Die Lokalisierung eines geringten Raumes

1. Vorbemerkungen
2. Die Lokalisierung eines geringten Raumes
3. Anwendungen
4. Diers' Theorie
5. Etwas zum Hintergrund

Vorbemerkungen

Wir wiederholen in diesem Abschnitt ein paar Grundbegriffe, die man vor dem Lesen dieses Artikels schon einmal gehört haben sollte. Falls nicht, hier ein paar passende Matheplanet-Artikel dazu: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut / Was ist ein Schema? / Was ist ein Schema? - Teil 2 .

Grundlagen über lokalgeringte Räume

Ein geringter Raum $(X,\mathcal{O}_X)$ besteht aus einem topologischen Raum $X$ und einer Garbe $\mathcal{O}_X$ von (hier immer als kommutativ vorausgesetzten) Ringen auf $X$. Sie wird oft Strukturgarbe genannt. Ein Morphismus von geringten Räumen $(\varphi,\varphi^\#) : (X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ besteht aus einer stetigen Abbildung $\varphi : X \to Y$ und einem Homomorphismus von Garben $\varphi^\# : \mathcal{O}_Y \to \varphi_* \mathcal{O}_X$ auf $Y$. Wir erhalten die Kategorie der geringten Räume $\mathbf{RS}$. Die Unterkategorie $\mathbf{LRS}$ der lokalgeringten Räume ist so definiert: Ein geringter Raum $(X,\mathcal{O}_X)$ heißt lokalgeringt, wenn für alle $x \in X$ der Halm $\mathcal{O}_{X,x} := \mathrm{colim}_{x \in U \subseteq X \text{ offen}} \mathcal{O}_X(U)$ ein lokaler Ring ist. Sein maximales Ideal wird mit $\mathfrak{m}_x \subseteq \mathcal{O}_{X,x}$ bezeichnet. Das Bild eines Schnittes $f \in \mathcal{O}_X(U)$ im Halm $\mathcal{O}_{X,x}$ bezeichnen wir mit $f_x$ und nennen es den Keim von $f$ bei $x$. Ein Morphismus $(\varphi,\varphi^\#) : (X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ von lokalgeringten Räumen ist ein Morphismus geringter Räume mit der Eigenschaft, dass für alle $x \in X$ der induzierte Homomorphismus $\varphi^\#_x : \mathcal{O}_{Y,\varphi(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}$ ein lokaler Homomorphismus ist, das heißt $\varphi^\#_x(\mathfrak{m}_{\varphi(x)}) \subseteq \mathfrak{m}_x$. Äquivalent dazu ist $(\varphi^\#_x)^{-1}(\mathfrak{m}_x)=\mathfrak{m}_{\varphi(x)}$. Wenn $(X,\mathcal{O}_X)$ ein lokalgeringter Raum und $Y \subseteq X$ ein Teilraum ist (also einfach eine Teilmenge mit der Teilraumtopologie), so bezeichnen wir die Inklusion mit $i : Y \to X$ und erhalten einen lokalgeringten Raum $(Y,i^{-1} \mathcal{O}_X)$, wobei $i^{-1} : \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Sh}(Y)$ den zu $i_* : \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$ linksadjungierten Funktor bezeichnet. Tatsächlich ist $(i^{-1} \mathcal{O}_X)_y = \mathcal{O}_{X,i(y)}$ ein lokaler Ring. Die Morphismen lokalgeringter Räume $(T,\mathcal{O}_T) \to (Y,i^{-1} \mathcal{O}_X)$ entsprechen bijektiv den Morphismen lokalgeringter Räume $(\varphi,\varphi^\#) : (T,\mathcal{O}_T) \to (X,\mathcal{O}_X)$ mit der Eigenschaft, dass $\varphi(T) \subseteq Y$ als Mengen. Insbesondere erhalten wir für jede offene Teilmenge $U \subseteq X$ einen lokalgeringten Raum $(U,\mathcal{O}_U)$, wobei die Strukturgarbe ganz einfach durch $\mathcal{O}_U(V) = \mathcal{O}_X(V)$ für $V \subseteq U$ gegeben ist. Wir werden hier viel mit Halmen arbeiten und brauchen dafür: Lemma. Seien $(X,\mathcal{O}_X)$, $(Y,\mathcal{O}_Y)$ zwei geringte Räume, $\varphi : X \to Y$ eine stetige Abbildung. Ein Homomorphismus von Garben $\alpha : \mathcal{O}_Y \to \varphi_* \mathcal{O}_X$ entspricht 1:1 einer Familie von Homomorphismen $(\alpha_x : \mathcal{O}_{Y,\varphi(x)} \to \mathcal{O}_{X,x})_{x \in X}$ mit der folgenden Eigenschaft: Für alle offenen $V \subseteq Y$ und alle Schnitte $s \in \mathcal{O}_Y(V)$ gibt es eine offene Überdeckung $V = \bigcup_{i \in I} V_i$ und Schnitte $t_i \in \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V_i))$, sodass $(t_i)_x = \alpha_x(s_{\varphi(x)})$ für alle $x \in \varphi^{-1}(V_i)$ und $i \in I$. Beweis. Dass jeder Homomorphismus von Garben eine solche Familie induziert, ist klar. Sei umgekehrt eine Familie $(\alpha_x : \mathcal{O}_{Y,\varphi(x)} \to \mathcal{O}_{X,x})_{x \in X}$ mit der Eigenschaft gegeben. Für $s \in \mathcal{O}_Y(V)$ wähle $V = \bigcup_{i \in I} V_i$ und $t_i \in \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V_i))$ wie oben. Auf den Durchschnitten $\varphi^{-1}(V_i) \cap \varphi^{-1}(V_j)$ stimmen $t_i$ und $t_j$ überein, weil das auf den Halmen der Fall ist, sodass die $t_i$ zu einem Schnitt $t \in \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V))$ verkleben. Wählt man eine andere offene Überdeckung $V=\bigcup_j V'_j$ und andere Schnitte $t'_j \in \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V'_j))$, so sieht man durch Betrachtung der Halme auf $\varphi^{-1}(V_i \cap V'_j)$, dass $t$ nicht von den Wahlen abhängt. Wir erhalten damit einen wohldefinierten Ringhomomorphismus $\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(V))$. Die Natürlichkeit in $V$ lässt sich halmweise testen. $\checkmark$ Schließlich bemerken wir, dass für einen geringten Raum $(X,\mathcal{O}_X)$ und einen Schnitt $f \in \mathcal{O}_X(X)$ die Menge $X_f := \{x \in X : f_x \in \mathcal{O}_{X,x}^{\times}\} = \{x \in X : f|_U \in \mathcal{O}_X(U)^{\times} \text{ für eine offene Menge } x \in U \subseteq X\}$ eine offene Teilmenge von $X$ ist, nämlich die größte offene Teilmenge $U \subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass $f|_U \in \mathcal{O}_X(U)^{\times}$. Insbesondere induziert die universelle Eigenschaft der Lokalisierung von Ringen einen natürlichen Homomorphismus $\mathcal{O}_X(X)[f^{-1}] \to \mathcal{O}_X(X_f).$

