Wie Differentialformen alles schöner und einfacher machen

Wir schreiben das Jahr 2022. Man findet im Internet einen alten Artikel des Mathematikers Jean Dieudonné und liest von einer "Perversion der schönsten Ideen von Graßmann". Tristan Needham spricht in seinem exzellenten Buch "Visual Differential Geometry and Forms" von einem jahrhundertlangen "Skandal" ohne Aussicht auf Besserung. Was wohl passiert sein mag? Konkret geht es sowohl Dieudonné als auch Needham um die Vektoranalysis im $\mathbb R^3$. Der "Skandal" dabei ist, dass es spätestens seit dem Jahre 1940 eine schönere, wesentlich allgemeinere und oftmals sehr viel einfachere Theorie gibt: die Differentialgeometrie mit Élie Cartan's Differentialformen. Dennoch arbeiten viele (vor allem) Physiker auch heute noch regelmäßig mit der "Perversion, die die Vektoranalysis ist". Der noch verrücktere "Skandal" ist, dass viele Physikstudenten und auch Mathematikstudenten im Laufe ihres Studiums manchmal gar keinen und oft nur sehr wenig Kontakt mit Differentialformen haben. (Zumindest ist das die Erfahrung, die ich regelmäßig mache.) Dieser Artikel möchte einen Beitrag dazu leisten, das zu ändern. Wir betrachten die schöne und einfache Theorie der Differentialformen auf dem $\mathbb R^n$ und zeigen, warum diese Theorie alles schöner und einfacher macht. Zum Abschluss demonstrieren wir diese Behauptung auch an den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Dieser Artikel richtet sich in erster Linie an Physikstudenten.

Themenübersicht

$\bullet$ Der Vektorraum $\mathbb R^n$ vs. die Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$     $\bullet$ Einige wichtige Grundbegriffe     $\bullet$ Der abstrakte Tangentialraum $\bullet$ Differentialformen auf $\mathbb R^n$     $\bullet$ 1-Formen     $\bullet$ 2-Formen     $\bullet$ k-Formen     $\bullet$ Die äußere Algebra der Differentialformen $\bullet$ Die Cartan-Ableitung     $\bullet$ Die Cartan-Ableitung für 1-Formen     $\bullet$ Die Cartan-Ableitung für k-Formen     $\bullet$ Geschlossene und exakte Formen     $\bullet$ Ausblick: de Rham Kohomologie $\bullet$ Anwendung: Die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik     $\bullet$ Vektoranalysis mit Differentialformen     $\bullet$ Das Setting der Elektrodynamik     $\bullet$ Die Maxwell-Gleichungen $\bullet$ Abschließende Bemerkungen Für das Verständnis dieses Artikels kann es von Vorteil sein, wenn man bereits den Artikel Tensoren und Tensorfelder in der Differentialgeometrie gelesen hat. Letzteres ist aber kein Muss.

Der Vektorraum $\mathbb R^n$ vs. die Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$

Bevor wir unser Abenteuer beginnen können, müssen wir uns über eine unglückliche Tatsache bewusst werden. Wir sind es gewohnt uns den $\mathbb R^n$ als Vektorraum vorzustellen mit all den zusätzlichen Strukturen, die es sonst noch gibt: eine Norm, eine Metrik, ein Skalarprodukt, eine Topologie etc. Wir müssen das vergessen. Zunächst ist $\mathbb R^n$ eine bloße Menge, bestehend aus $n$-Tupeln reeller Zahlen $(x_1,\dots,x_n)$. Nicht mehr und nicht weniger. Wir können diese Punktmenge $\mathbb R^n$ dann auf die übliche Weise zu einem $n$-dimensionalen $\mathbb R$-Vektorraum machen. Für die Analysis brauchen wir das aber zunächst gar nicht. Wir betrachten eigentlich zunächst die Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$, d.h. die Menge $\mathbb R^n$ versehen mit der euklidischen Topologie und dem maximalen glatten Atlas, der von der Karte $(\mathbb R^n,\opn{id}_{\mathbb R^n})$ erzeugt wird. Die Elemente der Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$ sind nach wie vor $n$-Tupel reeller Zahlen und keine Vektoren (im Sinne der Differentialgeometrie). Weiter haben wir darauf keine Rechenoperationen oder dergleichen. Wie bei jeder glatten Mannigfaltigkeit haben wir aber für jedes $p\in \mathbb R^n$ den Tangentialraum $T_p\mathbb R^n$. Da $T_p\mathbb R^n$ ebenfalls die Dimension $n$ hat, haben wir $T_p\mathbb R^n\cong \mathbb R^n$ (also der Vektorraum $\mathbb R^n$) für jedes $p\in \mathbb R^n$. Wir haben also an jedem Punkt $p\in \mathbb R^n$ einen eigenen Vektorraum $T_p\mathbb R^n$, der zum Vektorraum $\mathbb R^n$ isomorph ist. Bildlich gesprochen sind die Vektoren in $T_p\mathbb R^n$ die Vektoren (als Pfeile gedacht), die am Punkt $p$ starten. Der (mehr oder weniger) Zufall $T_p\mathbb R^n\cong \mathbb R^n$ ist dafür verantwortlich, dass man diese Unterscheidung häufig nicht vornimmt - bei allgemeineren glatten Mannigfaltigkeiten ist diese Unterscheidung aber sehr wichtig und es hilft daher, bereits bei $\mathbb R^n$ darauf zu achten. Wenn wir betonen wollen, dass wir es mit einem Vektor in $T_p\mathbb R^n$ zu tun haben, dann schreiben wir den Basispunkt $p$ manchmal als Index, i.e. $v_p$ für einen Vektor $v_p\in T_p\mathbb R^n$. Wenn in diesem Artikel von $\mathbb R^n$ die Rede ist, dann meinen wir die Mannigfaltigkeit - Vektoren leben in den Tangentialräumen.

Einige wichtige Grundbegriffe

Wir wollen in diesem Artikel zwar fast ausschließlich auf dem $\mathbb R^n$ bleiben, aber dennoch direkt die Begriffe der Differentialgeometrie verwenden, weil das den Übergang zu allgemeineren Mannigfaltigkeiten einfacher macht. Wir vereinbaren von nun an, dass wir die Punktmenge $\mathbb R^n$ mit der euklidischen Topologie versehen. Häufig schreiben wir $(U,x)$ für eine generische Karte (also $x$ anstatt $\phi$). Für $p\in U$ sind dann $x(p)=(x^1(p),x^2(p),\dots,x^n(p))$ die so genannten lokalen Koordinaten von $p$ bezüglich der Karte $(U,x)$. Dabei sind die Abbildungen $x^j\colon U\to \mathbb R$ die einzelnen Komponentenfunktionen der Kartenabbildung $x$. D.h. bezeichnet $\pi^j\colon \mathbb R^n\to \mathbb R, \ (v_1,\dots,v_n)\mapsto v_j$ die Projektion auf den $j$-ten Eintrag, dann ist $x^j:=\pi^j\circ x$. Wir schreiben dann oft auch $(U,x^1,\dots,x^n)$ anstatt $(U,x)$. Zwei Karten $(U,x)$ und $(V,y)$ von $\mathbb R^n$ mit $U\cap V\neq\emptyset$ heißen $C^\infty$-kompatibel, wenn die Kartenwechselabbildungen $$ \Psi_{UV}:=y\circ x^{-1}\colon x(U\cap V)\to y(U\cap V), \quad \Psi_{VU}:=x\circ y^{-1}\colon y(U\cap V)\to x(U\cap V) $$ $C^\infty$-Diffeomorphismen sind. D.h. $\Psi_{UV}$ ist bijektiv, unendlich oft differenzierbar (glatt) und $\Psi_{UV}^{-1}$ ist unendlich oft differenzierbar. Analog für $\Psi_{VU}$. Ein Atlas $\mathcal A$ von $\mathbb R^n$ heißt glatt, wenn alle Karten des Atlases untereinander $C^\infty$-kompatibel sind. Der glatte Atlas $\mathcal A$ heißt maximal, wenn es keinen glatten Atlas $\mathcal B$ mit $\mathcal A\subset \mathcal B$ gibt.

