Physik: Gasblasen in Flüssigkeiten
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Physik

\(\begingroup\) Die z.B. in Sekt oder anderen kohlensäurehaltigen Getränken aufsteigenden Serien von Kohlendioxidbläschen weisen häufig eine schöne Regelmäßigkeit auf, welcher in diesem Artikel nachgespürt wird.

Für eine analytische, deduktive Herleitung der Bewegungsgleichung einer Blase sind mehrere Einflüsse zu berücksichtigen: Durch die Auftriebskraft muss es zunächst zu einer beschleunigten Bewegung kommen, die später durch die zunehmende Reibungskraft in eine gleichförmige Bewegung übergehen muss. (Die Gewichtskraft ist sicherlich zu vernachlässigen.) Dabei wächst das Volumen der Blase durch den abnehmenden Schweredruck und durch während der Bewegung aufgenommenes Gas weiter an, wodurch sich der Auftrieb und damit die Beschleunigung vergrößern. Der Druck in der Blase – und damit ihr Volumen und der Auftrieb – wird zusätzlich durch die Oberflächenspannung der Grenzfläche beeinflusst. Auch ohne Berücksichtigung der Oberflächenspannung und der Gasaufnahme ist die analytische Herleitung der Bewegungsgleichungen schon so kompliziert, dass im Folgenden der empirische Weg mit Messungen und Modellierung sowie numerischen Ableitungen (mit einem Computer-Programm (Derive)) beschritten wird. Dafür wurde in ein hohes Bierglas Sekt gefüllt und Fotos und Videos der Bläschenspuren aufgenommen (Abb.1). Zwei der Spuren wurden ausgemessen (rechts rot, mittig grün). In der Tabelle (Abb. 2) sind die Messwerte der rechten Spur aufgeführt.
Die Zeiten wurden aus einer Videoaufnahme ermittelt, in welcher ein Bläschen zum Aufsteigen etwa 5 s braucht. Unter der Annahme, die durch Beobachtung begründet ist, dass die Bläschen in gleichbleibenden Zeitabständen entstehen, ergibt sich daraus, dass der Abstand zwischen zwei benachbarten Bläschen bei der rechten Spur etwa 0,3 s entspricht. Die Messwerte wurden als kleine Kreuze in ein s(t)-Diagramm eingetragen (Abb. 3) und danach durch einen modellierten Funktionsgraphen möglichst gut angenähert.
Abb. 3: s(t)-Diagramm der rechten Blasenspur mit numerisch vom Programm berechneter 1. und 2. Ableitung (letztere ohne Maßeinheiten) Für die Modellierung wurde davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt, sobald sich Auftrieb und Reibung kompensieren, deren Graph also nach einem Anstieg in eine horizontale Gerade übergeht. Dies leisten Funktionen des Typs y = a (1 – e^(-bx)). Deshalb wurde für ihre Integralfunktion s(t) ein ähnlicher Ansatz mit einem zusätzlichen Faktor x gemacht, welcher eine Linkskrümmung des Graphen erzeugt, also y = a x (1 – e^(-bx)). Dessen Krümmung ist im Anfangsbereich aber nicht stark genug, um sich an die Messwertkurve anzunähern. Deshalb wurde noch der Parameter c als Exponent im Exponenten eingefügt, also y = a x (1 – e^(-bx^c)) , womit eine Annäherung an die Messwertpunkte der Bläschenspuren möglich ist. Für die rechte Spur lautet das s-t-Gesetz dann s(t)=310 t(1-e^(-0,01*t^1,33)) [ für die mittige Spur s(t)=70 t (1-e^(-0,01t^1,8 )) , s. Anhang]. Das s-t-Gesetz in einer Flüssigkeit aufsteigender Blasen lautet demnach s(t)=a t (1-e^(-bt^c )) Durch den Exponenten c sinkt die Geschwindigkeitskurve nach Erreichen eines Maximums allerdings geringfügig wieder ab, bevor sie sich einer horizontalen Asymptote nähert und der Graph der Beschleunigung wird dort in manchen Fällen geringfügig negativ (s. Abb. 4). Das ist ein Schwachpunkt der Näherung und zeigt wohl an, dass die Grenze des Gültigkeitsbereiches überschritten wurde. Es kann aber auch nicht ausgeschlossen werden, dass die Gleichgewichte einerseits zwischen Auftrieb und Reibung und andererseits zwischen Binnendruck und Außendruck der Gasblase schwanken, z.B. weil die Flüssigkeit wieder Gas absorbiert. Die erste Ableitung von s(t) liefert für die rechte Spur v(t)=310 [1-(1-0,0133 t^1,33 ) e^(-0.01 t^1,33 )] , allgemein v(t)=a [1-(1-bc t^c ) e^(-b t^c )]