Grundlagen über affine Schemata

Ein wichtiges Beispiel für einen lokalgeringten Raum ist das Spektrum $\mathrm{Spec}(R)$ eines kommutativen Ringes $R$. Wir wiederholen die Konstruktion hier (auch wenn es nicht unbedingt nötig ist), weil sich die Bestandteile gleich wiederfinden lassen. Die Punkte von $\mathrm{Spec}(R)$ sind die Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$. Die Mengen $D(f) := \{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) : f \notin \mathfrak{p}\}$ für $f \in R$ erfüllen $D(1)=\mathrm{Spec}(R)$ und $D(f) \cap D(g) = D(f \cdot g)$, bilden daher die Basis einer Topologie auf $\mathrm{Spec}(R)$. Die Strukturgarbe $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)}$ auf $\mathrm{Spec}(R)$ lässt sich definieren durch (es gibt hier noch viele andere, äquivalente Konstruktionen) $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)}(U) = \{s \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} R_{\mathfrak{p}} : s \text{ ist lokal konsistent}\}$ für offene Teilmengen $U \subseteq \mathrm{Spec}(R)$, wobei eine Familie $s \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} R_{\mathfrak{p}}$ lokal konsistent heißt, wenn es für alle $\mathfrak{p} \in U$ eine basis-offene Menge $\mathfrak{p} \in D(f) \subseteq U$ und ein Element $g \in R[f^{-1}]$ gibt, sodass für alle $\mathfrak{q} \in D(f)$ gilt: $s_{\mathfrak{q}} \in R_{\mathfrak{q}}$ ist das Bild von $g$ unter $R[g^{-1}] \to R_{\mathfrak{q}}$. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus $R[f^{-1}] \to \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)}(D(f)),$ von dem man zeigen kann, dass er ein Isomorphismus ist (das ist nicht trivial, aber wir brauchen es hier auch nicht). Für die Halme gilt $\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R),\mathfrak{p}} \cong R_{\mathfrak{p}}$. Das ist jeweils ein lokaler Ring, sodass also $\mathrm{Spec}(R)$ ein lokalgeringter Raum ist. Das Spektrum definiert einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der kommutativen Ringe in die Kategorie der lokalgeringten Räume: $\mathrm{Spec} : \mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{LRS}$ Er ist rechtsadjungiert zum "Globale-Schnitte"-Funktor $\Gamma : \mathbf{LRS} \to \mathbf{CRing}^{\mathrm{op}},\quad X \mapsto \mathcal{O}_X(X),$ was wir hier nur bemerken und nicht als bekannt voraussetzen müssen, weil es sich tatsächlich aus einer Adjunktion weiter unten ergibt. Weil die Koeinheit $\Gamma \circ \mathrm{Spec} \to \mathrm{id}_{\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}}$ ein Isomorphismus ist, ist $\mathrm{Spec}$ volltreu. Lokalgeringte Räume, die zu $\mathrm{Spec}(R)$ für einen kommutativen Ring $R$ isomorph sind, heißen affine Schemata. Ein Schema ist ein lokalgeringter Raum, der eine offene Überdeckung durch affine Schemata besitzt. Die Kategorie der Schemata $\mathbf{Sch}$ wird als volle Unterkategorie von $\mathbf{LRS}$ erklärt.

Die Lokalisierung eines geringten Raumes

Überblick

Sei $\mathcal{X}=(X,\mathcal{O}_X)$ ein geringter Raum. Wir möchten einen lokalgeringten Raum $\mathrm{Loc}(\mathcal{X})$ konstruieren zusammen mit einem universellen Morphismus geringter Räume $\mathrm{Loc}(\mathcal{X}) \to \mathcal{X}$. Das heißt, $\mathrm{Loc} : \mathbf{RS} \to \mathbf{LRS}$ soll ein Funktor von der Kategorie der geringten Räume in die Kategorie der lokalgeringten Räume werden, der rechtsadjungiert zum Inklusionsfunktor $I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ ist. Die oben wiederholte Konstruktion des Spektrum eines kommutativen Ringes $R$ wird der Spezialfall des geringten Raumes $(\{\star\},R)$ sein, der nur einen Punkt besitzt, wobei wir mit $R$ hier auch die Garbe mit $\emptyset \mapsto 0$, $\{\star\} \mapsto R$ bezeichnen. Bemerkenswert ist hier, dass es keine entsprechende Konstruktion im rein algebraischen Setting gibt: Der Inklusionsfunktor $\mathbf{LCRing} \hookrightarrow \mathbf{CRing}$ von der Kategorie der lokalen kommutativen Ringe in die Kategorie der kommutativen Ringe hat nämlich keinen linksadjungierten Funktor. Der Inklusionsfunktor $I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ kann übrigens keinen linksadjungierten Funktor besitzen, weil er keine Limites erhält: $\mathrm{Spec}(\IZ)$ ist das finale Objekt von $\mathbf{LRS}$ (weil $\IZ$ das initiale Objekt von $\mathbf{CRing}$ ist), aber das finale Objekt von $\mathbf{RS}$ ist $(\{\star\},\IZ)$.