Der abstrakte Tangentialraum

Um die Unterscheidung zwischen dem Vektorraum $\mathbb R^n$ und der Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$ einfacher zu machen und um den konkreten Umgang mit Vektoren in diesem Kontext zu vereinfachen, wollen wir über die Tangentialräume etwas anders nachdenken. Man könnte sich den "konkreten" oben beschriebenen "geometrischen Tangentialraum" wie folgt vorstellen. Man betrachtet ein $p\in \mathbb R^n$ und eine glatte Kurve $\gamma\colon \mathbb R\to \mathbb R^n$ mit $\gamma(0)=p$. Der Vektor $\gamma'(0)$ wäre dann solch ein Tangentialvektor von $\mathbb R^n$ am Punkt $p$. Tatsächlich stellt sich heraus, dass diese Richtungsableitungen sehr schöne Eigenschaften haben. Für jede glatte Kurve $\gamma\colon \mathbb R\to \mathbb R^n$ mit $\gamma(0)=p$ haben wir mit obiger Definition einen Operator $$ X_{\gamma,p}\colon C^\infty(\mathbb R^n)\to \mathbb R, \ f\mapsto \nabla_{\gamma'(0)}f. $$ Damit die obige Definition sinnvoll ist muss man noch zeigen, dass es eine glatte Kurve $\delta$ mit $\delta(0)=p$ gibt, so dass $X_{\gamma_1,p}+X_{\gamma_2,p}=X_{\delta,p}$ gilt. Analog muss man das auch für die Skalarmultiplikation zeigen. Man überlegt sich nun, dass die $n$ Abbildungen $\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)_p$ eine Basis von $V_p$ bilden. Damit ist gezeigt, dass $V_p$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb R$-Vektorraum ist. Diesen Vektorraum nennen wir von nun an den Tangentialraum von $\mathbb R^n$ in $p$ und schreiben $V_p=T_p\mathbb R^n$ dafür. Ein Tangentialvektor $X_{\gamma,p}$ ist also von nun an ein Operator, der angewendet auf eine glatte Funktion $f$ die Richtungsableitung von $f$ in $p$ entlang $\gamma$ liefert. Es besteht daher gar keine Verwechslungsgefahr mehr zwischen Punkten der Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$ und Vektoren in $T_p\mathbb R^n$.

Differentialformen auf $\mathbb R^n$

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Differentialformen auf $\mathbb R^n$. Wir werden uns zunächst ansehen, was 1-Formen sind. Anschließend verallgemeinern wir unsere Erkenntnisse zu 2-Formen. Wenn wir das geschafft haben, dann liegt die Verallgemeinerung zu $k$-Formen bereits auf der Hand. Abschließend führen wir die so genannte äußere Algebra der Differentialformen ein, die die schöne algebraische Struktur der Differentialformen aufzeigt.

1-Formen

Wir bezeichnen mit $C^\infty(\mathbb R^n)$ die Menge aller glatten (i.e. unendlich oft differenzierbaren) Funktionen $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$. Durch punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen $$ (f+g)(p)=f(p)+g(p), \quad (fg)(p)=f(p)g(p) $$ bildet $C^\infty(\mathbb R^n)$ einen kommutativen Ring mit Eins. Die letzte Definition bedeutet im Prinzip einfach, dass wir für jedes $p\in \mathbb R^n$ eine $\mathbb R$-lineare Abbildung $\omega_p\colon T_p\mathbb R^n\to \mathbb R$ haben, die auf glatte Art und Weise vom Punkt $p$ abhängt. Wir schreiben, wie in der Literatur üblich, auch $\Omega^1(\mathbb R^n)$ für den $C^\infty(\mathbb R^n)$-Modul aller glatten 1-Formen, wobei die Addition von Formen und Multiplikation mit glatten Funktionen natürlich punktweise definiert ist. (Insbesondere ist $\Omega^1(\mathbb R^n)$ damit auf naheliegende Weise auch ein $\mathbb R$-Vektorraum). Mit den Mitteln der mehrdimensionalen Differentialrechnung überlegt man sich den folgenden Auf der Mannigfaltigkeit $\mathbb R^n$ wählen wir für gewöhnlich die Karte $(\mathbb R^n,x^1,\dots,x^n)$, wobei die Abbildungen $x^j\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ jeweils die Projektion auf die $j$-te Koordinate bedeuten. D.h. zum Beispiel ist $x^3\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ gegeben durch $x^3(x_1,\dots,x_n)=x_3$. Die Koordinatenfunktionen $x^j$ sind $\mathbb R$-linear und daher insbesondere unendlich oft differenzierbar. Für jedes $j=1,\dots,n$ ist daher $\d x^j\in \Omega^1(\mathbb R^n)$ eine glatte 1-Form. Insbesondere kann man sich nach dem letzten Beispiel überlegen, dass für eine glatte Funktion $f\in C^\infty(\mathbb R^n)$ $$ \d f=\frac{\partial f}{\partial x^j} \dd x^j $$ gilt (Summationskonvention: der Index bei der partiellen Ableitung zählt hier als unterer Index). Das letzte Beispiel liefert zugleich eine sehr einfache geometrische Interpretation von 1-Formen. Ist $\omega=f_j\dd x^j$ eine glatte 1-Form, dann ist der Effekt von $\omega_p$ auf einen Vektor $X\in T_p\mathbb R^n$ sehr simpel. $(\d x^j)_p(X)=:X^j$ ist die Komponente von $X$ in die $x^j$-Koordinatenrichtung, d.h. wir haben dann $X=X^j\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right)_p$. Die Form $\omega_p$ nimmt daher $X$ projiziert auf jede Koordinatenrichtung und gewichtet die Ergebnisse dieser Projektionen jeweils mit dem Faktor $f_j(p)$. Anschließend werden diese Zahlen noch addiert. Insbesondere ist damit ($(\d x^1)_p,\dots,(\d x^n)_p$) die zu $\left(\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)_p,\dots,\left(\frac{\partial}{\partial x^n}\right)_p\right)$ duale Basis von $T_p^*\mathbb R^n:=(T_p\mathbb R^n)^*$ (Dualraum). Bevor wir uns den 2-Formen widmen, wollen wir nochmal auf das Beispiel mit dem Gradienten $(\nabla f)_p$ eingehen. Es gibt einen Zusammenhang zwischen $1$-Formen und $n$-Tupeln reeller Zahlen (also den "Vektoren", wenn man $\mathbb R^n$ als Vektorraum betrachtet). $$ \omega=\omega_1 \, (\d x^1)_p+\dots+\omega_n \, (\d x^n)_p=\omega_j \, (\d x^j)_p \ \longleftrightarrow \ \underline \omega=\vec{\omega_1}{\vdots}{\omega_n}. $$ Bezüglich den kartesischen Koordinaten $x,y,z$ von $\mathbb R^3$ erhalten wir daher den Zusammenhang $$ (\d f)_p=\frac{\partial f}{\partial x}(p) \, (\d x)_p+\frac{\partial f}{\partial y}(p) \, (\d y)_p+\frac{\partial f}{\partial z}(p) \, (\d z)_p \ \longleftrightarrow \ \underline{(\d f)_p}=\vec{\frac{\partial f}{\partial x}(p)}{\frac{\partial f}{\partial y}(p)}{\frac{\partial f}{\partial z}(p)}=(\nabla f)_p. $$ Man könnte also behaupten (und wir werden noch sehen, dass dem in der Tat so ist), dass man auch in der Vektoranalysis die ganze Zeit mit $(\d f)_p$ arbeitet, aber $(\d f)_p$ wie oben beschrieben (grundlos) mit einem Vektor des $\mathbb R^3$ identifiziert hat. Diese Korrespondenz zwischen Formen und (nach der klassischen Sichtweise) Vektoren wird genauer durch den so genannten Hodge-Stern-Operator beschrieben, auf welchen wir später noch zu sprechen kommen.

