}(A_i))$. Daher ist $G$ kostetig. Zum zweiten Teil des Satzes: Wenn $G : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor mit rechtsadjungiertem Funktor $G^{\vee}$ ist, so ist der rechtsadjungierte Funktor von $F := G \circ R$ gegeben durch $F^{\vee} = R^{\vee} \circ G^{\vee} = I \circ G^{\vee}$, faktorisiert also über $I$. Nun sei umgekehrt $F : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor, dessen rechtsadjungierter Funktor $F^{\vee} : \mathcal{C} \to \mathcal{B}$ über $I$ faktorisiert. Es ist also $\eta \circ F^{\vee} : F^{\vee} \to I \circ R \circ F^{\vee}$ ein Isomorphismus. Dann gibt es natürliche Bijektionen $\quad \mathrm{Hom}(F \circ I \circ R,-) \cong \mathrm{Hom}(I \circ R , F^{\vee}) \cong \mathrm{Hom}(I \circ R,I \circ R \circ F^{\vee})$ $\cong \mathrm{Hom}(R,R \circ F^{\vee}) \cong \mathrm{Hom}(-,I \circ R \circ F^{\vee}) \cong \mathrm{Hom}(-,F^{\vee}) \cong \mathrm{Hom}(F,-).$ Mit dem Yoneda-Lemma folgt also $F \cong F \circ I \circ R$, und dieser Isomorphismus ist natürlich gerade $F \circ \eta$. Damit ist alles gezeigt. $\checkmark$

Universelle Eigenschaft von Modell-Kategorien

Wir können die beiden Sätze miteinander kombinieren, um die gewünschte universelle Eigenschaft von $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ zu erhalten: Satz 3. Sei $\mathscr{S}$ eine Limes-Skizze in einer kleinen Kategorie $\mathcal{E}$. Sei $\mathcal{C}$ eine kovollständige Kategorie. Dann gibt es eine Äquivalenz $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}}).$ Zur Erklärung: Rechts steht die Kolimes-Skizze $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ in $\mathcal{E}^{\mathrm{op}}$, die unmittelbar aus $\mathscr{S}$ entsteht, und $\mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ ist die Kategorie ihrer Modelle in $\mathcal{C}$, also der Funktoren $\mathcal{E}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$, welche die Kokegel aus $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ auf Kolimes-Kokegel in $\mathcal{C}$ abbilden. Es sind also die kontravarianten Funktoren von $\mathcal{E}$ nach $\mathcal{C}$, welche die Kegel in $\mathscr{S}$ auf Kolimes-Kegel in $\mathcal{C}$ abbilden. Beweis von Satz 3. Wir wenden Satz 2 auf die Kategorie $\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set})$ mit ihrer reflektiven Unterkategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ an. Es ist demnach $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C})$ äquivalent zur Kategorie der kostetigen Funktoren $\mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set}) \to \mathcal{C}$, deren rechtsadjungierter Funktor über $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ faktorisiert. Nach Satz 1 haben diese Funktoren die Form $F \otimes_{\mathcal{E}} - $ für Funktoren $F : \mathcal{E}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$, und der zu $F \otimes_{\mathcal{E}} - $ rechtsadjungierte Funktor ist $C \mapsto \mathrm{Hom}(F(-),C)$. Die Bedingung lautet demnach, dass jeweils $\mathrm{Hom}(F(-),C)$ ein Modell von $\mathscr{S}$ ist. Für jeden Kegel $(A \to A_i)_{i \in I}$ in $\mathscr{S}$ muss also $(\mathrm{Hom}(F(A),C) \to \mathrm{Hom}(F(A_i),C))_{i \in I}$ ein Limes-Kegel in $\mathbf{Set}$ sein. Lassen wir nun aber $C$ laufen, so bedeutet dies, dass $(F(A_i) \to F(A))_{i \in I}$ ein Kolimes-Kokegel in $\mathcal{C}$ ist. Es muss also $F$ ein Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ sein. Das schließt den Beweis ab. $\checkmark$ Satz 3 ist übrigens unter Kategorientheoretiker*innen wohlbekannt, taucht aber nur selten explizit in der Literatur auf. Eine Referenz ist jedenfalls Theorem 2.2.4 in The fundamental pro-groupoid of an affine 2-scheme (pdf).

