Hüllenoperatoren

Vorweg: Auf dem Matheplaneten wurde 2005 bereits ein kurzer Artikel über Hüllenoperatoren geschrieben.

Hüllenoperatoren

Definition. Ein Hüllenoperator auf einer Menge $M$ ist eine Funktion $H : P(M) \to P(M)$, die also jeder Teilmenge von $M$ eine Teilmenge von $M$ zuordnet, sodass folgende Eigenschaften gelten: (1) $S \subseteq T \implies H(S) \subseteq H(T)$ (2) $S \subseteq H(S)$ (3) $H(H(S)) = H(S)$ Die Teilmengen $S \subseteq M$ mit $H(S) \subseteq S$ nennen wir abgeschlossen bezüglich $H$. Das ist wegen (2) äquivalent zu $H(S) = S$, d.h. dass $S$ ein Fixpunkt unter $H$ ist. Wegen (3) ist jede Teilmenge der Form $H(S)$ abgeschlossen. Bei (3) reicht es, $H(H(S)) \subseteq H(S)$ zu fordern; denn aus (2) und (1) folgt sofort $H(S) \subseteq H(H(S))$. Beispiel. Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gibt es gleich zwei naheliegende Hüllenoperatoren auf der Trägermenge von $V$: Die lineare Hülle $S \mapsto \{\lambda_1 s_1 + \cdots + \lambda_n s_n : n \in \IN,\, s_i \in S, \, \lambda_i \in K\}$ und die affine Hülle $S \mapsto \{\lambda_1 s_1 + \cdots + \lambda_n s_n : n \in \IN,\, s_i \in S, \, \lambda_i \in K,\, \lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1\}.$ Für angeordnete Körper wie zum Beispiel $K = \IR$ gibt es außerdem noch die konvexe Hülle $S \mapsto \{\lambda_1 s_1 + \cdots + \lambda_n s_n : n \in \IN,\, s_i \in S, \, \lambda_i \in K_{\geq 0},\, \lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1\}.$ Die Eigenschaften (1),(2) sind hier jeweils trivial. Für (3) muss man sich nur durch simples Ausmultiplizieren klarmachen, dass (zum Beispiel) eine Linearkombination von Linearkombination von Elementen aus $S$ wieder eine Linearkombination von Elementen aus $S$ ist. Die abgeschlossenen Teilmengen heißen hier (lineare) Unterräume, affine Unterräume, konvexe Teilmengen. Mit dem Konzept des Hüllenoperators erkennen wir also eine Gemeinsamkeit zwischen ihnen. Auch die nachfolgenden Lemmata kann man auf alle der noch nachfolgenden Beispiele gleichzeitig anwenden. Lemma. Eine Funktion $H : P(M) \to P(M)$ ist genau dann ein Hüllenoperator, wenn für alle $S,T \in P(M)$ gilt: $S \subseteq H(T) \iff H(S) \subseteq H(T)$ Beweis. Übung. $~\checkmark$ Ein Hüllenoperator ist bereits durch seine abgeschlossenen Teilmengen bestimmt, wie das folgende Lemma zeigt: Lemma. Sei $H$ ein Hüllenoperator auf $M$. Für $S \in P(M)$ ist dann $H(S)$ die bezüglich der Inklusion kleinste abgeschlossene Teilmenge mit $S \subseteq H(S)$. Wir nennen daher $H(S)$ auch den Abschluss von $S$. Beweis. Es ist klar, dass $H(S)$ diese Eigenschaften hat. Nun sei $A \in P(M)$ abgeschlossen mit $S \subseteq A$. Dann folgt $H(S) \subseteq H(A) = A$, und wir sind fertig. $~\checkmark$

Erzeugendensysteme

Die folgende Definition vereinheitlicht zahllose konkrete Begriffe von Erzeugendensystemen. Definition. Sei $H$ ein Hüllenoperator auf $M$. Ist $A \in P(M)$ bezüglich $H$ abgeschlossen, so nennen wir jede Teilmenge $S \in P(M)$ mit $A = H(S)$ ein Erzeugendensystem von $A$, und wir nennen $A$ die von $S$ erzeugte Teilmenge (bezüglich $H$). Für eine Familie von abgeschlossenen Teilmengen $(S_i)_{i \in I}$ muss die Vereinigung $\bigcup_{i \in I} S_i$ keine abgeschlossene Teilmenge sein, allerdings können wir die erzeugte Teilmenge $H(\bigcup_{i \in I} S_i)$ betrachten, welche die kleinste abgeschlossene Teilmenge ist, die alle $S_i$ enthält. Für Unterräume eines Vektorraumes ist das zum Beispiel die Summe der Unterräume. Halten wir fest: Lemma. Sei $H$ ein Hüllenoperator auf $M$. Für eine Familie von Teilmengen $(S_i)_{i \in I}$ von $M$ gilt dann $H(\bigcup_{i \in I} S_i) = H(\bigcup_{i\in I} H(S_i))$. Beweis. Übung. $~\checkmark$