Abb. 4: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen mit erweitertem Definitionsbereich im Modell Für die Verifizierung bräuchte es eine Laborausrüstung mit einem mehrere Meter langen durchsichtigen Rohr und einer Vorrichtung an dessen Grund, um Gasblasen dosiert in konstanten zeitlichen Abständen abzulassen oder nur eine Blase mit Stroboskopblitzen zu filmen. Siehe auch die Versuchsanordnung in (1),Fig. 3 Das Bildungsgesetz der Folge der Gasblasenwege für die rechte Blasenspur in Abb. 1 z.B. erhält man, indem man für t 0,3(n-1) einsetzt: s_n=93 (n-1)(1-e^(-0,00202(n-1)^1,33 )) s_n=<0;0,2;0,9;2,4;4,7;7,9;12,1;17,3;23,5;30,8;39,3;48,9;58,8;71,8;85,1;100,0;115,4;132,4> Die Abweichungen zu den s-Werten in der Tabelle in Abb. 2 betragen nur einige zehntel Millimeter, vor allem am Anfang, was auch mit der Messungenauigkeit zusammenhängt. Für das Bildungsgesetz der sichtbaren Folge der Blasenabstände \Delta s_n, welche die Motivation für diese Untersuchung ist, ergibt sich aus s_(n+1)-s_n kein überschaubarer Term. Aber mit \Delta s_n = \Delta t*v_n, wobei v_n jeweils in der Intervallmitte gebildet wird, also für t_n=\Delta t*(n-1/2), folgt \Delta s_n = 93*(1-(1-0,00268*(n-1/2)^1,33)*e^(-0,00202*(n-1/2)^1,33)), woraus sich die gut passende Folge \Delta s_n = <0,2;0,7;1,5;2,3;3,2;4,2;5,2;6,2;7,3;8,5;9,6;10,8;12,0;13,2;14,5;15,8;17,0> ergibt. Allgemein gilt \Delta s_n = a(\Delta t)(1-(1-bc(\Delta t)^c(n-1/2)^c) e^(- b(\Delta t)^c(n-1/2)^c)) .
Literatur: (1) Gerard Liger-Belair u.A.: Study of Effervescence in a Glass of Champagne: Freqency of Bubble-Formation, Growth-Rates, and Velocity of rising Bubbles; Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3, 1999 mit 20 weiteren Literaturangaben Anhang: Bei der mittleren Blasenserie wurden folgende Werte gemessen: t in s s in mm x in cm 0 0 4,74 0,15 0,6 4,8 0,3 1,3 4,87 0,45 1,9 4,93 0,6 2,5 4,99 0,75 3,1 5,05 0,9 3,7 5,11 1,05 4,3 5,17 1,2 4,9 5,23 1,35 5,6 5,3 1,5 6,2 5,36 1,65 6,9 5,43 1,8 7,5 5,49 1,95 8,2 5,56 2,1 9,2 5,66 2,25 10,3 5,77 2,4 11,4 5,88 2,55 12,7 6,01 2,7 14,3 6,17 2,85 15,8 6,32 3 17,7 6,51 3,15 19,6 6,7 3,3 22 6,94 3,45 24,4 7,18 3,6 26,9 7,43 3,75 29,6 7,7 3,9 31,8 7,92 4,05 34,4 8,18 4,2 37,1 8,45 4,35 39,8 8,72 4,5 43,1 9,05 4,65 46,1 9,35 4,8 50,1 9,75 4,95 53,7 10,11 5,1 57,8 10,52 5,25 62,6 11 5,4 65,8 11,32 5,55 71,5 11,89 5,7 78,4 12,58 5,85 85,6 13,3 6 94,9 14,23 6,15 108,2 15,56 6,3 119,9 16,73 6,45 134,6 18,2
Abb. 5: s(t)-Diagramm der mittleren Blasenspur mit v(t) und a(t)
Abb. 6: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der mittleren Blasen im größeren Definitionsbereich
Abb. 8: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen
Abb. 9: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der rechten Blasen im größeren Definitionsbereich Linke Spur in Foto 2, Messwerte:
Abb. 10: s(t)-Diagramm der linken Blasenspur; Exponent c < 1
Abb. 11: Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung der linken Blasen im größeren Definitionsbereich
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"Physik: Gasblasen in Flüssigkeiten" | 4 Comments
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Re: Gasblasen in Flüssigkeiten
von: Delastelle am: So. 24. Juli 2022 21:41:10
\(\begingroup\)Hallo Roland17! https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_Bild_Selters_20_Prozent_Gr_e.jpg (Mineralwasserflasche im Gegenlicht) Die aufsteigenden Blasen finde auch ich interessant. Ich muss mir mal Deinen Artikel in Ruhe anschauen! Viele Grüße Ronald Hallo Ronald, falls Du etwas herausfindest - am besten eine deduktive Herleitung der Bewegungsgleichungen - informiere mich bitte. Viele Grüße Roland\(\endgroup\)
 