Konstruktion der Lokalisierung

Die Konstruktion der Lokalisierung eines geringten Raumes $\mathcal{X}$ ist eine "topologische Ausdehnung" der Konstruktion des Spektrum eines Ringes. Die zugrunde liegende Menge von $\mathrm{Loc}(\mathcal{X})$ sei $S := \{(x,\mathfrak{p}) : x \in X,\, \mathfrak{p} \subseteq \mathcal{O}_{X,x} \text{ Primideal}\} = \coprod_{x \in X} \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{X,x}).$ Die Idee ist also, dass wir an jedem Punkt von $X$ sämtliche Primideale des zugehörigen Halmes "anheften". Auf $S$ erklären wir folgendermaßen eine Topologie: Für eine offene Menge $U \subseteq X$ und einen Schnitt $f \in \mathcal{O}_X(U)$ sei $D(U,f) := \{(x,\mathfrak{p}) \in S : x \in U,\, f_x \notin \mathfrak{p}\}.$ Man erkennt leicht $D(X,1)=S$ und $D(U,f) \cap D(U',f') = D(U \cap U', f|_{U \cap U'} \cdot f'|_{U \cap U'})$. Daher bilden die Mengen $D(U,f)$ die Basis einer Topologie auf $S$. Diesen topologischen Raum bezeichnen wir nun ebenfalls als $S$. Die Garbe $\mathcal{O}_S$ würden wir nun gerne so erklären, dass $\mathcal{O}_S(D(U,f)) = \mathcal{O}_X(U)[f^{-1}]$ gilt. Das ist allerdings etwas optimistisch. Zumindest werden wir sicherstellen, dass es natürliche Homomorphismen $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \to \mathcal{O}_S(D(U,f))$ gibt, und außerdem die Halme (welche ja lokale Ringe sein sollen) durch die Lokalisierungen $\mathcal{O}_{S,(x,\mathfrak{p})}=(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$ gegeben sind. Die Schnitte $s \in \mathcal{O}_S(V)$ für $V \subseteq S$ definieren wir daher als Familien $s \in \prod_{(x,\mathfrak{p}) \in V} (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}},$ welche im folgenden Sinne "lokal konsistent" sind: Für alle $(x,\mathfrak{p}) \in V$ soll es eine offene Umgebung $(x,\mathfrak{p}) \in V' \subseteq V$ und eine basis-offene Menge $D(U,f)$ mit einem Element $g \in \mathcal{O}_X(U)[f^{-1}]$ geben, sodass für alle $(y,\mathfrak{q}) \in V' \cap D(U,f)$ gilt: $s_{y,\mathfrak{q}}$ ist das Bild von $g$ unter dem natürlichen Homomorphismus $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \to (\mathcal{O}_{X,y})_{\mathfrak{q}}$ (den es gibt wegen $f_y \notin \mathfrak{q}$, sodass also das Bild von $f_y$ in der Lokalisierung nach $\mathfrak{q}$ invertierbar ist). Das Bild von $g$ bezeichnen wir auch mit $g_{y,\mathfrak{q}}$. Die Bedingung ist also $ s_{y,\mathfrak{q}}=g_{y,\mathfrak{q}}$. Wir definieren also $\mathcal{O}_S(V)$ als die Menge der lokal konsistenten Familien in $\prod_{(x,\mathfrak{p}) \in V} (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$, und die evidenten Einschränkungen $\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_S(W)$ für $W \subseteq V$ sind wohldefiniert. Dann ist $\mathcal{O}_S$ eine Garbe von kommutativen Ringen, weil nämlich $V \mapsto \prod_{(x,\mathfrak{p}) \in V} (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$ eine Garbe definiert, und die Bedingung der lokalen Konsistenz eben eine lokale Forderung ist. Man kann sich übrigens leicht überlegen, dass eine Familie $s \in \prod_{(x,\mathfrak{p}) \in V} (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$ genau dann lokal konsistent ist, wenn jeder Punkt eine basis-offene Umgebung $(x,\mathfrak{p}) \in D(U,f) \subseteq V$ besitzt, auf der die Einträge von $s$ durch ein Element in $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}]$ induziert werden. So könnte man die Strukturgarbe also auch definieren, allerdings müsste man dann erst einmal prüfen, dass die Restriktionen wohldefiniert sind. Die obige Definition eignet sich dafür besser. Für eine basis-offene Menge $D(U,f) \subseteq S$ gibt es nach Konstruktion einen natürlichen Homomorphismus $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \to \mathcal{O}_S(D(U,f)),\quad g \mapsto (g_{x,\mathfrak{p}})_{(x,\mathfrak{p}) \in D(U,f)}.$ Dass das Bild von $g$ hier wirklich eine lokal konsistente Familie ist, wird einfach in jedem Punkt von $g$ bezeugt.

Berechnung der Halme

Es gibt nach Konstruktion für jeden Punkt $(x,\mathfrak{p}) \in S$ einen natürlichen Homomorphismus $\vartheta : \mathcal{O}_{S,(x,\mathfrak{p})} \to (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}},\quad [s] \mapsto s_{x,\mathfrak{p}},$ welcher den Keim einer in einer Umgebung von $(x,\mathfrak{p})$ definierten lokal konsistente Familie einfach bei $(x,\mathfrak{p})$ auswertet. Tatsächlich ist $\vartheta$ ein Isomorphismus: 1) $\vartheta$ ist injektiv: Sei $s$ eine in einer Umgebung von $(x,\mathfrak{p})$ definierte lokal konsistente Familie mit $s_{x,\mathfrak{p}}=0$. Wir müssen zeigen, dass $s$ bereits in einer offenen Umgebung von $(x,\mathfrak{p})$ verschwindet (weil das bedeutet, dass der Keim von $s$ verschwindet). Wähle eine offene Umgebung $V'$ von $(x,\mathfrak{p})$ und eine basis-offene Menge $D(U,f)$, sodass $s$ auf dem Schnitt $V' \cap D(U,f)$ von einem Element $g \in \mathcal{O}_X(U)[f^{-1}]$ dargestellt wird. Insbesondere gilt $g_{x,\mathfrak{p}}=0$. Schreiben wir $g = h/f^k$ für ein $h \in \mathcal{O}_X(U)$ und ein $k \in \IN$, dann ist also $h_x \in \ker(\mathcal{O}_{X,x} \to (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}})$. Es wird also $h_x$ von einem Element in $\mathcal{O}_{X,x} \setminus \mathfrak{p}$ annulliert. Es gibt daher eine offene Umgebung $x \in V \subseteq U$ und einen Schnitt $t \in \mathcal{O}_X(V)$ mit $t_x \notin \mathfrak{p}$ und $h|_V \cdot t = 0$. Das Bild von $g=h/f^k$ unter $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \to \mathcal{O}_X(V)[(f|_V \cdot t)^{-1}]$ verschwindet also. Daher verschwindet $s$ auf der offenen Umgebung $V' \cap D(V,f|_V \cdot t)$. 2) $\vartheta$ ist surjektiv: Jedes Element von $(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$ ist offensichtlich das Bild von einem Element $g \in \mathcal{O}_X(U)[f^{-1}]$ mit einer basis-offenen Umgebung $(x,\mathfrak{p}) \in D(U,f)$. Der Keim des Bildes von $g$ in $\mathcal{O}_S(D(U,f))$ ist das gesuchte Urbild. Unsere Berechnung der Halme zeigt, dass $\mathcal{S} := (S,\mathcal{O}_S)$ ein lokalgeringter Raum ist. Wir bezeichnen ihn auch mit $\mathrm{Loc}(\mathcal{X})$.