Moore-Systeme

Die abgeschlossenen Teilmengen haben eine wichtige Eigenschaft: Lemma. Sei $H$ ein Hüllenoperator auf $M$. Sei $(S_i)_{i \in I}$ eine Familie von abgeschlossenen Teilmengen von $M$ bezüglich $H$. Dann ist auch $\bigcap_{i \in I} S_i$ abgeschlossen bezüglich $H$. Beweis. Sei $D$ der Durchschnitt. Für alle $i \in I$ gilt $H(D) \subseteq H(S_i)$ wegen $D \subseteq S_i$, und damit $H(D) \subseteq \bigcap_{i \in I} H(S_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} S_i = D$. Daher ist $D$ abgeschlossen. Übrigens haben wir hier nur (1) benutzt, weder (2) noch (3). $~\checkmark$ Geben wir der Eigenschaft einen Namen: Definition. Ein Mengensystem $\mathcal{A} \in P(P(M))$, das unter beliebigen Durchschnitten stabil ist (also $S \subseteq \mathcal{A} \implies \bigcap S \in \mathcal{A}$), heißt Moore-System auf $M$. Es gilt dann offenbar $M \in \mathcal{A}$ (man nehme $S=\emptyset$). Und mehr kann man über die abgeschlossenen Teilmengen eines Hüllenoperators nicht aussagen: Satz. Sei $\mathcal{A} \in P(P(M))$ ein Moore-System. Dann gibt es genau einen Hüllenoperator $H$ auf $M$, sodass $\mathcal{A}$ die Menge der abgeschlossenen Teilmengen bezüglich $H$ ist. Beweis. Die Eindeutigkeit haben wir bereits gesehen, und sie zeigt uns auch, wie wir $H$ definieren müssen: Es sei $H(S)$ die kleinste Menge in $\mathcal{A}$ mit $ S \subseteq H(S)$. Sie existiert tatsächlich, denn wir können mehr oder weniger explizit $\displaystyle H(S) := \bigcap \{A \in \mathcal{A} : S \subseteq A\}$ setzen. Weil $\mathcal{A}$ unter Durchschnitten stabil ist, gilt tatsächlich $H(S) \in \mathcal{A}$. Die Inklusion $S \subseteq H(S)$ gilt per Konstruktion. Aus $S \subseteq T$ folgt $H(S) \subseteq H(T)$, weil für alle $A \in \mathcal{A}$ mit $T \subseteq A$ auch $S \subseteq A$ gilt und damit $H(S) \subseteq A$. Für $S \in \mathcal{A}$ gilt offenbar $H(S) \subseteq S$ und damit $H(S) = S$. Insbesondere $H(H(S)) = H(S)$ für alle $S \in P(M)$. Also ist $H$ ein Hüllenoperator, und wir haben schon gesehen, dass die abgeschlossenen Mengen genau jene in $\mathcal{A}$ sind. $~\checkmark$ Hüllenoperatoren sind also im Wesentlichen dasselbe wie Moore-Systeme. Das Problem ist allerdings, dass der Hüllenoperator eines Moore-Systems, wie oben definiert, furchtbar unexplizit ist. In konkreten Beispielen braucht man oftmals andere konkretere Beschreibungen des Hüllenoperators. Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an; später folgen mehr. Beispiel. Sei $G$ eine Gruppe. (Analoge Betrachtungen kann man für beliebige algebraische Strukturen machen, zum Beispiel Vektorräume, Ringe, Liealgebren, Verbände, usw.) Bekanntlich ist jeder Durchschnitt von Untergruppen von $G$ ebenfalls eine Untergruppe von $G$. Die Untergruppen bilden also ein Moore-System auf der Trägermenge von $G$. Der Hüllenoperator $H$ ist nach obiger Definition $\displaystyle H(S) := \bigcap \{A \subseteq G \text{ Untergruppe} : S \subseteq A\}$ aber diese Beschreibung ist wenig konkret und nicht viel mehr als die Aussage, dass die erzeugte Untergruppe existiert. Eine konkretere Beschreibung ist $\displaystyle H(S) = \{s_1^{z_1} \cdots s_n^{z_n} : n \in \IN,\, s_i \in S,\, z_i \in \IZ\}.$ Dazu weist man nach, dass die rechte Seite tatsächlich eine Untergruppe von $G$ ist, welche $S$ enthält, und jede andere solche Untergruppe enthält. Speziell für Gruppen kann man auch noch die Normalteiler betrachten, welche ebenfalls ein Moore-System bilden. Der Hüllenoperator ist hier etwas komplizierter: $S \mapsto \{g_1 s_1^{z_1} g_1^{-1} \cdots g_n s_n^{z_n} g_n^{-1} : n \in \IN,\, s_i \in S,\, z_i \in \IZ,\, g_i \in G\}.$ Beispiel. Sei $X$ ein metrischer Raum. Die abgeschlossenen Teilmengen von $X$ sind bekanntlich unter beliebigen Durchschnitten abgeschlossen. Es liegt daher ein Moore-System vor; der Hüllenoperator bildet $S \subseteq X$ auf die kleinste abgeschlossene Teilmenge $\overline{S} \subseteq X$ mit $S \subseteq \overline{S}$ ab, was also per Definition die übliche abgeschlossene Hülle von $S$ ist. Die abstrakte Definition als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die $S$ enthalten, kann man bekanntlich viel konkreter machen: Es ist $\overline{S} = \{x \in X : \text{es gibt eine Folge } s \in S^{\IN} \text{ mit } x = \lim_{n \to \infty} s_n\}.$ Wenn $X$ allgemeiner ein topologischer Raum ist (also letztlich eine Menge mit einem Moore-System, welches auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen ist), so ist der Abschluss einer Teilmenge $S$ allerdings größer. Er besteht nicht nur aus den Grenzwerten von Folgen in $S$, sondern aus den Grenzwerten von Netzen in $S$.