2-Formen

Die 1 in 1-Form steht dafür, dass eine $1$-Form $\omega$ ein Vektorfeld $X$ (bzw. einen Vektor) "isst" und daraus eine glatte Funktion $\omega(X)$ (bzw. eine reelle Zahl) macht. Naheliegenderweise wird eine $2$-Form $\Psi$ daher zwei Vektorfelder $X$ und $Y$ "essen" und daraus eine glatte Funktion $\Psi(X,Y)$ machen. Wenn $\Psi$ eine glatte 2-Form ist, dann haben wir also an jedem Punkt $p$ eine $\mathbb R$-bilineare Abbildung $\Psi_p\colon T_p\mathbb R^n\times T_p\mathbb R^n\to \mathbb R$, die zusätzlich antisymmetrisch ist, für die also jeweils $$ \Psi_p(X_p,Y_p)=-\Psi_p(Y_p,X_p) $$ für alle $X_p,Y_p\in T_p\mathbb R^n$ gilt. Bevor wir uns konkrete Beispiele für 2-Formen ansehen, wollen wir überlegen, ob man aus zwei 1-Formen auf irgendeine Art und Weise eine 2-Form basteln kann. Es seien dazu $\omega$ und $\eta$ glatte $1$-Formen. Als solche sind $\omega_p$ und $\eta_p$ für jedes $p\in \mathbb R^n$ insbesondere $(0,1)$-Tensoren und wir können daher den $(0,2)$-Tensor $\omega_p\otimes \eta_p$ durch $$ \omega_p\otimes \eta_p(X_p,Y_p):=\omega_p(X_p)\cdot \eta_p(Y_p) $$ definieren. Dadurch erhalten wir das glatte $(0,2)$-Tensorfeld $\omega\otimes \eta$, welches wir durch $$ \mathbb R^n\ni p\mapsto(\omega\otimes \eta)_p:=\omega_p\otimes \eta_p $$ definieren. Allerdings ist $\omega\otimes \eta$ keine 2-Form, da $\omega\otimes \eta$ symmetrisch und nicht antisymmetrisch ist. Dieses Problem lässt sich leicht beheben, denn offenbar ist $\omega\otimes \eta-\eta\otimes \omega$ antisymmetrisch. Unmittelbar aus der obigen Definition folgt, dass $\omega\wedge \eta=-\eta\wedge\omega$ und $\omega\wedge \omega=0$ gilt. Man kann das äußere Produkt $\omega\wedge \eta$ auch mit Hilfe der Determinante einer $2\times 2$ Matrix darstellen. Für Vektoren $X_p,Y_p\in T_p\mathbb R^n$ hat man $$ (\omega\wedge \eta)_p(X_p,Y_p)=\omega_p(X_p)\cdot\eta_p(Y_p)-\eta_p(X_p)\cdot\omega_p(Y_p)= \det\begin{pmatrix} \omega_p(X_p) & \omega_p(Y_p)\\ \eta_p(X_p) & \eta_p(Y_p) \end{pmatrix}, $$ also $$ \omega\wedge \eta(X,Y)=\omega(X)\cdot\eta(Y)-\eta(X)\cdot\omega(Y)= \det\begin{pmatrix} \omega(X) & \omega(Y)\\ \eta(X) & \eta(Y) \end{pmatrix} $$ für Vektorfelder $X$ und $Y$. Bezüglich einer Karte liefert das eine schöne geometrische Interpretation von $\omega\wedge \eta$. Zum Beispiel auf $\mathbb R^2$ mit den kartesischen Koordinaten ist für Vektoren $X=X^1\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)_p+X^2\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)_p$ und $Y=Y^1\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)_p+Y^2\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)_p$ $$ (\d x\wedge \d y)_p(X,Y)=X^1\cdot Y^2-X^2\cdot Y^1 $$ und daher $(\d x\wedge \d y)_p(X,Y)$ der signierte Flächeninhalt des Parallelogramms, das von $(X^1,X^2)$ und $(Y^1,Y^2)$ im $\mathbb R^2$ aufgespannt wird. $\mathcal A=\d x\wedge \d y$ nennt man in diesem Fall deshalb auch das Flächenelement von $\mathbb R^2$. Wählt man eine Karte $(U,x^1,\dots,x^n)$ von $\mathbb R^n$ mit $p\in U$, dann kann man sich schnell überlegen, dass die 2-Formen $\d x^i\wedge \d x^j$ für $1\leq i\lt j\leq n$ eine Basis von $\Omega^2(U)$ bilden. Eine beliebige 2-Form $\Psi$ kann daher auf $U$ durch $$ \Psi=\Psi_{ij} \dd x^i\wedge \dd x^j=\Psi_{12} \dd x^1\wedge \dd x^2+\Psi_{13} \dd x^1\wedge \dd x^3+\dots+\Psi_{n-1,n} \dd x^{n-1}\wedge \dd x^{n} $$ mit glatten Funktionen $\Psi_{ij}\colon U\to \mathbb R$ dargestellt werden. Insbesondere haben wir also als $\mathbb R$-Vektorraum $$ \dim(\Omega^2(\mathbb R^n))=\text{Anzahl der Paare } (i,j) \text{ mit } 1\leq i\lt j\leq n=\binom n2=\frac{1}{2}n(n-1). $$ Für 2-Formen gibt es daher keine allgemeine Korrespondenz zu "Vektoren" des $\mathbb R^n$. Nur im Fall $n=3$ hat man $\frac{1}{2}n(n-1)=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot (3-1)=3$ und somit haben "Vektoren" und 2-Formen die gleiche Anzahl an Komponenten. In diesem Fall hat man daher die Korrespondenz $$ \Psi=\Psi_{23} \dd y\wedge \d z+\Psi_{31} \dd z \wedge \d x +\Psi_{12}\dd x\wedge \d y \ \longleftrightarrow \ \underline\Psi=\vec{\Psi_{23}}{\Psi_{31}}{\Psi_{12}}, $$ wobei $x,y,z$ wie üblich die kartesischen Koordinaten auf $\mathbb R^3$ bezeichnet. Wir werden später sehen, dass die gesamte Vektoranalysis auf diesem numerischen "Unglück" basiert. Da man in diesem Fall auf dem $\mathbb R^3$ sowohl 1-Formen als auch 2-Formen mit "Vektoren" in Verbindung bringen kann, vereinbaren wir die folgende Notation: Wir schreiben $\underline\Psi$ für den "Vektor", der wie in obiger Korrespondenz zu der 2-Form $\Psi$ gehört. Haben wir umgekehrt einen "Vektor" $v=(v^1,v^2,v^3)$ im $\mathbb R^3$ gegeben, dann schreiben wir $\text{2-Form zu } v$ für die zugehörige 2-Form, i.e. $$ \text{2-Form zu } v= v^1\dd y\wedge \d z+v^2 \dd z \wedge \d x +v^3\dd x\wedge \d y. $$