Konkrete Beschreibung

Konkret sieht die Äquivalenz so aus: Ist $G : \mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathcal{C}$ ein kostetiger Funktor, so ist das Modell $F : \mathcal{E}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ definiert durch $F(A) := G(R(\mathrm{Hom}(A,-)),$ wobei $R : \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set}) \to \mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ der Reflektor ist (den man im allgemeinen Fall nicht weiter spezifizieren kann). Ist umgekehrt $F : \mathcal{E}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{C}$ ein Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$, so wird der kostetige Funktor $G : \mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathcal{C}$ durch $G(P) := \int^{A \in \mathcal{E}} F(A) \otimes P(A)$ definiert. Es sei noch einmal betont, dass die Inklusion $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \subseteq \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set})$ nicht kostetig sein muss, insofern ist auch die Kostetigkeit von $G$ nicht ganz trivial. Der zu $G$ rechtsadjungierte Funktor lässt sich beschreiben durch $\mathcal{C} \to \mathbf{Mod}(\mathscr{S})$, $C \mapsto \mathrm{Hom}(F(-),C)$; das können wir auch als alternative Definition von $G$ ansehen.

Natürlichkeit der Äquivalenz

Die Äquivalenz ist natürlich in $\mathcal{C}$ im folgenden Sinne: Für jeden kostetigen Funktor $\mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ kommutiert das Diagramm von Funktoren $\require{AMScd} \begin{CD} \mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) @>{\simeq}>> \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})\\ @VVV @VVV \\ \mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}') @>>{\simeq}> \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}'}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}}) \end{CD}$ bis auf Isomorphie (und die Isomorphismen erfüllen die evidenten Kohärenzbedingungen).

Das universelle Modell

Aus der konkreten Beschreibung (und alternativ auch aus der Natürlichkeit in Kombination mit dem $2$-kategoriellen Yoneda-Lemma) ergibt sich, dass die Äquivalenz $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \to \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ von einem Objekt $\Gamma \in \mathbf{Mod}_{\mathbf{Mod}(\mathscr{S})}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ induziert ist, nämlich $\Gamma(A) := R(\mathrm{Hom}(A,-))$ für $A \in \mathcal{E}^{\mathrm{op}}$. Unter der Äquivalenz entspricht $\Gamma$ gerade der Identität $\mathrm{id} : \mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathbf{Mod}(\mathscr{S})$. Wenn $\mathcal{C}$ irgendeine kovollständige Kategorie mit einem Modell $F \in \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ ist, so gibt es einen (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten) kostetigen Funktor $G : \mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathcal{C}$ mit $G(\Gamma) \cong F$. Insofern ist also $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ mit $\Gamma$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$. Weil die Identität $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \to \mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ sich selbst als rechtsadjungierten Funktor besitzt, gilt $C \cong \mathrm{Hom}(\Gamma(-),C)$ für alle $C \in \mathbf{Mod}(\mathscr{S})$, und dies kennzeichnet $\Gamma$. Wenn die Kegel in $\mathscr{S}$ bereits Limes-Kegel in $\mathcal{E}$ sind, bedeutet das gerade, dass jeweils $\mathrm{Hom}(A,-)$ ein Modell von $\mathscr{S}$ ist. In dem Fall ist die Reflektion also unnötig und wir haben die Vereinfachung $\Gamma(A) = \mathrm{Hom}(A,-)$. Es ist dann also $\Gamma$ nichts anderes als der Yoneda-Funktor in einem anderen Gewand.

Beispiele der universellen Eigenschaft

Wir schauen uns die hergeleitete universelle Eigenschaft für die im ersten Abschnitt genannten Beispiele sowie ein weiteres Beispiel von Limes-Skizzen bzw. ihrer Modell-Kategorien nun genauer an.

Universelle Eigenschaft von $\mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$