Abschluss unter Verknüpfungen

Viele Moore-Systeme bzw. Hüllenoperatoren entstehen durch das Abschließen einer Teilmenge unter gewissen Verknüpfungen: Sei $M$ eine Menge. Sei $f : M^n \to M$ eine $n$-stellige Verknüpfung auf $M$. Dann ist die Menge der unter $f$ abgeschlossenen Teilmengen, also $\{S \in P(M) : f(S^n) \subseteq S\}$ (wobei mit $f(S^n)$ hier natürlich die Bildmenge gemeint ist), offenbar ein Moore-System auf $M$. Das können wir stark verallgemeinern: Es sei eine Familie von partiell definierten Verknüpfungen $\{f_i : M^{N_i} \dashrightarrow M\}$ gegeben. Hierbei steht der gestrichelte Pfeil $\dashrightarrow$ für die Partiellheit, und $N_i$ ist jeweils irgendeine Indexmenge, welche für die Stelligkeit steht und durchaus unendlich sein darf. Dann bilden die unter allen $f_i$ gleichzeitig abgeschlossenen Teilmengen von $M$ ein Moore-System auf $M$. Beispiel. Wenn zum Beispiel $G$ eine Gruppe ist, so gehören dazu also drei (total definierte) Verknüpfungen $G^0 \to G$ (neutrales Element; siehe hier), $G^1 \to G$ (Inversion), $G^2 \to G$ (Multiplikation). Die darunter abgeschlossenen Mengen sind die Untergruppen von $G$. Ganz ähnlich kann man das Moore-System der Unterringe eines Ringes erhalten. Wenn nun $K$ ein Körper ist, so erhält man das Moore-System der Unterkörper durch Hinzunahme der partiell definierten einstelligen Verknüpfung $K \dashrightarrow K$, $a \mapsto a^{-1}$ mit dem Definitionsbereich $K^{\times}$. Und wenn $X$ ein metrischer Raum ist, dann erhalten wir die abgeschlossenen Teilmengen von $X$ mit der partiellen $\IN$-stelligen Verknüpfung $\lim : X^{\IN} \dashrightarrow X$, die auf konvergenten Folgen definiert ist. Für eine Familie von Verknüpfungen wie oben können wir eine Funktion $H : P(M) \to P(M)$ definieren durch $H(S) := \bigcup_{i \in I} f_i(S^{N_i} \cap \mathrm{dom}(f_i)).$ Es ist $S$ per Definition genau dann abgeschlossen, wenn $H(S) \subseteq S$. Nur ist $H$ im Allgemeinen nicht der zugehörige Hüllenoperator, weil (2) und (3) für $H$ nicht gelten müssen. Zumindest gilt offenbar die Monotonie (1) für $H$. Im nächsten Abschnitt studieren wir dieses Problem allgemeiner. Zuvor machen wir noch die Beobachtung, dass im Fall von Verknüpfungen endlicher Stelligkeit (also wenn die $N_i$ endlich sind) die obige Funktion $H$ aufsteigende abzählbare Vereinigungen erhält, d.h. für jede Folge von Teilmengen $S_0 \subseteq S_1 \subseteq S_2 \subseteq \cdots \subseteq M$ gilt $\displaystyle H\bigl(\bigcup_{k \geq 0} S_k\bigr) = \bigcup_{k \geq 0} H(S_k)$ in $P(M)$. Das kann man nämlich darauf zurückführen, dass für endliche Mengen $N$ die Gleichung $\displaystyle \bigl(\bigcup_{k \geq 0} S_k\bigr)^N = \bigcup_{k \geq 0} (S_k)^N$ in $P(M^N)$ gilt, was man sofort erkennt. Was bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit (die zum Beispiel bei $\sigma$-Algebren vorkommen) passiert, schauen wir uns später an.