k-Formen

Der Schritt zu allgemeinen $k$-Formen liegt nun auf der Hand. Völlig analog zu den 2-Formen definieren wir Ist $\omega\in\Omega^k(\mathbb R^n)$, dann haben wir also für jedes $p\in \mathbb R^n$ einen $(0,k)$-Tensor $\omega_p\colon T_p\mathbb R^n\times\dots \times T_p\mathbb R^n\to \mathbb R$, der $k$ Vektoren "isst" und daraus auf multilineare Weise eine reelle Zahl macht. Ist zusätzlich $\pi\in S_k$ eine Permutation von $(1,2,\dots,k)$ dann gilt $$ \omega_p(X_{\pi(1)},\dots,X_{\pi(k)})=\opn{sgn}(\pi)\cdot\omega_p(X_1,\dots,X_k) $$ für Vektoren $X_1,\dots,X_k\in T_p\mathbb R^n$. Ebenfalls völlig analog zu den 2-Formen, können wir nun ein allgemeines äußeres Produkt $\omega\wedge \eta$ definieren, das aus einer $k$-Form $\omega$ und einer $\ell$-Form $\eta$ eine $(k+\ell)$-Form $\omega\wedge \eta$ macht. Mit dem Tensorprodukt $\omega\otimes \eta$ können wir auch $$ (\omega\wedge\eta)_p(X_1,\dots,X_{k+\ell})=\frac{1}{k!\ell!}\sum_{\pi\in S_{k+\ell}} \opn{sgn}(\pi)\cdot \omega_p\otimes\eta_p(X_{\pi(1)},\dots,X_{\pi(k)},X_{\pi(k+1)},\dots,X_{\pi(k+\ell)}) $$ schreiben. Analog zu den 2-Formen nennt man in diesem Fall $\opn{Alt}(T)$ gegeben durch $$ \opn{Alt}(T)(X_1,\dots,X_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\pi\in S_{k}} \opn{sgn}(\pi)\cdot T(X_{\pi(1)},\dots,X_{\pi(k)}) $$ die Antisymmetrisierung des $(0,k)$-Tensors $T$. Mit diesem Begriff könnten wir dann auch $$ (\omega\wedge\eta)_p=\frac{(k+\ell)!}{k!\ell!}\opn{Alt}(\omega_p\otimes \eta_p) $$ schreiben. Direkt mit der Definition erhält man den Wir können daher problemlos etwas wie $\omega_1\wedge\omega_2\wedge\dots\wedge\omega_k$ schreiben. Auch in diesem Fall kann man analog zu den 2-Formen eine Basis für die $k$-Formen finden. Für eine Karte $(U,x^1,\dots,x^n)$ von $\mathbb R^n$ bilden die $k$-Formen $$ \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge \d x^{i_k} $$ für $1\leq i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k\leq n$ eine Basis für $\Omega^k(U)$. Eine $k$-Form $\omega$ kann daher bezüglich dieser Karte auf $U$ durch $$ \omega=\omega_{i_1i_2\dots i_k}\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge \d x^{i_k} $$ (hier versteht es sich, dass nur über Indizes mit $1\leq i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k\leq n$ summiert wird) mit glatten Funktionen $\omega_{i_1i_2\dots i_n}\colon U\to\mathbb R$ dargestellt werden. Insbesondere haben wir also $$ \dim(\Omega^k(\mathbb R^n))=\text{Anzahl der Tupel } (i_1,i_2,\dots,i_k) \text{ mit } 1\leq i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k\leq n=\binom nk. $$ Zuletzt hat man auch für das allgemeinere äußere Produkt von mehreren 1-Formen eine Darstellung mit Hilfe der Determinante, also wieder eine schöne geometrische Interpretation. Seien dazu $\omega_1,\dots,\omega_k\in \Omega^1(\mathbb R^n)$ glatte 1-Formen. Dann ist $$ \omega_1\wedge\omega_2\wedge\dots\wedge\omega_k(X_1,\dots,X_{k})=\det \begin{pmatrix} \omega_1(X_1) & \omega_1(X_2) & \dots & \omega_1(X_k) \\ \omega_2(X_1) & \omega_2(X_2) & \dots & \omega_2(X_k) \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \omega_k(X_1) & \omega_k(X_2) & \dots & \omega_k(X_k) \end{pmatrix} $$ für Vektorfelder $X_1,\dots,X_{k}$. Sind $x^1,\dots,x^n$ die kartesischen Koordinaten auf $\mathbb R^n$, dann ist $$ \mathcal V:=\d x^1\wedge \d x^2\wedge \dots\wedge \d x^n $$ die so genannte Volumenform auf $\mathbb R^n$. Hat $\mathcal V$ diesen Namen verdient? Warum?

Die äußere Algebra der Differentialformen

Es ist algebraisch gesehen etwas unbefriedigend, dass das äußere Produkt zweier oder mehrerer Formen nicht wieder eine Form des selben "Typs" ist. Zum Beispiel ist ja das äußere Produkt einer $k$-Form und einer $\ell$-Form eine $(k+\ell)$-Form. Deshalb führt man häufig die so genannte äußere Algebra $\Omega(\mathbb R^n)$ ein (man sagt auch Grassmann-Algebra dazu). Konkret ist $$ \Omega(\mathbb R^n):=\bigoplus_{k=0}^n \Omega^k(\mathbb R^n)=\Omega^0(\mathbb R^n)\oplus\Omega^1(\mathbb R^n)\oplus\dots\oplus\Omega^n(\mathbb R^n). $$ Das bedeutet, dass die Elemente von $\Omega(\mathbb R^n)$ $(n+1)$-Tupel $(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_n)$ sind, wobei $\omega_j$ jeweils eine $j$-Form ist. Durch komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation bildet $\Omega(\mathbb R^n)$ somit einen $\mathbb R$-Vektorraum der Dimension $$ \dim(\Omega^0(\mathbb R^n)\oplus\dots\oplus\Omega^n(\mathbb R^n))=\dim(\Omega^0(\mathbb R^n))+\dots+\dim(\Omega^n(\mathbb R^n))=\binom n0 +\dots +\binom nn=2^n. $$ Vermöge der kanonischen Inklusion $$ \Omega^k(\mathbb R^n)\hookrightarrow \Omega(\mathbb R^n), \ \omega_k\mapsto (0,\dots,0,\omega_k,0,\dots,0) $$ kann $(0,\dots,0,\omega_k,0,\dots,0)\in \Omega(\mathbb R^n)$ mit $\omega_k\in\Omega^k(\mathbb R^n)$ identifiziert werden. Mit dieser Identifikation kann nun jedes Element von $\Omega(\mathbb R^n)$ auf eindeutige Weise als Summe $$ f+\omega_1+\omega_2+\dots+\omega_n $$ dargestellt werden, wobei man $\Omega^0(\mathbb R^n)=C^\infty(\mathbb R^n)$ beachte. Man kann dann das äußere Produkt $\wedge$ durch lineare Fortsetzung zu einer bilinearen Abbildung $\wedge\colon \Omega(\mathbb R^n)\times\Omega(\mathbb R^n)\to\Omega(\mathbb R^n)$ fortsetzen. Ist zum Beispiel $\omega$ eine 1-Form, $\Psi$ eine 2-Form und $\theta$ eine 3-Form, dann bedeutet das $$ \omega\color{blue}{\wedge}(\Psi+\theta)=\omega\color{red}{\wedge} \Psi+\omega\color{red}{\wedge} \theta. $$ Dabei ist $\color{red}{\wedge}$ das bereits definierte äußere Produkt zwischen 1- und 2-Formen bzw. zwischen 1- und 3-Formen und $\color{blue}{\wedge}$ das neue fortgesetzte äußere Produkt auf $\Omega(\mathbb R^n)$. Wir halten abschließend noch einige Eigenschaften dieses "neuen" äußeren Produkts fest.

Die Cartan-Ableitung

Wir haben bereits gesehen, dass $\d f$ für jede glatte Funktion $f\in C^\infty(\mathbb R^n)$ eine glatte 1-Form ist, so dass $$ (\d f)_p(X)=X(f) $$ gilt. $X(f)$ ist dabei die Richtungsableitung von $f$ in $p$ entlang einer glatten Kurve $\gamma$ (nämlich solch eine Kurve $\gamma$ für die $X=X_{\gamma,p}$ gilt). Die 1-Form $\d f$ enthält daher die Informationen über die Richtungsableitungen von $f$ an jedem Punkt $p$ entlang jeder glatten Kurve $\gamma$ mit $\gamma(0)=p$. In diesem Kontext spricht man bei glatten Funktionen auch von 0-Formen. Wir setzen also $\Omega^0(\mathbb R^n)=C^\infty(\mathbb R^n)$. Wir können dieses $\d$ daher auch als eine Abbildung $$ \d\colon \Omega^0(\mathbb R^n)\to \Omega^1(\mathbb R^n), \ f\mapsto \d f $$ auffassen, die aus einer 0-Form $f$ (einer glatten Funktion) eine glatte 1-Form $\d f$ macht. So formuliert ist es eine natürliche Frage, ob es eine analoge Abbildung $\d$ gibt, die aus einer $k$-Form $\omega$ eine $(k+1)$-Form $\d\omega$ macht.