Für eine kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ ist $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mono}(\mathbf{Set}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Epi}(\mathcal{C}).$ Insofern ist $\mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Epimorphismus (nicht einem Monomorphismus!). Beschreiben wir die Äquivalenz konkret: Der Reflektor $R : \mathbf{Mor}(\mathbf{Set}) \to \mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$ bildet $f : A \to B$ ab auf $\overline{f} : A/\ker(f) \to B$, wobei $\ker(f) = \{(x,x') \in A^2 : f(x)=f(x')\}$. Die Kategorie $\mathcal{E}$ hat zwei Objekte und einen Morphismus $i : X \to Y$. Hier ist $i$ bereits ein Monomorphismus, sodass wir den Reflektor gar nicht brauchen. Das Objekt $\mathrm{Hom}(X,-) \in \mathrm{Hom}(\mathcal{E},\mathbf{Set}) \cong \mathbf{Mor}(\mathbf{Set})$ entspricht dem eindeutigen Morphismus $\{\ast\} \to \{\ast\}$ (welcher bereits injektiv ist), das Objekt $\mathrm{Hom}(Y,-)$ entspricht dem eindeutigen Morphismus $\emptyset \to \{\ast\}$. Der von $i$ induzierte Morphismus in $\mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$ ist das kommutative Diagramm $\require{xypic} \xymatrix{\emptyset \ar[r] \ar[d] & \{\ast\} \ar[d] \\ \{\ast\} \ar[r] & \{\ast\}}$ Dies ist der universelle Epimorphismus $p$ in $\mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$ (der wohlgemerkt kein Epimorphismus in der umgebenden Kategorie $\mathbf{Mor}(\mathbf{Set})$ ist). Jeder kostetige Funktor $G : \mathbf{Mono}(\mathbf{Set}) \to \mathcal{C}$ liefert dann einen Epimorphismus $G(p)$ in $\mathcal{C}$. Ist umgekehrt $q : C \twoheadrightarrow C'$ ein Epimorphismus, so bildet der zugehörige kostetige Funktor einen Monomorphismus $f : A \to B$ von Mengen ab auf das Tensorprodukt bzw. Koende $(q : C \twoheadrightarrow C') \otimes_{\mathcal{E}} (f : A \hookrightarrow B) = \bigl((C' \otimes A) \sqcup (C \otimes B)\bigr) / \bigl(q(c) \otimes a = c \otimes f(a)\bigr).$