Rekursive Konstruktion

Sei $H : P(M) \to P(M)$ irgendein monotoner Operator, d.h. (1) gilt, aber (2) und (3) nicht unbedingt. Auch dann ist $\{S \in P(M) : H(S) \subseteq S\}$ ein Moore-System auf $M$, und viele Moore-Systeme treten in der Praxis auch so auf, wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben. Wir würden daher gerne den zugehörigen Hüllenoperator besser verstehen. Indem wir $H$ durch den Operator $S \mapsto S \cup H(S)$ ersetzen (der dieselben abgeschlossenen Mengen hat), können wir o.B.d.A. annehmen, dass auch (2) $S \subseteq H(S)$ gilt. Nun, für jede natürliche Zahl $n$ haben wir die $n$-fache Verkettung $H^n : P(M) \to P(M),$ die offenbar ebenfalls (1) und (2) erfüllt. Für $n=0$ ist $H^0$ die Identität. Wir haben dabei wegen (2) die Inklusionen $S \subseteq H(S) \subseteq H(H(S)) \subseteq H(H(H(S))) \subseteq \cdots .$ Nun kann es passieren, dass $H^n$ für ein $n \geq 1$ ein Hüllenoperator ist, aber das muss nicht der Fall sein. Betrachten wir etwa den Fall eines Vektorraumes und die Funktion $H(S) := \{as + bt : a,b \in K,\, s,t \in S\}$, also die Linearkombinationen von (höchstens) zwei Elementen aus $S$. Dann ist $H^n(S)$ die Menge der Linearkombinationen von $n+1$ Elementen aus $S$. Für Mengen mit einer beschränkten endlichen Kardinalität mag das ausreichen, aber nicht im allgemeinen Fall. Hier müssen wir noch die Vereinigung über alle $n$ bilden. Das machen wir auch allgemein: Wir definieren $\displaystyle H^{\omega}(S) := \bigcup_{n \in \IN} H^n(S).$ Auch diese Funktion $H^{\omega}$ erfüllt (1) und (2), und bei unserem Beispiel von Linearkombinationen wäre das auch schon der gesuchte Hüllenoperator. Das ist allgemein so, wenn $H$ aufsteigende abzählbare Vereinigungen erhält (also zum Beispiel, wenn wir wie im vorigen Abschnitt von endlich-stelligen Verknüpfungen ausgehen; beachte, dass der Übergang vom ursprünglichen $H$ zu $S \cup H(S)$ diese Eigenschaft nicht verändert): In diesem Fall ist nämlich $\displaystyle H(H^{\omega}(S)) = H\bigl(\bigcup_{n \in \IN} H^n(S)\bigr) = \bigcup_{n \in \IN} H(H^n(S)) = \bigcup_{n \in \IN} H^{n+1}(S) = \bigcup_{n \in \IN} H^n(S) = H^{\omega}(S).$ Also ist $H^{\omega}(S)$ abgeschlossen mit $S \subseteq H^{\omega}(S)$. Wenn umgekehrt $A$ abgeschlossen mit $S \subseteq A$ ist, so folgt induktiv $H^n(S) \subseteq A$; der Induktionsschritt ist $H^{n+1}(S) = H(H^n(S)) \subseteq H(A) = A$. Also gilt dann auch $H^{\omega}(S) \subseteq A$. Wir haben gezeigt: Satz. Sei $H : P(M) \to P(M)$ ein Operator, der (1),(2) erfüllt und aufsteigende abzählbare Vereinigungen erhält. Dann ist $H^{\omega}(S)$, wie oben definiert, der Abschluss von $S$ bezüglich $H$, und daher $H^{\omega}$ der zugehörige Hüllenoperator. Schauen wir uns einige Beispiele für diesen Satz an.

Erzeugte Untergruppen

Sei $G$ eine Gruppe. Für $S \subseteq G$ setzen wir $H(S) := \{1\} \cup S \cup (S \cdot S) \cup S^{-1},$ sodass also die bezüglich $H$ abgeschlossenen Mengen die Untergruppen von $G$ sind. Die von $S \subseteq G$ erzeugte Untergruppe ist wegen des Satzes gleich $H^{\omega}(S) = \bigcup_{n \geq 0} H^n(S)$. Hierbei ist zum Beispiel $H^2(S) = \{1\} \cup S \cup (S \cdot S) \cup S^{-1} \cup (S \cdot S \cdot S) \cup (S \cdot S \cdot S \cdot S) \cup (S \cdot S^{-1}) \cup (S^{-1} \cdot S) \cup (S \cdot S \cdot S^{-1}) \cup (S^{-1} \cdot S \cdot S) \cup (S^{-1} \cdot S^{-1}).$ Das Schema setzt sich so fort. Mit der Schreibweise $S^{\pm 1} := S \cup S^{-1}$ gilt offenbar $\displaystyle H^{\omega}(S) = \bigcup_{k \in \IN} \, \underbrace{S^{\pm 1} \cdots S^{\pm 1}}_{k\text{-fach}}.$ Ähnlich kann man bei anderen algebraischen Strukturen vorgehen. Dabei sind dann nur jeweils spezielle Überlegungen nötig, um eine Vereinfachung des Erzeugnisses zu bekommen. Bei kommutativen Ringen sind es zum Beispiel Polynome.