Beispiel

Wenn $\mathcal{X}$ bzw. $X$ genau einen Punkt hat, ist die Lokalisierung von $\mathcal{X}$ das Spektrum des Ringes $\mathcal{O}_X(X)$. Wenn $\mathcal{X}$ genau zwei Punkte hat, gibt es drei Möglichkeiten für die Topologie: 1) Die diskrete Topologie. Das führt zu einem Koprodukt von zwei Spektren von Ringen. 2) Die indiskrete Topologie. Das Ergebnis ist nicht besonders spannend, deswegen sage ich nichts dazu. 3) Die Sierpinski-Topologie: Hier ist o.B.d.A. $X = \{0,1\}$ mit den offenen Teilmengen $\emptyset,\{1\},\{0,1\}$. Der Garbenanteil besteht in zwei kommutativen Ringen $R := \mathcal{O}_X(X) = \mathcal{O}_{X,0}$ und $S := \mathcal{O}_X(\{1\}) = \mathcal{O}_{X,1}$ sowie einem Restriktionshomomorphismus $\varphi : R \to S$. (Die Kategorie der geringten Räume mit dieser Sierpinski-Topologie ist isomorph zu $\mathbf{Mor}(\mathbf{CRing})$.) Wie sieht die Lokalisierung hier aus? Als Menge haben wir $\mathrm{Spec}(R) \sqcup \mathrm{Spec}(S)$. Eine Basis der Topologie ist gegeben durch die Mengen $D(\{0,1\},r) = D(r) \sqcup D(\varphi(r))$ mit $r \in R$ und durch die Mengen $D(\{1\},s) = \emptyset \sqcup D(s) = D(s)$ mit $s \in S$. Wir sehen also, dass $\mathrm{Spec}(S)$ zwar offen in $\mathrm{Loc}(\mathcal{X})$ ist, aber $\mathrm{Spec}(R)$ nicht unbedingt. Die Halme der Strukturgarbe sind die jeweiligen Lokalisierungen von $R$ bzw. $S$, insbesondere tatsächlich lokale Ringe. Eine Familie von Schnitten $r_\mathfrak{p} \in R_{\mathfrak{p}}$, $s_\mathfrak{q} \in S_{\mathfrak{q}}$ ist genau dann lokal konsistent und gehört damit zur Strukturgarbe, wenn 1) es für alle $\mathfrak{p}$ ein $f \in R$ und ein $b \in R[f^{-1}]$ gibt, sodass die $r_{\mathfrak{p}'}$ in einer Umgebung von $b$ induziert sind und die $s_{\mathfrak{q}'}$ in einer Umgebung von $\varphi(b) \in S[\varphi(f)^{-1}]$ induziert sind, 2) es für alle $\mathfrak{q}$ ein $g \in S$ und ein $c \in S[g^{-1}]$ gibt, welches die $s_{\mathfrak{q}'}$ in einer Umgebung induziert. Daraus kann man ableiten, dass für eine basis-offene Menge der Form $D(s)$ gerade $\mathcal{O}_{\mathrm{Loc}(\mathcal{X})}(D(s)) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(S)}(D(s)) = S[s^{-1}]$ gilt. Für eine basis-offene Menge der Form $D(r) \sqcup D(\varphi(r))$ gilt außerdem $\mathcal{O}_{\mathrm{Loc}(\mathcal{X})}(D(r) \sqcup D(\varphi(r))) = \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)}(D(r)) = R[r^{-1}],$ weil hier die "$S$-Anteile" vollständig durch die "$R$-Anteile" bestimmt sind. Der zur Inklusion $D(\varphi(r)) \subseteq D(r) \sqcup D(\varphi(r))$ gehörige Restriktionshomomorphismus ist der von $\varphi$ induzierte Homomorphismus $R[r^{-1}] \to S[\varphi(r)^{-1}]$. Damit ist die Lokalisierung vollständig beschrieben.