Universelle Eigenschaft von $\mathbf{Mon}$

Für eine kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ ist $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mon},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoMon}(\mathcal{C}),$ die Kategorie der Komonoide in $\mathcal{C}$ bezüglich der durch das Koprodukt gegebenen monoidalen Struktur. Ein Komonoid ist also ein Objekt $A$ zusammen mit zwei Morphismen $\varepsilon : A \to 0$, die Koeins, (wobei $0$ das initiale Objekt sei) und $\nabla : A \to A \sqcup A$, die Komultiplikation, sodass $\nabla$ koassoziativ und $\varepsilon$ koneutral bezüglich $\nabla$ ist. Äquivalent dazu ist die Angabe einer Faktorisierung von $\mathrm{Hom}(A,-) : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ über $\mathbf{Mon}$. Die Äquivalenz ist induziert von einem (universellen) Komonoidobjekt in $\mathbf{Mon}$, welches wir nun genauer beschreiben: Dazu werden wir zunächst eine bessere Limes-Skizze $\mathscr{S}$ mit $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Mon}$ finden. Die Kategorie $\mathcal{E}$ habe für jede natürliche Zahl $n$ ein Objekt $X^n$. Zur Definition der Morphismen in $\mathcal{E}$ benötigen wir das freie Monoid $F_n = \langle x_1,\dotsc,x_n \rangle$ in $n$ Variablen; die Trägermenge $|F_n|$ von $F_n$ besteht aus den endlichen formalen Produkten $x_{i_1} \cdots x_{i_k}$ dieser Variablen. Die Homomorphismen-Mengen seien $\mathrm{Hom}_{\mathcal{E}}(X^n,X^m) := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mon}}(F_m,F_n) \cong |F_n|^m.$ Es ist also $\mathcal{E}$ letztlich die volle Unterkategorie von $\mathbf{Mon}^{\mathrm{op}}$, die aus den endlich-freien Monoiden besteht. Für $m=1$ erhält man insbesondere für jedes $1 \leq i \leq n$ einen Morphismus $x_i : X^n \to X$. Es sei $\mathscr{S}$ die Menge dieser Kegel $(x_1,\dotsc,x_n : X^n \to X)$. Es gilt wieder $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Mon}$: Einem Modell $F$ wird dabei das Monoid mit der Trägermenge $F(X)$ und der Multiplikation $F(x_1 x_2) : F(X)^2 \cong F(X^2) \to F(X)$ zugeordnet. Diese Konstruktion hat nun zwei Vorteile gegenüber unser vorigen: 1) Sie funktioniert genauso für beliebige algebraische Theorien. 2) Die genannten Kegel sind bereits Limes-Kegel in $\mathcal{E}$; das sieht man zum Beispiel daran, dass $F_n$ das Koprodukt von $n$ Kopien von $F_1$ ist. Das wiederum bedeutet, dass $\mathrm{Hom}(A,-)$ für jedes Objekt $A \in \mathcal{E}$ ein Modell von $\mathscr{S}$ ist, wir also keine Reflektion brauchen. Das (universelle) Komonoid $\Gamma$ in $\mathbf{Mon}$ ist nun definiert durch $A \mapsto \mathrm{Hom}(A,-)$. Das zugrunde liegende Monoid ist also $\mathrm{Hom}(X,-)$, dessen Trägermenge wiederum $\mathrm{Hom}(X,X) = \{x_1^n : n \in \IN\}$ ist. Wir schreiben $x := x_1$. Die Verknüpfung dieses Monoids ist induziert durch den Morphismus $x_1 x_2 : X^2 \to X$, der nämlich eine Abbildung $\mathrm{Hom}(X,X)^2 = \mathrm{Hom}(X,X^2) \to \mathrm{Hom}(X,X)$ induziert, die konkret gegeben ist durch $(x^n,x^m) \mapsto x^n x^m = x^{n+m}$. Es handelt sich also um das Monoid $F_1 \cong (\IN,+)$. Wir bemerken ohne Beweis, dass die Komonoid-Struktur durch den eindeutigen Monoidhomomorphismus $\varepsilon : F_1 \to \{\ast\}$ und den Monoidhomomorphismus $\nabla : F_1 \to F_1 \sqcup F_1 = F_2$, $x \mapsto x_1 x_2$ gegeben ist. Etwas einfacher zu verstehen ist die Komonoid-Struktur mit den natürlichen Bijektionen $\mathrm{Hom}(F_1,M) \cong |M|$ für Monoide $M$, die direkt $\mathrm{Hom}(F_1,M)$ mit der Struktur eines (zu $M$ isomorphen) Monoids versehen. Alternativ hätte man das universelle Komonoid $\Gamma$ auch so finden können, ohne die Limes-Skizze $\mathscr{S}$ und die kleine Kategorie $\mathcal{E}$ abzuändern: Wir haben bereits im Nachgang zu Satz 3 allgemein $M \cong \mathrm{Hom}(\Gamma(-),M)$ (*) bemerkt. Setzt man hier das Objekt $X \in \mathcal{E}$ ein, erhält man für die Trägermenge $|M| \cong \mathrm{Hom}(\Gamma(X),M)$ und damit $\Gamma(X) \cong F_1$. Die Komultiplikation erhält man ähnlich, indem man das Objekt $X^2$ und die Natürlichkeit von (*) bezüglich $m : X^2 \to X$ verwendet. Dasselbe Vorgehen funktioniert auch für beliebige algebraische Theorien. Zum Beispiel ist $\mathbf{Grp}$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einer Kogruppe, und diese ist gerade $F_1 \cong (\IZ,+)$ mit einer entsprechend definierten Komultiplikation. Man kann jetzt noch weiter gehen und mit der Äquivalenz für konkrete Beispiele von $\mathcal{C}$ sämtliche kostetige Funktoren $\mathbf{Mon} \to \mathcal{C}$ klassifizieren. Für $\mathcal{C} = \mathbf{Set}$ zum Beispiel gibt es nur einen solchen Funktor, nämlich den konstanten Funktor mit Wert $\emptyset$ (weil die Koeins sonst nicht definierbar wäre). Für $\mathcal{C} = \mathbf{Mon}$ gibt es bereits sehr viel mehr Beispiele, weil es viele Komonoide in $\mathbf{Mon}$ gibt. Für jede Menge $X$ trägt das freie Monoid $F(X)$ auf $X$ eine Komonoid-Struktur wegen $\mathrm{Hom}(F(X),M) \cong |M^X|$, der zugehörige kostetige Funktor $\mathbf{Mon} \to \mathbf{Mon}$ ist die Kopotenz $M \mapsto M \otimes X := \coprod_{x \in X} M$. Ein weiteres Beispiel ist $(\IZ,+)$ mit der durch $\mathrm{Hom}((\IZ,+),M) \cong M^{\times}$ induzierten Komonoid-Struktur (ja sogar Kogruppen-Struktur). Der zugehörige kostetige Funktor $\mathbf{Mon} \to \mathbf{Grp} \hookrightarrow \mathbf{Mon}$ ist die Gruppenvervollständigung. Ein weiteres Beispiel ist der kostetige Funktor $M \mapsto M^{\mathrm{op}}$ (der zu sich selbst invers ist), das zugehörige Komonoid ist das freie Monoid $\langle x \rangle$ vom Rang $1$ mit der Komultiplikation $\nabla(x)=x_2 x_1$. Sämtliche Komonoide in $\mathbf{Mon}$ (und damit die kostetigen Funktoren $\mathbf{Mon} \to \mathbf{Mon}$) wurden von George Bergman in seinem Buch An Invitation to General Algebra and Universal Constructions in Abschnitt 10.6 klassifiziert: Hierzu definiere man ein E-System (ich schreibe Bergmans Definition unter Beachtung des Äquivalenzprinzips etwas um) als ein Tupel $X = (X^+,X^-,u^+,u^-,E^+,E^-)$, bestehend aus zwei Mengen $X^+,X^-$, zwei Elementen $u^+ \in X^+$, $u^- \in X^-$ und zwei Relationen $E^+ \subseteq X^+ \times X^-$, $E^- \subseteq X^- \times X^+$; es gelte dabei $(u^{\pm},u^{\mp}) \in E^{\pm}$ (mit $\pm$ meinen wir natürlich die beiden Fälle $+$ und $-$), und aus $(a,b) \in E^{\pm }$ und $(b,c) \in E^{\mp}$ soll $a=c$ folgen. Dann betrachten wir das Monoid $\langle X^+ \sqcup X^- : u^{\pm } = 1 ,\, \forall (a,b) \in E^{\pm} \, (a \cdot b = 1)\}$ und definieren darauf die Komultiplikation $\nabla(x)=x_1 x_2$ für $x \in X^+$ und $\nabla(x)=x_2 x_1$ für $x \in X^-$. Wir erhalten also ein Komonoid in $\mathbf{Mon}$. Bergman hat gezeigt, dass auf diese Weise eine Äquivalenz zwischen $\mathbf{CoMon}(\mathbf{Mon})$ und der Kategorie $\mathbf{E{-}System}$ der E-Systeme definiert wird.