Transitive Hüllen

Sei $M$ eine Menge. Betrachten wir den monotonen Operator $H : P(M \times M) \to P(M \times M)$, der einer Relation $S$ auf $M$ die Relation $H(S) := S \cup \{(a,b) \in M^2 : \exists c \in M ((a,c) \in S \wedge (c,b) \in S)\}$ auf $M$ zuordnet. Die Definition von $H$ ist gerade so gemacht, dass die bezüglich $H$ abgeschlossenen Mengen gerade die transitiven Relationen auf $M$ sind. Unser Satz liefert uns eine Konstruktion der transitiven Hülle einer Relation $S$: Es gilt nun $(a,b) \in H^n(S)$ genau dann, wenn es eine Kette von Elementen $a=a_0,a_1,\dotsc,a_k=b$ in $M$ der Länge $1 \leq k \leq n+1$ gibt, wobei jeweils $(a_i,a_{i+1}) \in S$. Die transitive Hülle ist $H^{\omega}(S)$, bei der jede mögliche Länge erlaubt ist.

Erzeugte Mengenringe

Ein Mengenring auf einer Menge $M$ ist eine Familie von Teilmengen von $M$, also ein Element $S \in P(P(M))$, mit den folgenden Eigenschaften: (a) $\emptyset \in S$, (b) Für $A,B \in S$ ist $A \cup B \in S$, (c) Für $A,B \in S$ ist $A \setminus B \in S$. Wir haben es also mit den Verknüpfungen $\emptyset : P(M)^0 \to P(M),~ \cup : P(M)^2 \to P(M),~ \setminus : P(M)^2 \to P(M)$ zu tun und betrachten einfach die diesbezüglich abgeschlossenen Teilmengen von $P(M)$. Der Satz konstruiert also auch den von einer Familie von Teilmengen $S$ erzeugten Mengenring: Man startet mit $H(S) := \{\emptyset\} \cup S \cup \{A \cup B : A,B \in S\} \cup \{A \setminus B : A,B \in S\},$ und bildet dann $H^2(S) := H(H(S)) = \{\emptyset\} \cup S \cup \{A \cup B : A,B \in S\} \cup \{A \setminus B : A,B \in S\} \cup \{A \cup B \cup C : A,B,C \in S\}\\ \cup \{A \cup B \cup C \cup D : A,B,C,D \in S\} \cup \{A \cup (B \setminus C) : A,B,C \in S\}\\ \cup \{(A \setminus B) \cup (C \setminus D) : A,B,C,D \in S\} \cup \{A \setminus (B \cup C) : A,B,C \in S\}\\ \cup \{(A \cup B) \setminus C : A,B,C \in S\} \cup \{(A \setminus B) \setminus (C \setminus D) : A,B,C,D \in S\},$ und so weiter, bis $H^{\omega}(S)$ der gesuchte Mengenring ist. Für Mengenalgebren kann man ähnlich vorgehen.

Erzeugte Topologien

Auch Topologien auf einer Menge $X$ kann man so behandeln: Sie sind die abgeschlossenen Mengensysteme bezüglich des Operators $H : P(P(X)) \to P(P(X)), \, H(\mathcal{O}) := \{\bigcup U : U \subseteq \mathcal{O}\} \cup \{\bigcap U : U \subseteq \mathcal{O} \text{ endlich}\}.$ Beachte hierbei $\bigcup \emptyset = \emptyset$ und $\bigcap \emptyset = X$ (siehe hier), sodass diese Mengen hier tatsächlich als offen deklariert werden. Zwar erhält $H$ keine abzählbaren aufsteigenden Vereinigungen, aber schauen wir uns trotzdem einmal die Iterationen an: Wir bilden zunächst $H(S)$ wie oben beschrieben, bestehend aus den beliebigen Vereinigungen und den endlichen Durchschnitten von Mengen in $S$. Als nächstes berechnen wir $H^2(S)$ und sehen, dass diese Menge aus den beliebigen Vereinigungen von endlichen Durchschnitten von Mengen in $S$ besteht. Aber das ist bereits eine Topologie auf $X$! Das folgt leicht aus einem allgemeinen Distributivgesetz für Mengen. Also ist dies die von $S$ erzeugte Topologie.