Universelle Eigenschaft der Lokalisierung

Zurück zum allgemeinen Fall. Es gibt eine stetige Abbildung $\varepsilon : S \to X$, $(x,\mathfrak{p}) \mapsto x$. Die Stetigkeit folgt aus $\varepsilon^{-1}(U) = D(U,1)$. Die natürlichen Homomorphismen $\mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_S(D(U,1))$ für offene $U \subseteq X$ definieren einen Homomorphismus von Garben $\varepsilon^\# : \mathcal{O}_X \to \varepsilon_* \mathcal{O}_S$. Also ist $(\varepsilon,\varepsilon^\#) : \mathcal{S} \to \mathcal{X}$ ein Morphismus geringter Räume, von dem wir nun zeigen, dass er universell ist: Dazu sei $\mathcal{T} = (T,\mathcal{O}_T)$ ein lokalgeringter Raum zusammen mit einem Morphismus geringter Räume $(\varphi,\varphi^\#) : \mathcal{T} \to \mathcal{X}$. Zu zeigen ist, dass es genau einen Morphismus lokalgeringter Räume $(\psi,\psi^\#) : \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ gibt mit $(\varepsilon,\varepsilon^\#) \circ (\psi,\psi^\#) = (\varphi,\varphi^\#)$. Diese Gleichung bedeutet per Definition $\varepsilon \circ \psi = \varphi$ und $\varepsilon_* \psi^\# \circ \varepsilon^\# = \varphi^\#$. Zur Konstruktion von $\psi$: Für $t \in T$ haben wir den Homomorphismus $\varphi^\#_t : \mathcal{O}_{X,\varphi(t)} \to \mathcal{O}_{T,t}$, wobei $\mathcal{O}_{T,t}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak{m}_t$ ist. Wir können also das Urbild $(\varphi^\#_t)^{-1}(\mathfrak{m}_t)$ betrachten, was ein Primideal im (nicht notwendig lokalen) Ring $\mathcal{O}_{X,\varphi(t)}$ ist. Daher ist $\psi(t) := (\varphi(t),(\varphi^\#_t)^{-1}(\mathfrak{m}_t))$ ein Element von $S$. Die Abbildung $\psi : T \to S$ ist stetig, denn für eine basis-offene Menge $D(U,f) \subseteq S$ sieht man leicht $\psi^{-1}(D(U,f)) = \varphi^{-1}(U)_{\varphi^\#(f)},$ was offen ist. Die Gleichung $\varepsilon \circ \psi = \varphi$ ist klar. Zur Konstruktion von $\psi^\#$: Für $t \in T$ induziert induziert $\varphi^\#_t$ nach Konstruktion einen lokalen Homomorphismus $\mathcal{O}_{S,\psi(t)} \cong (\mathcal{O}_{X,\varphi(t)})_{(\varphi^\#_t)^{-1}(\mathfrak{m}_t)} \to \mathcal{O}_{T,t},$ welcher $\psi^\#_t$ sein wird. Zur Definition von $\psi^\# : \mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_T(\psi^{-1}(V))$ für offene $V \subseteq S$ reicht es wegen des Lemmas im ersten Abschnitt den Spezialfall einer basis-offenen Menge $V=D(U,f)$ sowie Schnitte anzuschauen, die im Bild von $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \to \mathcal{O}_S(D(U,f))$ liegen. Nun haben wir aber einen Homomorphismus $\mathcal{O}_X(U)[f^{-1}] \xrightarrow{\phi^\#} \mathcal{O}_T(\varphi^{-1}(U))[\varphi^\#(f)^{-1}] \xrightarrow{\text{can.}} \mathcal{O}_T(\varphi^{-1}(U)_{\varphi^\#(f)}) = \mathcal{O}_T(\psi^{-1}(D(U,f))),$ sodass wir den gewünschten Schnitt erhalten, und auf den Halmen ist dies mit den $\varphi^\#_t$ natürlich kompatibel. Der Spezialfall $f=1$ dieser Konstruktion von $\psi^\#$ zeigt gerade $\varepsilon_* \psi^\# \circ \varepsilon^\# = \varphi^\#$. Es bleibt zu zeigen, dass ein Morphismus lokalgeringter Räume $(\psi,\psi^\#) : \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ eindeutig durch die beiden Bedingungen $\varepsilon \circ \psi = \varphi$ und $\varepsilon_* \psi^\# \circ \varepsilon^\# = \varphi^\#$ bestimmt ist. Sei dazu $t \in T$. Die erste Bedingung sagt uns $\psi(t) = (\varphi(t),\mathfrak{p}_t)$ für ein Primideal $\mathfrak{p}_t \subseteq \mathcal{O}_{X,\varphi(t)}$, und die zweite Bedingung $\varphi^\#_t = \psi^\#_t \circ \varepsilon^\#_{\psi(t)},$ wobei wir $\varepsilon^\#_{\psi(t)}$ mit der Lokalisierung $\mathcal{O}_{X,\varphi(t)} \to (\mathcal{O}_{X,\varphi(t)})_{\mathfrak{p}_x}$ identifizieren können, was ein Epimorphismus in $\mathbf{CRing}$ ist. Weil $\psi^\#_t$ lokal ist, folgt hieraus einerseits $\mathfrak{p}_x = (\varphi^\#_t)^{-1}(\mathfrak{m}_t)$, sodass also $\psi$ eindeutig ist, und andererseits, dass $\psi^\#_t$ eindeutig bestimmt ist, also auch $\psi^\#$, weil $t$ beliebig war. $\checkmark$

Funktorialität

Aus der universellen Eigenschaft der Lokalisierung folgt wie üblich die Funktorialität: Jeder Morphismus geringter Räume $\mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ induziert genau einen Morphismus lokalgeringter Räume $\mathrm{Loc}(\mathcal{X}) \to \mathrm{Loc}(\mathcal{Y})$ derart, dass das folgende Diagramm kommutiert. $\require{AMScd} \begin{CD} \mathrm{Loc}(\mathcal{X}) @>>>\mathrm{Loc}(\mathcal{Y}) \\ @VVV @VVV \\ \mathcal{X} @>>> \mathcal{Y} \end{CD}$

Ein Spezialfall

Es gibt einen volltreuen Funktor $\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{RS}$, der einen kommutativen Ring $R$ auf den geringten Raum $(\{\star\},R)$ abbildet. Dieser Funktor ist offenbar rechtsadjungiert zum "Globale-Schnitte"-Funktor $\Gamma : \mathbf{RS} \to \mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}$. Der Funktor $\mathrm{Loc} : \mathbf{RS} \to \mathbf{LRS}$ ist rechtsadjungiert zum Inklusionsfunktor $I$. Die Komposition $\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{RS} \to \mathbf{LRS}$ wird mit $\mathrm{Spec}$ bezeichnet und ist folglich (weil Adjunktionen mit Kompositionen verträglich sind) rechtsadjungiert zum Funktor $\Gamma \circ I : \mathbf{LRS} \to \mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}$.

Primideale als Parameter

Sei $\mathcal{X} = (X,\mathcal{O}_X)$ ein geringter Raum. Wir können die obige Konstruktion der Lokalisierung abwandeln, indem wir eine Familie $P = (P_x)_{x \in X}$ von Mengen $P_x$ vorgeben, die jeweils aus Primidealen von $\mathcal{O}_{X,x}$ bestehen. Wir definieren dann $S_P \subseteq S$ als die Teilmenge der Punkte $(x,\mathfrak{p}) \in S$, für die $\mathfrak{p} \in P_x$ gilt, und versehen $S_P$ mit der Teilraumtopologie. Wir können nun (wie im ersten Abschnitt erklärt) die Strukturgarbe von $S$ auf $S_P$ einschränken und erhalten damit einen lokalgeringten Raum $\mathcal{S}_P$ mit der folgenden universellen Eigenschaft: Ist $\mathcal{T}$ ein lokalgeringter Raum, so gibt es eine natürliche Bijektion zwischen den Morphismen $\mathcal{T} \to \mathcal{S}_P$ und den Morphismen geringter Räume $(f,f^\#) : \mathcal{T} \to \mathcal{X}$ derart, dass für jeden Punkt $t \in T$ gilt: Das Urbild des maximalen Ideals von $\mathcal{O}_{T,t}$ unter $f^\#_t : \mathcal{O}_{X,f(t)} \to \mathcal{O}_{T,t}$ gehört zu $P_{f(t)}$. Wir sagen auch kurz: Das maximale Ideal in jedem Halm von $\mathcal{T}$ wird zu einem erlaubten Primideal im entsprechenden Halm von $\mathcal{X}$ zurückgezogen. Wir schreiben $\mathrm{Loc}(\mathcal{X},P)$ für $\mathcal{S}_P$.