Die Cartan-Ableitung für 1-Formen

Betrachten wir eine $1$-Form $\omega$. Wie können wir daraus eine zugehörige $2$-Form $\d \omega$ machen? $\d \omega$ soll nun zwei Vektorfelder $X$ und $Y$ "essen" und daraus eine glatte Funktion $\d \omega(X,Y)$ machen. Als ersten Ansatz könnte man $$ \d \omega(X,Y)=X(\omega(Y)) $$ versuchen. $\omega(Y)$ ist eine glatte Funktion und wir können das Vektorfeld $X$ darauf anwenden, indem wir $X(\omega(Y))_p=X_p(\omega_p(Y_p))$ rechnen. Dann ist $X(\omega(Y))$ in der Tat eine glatte Funktion. Allerdings ist dann $\d \omega(X,Y)$ nicht antisymmetrisch, denn es ist $$ Y(\omega(X))\neq -X(\omega(Y)). $$ Wir können daher ähnlich wie beim äußeren Produkt eine Antisymmetrisierung vornehmen und als nächstes $$ \d \omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X)) $$ versuchen. Das kann aber immer noch nicht die Lösung sein. $\d \omega$ sollte in Analogie zu $\d f$ die Änderung von $\omega$ "in alle Richtungen" messen - die konkreten Vektorfelder $X$ und $Y$ sollten damit nichts zu tun haben. Aber offensichtlich ist die Änderung von $\omega(X)$ sowohl von $\omega$ als auch von $X$ abhängig. Analog ist die Änderung von $\omega(Y)$ sowohl von $\omega$ als auch von $Y$ abhängig. Wir müssen uns also noch überlegen, wie die Änderungen von $X$ und $Y$ in obige Formel eingehen und diesen Beitrag zur Formel eliminieren. Die glatte Funktion $\omega([X,Y])$ enthält genau die Information, wie die Änderung von $X$ und $Y$ in unsere Formel für $\d \omega(X,Y)$ eingehen. Entfernen wir diesen Beitrag, dann erhalten wir das gewünschte Ergebnis. Diese Formel ist unabhängig von irgendwelchen Koordinaten oder Karten und global gültig! Direkt aus der Formel für $\d \omega$ erhalten wir den folgenden Man kann die Aussage des obigen Satzes auch in zwei Gleichungen aufteilen: $$ \d (\omega+\eta)=\d\omega+\d\eta, \quad \d(f\omega)=\d f\wedge\omega+f\dd\omega. $$ Für konkrete Berechnungen ist es nun aber trotzdem wichtig, dass man einen Ausdruck für $\d \omega$ in Koordinaten hat. Sei dazu $(U,x^1,\dots,x^n)$ irgendeine Karte von $\mathbb R^n$. Bezüglich dieser Karte können wir eine $1$-Form $\omega$ auf $U$ durch $$ \omega=\omega_1 \dd x^1+\dots+\omega_n\dd x^n=\omega_j\dd x^j $$ darstellen, wobei die Komponentenfunktionen $\omega_j\colon U\to \mathbb R$ glatt sind. Mit Hilfe des letzten Satzes erhalten wir dann $$ \d\omega=\d(\omega_j\dd x^j)=\d\omega_j\wedge \d x^j=\left(\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\dd x^i\right)\wedge \d x^j. $$ Weiter haben wir \[ \begin{align*} \left(\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\dd x^i\right)\wedge \d x^j &=\left(\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\dd x^i\right)\otimes \d x^j-\d x^j\otimes \left(\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\dd x^i\right) \\ &=\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\cdot (\d x^i\otimes \d x^j)-\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\cdot (\d x^j\otimes \d x^i) \\ &=\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}\cdot (\d x^i\otimes \d x^j-\d x^j\otimes \d x^i) \\ &=\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i} \dd x^i\wedge\d x^j. \end{align*} \] Insgesamt erhalten wir also auf $U$ $$ \d\omega=\d(\omega_j\dd x^j)=\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i} \dd x^i\wedge\d x^j. $$ Man beachte dabei, dass der Index $j$ bei $\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i}$ als unterer Index zählt. Ohne Summationskonvention hätten wir also $$ \d\omega=\sum_{i,j}\frac{\partial \omega_j}{\partial x^i} \dd x^i\wedge\d x^j. $$

Die Cartan-Ableitung für k-Formen

Der naheliegende nächste Schritt ist, das $\d$ auf 2-Formen zu erweitern. Dabei könnte man in Anbetracht der Koordinatendarstellung von $\d \omega$ für eine 1-Form $\omega$ direkt in Koordinaten hinschreiben, wie das $\d$ auf eine $2$-Form $\Psi$ wirken soll. Bezüglich einer Karte $(U,x^1,\dots,x^n)$ kann eine 2-Form in der Form $\Psi=\Psi_{ij} \dd x^i\wedge \d x^j$ mit glatten Funktionen $\Psi_{ij}\colon U\to \mathbb R$ dargestellt werden. Wir können dann lokal auf $U$ die 3-Form $\d\Psi$ durch $$ \d \Psi=\d (\Psi_{ij} \dd x^i\wedge \d x^j):=\d\Psi_{ij}\wedge\d x^i\wedge \d x^j $$ definieren. Daran erkennt man, wie das $\d$ wohl auf eine allgemeine $k$-Form $\omega$ wirken sollte. Bezüglich der Karte kann so eine Form $\omega$ durch $\omega=\omega_{j_1\dots j_k}\dd x^{j_1}\wedge\dots\wedge \d x^{j_k}$ dargestellt werden und wir können die $(k+1)$-Form $\d \omega$ dann durch $$ \d\omega=\d(\omega_{j_1\dots j_k}\dd x^{j_1}\wedge\dots\wedge \d x^{j_k}):=\d\omega_{j_1\dots j_k}\wedge\d x^{j_1}\wedge\dots\wedge \d x^{j_k} $$ definieren. Für praktische Zwecke ist das sehr hilfreich. Allerdings ist das zunächst nur eine lokale Definition (auch wenn das für $\mathbb R^n$ nicht so schlimm ist, da wir hier auch eine globale Karte mit den kartesischen Koordinaten haben) und außerdem wäre es schön, wenn wir auch hier eine globale koordinatenunabhängige Formel hätten. Diese gibt es auch! Die Notation $(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,X_{k+1})$ bedeutet dabei, dass der Eintrag $X_i$ ausgelassen bzw. weggelassen wird. Man kann sich an dieser Stelle natürlich fragen, warum man das $\d$ ausgerechnet so definieren sollte bzw. warum man es nicht von Anfang an grundlegend anders gemacht hat. Der folgende Satz zeigt, warum unsere Definition von $\d$ die "natürlichste" bzw. die "richtige" ist. Zunächst kann man $\d$ durch lineare Fortsetzung zu einer $\mathbb R$-linearen Abbildung $\d\colon \Omega(\mathbb R^n)\to \Omega(\mathbb R^n)$ erweitern. Dann hat man den folgenden

Geschlossene und exakte Formen

Nach dem letzten Satz des letzten Unterkapitels gilt $\d(\d\omega)=0$ für jede $k$-Form $\omega$. Man kürzt das gerne durch $\d^2=0$ ab. Wenn $\d\omega=0$ für eine Differentialform $\omega$ gilt, dann nennt man diese Form geschlossen. Wenn es für eine $k$-Form $\omega$ eine $(k-1)$-Form $\eta$ mit $\omega=\d\eta$ gibt, dann nennt man die Form $\omega$ exakt. Die Erkenntnis $\d^2=0$ besagt dann einfach, dass jede exakte Form auch geschlossen ist. Gilt $\omega=\d\eta$, dann würde man in der Physik sagen, dass $\eta$ ein Potential von $\omega$ ist. Man erkennt dann sofort, dass ein Potential niemals eindeutig sein kann: wenn $\eta\in \Omega^{k-1}(\mathbb R^n)$ ein Potential für $\omega$ und $\theta\in \Omega^{k-2}(\mathbb R^n)$ ist, dann haben wir $$ \d(\eta+\d\theta)=\d\eta+\d(\d\theta)=\d\eta+0=\d\eta=\omega $$ und somit ist $\eta+\d\theta$ ebenfalls ein Potential von $\omega$. Diese Freiheit bei der Wahl des Potentials nennt man in der Physik eine Eichfreiheit und die Transformation $\eta \to \eta+\d\theta$ eine Eichtransformation.