Transfinite Rekursion

Was machen wir nun, wenn ein Operator $H : P(M) \to P(M)$ zwar (1) und (2) erfüllt, aber keine abzählbaren aufsteigenden Vereinigungen erhält? Wenn wir zum Beispiel von einer Verknüpfung $ f : M^N \to M$ ausgehen und $N$ eine unendliche Menge ist, so erhält $S \mapsto S^N$ und damit auch $H(S) := f(S^N)$ i. A. keine abzählbaren aufsteigenden Vereinigungen mehr: Zum Beispiel liegt die Folge $(n)_{n \in \IN}$ in $\IN^{\IN} = \bigl(\bigcup_{n \geq 0} \{0,\dotsc,n\}\bigr)^{\IN}$, aber nicht in $\bigcup_{n \in \IN} \bigl(\{0,\dotsc,n\}^{\IN}\bigr)$; letztere Menge enthält nur beschränkte Folgen. Wir müssen uns also etwas anderes überlegen. Wir müssen dazu die bereits beschriebene rekursive Konstruktion von $H^0,H^1,\dotsc,H^{\omega}$ noch weiter führen. Wir definieren also $H^{\omega+1} := H \circ H^{\omega}$, $H^{\omega+2} := H \circ H^{\omega+1}$, und so weiter. In den Exponenten stehen hier sogenannte Ordinalzahlen. Die Erklärung, was Ordinalzahlen sind, würde den Rahmen hier sprengen. Es reicht aber, zu sagen, dass wir damit auch rekursive Definitionen durchführen können, die über $\IN$ bzw. $\omega$ hinausgehen. Man nennt sie transfinite Rekursionen. Es kommt dabei noch der sogenannte Limesschritt für Limesordinalzahlen wie zum Beispiel $\omega$ hinzu, für den wir bereits oben ein Beispiel gesehen haben. Eine Ordinalzahl $\alpha$ ist immer zugleich eine Menge, nämlich die Menge ihrer Vorgänger: $\alpha = \{\beta : \beta < \alpha\}$. Zum Beispiel ist $\omega = \{n : n < \omega\} = \{0,1,2,\dotsc\}$ und $\omega+1 = \{0,1,2,\dotsc,\omega\}$. Die allgemeine rekursive Definition von $H^{\alpha}$ für Ordinalzahlen $\alpha$ lautet: Der Rekursionsanfang ist $H^0(S) := S$, der Nachfolgerschritt ist (hier nun für beliebige Ordinalzahlen $\alpha$) $H^{\alpha+1}(S) := H(H^{\alpha}(S)),$ und der Limesschritt für Limesordinalzahlen $\lambda$ ist $\displaystyle H^{\lambda}(S) := \bigcup_{\alpha < \lambda} H^{\alpha}(S).$ Es ist wieder leicht zu sehen, dass auch für jedes $H^{\alpha}$ die Eigenschaften (1),(2) gelten. Ich behaupte (und beweise es gleich), dass es für jede Teilmenge $S \in P(M)$ eine Ordinalzahl $\lambda$ gibt, sodass $H^{\lambda}(S)$ bezüglich $H$ abgeschlossen ist. Diese Ordinalzahl $\lambda$ hängt zwar zunächst von $S$ ab, aber indem wir das Supremum über alle $S$ bilden, finden wir tatsächlich eine Ordinalzahl, die für alle $S$ gleichzeitig funktioniert, also nur von $H$ abhängt. Ist nun $A$ eine abgeschlossene Menge mit $S \subseteq A$, so folgt per transfiniter Induktion ganz leicht $H^{\alpha}(S) \subseteq A$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$. Also ist $H^{\lambda}(S)$ tatsächlich der gesuchte Abschluss von $S$. Zum Beweis, dass es eine solche Ordinalzahl $\lambda$ mit $H(H^{\lambda}(S)) = H^{\lambda}(S)$ gibt: Wir betrachten dazu die Hartogs-Zahl $\alpha$ von $P(M)$. Dies ist eine Ordinalzahl mit der Eigenschaft, dass es keine injektive Abbildung $\alpha \to P(M)$ gibt. Insbesondere ist die Abbildung $\alpha \to P(M)$, $\beta \mapsto H^{\beta}(S)$ nicht injektiv. Es muss also zwei Ordinalzahlen $\lambda< \mu < \alpha$ geben mit $H^{\lambda}(S) = H^{\mu}(S)$. Hieraus folgt, wie gewünscht, $H^{\lambda}(S) = H^{\lambda+1}(S) = H(H^{\lambda}(S))$. Fassen wir unsere Überlegungen zusammen: Satz. Sei $H : P(M) \to P(M)$ ein Operator, der (1) und (2) erfüllt. Dann gibt es eine Ordinalzahl $\lambda$, sodass für den durch transfinite Rekursion definierten Operator $H^{\lambda}$ jeweils $H^{\lambda}(S)$ der Abschluss von $S$ bezüglich $H$ ist.