Anwendungen

Lokalisierung von Morphismen

Sei $\mathcal{X}$ lokalgeringter Raum. Dann hat auch der Vergissfunktor $\mathbf{LRS} / \mathcal{X} \to \mathbf{RS} / \mathcal{X}$ (präziser: der von $I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ induzierte Funktor $\mathbf{LRS} / \mathcal{X} \to \mathbf{RS} / I(\mathcal{X}))$) einen rechtsadjungierten Funktor: Für einen Morphismus geringter Räume $(\varphi,\varphi^\#) : \mathcal{Y} = (Y,\mathcal{O}_Y) \to \mathcal{X}$ und $y \in Y$ setzen wir dafür $P_y = \{\mathfrak{p} \subseteq \mathcal{O}_{Y,y} : \mathfrak{p} \text{ ist Primideal mit } (\varphi^\#_y)^{-1}(\mathfrak{p}) = \mathfrak{m}_{\varphi(y)}\}.$ Dann können wir den lokalgeringten Raum $\mathrm{Loc}(\mathcal{Y},P)$ bilden, welcher zusammen mit einem Morphismus geringter Räume $\mathrm{Loc}(\mathcal{Y},P) \to \mathcal{Y}$ kommt, der das maximale Ideal in jedem Halm von $\mathrm{Loc}(\mathcal{Y},P)$ zu einem erlaubten Primideal im entsprechenden Halm von $\mathcal{Y}$ zurückzieht, was per Definition bedeutet, dass das zurückgezogene Primideal im entsprechenden Halm von $\mathcal{X}$ das maximale Ideal ist. Mit anderen Worten, die Komposition $\mathrm{Loc}(\mathcal{Y},P) \to \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$ ist nach Konstruktion ein Morphismus lokalgeringter Räume. Ist umgekehrt $\mathcal{Z} \to \mathcal{X}$ ein Morphismus lokalgeringter Räume, so entsprechen die Morphismen lokalgeringter Räume $\mathcal{Z} \to \mathrm{Loc}(\mathcal{Y},P)$ über $\mathcal{X}$ bijektiv den Morphismen geringter Räume $\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}$ über $\mathcal{X}$ mit der Eigenschaft, dass das maximale Ideal in jedem Halm von $\mathcal{Z}$ zu einem erlaubten Primideal im entsprechenden Halm von $\mathcal{Y}$ zurückgezogen wird, sprich dass es zum maximalen Ideal in Halm von $\mathcal{X}$ zurückgezogen wird. Das ist aber automatisch, weil $\mathcal{Z} \to \mathcal{X}$ ein Morphismus lokalgeringter Räume ist. Das beweist die Adjunktion.

Das Spektrum einer Garbe von Algebren

Sei $\mathcal{X}=(X,\mathcal{O}_X)$ ein geringter Raum. Jedem Morphismus $(p,p^\#) : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$ kann man eine $\mathcal{O}_X$-Algebra (hier immer kommutativ) zuordnen, nämlich $p^\# : \mathcal{O}_X \to p_* \mathcal{O}_Y$. Wir erhalten damit einen Funktor (die Wirkung auf Morphismen kann man sich überlegen) $\mathbf{RS} / \mathcal{X} \to \mathcal{O}_X{-}\mathbf{Alg}^{\mathrm{op}}.$ Umgekehrt hat man für jede $\mathcal{O}_X$-Algebra $u : \mathcal{O}_X \to A$ einen Morphismus geringter Räume $(\mathrm{id}_X,u) : (X,A) \to (X,\mathcal{O}_X) = \mathcal{X}$, also ein Objekt von $\mathbf{RS} / \mathcal{X}$, und das definiert einen Funktor in die andere Richtung $\mathcal{O}_X{-}\mathbf{Alg}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{RS} / \mathcal{X},$ der tatsächlich rechtsadjungiert zum vorigen Funktor ist, wie man sich direkt anhand der Definitionen überlegen kann. Ist nun $\mathcal{X}$ sogar ein lokalgeringter Raum, so können wir die Komposition betrachten $\mathbf{LRS} / \mathcal{X} \to \mathbf{RS} / \mathcal{X} \to \mathcal{O}_X{-}\mathbf{Alg}^{\mathrm{op}}.$ Unsere vorigen Adjunktionen zeigen, dass dieser einen rechtsadjungierten Funktor besitzt, den man üblicherweise mit $\mathrm{Spec}_{\mathcal{X}} : \mathcal{O}_X{-}\mathbf{Alg}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{LRS}/\mathcal{X}$ bezeichnet und das relative Spektrum einer $\mathcal{O}_X$-Algebra nennt. Unsere Konstruktionen sind explizit und zeigen, dass $\mathrm{Spec}_{\mathcal{X}}(A)$ der folgende lokalgeringte Raum ist: Die Punkte sind die Paare $(x,\mathfrak{p})$, wobei $x \in X$ und $\mathfrak{p} \subseteq A_x$ ein Primideal mit $\mathfrak{p} \cap \mathcal{O}_{X,x} = \mathfrak{m}_x$ ist. Die Topologie wird von den Mengen $D(U,f) = \{(x,\mathfrak{p}) : x \in U,\, f_x \notin \mathfrak{p}\}$ erzeugt, wobei $U \subseteq X$ offen und $f \in A(U)$. Die Garbe ist so gemacht, dass der Halm bei $(x,\mathfrak{p})$ gleich $(A_x)_{\mathfrak{p}}$ ist. Der Strukturmorphismus nach $\mathcal{X}$ ist natürlich $(x,\mathfrak{p}) \to x$ auf Punkten und $\mathcal{O}_{X,x} \to (A_x)_{\mathfrak{p}}$ auf lokalen Ringen. Die grundlegenden Eigenschaften des relativen Spektrums kann man sofort aus der Adjunktion (besser nicht mit der Konstruktion) ableiten. Zum Beispiel ist $\mathrm{Spec}_{\mathcal{X}}(\mathcal{O}_X) = \mathcal{X}$, und für Morphismen $(\varphi,\varphi^\#) : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$ gilt $\mathrm{Spec}_{\mathcal{Y}}(\varphi^\# A) = \mathrm{Spec}_{\mathcal{X}}(A) \times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}$. Jeder $\mathcal{O}_X(X)$-Algebra $A$ kann man eine $\mathcal{O}_X$-Algebra $\tilde{A}$ zuordnen (dieser Prozess ist linksadjungiert zum Globale-Schnitte-Funktor), und wieder kann man aus den Adjunktionen rein formal $\mathrm{Spec}_{\mathcal{X}}(\tilde{A}) = \mathrm{Spec}(A)$ herleiten. Daraus folgt wiederum, dass für ein Schema $\mathcal{X}$ und eine quasikohärente $\mathcal{O}_X$-Algebra $A$ der lokalgeringte Raum $\mathrm{Spec}_{\mathcal{X}}(A)$ ein Schema ist. Üblicherweise wird dieses Schema über das Verkleben von affinen Schemata konstruiert (unter Verwendung der universellen Eigenschaft), aber das brauchen wir hier nicht.