Re: Gasblasen in Flüssigkeiten
von: Delastelle am: Mo. 25. Juli 2022 22:24:41
\(\begingroup\)Hallo, https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_Glas_gebrochen_20_Prozent_Gr_e.jpg https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_Wasserwirbel_20_Prozent_Gr_e.jpg ich bin kein Physiker - kenne wenig von der Physik von Gasblasen. Was mich immer interessiert sind interessante Fotos. Z.B. (gebrochenes) Glas oder Wasser oder Blasen in Flüssigkeiten. Aber könnte es zum Thema eventuell schon Arbeiten geben? Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Gasblasen in Flüssigkeiten
von: Delastelle am: Sa. 30. Juli 2022 00:49:04
\(\begingroup\)Hallo, vielleicht könnte man einen Test in einer leicht variierten Flüssigkeit machen. Ob dann wieder dieselben Zusammenhänge gelten! Viele Grüße Ronald Hallo Ronald, das ist richtig. Z.B in Leitungswasser ist die Gasaufnahme beim Aufsteigen sicher zu vernachlässigen. Nur - wie soll ich dort in so schön gleichmäßigen Zeitabständen Luftblasen erzeugen? Dasselbe gilt für Öl und andere Flüssigkeiten, die nicht selbst Gas freisetzen. Nur eine Blase genügt, wenn man mit sie mit einem Stroboskop anblitzt und langzeit-beleuchtet oder filmt. Aber ich habe kein Stroboskop und keine Laborausrüstung. Viele Grüße Roland\(\endgroup\)
 

Re: Gasblasen in Flüssigkeiten
von: Spock am: Mi. 03. August 2022 09:35:15
\(\begingroup\)Hallo Roland17! Experimentell hast Du Dir ja einige Mühe gemacht. Interessant wäre es vielleicht noch, wenn Du eine Modellgleichung mit physikalischen Annahmen aufstellen würdest und Deine experimentellen Ergebnisse z.B. mittels eines Regressionsverfahrens an das Modell fitten würdest. Schau mal bei uns im Forum z.B. hier , wobei man sicher auch noch die Vergrößerung der Gasblase beim Aufstieg mit ins Spiel bringen könnte. Ist sicher etwas anspruchsvoll das Ganze, aber wenn Du schonmal Meßergebnisse hast, ist nichts praktischer als eine gute Theorie, 😎 Viele Grüße Juergen \(\endgroup\)
 

 
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