Mehr zur Ordinalzahl

Wir möchten jetzt noch Genaueres über die Ordinalzahl $\lambda$ erfahren. Zunächst einmal können wir wie zuvor feststellen, dass man jede (zum Beispiel die kleinste) Limesordinalzahl $\lambda$ nehmen kann, für die $H$ $\lambda$-indizierte aufsteigende Vereinigungen erhält (also von Mengenfamilien der Form $(S_{\alpha})_{\alpha < \lambda}$ mit $S_{\alpha} \subseteq S_{\beta}$ für $\alpha < \beta < \lambda$). Dann gilt nämlich $\displaystyle H(H^{\lambda}(S)) = H\bigl(\bigcup_{\alpha < \lambda} H^{\alpha}(S)\bigr) = \bigcup_{\alpha < \lambda} H(H^{\alpha}(S)) = \bigcup_{\alpha < \lambda} H^{\alpha+1}(S) = \bigcup_{\alpha < \lambda} H^{\alpha}(S) = H^{\lambda}(S).$ Beim vorletzten $=$ haben wir übrigens benutzt, dass $\lambda$ eine Limesordinalzahl ist. Nun fragt sich, wie sich die Bedingung prüfen lässt, wenn $H$ von einer Familie von (partiellen) Verknüpfungen $f_i : M^{N_i} \dashrightarrow M$ kommt (wobei nun $N_i$ beliebige endliche Mengen sind), also $H(S) = S \cup \bigcup_i f_i(S^{N_i} \cap \mathrm{dom}(f))$. Dann würde es reichen, dass $S \mapsto S^{N_i}$ jeweils $\lambda$-indizierte aufsteigende Vereinigungen erhält, also dass für die oben beschriebenen Familien $\bigcup_{\alpha < \lambda} (S_{\alpha})^{N_i} = \bigl(\bigcup_{\alpha < \lambda} S_{\alpha}\bigr)^{N_i}$ gilt. Dabei gilt $\subseteq$ sowieso. Die andere Inklusion würde wiederum daraus folgen, wenn (das Auswahlaxiom gilt und) jede Abbildung $N_i \to \lambda$ beschränkt ist: Denn wenn wir dann ein Element $x=(x(n))_{n \in N_i}$ in der rechten Seite wählen, finden wir eine Auswahlfunktion $\alpha : N_i \to \lambda$ mit $x(n) \in S_{\alpha(n)}$ für alle $n \in N_i$. Wenn diese beschränkt wäre, gäbe es ein $\beta < \lambda$ mit $\alpha(n) \leq \beta$ für alle $n$, sodass also $x(n) \in S_{\beta}$ für alle $n$, sprich $x \in (S_{\beta})^{N_i}$. Die Bedingung, dass jede Funktion $N_i \to \lambda$ beschränkt ist, lässt sich mit der Kofinalität von $\lambda$ und der Kardinalität von $N_i$ ausdrücken: Es muss $\mathrm{cf}(\lambda) > \mathrm{card}(N_i)$ gelten. Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen: Satz. Sei $\lambda$ eine Limesordinalzahl und $(f_i : M^{N_i} \dashrightarrow M)$ eine Familie von (partiellen) Verknüpfungen auf $M$ mit $\mathrm{cf}(\lambda) > \mathrm{card}(N_i)$ für alle $i$. Für alle $S \subseteq M$ ist dann $H^{\lambda}(S)$ der Abschluss von $S$ unter den Verknüpfungen. Wenn die Mengen $N_i$ höchstens abzählbar sind, muss also $\mathrm{cf}(\lambda)$ überabzählbar sein. Die kleinste Ordinalzahl mit dieser Eigenschaft ist $\lambda = \omega_1$, die kleinste überabzählbare Ordinalzahl (nicht zu verwechseln mit $\aleph_1$, der kleinsten überabzählbaren Kardinalzahl). Sie ist sogar regulär, d.h. es gilt $\mathrm{cf}(\omega_1) = \omega_1$. Auch wenn $\omega_1$ im Vergleich zu anderen in der Mengenlehre betrachteten Ordinal- und Kardinalzahlen winzig ist, ist $\omega_1$ trotzdem sehr groß. Wenn man zum Beispiel Ordinalzahlarithmetik benutzt und aus $\omega$ eine größere Ordinalzahl konstruiert wie zum Beispiel $\omega^{\omega^3 + 5} + \omega^5 \cdot 5 + 2$, ist diese immer noch abzählbar und damit (weitaus) kleiner als $\omega_1$. Auch die Ordinalzahl (siehe hier) $\varepsilon_0 := \omega^{\omega^{\omega^{\large \cdots}}}$ ist abzählbar. Man muss also sagen, dass die transfinite Rekursion bereits für $H^{\omega_1}$ "sehr lange" geht.