Ausblick: de Rham Kohomologie

Wir wollen an dieser Stelle einen ganz kurzen Ausblick in die de Rham Kohomologie wagen. Betrachten wir eine offene Menge $U\subseteq \mathbb R$ und eine glatte Funktion $f\colon U\to \mathbb R$ mit $f'(x)=0$ für alle $x\in U$, also $\d f=0$. Können wir dann schließen, dass $f$ konstant ist? Nicht unbedingt. Wenn z.B. $U=(0,1)\cup (2,3)$ ist und wir $f(x)=0$ für $x\in (0,1)$ und $f(x)=1$ für $x\in (2,3)$ definieren, dann ist $f$ geschlossen - $\d f=0$ - aber $f$ ist nicht konstant. Die Tatsache, dass $f$ in diesem Fall nicht unbedingt konstant ist hängt also damit zusammen, dass der Definitionsbereich $U$ ein "Loch" haben könnte. Man erkennt daran bereits, dass bestimmte Eigenschaften von Differentialformen mit der globalen Topologie der jeweiligen Mannigfaltigkeit zu tun haben. Zum Beispiel könnten wir die obige Erkenntnis dazu hernehmen, um mathematisch präzise zu definieren, was wir mit einem "Loch im Definitionsbereich" überhaupt meinen. Allgemeiner beschäftigt sich die de Rham Kohomologie mit der Frage, inwiefern sich geschlossene und exakte Formen unterscheiden. Wegen $\d^2=0$ wissen wir bereits, dass jede exakte Form auch geschlossen ist. Die interessante Frage ist daher, ob jede geschlossene Form auch exakt ist und falls nicht, inwiefern sich die beiden Konzepte unterscheiden? Ist $U\subseteq \mathbb R^n$ offen, dann haben wir die folgende Sequenz $$ 0\longrightarrow \Omega^0(U)\overset{\d_0}{\longrightarrow}\Omega^1(U)\overset{\d_1}{\longrightarrow}\Omega^2(U)\overset{\d_2}{\longrightarrow}\dots\overset{\d_{n-1}}{\longrightarrow} \Omega^n(U)\overset{\d_n}{\longrightarrow}0. $$ Dabei ist mit $\d_k$ jeweils die Cartan-Ableitung $\d_k\colon \Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U)$ gemeint. Oftmals bezeichnen wir alle Abbildungen $\d_k$ auch einfach mit $\d$. Die fundamentale Identität $\d^2=0$ (also $\d_k\circ\d_{k-1}=0$) liefert uns an dieser Stelle, dass $$ \opn{im}(\d_{k-1})=\lbrace \omega\in \Omega^{k}(U)\mid \exists \eta\in \Omega^{k-1}(U): \d\eta=\omega\rbrace\subseteq \lbrace \omega\in \Omega^{k}(U)\mid \d\omega=0\rbrace=\ker(\d_k) $$ gilt, was erneut nur eine andere Ausdrucksweise davon ist, dass jede exakte Form auch geschlossen ist. Wir können dann aber den Quotientenvektorraum $$ H^k(U):=\ker(\d_k)/\opn{im}(\d_{k-1}) $$ betrachten. Die Elemente von $H^k(U)$ sind Äquivalenzklassen $[\omega]$ von $k$-Formen, wobei zwei $k$-Formen $\omega$ und $\eta$ als äquivalent betrachtet werden, wenn sie sich um eine exakte Form unterscheiden. Man sagt dann auch, dass $\omega$ und $\eta$ kohomolog sind. Der so genannte $k$-te de Rham Kohomologie Vektorraum $H^k(U)$ quantifiziert also auf eine präzise Art und Weise, wie sehr sich die geschlossenen von den exakten $k$-Formen unterscheiden. Der Beweis dieses Satzes ist allein mit Methoden der reellen Analysis möglich und somit eine nette Übungsaufgabe. An dieser Stelle wollen wir nur noch ein wichtiges Resultat in diesem Kontext formulieren. Für eine genauere Untersuchung der de Rham Kohomologie fehlen uns in diesem Artikel die Methoden und Begriffe. Es sei aber noch folgendes gesagt: Es stellt sich heraus, dass die de Rham Kohomologie Vektorräume Homotopieinvarianten sind! Das heißt, dass sie nur von der Topologie der Mannigfaltigkeit abhängen. Das ist in der Tat bemerkenswert, denn die Differentialformen hängen an und für sich natürlich fundamental mit der differenzierbaren Struktur zusammen.

Anwendung: Die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik

In diesem Kapitel wollen wir zeigen, wie schön (und einfach!) die Elektrodynamik mit dem Formalismus der Differentialformen wird. Fast schon nebenbei zeigen wir, wie sich die gesamte Vektoranalysis als einfacher Spezialfall dieser viel allgemeineren Theorie entpuppt. Wir orientieren uns in diesem Kapitel oft an Act V von "Visual Differential Geometry and Forms" von Tristan Needham.