Universelle Eigenschaft von $\mathbf{Pos}$

Für eine kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ ist $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Pos},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoPos}(\mathcal{C})$ die Kategorie der "Kopartialordnungen" in $\mathcal{C}$. Dabei besteht eine Kopartialordnung in $\mathcal{C}$ aus zwei Objekten $Y,S$ und zwei Morphismen $s_1,s_2 : Y \to S$, sodass $(s_1,s_2) : Y \sqcup Y \to S$ ein Epimorphismus ist (also eine "Korelation" auf $Y$) und die folgenden drei Eigenschaften gelten: Erstens ist die Korelation koreflexiv, das heißt es gibt einen Morphismus $j : S \to Y$ mit $j \circ s_1 = \mathrm{id}_Y = j \circ s_2$. Zweitens ist die Korelation kotransitiv, das heißt es gibt einen Morphismus in das Kofaserprodukt $u : S \to S \sqcup_{s_2,s_1} S$ mit $u \circ s_1 = \iota_1 \circ s_1$ und $u \circ s_2 = \iota_2 \circ s_2$, wobei $\iota_1,\iota_2 : S \to S \sqcup_{s_2,s_1} S$ die beiden Inklusionen sind. Und drittens ist die Korelation koantisymmetrisch, das heißt für das "doppelte" Kofaserprodukt $S \sqcup_{(s_1,s_2);(s_2,s_1)} S$ seien die beiden Inklusionsmorphismen von $S$ identisch. Äquivalent zu dieser etwas ungewöhnlichen Struktur ist die Struktur einer partiellen Ordnung auf den Mengen $\mathrm{Hom}(Y,C)$ für alle $C \in \mathcal{C}$ (die natürlich in $C$ sind), nämlich bezüglich der Relationen $\mathrm{Hom}(S,C)$ und den beiden Abbildungen $s_1^*,s_2^* : \mathrm{Hom}(S,C) \to \mathrm{Hom}(Y,C)$. Die Äquivalenz ist induziert von einer (universellen) Kopartialordnung $\Gamma = (s_1,s_2 : Y \to S)$ in der Kategorie $\mathbf{Pos}$, welche wir nun genauer beschreiben: Für $P=(X,R) \in \mathbf{Pos}$ gilt in der Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S}) \simeq \mathbf{Pos}$ die Isomorphie $P(-) \cong \mathrm{Hom}(\Gamma(-),P)$. Das bedeutet zum einen $X \cong \mathrm{Hom}(Y,P)$, zum anderen $R \cong \mathrm{Hom}(S,P)$. Es folgt nun offenbar $Y = \{0\}$ (womit wir die partielle Ordnung $(\{0\},\{(0,0)\})$ meinen) und $S = \{1 < 2\}$ (womit wir die partielle Ordnung $(\{1,2\},\{(1,1),(1,2),(2,2)\})$ meinen). Die beiden Morphismen $s_1,s_2 : \{0\} \to \{1<2\}$ sind klar. Für die Kategorie $\mathbf{Pre}$ der Präordnungen kann man ganz genauso vorgehen. Diese klassifiziert Kopräordnungen, und das universelle Beispiel sieht wie bei $\mathbf{Pos}$ aus. Die Äquivalenz $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Pos},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoPos}(\mathcal{C})$ (analog mit $\mathbf{Pre}$) kann man nutzen, um zum Beispiel sämtliche kostetigen Funktoren $\mathbf{Pre} \to \mathbf{Set}$ zu bestimmen. Wir präsentieren hier nur das Ergebnis: sie haben die Form $P \mapsto (|P| \times X ) / ((p,x) \sim (q,x) \text{ wenn } p \leq q \text{ und } x \in A)$ für Mengen $X$ und Teilmengen $A \subseteq X$. Tatsächlich ist $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Pre},\mathbf{Set}) \simeq \mathbf{Mono}(\mathbf{Set})$. Für $X=A=\{\star\}$ bekommt man hierbei den kostetigen Funktor $\pi_0$ der Zusammenhangskomponenten. Für $\mathbf{Pos}$ ist sogar nur $X=A$ möglich, und es verbleibt $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Pos},\mathbf{Set}) \simeq \mathbf{Set}$.