Erzeugte $\sigma$-Algebren

Sei $X$ eine Menge. Wir betrachten dann auf der Menge $P(X)$ die Verknüpfungen $\emptyset : P(X)^0 \to P(X)$, $(~)^c : P(X)^1 \to P(X),\, A \mapsto X \setminus A$ und $\displaystyle \cup : P(X)^{\IN} \to P(X),\, (A_n)_{n \in \IN} \mapsto \bigcup_{n \in \IN} A_n.$ Die unter diesen Verknüpfungen abgeschlossenen Mengen sind als $\sigma$-Algebren auf $X$ bekannt. Insbesondere bilden sie ein Moore-System. Dass $\sigma$-Algebren unter beliebigen Durchschnitten stabil sind, kann man zwar auch direkt nachrechnen, aber unser Theorie nimmt uns das hier ab. Unsere Theorie zeigt auch, wie man die von einem Mengensystem $S \in P(P(X))$ erzeugte $\sigma$-Algebra, üblicherweise mit $\sigma(S)$ notiert, rekursiv konstruieren kann: Wir definieren den Operator $H : P(P(X)) \to P(P(X))$ durch $H(S) := \{\emptyset\} \cup S \cup \{X \setminus A : A \in S\} \cup \{\bigcup_{n \in \IN} A_n : (A_n)_{n \in \IN} \in S^{\IN}\}.$ Aus dem vorigen Satz folgt $H^{\omega_1}(S) = \sigma(S).$ Zum Beispiel liegen in $H^2(S)$, neben den Mengen in $H(S)$, alle Mengen der Form $\bigcap_{n \in \IN} A_n$ mit $X \setminus A_n \in S$, sowie $\bigcup_{n \in \IN} A_n$ mit $A_n \in S$ oder $X \setminus A_n \in S$. Leider gibt es anscheinend keine schöne Beschreibung von $H^{\alpha}(S)$ für abzählbare Ordinalzahlen $\alpha$, die ja alle in der Vereinigung $H^{\omega_1}(S)$ dann eingehen. Ein wichtiges Beispiel ist das System $S$ der offenen Teilmengen eines topologischen Raumes $X$, wofür die erzeugte $\sigma$-Algebra als Borel-Algebra $\mathcal{B}(X)$ bekannt ist. Hier muss man auf die offenen Mengen "immer und immer wieder, transfinit oft" die Operationen von Komplementen und abzählbaren Vereinigungen anwenden, um alle Borelmengen zu erhalten. Hierbei sind i. A. $\omega_1$-viele Schritte nötig (im verlinkten Wikipedia-Artikel wird dies seltsamerweise nur geschrieben, wenn $X$ ein metrischer Raum ist). Eine ähnliche Beschreibung gibt es unter dem Stichwort Borel-Hierarchie. Dass eine (im üblichen Sinne) konkrete Beschreibung der Borel-Algebra aussichtslos ist, erkennt man schon daran, dass es tatsächlich von der verwendeten Mengenlehre abhängt, ob zum Beispiel die Borel-Algebra $\mathcal{B}(\IR)$ einfach $P(\IR)$ ist oder nicht. Tatsächlich ist es konsistent mit ZF (aber nicht mit ZFC), dass $\IR$ eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist (Thomas Jech, Axiom of Choice, p. 142), in welchem Fall ja $\mathcal{B}(\IR) = P(\IR)$ wäre. Was einem daher oftmals nur übrig bleibt, ist die abstrakte Definition der erzeugten $\sigma$-Algebra anzuwenden. In einfachen Beispielen (zum Beispiel $S = \{\text{endliche Teilmengen von } X\}$) kann man zudem eine $\sigma$-Algebra "erraten" (notfalls unter der Berechnung von einigen $H^n(S)$) und zeigen, dass sie tatsächlich diese Definition von $\sigma(S)$ erfüllt.

Andere Mengensysteme

Für ähnliche Typen von Mengensystemen auf einer Menge $X$ wie zum Beispiel Dynkin-Systeme, monotone Klassen und $\sigma$-Ringe gelten ganz ähnliche Bemerkungen. Beachte, dass man es bei Dynkin-Systemen mit der partiell definierten $\IN$-stelligen Verknüpfung $(A_0,A_1,\dotsc) \mapsto A_0 \cup A_1 \cup \cdots$ zu tun hat; die $A_n$ müssen hier paarweise disjunkt sein. Die transfinite Rekursion für das Erzeugnis endet auch hier bei $\omega_1$. Die abstrakte Definition der Erzeugnisses reicht aber trotzdem in vielen Situationen völlig aus, zum Beispiel um den Dynkinschen $\pi$-$\lambda$-Satz zu beweisen, der wiederum für die Eindeutigkeit des Lebesgue-Maßes verantwortlich ist.

Ausblick

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass man Hüllenoperatoren $H : P \to P$ für beliebige partielle Ordnungen $P$ betrachten kann. Wenn $P$ vollständig ist, funktioniert zudem die vorgestellte transfinite Konstruktion. Das Konzept lässt sich noch weiter mit Monaden auf Kategorien verallgemeinern. Für lokal präsentierbare Kategorien kann man auch die transfinite Konstruktion imitieren, wenn man von einem wohlpunktierten zugänglichen Endofunktor ausgeht (siehe hier). Damit kann man tatsächlich sehr viele Konstruktionen von universellen/freien Objekten vereinheitlichen, welche sozusagen "Erzeugnisse ohne Relationen" sind. Hierbei muss man sich allerdings von partiell definierten Verknüpfungen verabschieden, zum Beispiel gibt es keine freien Körper (zumindest in der Mathematik).