Kolimites (lokal)geringter Räume

Weil der Inklusionsfunktor $ I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ linksadjungiert ist, erhält er alle Kolimites. In $\mathbf{RS}$ lassen sich Kolimites konkret beschreiben, sodass sie also auch in $\mathbf{LRS}$ genauso aussehen müssen, sofern sie denn existieren. Und tatsächlich tun sie es: Der Kolimes eines Diagramms von geringten Räumen $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})$ hat als zugrunde liegenden topologischen Raum den Kolimes $(u_i : X_i \to X)$ der zugrunde liegenden topologischen Räume (was so sein muss, weil der Vergissfunktor $\mathbf{RS} \to \mathbf{Top}$ einen rechtsadjungierten Funktor besitzt). Die Strukturgarbe ist definiert durch $\mathcal{O}_X := \lim_i (u_i)_* \mathcal{O}_{X_i}$, wobei wir den Limes hier in der Kategorie der Garben von Ringen auf $X$ bilden. Die universelle Eigenschaft ist leicht zu prüfen. Wenn nun die $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})$ lokalgeringte Räume und die Übergangsmorphismen lokal sind, ist auch der Kolimes lokalgeringt: Sei dazu $s_x \in \mathcal{O}_{X,x}$, repräsentiert durch einen Schnitt $s \in \mathcal{O}_X(U)$ mit $x \in U \subseteq X$ offen, und etwa $x=u_i(x_i)$ mit $x_i \in X_i$. Die Komponenten $u_j^\#(s) \in \mathcal{O}_{X_j}(u_j^{-1}(U))$ liefern offene Teilmengen $V_j := (u_j^{-1}(U))_{s_j} \subseteq X_j$, die miteinander kompatibel sind (weil die Übergangsmorphismen lokal sind), sodass es eine offene Menge $V \subseteq X$ gibt mit $u_j^{-1}(V) = V_j$ für alle $j$. Hieraus folgt leicht, dass $s_x \in \mathcal{O}_{X,x}$ genau dann invertierbar ist, wenn es $(u_i^\#(s))_{x_i} \in \mathcal{O}_{X_i,x_i}$ ist. Weil $\mathcal{O}_{X_i,x_i}$ lokal ist, folgt hieraus sofort, dass auch $\mathcal{O}_{X,x}$ lokal ist, und dass die Projektion $(u_i^\#)_{x_i} : \mathcal{O}_{X,x} \to \mathcal{O}_{X_i,x_i}$ lokal ist. Und es folgt nun auch ganz leicht, dass die universelle Eigenschaft sogar in $\mathbf{LRS}$ besteht. Wir haben damit gezeigt, dass $\mathbf{LRS}$ kovollständig sind. Zwar war hierfür der Funktor $\mathrm{Loc}$ nicht unbedingt nötig, aber er hat die Konstruktion der Kolimites in $\mathbf{LRS}$ motiviert. Übrigens kann man mithilfe des Funktors $\mathrm{Loc}$ zeigen, dass der Inklusionsfunktor $I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ komonadisch ist, was sogar impliziert, dass er Kolimites erzeugt, was wir oben per Hand nachgerechnet haben.

Limites (lokal)geringter Räume

Auch Limites von geringten Räumen kann man konkret hinschreiben. Für ein Diagramm von geringten Räumen $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})$ bilden wir zunächst den Limes $(p_i : X \to X_i)$ der zugrunde liegenden topologischen Räume, und definieren dann $\mathcal{O}_X := \mathrm{colim}_i \, p_i^{-1} \mathcal{O}_{X_i}$, wobei wir den Kolimes hier in der Kategorie der Garben von Ringen auf $X$ bilden. Es gilt also $\mathcal{O}_{X,x} = \mathrm{colim}_i \, \mathcal{O}_{X_i,p_i(x)}$ (weil Kolimites mit Kolimites vertauschen). Dann ist $(X,\mathcal{O}_X)$ der gesuchte Limes in $\mathbf{RS}$. Wir hatten allerdings schon gesehen, dass der Inklusionsfunktor $ I : \mathbf{LRS} \hookrightarrow \mathbf{RS}$ keine Limites erhält. Für die Konstruktion von Limites in $\mathbf{LRS}$ müssen wir uns also etwas anderes überlegen, und hier kommt unser Funktor $\mathrm{Loc}$ ins Spiel: Sei $D$ ein Diagramm von lokalgeringten Räumen. Ein Limes von $D$ ist per Definition ein finales Objekt in der Kategorie $\mathbf{LRS} / D$ der Kegel an $D$. Weil $\mathbf{RS}$ vollständig ist, hat zumindest das Diagramm $ID$ in $\mathbf{RS}$ einen Limes. Die zugehörige Kategorie der Kegel $\mathbf{RS} / ID$ hat also ein finales Objekt. Genau wie im Abschnitt "Lokalisierung von Morphismen" lässt sich nun ein Funktor $\mathbf{RS} / ID \to \mathbf{LRS} / D$ konstruieren, welcher rechtsadjungiert zum Vergissfunktor ist. Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites, insbesondere finale Objekte. Folglich hat auch $\mathbf{LRS} / D$ ein finales Objekt, was zu zeigen war. Diese doch recht abstrakte Begründung für die Existenz von Limites in $\mathbf{LRS}$ kann man, indem man die Beweise zurückverfolgt, zu einer konkreten Konstruktion von Limites umwandeln. Wir schreiben sie für Faserprodukte aus: Seien $(\varphi,\varphi^\#) : (X,\mathcal{O}_X) \to (S,\mathcal{O}_S)$, $(\psi,\psi^\#) : (Y,\mathcal{O}_Y) \to (S,\mathcal{O}_S)$ zwei Morphismen von lokalgeringten Räumen. Ihr Faserprodukt $F$ besitzt als Punkte die $(x,y,\mathfrak{p})$, wobei $(x,y) \in X \times_S Y$ ein Punkt im Faserprodukt der topologischen Räume ist, also $s := \varphi(x)=\psi(y)$, und $\mathfrak{p} \subseteq \mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y}$ ein Primideal ist mit $\mathfrak{p} \cap \mathcal{O}_{X,x} = \mathfrak{m}_x$ und $\mathfrak{p} \cap \mathcal{O}_{Y,y} = \mathfrak{m}_y$. Die Topologie auf $F$ wird von den folgenden offenen Mengen erzeugt: Für offene Mengen $U \subseteq X$, $V \subseteq Y$ und Schnitte $f \in \mathcal{O}_X(U) \otimes \mathcal{O}_Y(V)$ sei $D(U,V,f)$ die Menge der Punkte $(x,y,\mathfrak{p})$ mit $x \in U$, $y \in V$ und $f_{x,y} \notin \mathfrak{p}$, wobei $f_{x,y} \in \mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y}$ das Bild von $f$ bezeichne. (Man könnte auch allgemeiner Elemente $f \in \mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathcal{O}_S(T)} \mathcal{O}_Y(V)$ nehmen mit $T \subseteq S$ offen, $\varphi(U) \subseteq T$, $\psi(V) \subseteq T$, aber das ändert nichts, weil $\mathcal{O}_X(U) \otimes_{\IZ} \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathcal{O}_S(T)} \mathcal{O}_Y(V)$ surjektiv ist.) Die Strukturgarbe $\mathcal{O}_F$ ist so gemacht, dass es natürliche Abbildungen $(\mathcal{O}_X(U) \otimes \mathcal{O}_Y(V))[f^{-1}] \to \mathcal{O}_F(D(U,V,f))$ gibt und die Halme durch $\mathcal{O}_{F,(x,y,\mathfrak{p})} = (\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y})_{\mathfrak{p}}$ gegeben sind. Genauer gesagt besteht $\mathcal{O}_F(W)$ (für offene $W \subseteq F$) aus den Familien $s \in \prod_{(x,y,\mathfrak{p}) \in W} (\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y})_{\mathfrak{p}}$, die lokal konsistent sind, womit gemeint ist, dass jeder Punkt aus $W$ eine basis-offene Umgebung $D(U,V,f)$ besitzt, auf dem die Komponenten durch ein gemeinsames Element in $(\mathcal{O}_X(U) \otimes \mathcal{O}_Y(V))[f^{-1}]$ induziert sind. Man kann auch direkt verifizieren, dass $(F,\mathcal{O}_F)$ ein lokalgeringter Raum ist, der die universelle Eigenschaft des Faserproduktes erfüllt, wenn man die vorherige Theorie nicht verwenden möchte. Unendliche Faserprodukte in $\mathbf{LRS}$ können ganz ähnlich beschrieben werden.