Universelle Eigenschaft von $\mathbf{Sh}(X)$

Weil das Prinzip nun klar sein sollte, werde ich dieses Beispiel kurz halten. Sei $X$ ein topologischer Raum, $\mathbf{Ouv}(X)$ die Kategorie der offenen Teilmengen von $X$ mit Inklusionen als Morphismen. Ist $U \in \mathbf{Ouv}(X)$ und $(U_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $U$, so können wir $U$ als Kolimes der $U_i$ darstellen. Genauer gesagt: Betrachte den gerichteten Graphen mit der Knotenmenge $I$ und den Kanten $i \leftarrow (i,j) \rightarrow j$. Dann definiert $i \mapsto U_i$, $(i,j) \mapsto U_i \cap U_j$ ein Diagramm dieser Form. Die Inklusionen $U_i \to U$ bzw. $U_i \cap U_j \to U$ definieren einen Kolimes-Kokegel mit Spitze $U$. Lassen wir $U$ laufen, erhalten wir daher eine Kolimes-Skizze in $\mathbf{Ouv}(X)$ bzw. eine Limes-Skizze in $\mathbf{Ouv}(X)^{\mathrm{op}}$. Ihre Kategorie der Modelle ist nichts anderes als die Kategorie der Garben $\mathbf{Sh}(X)$ auf $X$; das ist letztlich die Definition von Garben. Sie ist eine reflektive Unterkategorie der Kategorie $\mathbf{PSh}(X)$ aller Prägarben auf $X$, was einfach Funktoren $\mathbf{Ouv}(X)^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ sind. Satz 3 nimmt hier folgende Form an: $\mathbf{Sh}(X)$ ist eine kovollständige Kategorie mit der universellen Eigenschaft $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Sh}(X),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoSh}_{\mathcal{C}}(X) = \mathbf{Sh}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X)^{\mathrm{op}};$ Kogarben auf $X$ mit Werten in $\mathcal{C}$ sind hierbei Funktoren $\mathbf{Ouv}(X) \to \mathcal{C}$, welche die oben beschriebenen Kolimes-Koegel auf Kolimes-Kokegel abbilden; was also nichts anderes als $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$-wertige Garben auf $X$ sind. Die universelle Kogarbe auf $X$ hat ihre Werte in $\mathbf{Sh}(X)$ und ist durch $\Gamma(U) = \mathrm{Hom}(-,U)$ definiert.