Vektoranalysis mit Differentialformen

Polemisch formuliert beruht die gesamte Vektoranalysis auf zwei reinen Zufällen: Die Theorie der Differentialformen funktioniert in jeder Dimension, aber $\bullet$ Nur im $\mathbb R^3$ kann man eine 2-Form mit einem Vektor identifizieren. $\bullet$ Nur im $\mathbb R^3$ kann das äußere Produkt von zwei 1-Formen mit dem Kreuzprodukt von zwei Vektoren identifiziert werden. Wir erinnern uns zunächst an die Korrespondenz zwischen Vektoren des $\mathbb R^3$ und 1-Formen bzw. zwischen Vektoren des $\mathbb R^3$ und 2-Formen. Es seien $x,y,z$ die kartesischen Koordinaten auf $\mathbb R^3$. Dann haben wir die Korrespondenzen $$ \omega=\omega_1 \dd x+\omega_2 \dd y+\omega_3 \dd z \ \longleftrightarrow \ \underline\omega=\vec{\omega_1}{\omega_2}{\omega_3} $$ und $$ \Psi=\Psi_{23} \dd y\wedge \d z+\Psi_{31} \dd z \wedge \d x +\Psi_{12}\dd x\wedge \d y \ \longleftrightarrow \ \underline\Psi=\vec{\Psi_{23}}{\Psi_{31}}{\Psi_{12}}. $$ Wir haben bereits gesehen, dass die äußere Ableitung einer 0-Form (also das Differential einer glatten Funktion) $f$ unter obiger Korrespondenz dem Gradienten der Vektoranalysis entspricht $$ \d f \ \longleftrightarrow \ \underline{\d f}=\nabla f. $$ Wir wollen uns nun der äußeren Ableitung $\d \omega$ einer 1-Form $\omega$ widmen. Schreiben wir bezüglich den kartesischen Koordinaten $\omega=\omega_1 \dd x+\omega_2 \dd y+\omega_3 \dd z$, dann haben wir \[ \begin{align*} \d\omega &=\d(\omega_1 \dd x+\omega_2 \dd y+\omega_3 \dd z)=\d\omega_1\wedge\d x+\d\omega_2\wedge \d y+\d\omega_3\wedge \d z \\ &=\left(\frac{\partial \omega_1}{\partial x} \dd x+\frac{\partial \omega_1}{\partial y} \dd y+\frac{\partial \omega_1}{\partial z} \dd z\right)\wedge \d x+\left(\frac{\partial \omega_2}{\partial x} \dd x+\frac{\partial \omega_2}{\partial y} \dd y+\frac{\partial \omega_2}{\partial z} \dd z\right)\wedge \d y+\left(\frac{\partial \omega_3}{\partial x} \dd x+\frac{\partial \omega_3}{\partial y} \dd y+\frac{\partial \omega_3}{\partial z} \dd z\right)\wedge \d z \\ &=\left(\frac{\partial \omega_1}{\partial y} \dd y+\frac{\partial \omega_1}{\partial z} \dd z\right)\wedge \d x+\left(\frac{\partial \omega_2}{\partial x} \dd x+\frac{\partial \omega_2}{\partial z} \dd z\right)\wedge \d y+\left(\frac{\partial \omega_3}{\partial x} \dd x+\frac{\partial \omega_3}{\partial y} \dd y\right)\wedge \d z \\ &=\frac{\partial \omega_1}{\partial y} \dd y\wedge \d x+\frac{\partial \omega_1}{\partial z} \dd z\wedge \d x+\frac{\partial \omega_2}{\partial x} \dd x\wedge \d y+\frac{\partial \omega_2}{\partial z} \dd z\wedge \d y+\frac{\partial \omega_3}{\partial x} \dd x\wedge \d z+\frac{\partial \omega_3}{\partial y} \dd y\wedge \d z \\ &=\frac{\partial \omega_3}{\partial y} \dd y\wedge \d z -\frac{\partial \omega_2}{\partial z} \dd y\wedge \d z+\frac{\partial \omega_1}{\partial z} \dd z\wedge \d x-\frac{\partial \omega_3}{\partial x} \dd z\wedge \d x +\frac{\partial \omega_2}{\partial x} \dd x\wedge \d y-\frac{\partial \omega_1}{\partial y} \dd x\wedge \d y \\ &=\left(\frac{\partial \omega_3}{\partial y}-\frac{\partial \omega_2}{\partial z}\right) \dd y\wedge \d z+\left(\frac{\partial \omega_1}{\partial z}-\frac{\partial \omega_3}{\partial x}\right)\dd z\wedge \d x+\left(\frac{\partial \omega_2}{\partial x}-\frac{\partial \omega_1}{\partial y}\right) \dd x\wedge \d y, \end{align*} \] also insgesamt $$ \d\omega=\left(\frac{\partial \omega_3}{\partial y}-\frac{\partial \omega_2}{\partial z}\right) \dd y\wedge \d z+\left(\frac{\partial \omega_1}{\partial z}-\frac{\partial \omega_3}{\partial x}\right)\dd z\wedge \d x+\left(\frac{\partial \omega_2}{\partial x}-\frac{\partial \omega_1}{\partial y}\right) \dd x\wedge \d y. $$ Man halte sich fest: unter der obigen Korrespondenz korrespondiert $\d \omega$ zu der Rotation $\rot(\underline\omega)$ von $\underline\omega$, also Sind allgemeiner $\omega=\omega_1 \dd x+\omega_2\dd y+\omega_3 \dd z$ und $\eta=\eta_1 \dd x+\eta_2\dd y+\eta_3 \dd z$ zwei glatte 1-Formen, so erhalten wir \[ \begin{align*} \omega \wedge \eta &=(\omega_1 \dd x+\omega_2\dd y+\omega_3 \dd z)\wedge(\eta_1 \dd x+\eta_2\dd y+\eta_3 \dd z) \\ &=\omega_1\eta_2\dd x\wedge \d y+\omega_1\eta_3\dd x\wedge \d z+\omega_2\eta_1 \dd y\wedge \d x+\omega_2\eta_3\dd y\wedge \d z+\omega_3\eta_1 \dd z \wedge \d x+\omega_3\eta_2 \dd z\wedge \d y \\ &=(\omega_2\eta_3-\omega_3\eta_2)\dd y\wedge \d z+(\omega_3\eta_1-\omega_1\eta_3) \dd z \wedge \d x+(\omega_1\eta_2-\omega_2\eta_1)\dd x\wedge \d y. \end{align*} \] Wir erhalten also allgemeiner die Korrespondenz Nun betrachten wir eine $2$-Form $\Psi=\Psi_{23} \dd y\wedge \d z+\Psi_{31} \dd z \wedge \d x +\Psi_{12}\dd x\wedge \d y$. Dann haben wir \[ \begin{align*} \d\Psi &=\d(\Psi_{23} \dd y\wedge \d z+\Psi_{31} \dd z \wedge \d x +\Psi_{12}\dd x\wedge \d y) \\ &=\d\Psi_{23}\wedge \d y\wedge \d z+\d\Psi_{31} \wedge\d z \wedge \d x+\d\Psi_{12}\wedge\d x\wedge \d y \\ &=\frac{\partial \Psi_{23}}{\partial x}\dd x\wedge \d y\wedge \d z +\frac{\partial \Psi_{31}}{\partial y} \dd y \wedge\d z \wedge \d x+\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial z}\dd z\wedge\d x\wedge \d y \\ &=\left(\frac{\partial \Psi_{23}}{\partial x}+\frac{\partial \Psi_{31}}{\partial y}+\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial z}\right) \dd x\wedge\d y\wedge\d z, \end{align*} \] also insgesamt $$ \d\Psi=\left(\frac{\partial \Psi_{23}}{\partial x}+\frac{\partial \Psi_{31}}{\partial y}+\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial z}\right) \dd x\wedge\d y\wedge\d z. $$ Man halte sich erneut fest: $\d \Psi$ korrespondiert unter der Korrespondenz $$ f(x,y,z) \dd x\wedge \d y\wedge \d z \ \longleftrightarrow \ f(x,y,z) $$ zu der Divergenz $\div(\underline\Psi)$ von $\underline\Psi$, also wobei $\mathcal V=\d x\wedge \d y\wedge \d z$ die Volumenform von $\mathbb R^3$ bezeichnet. Die fundamentale Identität $\d^2=0$ hat durch die obigen Erkenntnisse eine wichtige Bedeutung für die klassische Vektoranalysis. Betrachten wir $\omega=\d f$, dann erhalten wir sofort die folgende bekannte Aussage der Vektoranalysis Nehmen wir stattdessen $\Psi=\d\omega$, dann erhalten wir Wir können diese Erkenntnisse in folgendem Diagramm zusammenfassen, welches nochmal eindrucksvoll zeigt, wie viel schöner, einheitlicher und einfacher die Theorie der Differentialformen ist. Wenn man mit Formen arbeitet, dann muss man sich diese und viele andere Identitäten der Vektoranalysis nicht mehr merken. Vielmehr, wenn man sie wirklich braucht, kann man solche Identitäten mit Hilfe von Differentialformen herleiten - oftmals sehr viel schneller und einfacher als mit den Methoden der Vektoranalysis. Zuletzt kann man als Faustregel festhalten: Je komplizierter die Vektoranalysis-Identitäten werden, desto größer wird die vereinfachende Kraft von Differentialformen.