Faserprodukte von Schemata

Wenn $\mathcal{X} \to \mathcal{S}$, $\mathcal{Y} \to \mathcal{S}$ Morphismen von Schemata sind, dann ist das oben beschriebene Faserprodukt $\mathcal{X} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{Y}$ lokalgeringter Räume ebenfalls ein Schema: Wir können nämlich offene Überdeckungen durch affine Schemata $\mathcal{X} = \bigcup_i \mathcal{X}_i$, $\mathcal{Y} = \bigcup_i \mathcal{Y}_i$, $\mathcal{S} = \bigcup_i \mathcal{S}_i$ finden mit $\mathcal{X}_i \to \mathcal{S}_i$, $\mathcal{Y}_i \to \mathcal{S}_i$, und dann wird $\mathcal{X} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{Y}$ von den offenen Teilräumen $\mathcal{X}_i \times_{\mathcal{S}_i} \mathcal{Y}_i$ überdeckt, die affine Schemata sind: Weil nämlich der Funktor $\mathrm{Spec} : \mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{LRS}$ rechtsadjungiert ist, erhält er Limites und damit insbesondere Faserprodukte, was also $\mathrm{Spec}(A) \times_{\mathrm{Spec}(R)} \mathrm{Spec}(B) = \mathrm{Spec}(A \otimes_R B)$ für $R$-Algebren $A,B$ bedeutet. Hieraus folgt, dass die Kategorie $\mathbf{Sch}$ der Schemata endliche Limites besitzt. Eine Verklebekonstruktion ist nicht erforderlich. Man kann allerdings zeigen, dass $\mathbf{Sch}$ keine unendlichen Produkte besitzt (MO/9134 und MO/65506). Auch Kolimites existieren in $\mathbf{Sch}$ nicht immer (MO/9961).

Diers' Theorie

Abschließen möchte ich mit einer kurzen Bemerkung dazu, dass man die Theorie der Spektren noch weiter verallgemeinern kann, indem man von der Kategorie der kommutativen Ringe $\mathbf{CRing}$ und ihrer Unterkategorie der lokalen Ringe $\mathbf{LCRing}$ abstrahiert. Das ist dem Kategorientheoriker Yves Diers in der Arbeit Une construction universelle des spectres topologies spectrales et faisceaux structuraux aus dem Jahr 1984 gelungen (Link). Im Prinzip ersetzt man dabei den Inklusionsfunktor $\mathbf{LCRing} \hookrightarrow \mathbf{CRing}$ durch einen Funktor $U : \mathcal{A} \to \mathcal{B},$ der multi-rechtsadjungiert ist und noch weitere Eigenschaften besitzt (Diers-Kontext). In dem Fall kann man jedem Objekt $B \in \mathcal{B}$ auf universelle Weise ein Spektrum $\mathrm{Spec}_U(B)$ zuordnen, was ein topologischer Raum zusammen mit einer $\mathcal{B}$-wertigen Garbe ist, deren Halme fixierte Urbilder in $\mathcal{A}$ haben. Die Primideale werden hier ersetzt durch die Indizes in der Definition einer Multiadjunktion, die Lokalisierungen nach Elementen wiederum durch gewisse endlich-präsentierbare Objekte, welche die lokalen Einheiten der Multiadjunktion approxmieren: man abstrahiert hier also den Isomorphismus $R_{\mathfrak{p}} \cong \mathrm{colim}_{f \in R \setminus \mathfrak{p}} R[f^{-1}]$. Die Theorie hat auch kürzlich Axel Osmond in zwei Artikeln aus dem Jahr 2020 aufgegriffen: On Diers theory of Spectrum I: Stable functors and right multi-adjoints (Link) und On Diers theory of Spectrum II: Geometries and dualities (Link). In dem zweiten Artikel wird in Theorem 2.14 die hier vorgestellte Lokalisierung auf Diers-Kontexte verallgemeinert.

Etwas zum Hintergrund