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| "Mathematik: Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen" | 4 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Hallo,
wir solten Slash und seinen Mitstreitern mal eine Straße schenken, damit sie mit Mustern parkettiert wird...
Bei den Mustern bin ich immer etwas skeptisch - zu leicht irrt man sich mit einer optischen Illusion.
Viele Grüße
Ronald\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Slash!
Vielen Dank für den interessanten Artikel!
Ich habe eine Frage zu der Parkettierung mit Drachen und Pfeilen, wie Du sie in Abb.19 zeigst. Neu ist mir dabei die Idee, sie mit roten und grünen Bögen zu versehen, die dann beim Aneinanderlegen immer exakt zusammenpassen.
Mit denen grünen Kacheln kann man sogar Kreise legen, was ja hier bereits gezeigt wird. Wegen den Winkeln geht das mit den roten nicht.
Aber es gelten folgende Gesetze:
1.) Entweder eine Linie ist geschlossen, führt also irgendwann in sich zurück oder sie ist unendlich lang, weil sie nicht innerhalb der Parkettierung einfach aufhören kann.
2.) Die Linien überschneiden sich nicht.
3.) Also müssen alle Linien innerhalb eines Bereichs, der durch eine geschlossene Linie umfaßt sind, ebenfalls geschlossen sein.
4.) Wenn es eine nicht geschlossene Linie geben sollte, die dann die Parketierung quasi in zwei Hälften teilte, wäre dann die Regel, daß sich jeder endliche Ausschnitt unendlich oft in einem solchen Parkett wiederfindet davon betroffen?
Viele Grüße von Bernhard\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Bernhard,
vielen Dank für deine interessante Frage und Beobachtungen.
Die angesprochene Dekoration mit den Kreisbögen in Abb. 19 liefert bei korrekter Anwendung der P2-Substitutionsregeln "nicht" ausschließlich
geschlossene Kurven (s. u. Conway), Überschneidungen sind aber nicht möglich. Die einzigen Kreise, die dabei auftreten können, sind die in
Abb. 19 gezeigten (obere Reihe in grün). Dass gleichfarbige Kreisbögen beim Zusammensetzen "passen" müssen, ist nichts anderes als eine
"optische" Variante der Substitutionsregeln.
Die Kurvenmuster repräsentieren genau dieselben Muster, wie sie auch die P2-Kacheln selbst bilden. Das bedeutet, dass man auch mit
undekorierten Kacheln diese Kurvenmuster nachvollziehen kann, ...etwas stilisiert natürlich. Hier ein Ausschnitt, in dem sich das gut
erkennen lässt. Achtung: grün und rot sind in dem Bild vertauscht, also umgekehrt wie in Abb. 19.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_penrose_abb_19.jpg
Deinen Punkt 4 kann ich dir leider nicht zufriedenstellend beantworten. Ob in einem solchen Fall "die Regel, dass sich jeder endliche Ausschnitt
unendlich oft in einem solchen Parkett wiederfindet, davon betroffen wäre", weiß ich nicht.
John H. Conway hat aber gezeigt, dass höchstens zwei Kurven jeder Farbe nicht geschlossen sind, und dass das Feld der Kacheln innerhalb der
geschlossenen Kurven immer eine fünfzählige Rotationssymmetrie besitzt bzw. zur Symmetriegruppe D5 gehört.
EDIT: Wenn ich jetzt nicht komplett auf dem Schlauch stehe, dann lassen die Substitutionsregeln ja nur genau "eine einzige" unendliche
Parkettierung zu. In dieser gepflasterten Ebene existiert dann "mindestens ein" Punkt, von dem aus sich das Parkett perfekt 5-zählig
rotationssymmetrisch entwickelt. Mindestens eine nicht geschlossene Kurve aus den dekorierten Kreisbögen hätte zur Folge, dass es nur endlich
viele geschlossene Kurven um das Zentrum gäbe. Das dürfte aber eigentlich nicht sein. ...ein Beweis ist das natürlich nicht 😉
Viele Grüße!
Slash\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Bernhard ...und alle Interessierten!
Ich hatte dazu mal den Fachmann Dirk Frettlöh kontaktiert. Was ich im letzten EDIT schrieb, war teilweise falsch. Das gilt also wirklich nur für eine der unendlichen rotationssymmetrischen Parkette. Herr Frettlöh schreibt:
"Es gibt überabzahlbar unendlich viele verschiedene nicht-kongruente Penrosepflasterungen. Und darunter nur genau zwei (glaube ich), die wirklich als ganzes eine 5-zählige Drehsymmetrie haben.
Ich denke, eine nicht-geschlossene Kurve erhält man konstruktiv durch Ausnutzen der Inflationsregel: inflationiert man ein dickes Rhombus 2-mal, so liegt etwa in der Mitte wieder ein dicker Rhombus, also kann ich das iterieren (sodass in der Mitte immer ein dicker Rhombus liegt). Darin geht jeweils (mindestens) eine Kurve durch den zentralen Rhombus von Rand zu Rand. In der entstehenden Pflasterung geht dann mindestens eine Kurve nach beiden Richtungen ins Unendliche."
Gruß, Slash\(\endgroup\)
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