Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
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Section Kopf
Title Wachstumsfunktionen in der Anwendung
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Section 10
Title Mathematisches
Created 2020-10-24 21:29:30 by Ueli [Änderungshistorie]
contains 7382 Bytes

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Section 20
Title Reproduktionszahl
Created 2020-10-25 10:30:59 by Ueli [Änderungshistorie]
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15640 charactes in tolal


Section 30
Title Bevölkerungswachstum
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Section 40
Title Hubbert-Linearisierung
Created 2020-10-24 21:30:26 by Ueli [Änderungshistorie]
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Section 99
Title Schlussbemerkung
Created 2021-02-21 11:50:42 by Ueli [Änderungshistorie]
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"Mathematik: Wachstumsfunktionen in der Anwendung" | 4 Comments
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Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: traveller am: Do. 08. April 2021 09:39:59
\(\begingroup\)Hallo, Das scheint mir nicht zu passen: \quoteon Für die Anfangsphase der Epidemie habe ich folgenden Ausdruck gefunden: \(I(t)=R^{t/T}\) \quoteoff Die zweite Differentialgleichung im SIR-Modell ist $$\begin{align} I'(t) &= \beta\cdot S(t)-\frac{1}{D}\cdot I(t) \\ &= \left(\beta-\frac{1}{D}\right)\cdot I(t) \\ &= \frac{\beta\cdot D-1}{D}\cdot I(t) \\ &= \frac{R-1}{D}\cdot I(t) \\ \end{align}$$ mit $R=\beta\cdot D$ und ich habe verwendet, dass am Anfang der Pandemie noch $S(t)\approx 1$ ist. Die Lösung davon ist $$I(t)=I(0)\cdot e^{\frac{R-1}{D}\cdot t}\enspace,$$ schaut also doch etwas anders aus. Qualitativ ist der Schluss allerdings der gleiche, wir haben exponentielles Wachstum wenn $R>1$. Oder missverstehe ich da etwas? Sind $T$ und $D$ verschiedene Zeiten?\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Diophant am: Do. 08. April 2021 19:20:29
\(\begingroup\)Hallo Ueli, ein schöner Artikel mit interessanten und vor allem aktuellen Beispielen zur Anwendung von Wachstumsmodellen. Vielen Dank dafür! Eine Sache würde mich interessieren: beim Bevölkerungswachstum schlägst du ja das Modell des (fremd-)vergifteten Wachstums vor (und eben nicht das vielleicht sogar auf den ersten Blick naheliegendere Modell des Wachstums mit Selbstvergiftung). Was wäre dann da sozusagen das Gift, also das hemmende Element? Die naheliegendste Annahme wäre hier ulkigerweise der (weltweit gesehen) zunehmende Bildungsgrad... Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Ueli am: Do. 08. April 2021 22:41:14
\(\begingroup\)@traveller Für die Darstellung habe ich mich an der Definition in den Medien orientiert, damit man den Bezug einfach herstellen kann. Ich höre immer wieder: Die Reproduktionszahl bezeichnet die Anzahl Personen, die eine infizierte Person ansteckt. Nun kann man eine diskrete Gleichung herleiten, z.B. alle 5 Tage verdreifachen sich die Zahl der Ansteckungen. Dann wird oft der Übergang zur kontinuierlichen Gleichung gemacht. Dass dies nicht ganz stimmt habe ich auch im Abschnitt "Mutanten" gezeigt, allerdings nicht bis ins Detail. Müsste ich nochmals genauer nachvollziehen. @Diophant Fruchtbarkeit und Sterberate haben viele Einflüsse, über die ich nur spekulieren kann. Die Sterberate kann beispielsweise erhöht werden durch Alkohol und Drogensucht, die in schlechten Zeiten zunehmen. Aber ich denke die Geburtenrate ist viel entscheidender für die Wachstumsbilanz, denn ob jemand geboren wird oder gar nie da ist, macht mehr aus, als wenn jemand früher oder später stirbt. Bei der Fruchtbarkeit gibt es biologische und gesellschaftliche Faktoren, wie die Bildung, die du erwähnt hast. Ich habe schon verschiedentlich gelesen, dass bei uns die biologische Fruchtbarkeit abnimmt. Was mich wundert ist, dass darüber so wenig genaues bekannt ist.\(\endgroup\)
 

Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
von: Gerhardus am: Sa. 10. April 2021 12:32:31
\(\begingroup\)Bzgl. der gegenwärtigen Pandemie finde ich den Wikipedia-Artikel über das SIR-Modell recht gut verständlich. Die Anzahl Infizierten I(t) wächst proportional zu I(t) und proportional zu den Infizierbaren S/N (S sind alle nicht immunen, nicht infizierten Personen und N die Gesamtbevölkerung). Das entspricht ungefähr der Diff.gleichung y′(t)=k⋅y(t)⋅(G−y(t)), wo G den Wachstumsraum darstellt und das Wachstum auch proportional zum noch freien Raum ist. Da die Genesungen auch wieder proportional zu I sind, ist die Gleichung für I'(t) zu erweitern. Wegen der Immunität der Genesenen ist S keine Konstante und sinkt proportional zu I und S/N. \(\endgroup\)
 

 
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