Das Setting der Elektrodynamik

Wir sind nun bereit, die Maxwell-Gleichungen mit dem Formalismus der Differentialformen zu formulieren. In der klassischen Formulierung geht es dabei um das elektrische Feld $E=(E_x,E_y,E_z)$ und das Magnetfeld $B=(B_x,B_y,B_z)$, die beide von Raum und Zeit abhängig sind. Wir betrachten es allerdings etwas anders. Zunächst befinden wir uns nicht mehr im euklidischen $\mathbb R^3$, sondern können die Elektrodynamik direkt auf der Minkowski-Raumzeit $M$ formulieren. Diese ist die glatte Mannigfaltigkeit $\mathbb R^4$ mit Standardtopologie und dem glatten Atlas, der von der Karte $(\mathbb R^4,\opn{id}_{\mathbb R^4})$ erzeugt wird. Weiter haben wir auf $M$ eine Lorentz-Metrik $g$ mit der Signatur $(-,+,+,+)$. Bezeichnen wir die kartesischen Koordinaten auf $M$ mit $t,x,y,z$, dann ist die Metrik $g$ bezüglich diesen Koordinaten durch $$ g=-\d t\otimes\d t+\d x\otimes \d x+\d y\otimes \d y+\d z\otimes \d z $$ gegeben. Dabei verwenden wir Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit $c\equiv 1$ ist. Einsteins Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie im Jahre 1905 war unmittelbar mit der Elektrodynamik verbunden. Am Anfang seines Papers von 1905 schreibt Einstein: "Daß die Elektrodynamik Maxwells - wie dieselbe gegenwärtig aufgefaßt zu werden pflegt - in ihrer Anwendung auf bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z.B. an die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, daß der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Bewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber - Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefassten Fällen vorausgesetzt - zu elektrischen Strömen von derselben Größe demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die elektrischen Kräfte" Einstein hat also realisiert, dass weder das klassische elektrische Feld noch das klassische Magnetfeld getrennt voneinander eine absolute Existenz haben - beide sind lediglich beobachterabhängige Realisierungen eines einzigen elektromagnetischen Felds. Dies führte ihn (unter anderem über Minkowski) zu der Erkenntnis, dass Raum und Zeit keine voneinander unabhängige absolute Existenz haben - beide sind lediglich beobachterabhängige Aspekte der Geometrie der Raumzeit, welche eine absolute Existenz besitzt. Anstatt also mit der unhaltbaren klassischen Formulierung des elektrischen und magnetischen Feldes zu arbeiten, setzen wir nun $$ E=E_x\dd y\wedge \d z+E_y \dd z\wedge \d x+E_z\dd x\wedge \d y $$ und $$ \varepsilon=E_x \dd x+E_y\dd y+E_z\dd z. $$ Weiter setzen wir $$ B=B_x \dd y\wedge \d z+B_y \dd z\wedge \d x+B_z\dd x\wedge \d y $$ und $$ \beta=B_x \dd x+B_y\dd y+B_z\dd z. $$ $\underline E$ bzw. $\underline \varepsilon$ sind dann also das klassische elektrische Feld und $\underline B$ bzw. $\underline\beta$ das klassische Magnetfeld. Mit diesen Bezeichnungen hat Einstein also entdeckt, dass keine der obigen Formen $E,\varepsilon,B,\beta$ eine absolute beobachterunabhängige Existenz hat. D.h. das Beobachter, die sich relativ zueinander in Bewegung befinden, nicht über die Stärke des elektrischen bzw. magnetischen Felds übereinstimmen. Gleichzeitig stimmen sie aber auch nicht über Raum und Zeit überein. Letzteres geschieht auf eine Weise, die die physikalischen Phänomene unabhängig von der Relativbewegung der Beobachter macht - schließlich gibt es nur eine einzige physikalische Realität. Bemerkenswerterweise gibt es aber eine Art und Weise die obigen Formen zu einem einzigen elektromagnetischen Feld zusammenzusetzen, welches eine absolute Existenz in der Raumzeit $M$ besitzt! Diese mit $F$ bezeichnete $2$-Form heißt die Faraday 2-Form und ist durch gegeben. Betrachten wir nun eine Ladung $q$ in dem durch $F$ beschriebenen elektromagnetischen Feld. Die Ladung $q$ habe eine 4-Geschwindigkeit $v$, einen 4-Impuls, der durch eine 1-Form $p$ beschrieben wird und die Eigenzeit $\tau$. Die $1$-Form $qF(\cdot,v)$ beschreibt nun die elektromagnetische Kraft, die auf die Ladung $q$ wirkt $$ \frac{\d p}{\d\tau}=qF(\cdot,v). $$ Durch Einsetzen eines Vektors $u$ in diese $1$-Form erhält man (physikalisch) den Betrag der Kraft, die in die Richtung des eingesetzten Vektors wirkt. Man vergleiche das mit dem komplizierten Gesetz der Lorentz-Kraft: Die Ableitung des räumlichen Impulses $p$ eines Teilchens mit der räumlichen Geschwindigkeit $v$ ist durch $$ \frac{\d p}{\d t}=q(\underline E+v\times\underline B) $$ gegeben. Man bedenke: Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, würden über $p$, $\underline E$, $v$ und $\underline B$ nicht übereinstimmen! Das geometrische (also beobachterunabhängige) Raumzeit-Gesetz $\frac{\d p}{\d\tau}=qF(\cdot,v)$ ist an dieser Stelle, wie ich finde, wesentlich eleganter und einfacher. Zuletzt können wir uns noch überlegen, wie die Komponenten von $F$ bezüglich der Karte $(\mathbb R^4,t,x,y,z)$ der Raumzeit $M$ aussehen. Wir wollen also $$ F=F_{\mu \nu} \dd x^\mu\wedge \d x^\nu $$ schreiben, wobei $\mu,\nu=0,1,2,3$ und $x^0=t,x^1=x,x^2=y,x^3=z$. Aufgrund der Antisymmetrie haben wir $F_{\mu\mu}=0$ und $F_{\mu \nu}=-F_{\nu\mu}$. Wir müssen daher nur $F_{01}, F_{02},F_{03},F_{12}, F_{13}$ und $F_{23}$ bestimmen. Wir haben \[ \begin{align*} F_{01}=F(\partial_t,\partial_x) &=\varepsilon\wedge\d t(\partial_t,\partial_x)+B(\partial_t,\partial_x)=\varepsilon(\partial_t)\cdot \d t(\partial_x)-\d t(\partial_t)\cdot \varepsilon(\partial_x)+B(\partial_t,\partial_x)=-E_x \\ F_{02}=F(\partial_t,\partial_y) &=-E_y \\ F_{03}=F(\partial_t,\partial_z) &=-E_z \\ F_{12}=F(\partial_x,\partial_y) &=\varepsilon(\partial_x)\cdot \d t(\partial_y)-\d t(\partial_x)\cdot \varepsilon(\partial_y)+B(\partial_x,\partial_y)=B_z \\ F_{13}=F(\partial_x,\partial_z) &=\varepsilon(\partial_x)\cdot \d t(\partial_z)-\d t(\partial_x)\cdot \varepsilon(\partial_z)+B(\partial_x,\partial_z)=-B_y \\ F_{23}=F(\partial_y,\partial_z) &=\varepsilon(\partial_y)\cdot \d t(\partial_z)-\d t(\partial_y)\cdot \varepsilon(\partial_z)+B(\partial_y,\partial_z)=B_x. \end{align*} \] Insgesamt haben wir also die folgenden Komponenten der Faraday 2-Form bezüglich unserer Karte: $$ (F_{\mu\nu})_{0\leq \mu,\nu\leq 3} =\begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}. $$ Mit der anderen Signatur $(+,-,-,-)$ würde man entsprechend die mit $-1$ multiplizierten Komponenten erhalten.

Die Maxwell-Gleichungen

Wir beginnen nun mit den quellenfreien Maxwell-Gleichungen, welche in der Vektoranalysis die Gestalt $$ \nabla\cdot\underline B=0, \quad \nabla\times\underline E+\frac{\partial}{\partial t}\underline B=0 $$ annehmen. Wir bezeichnen von nun an mit $\d_R$ den räumlichen Anteil der äußeren Ableitung auf $M$, so dass also $$ \d f=\d_Rf+\frac{\partial f}{\partial t}\dd t $$ gilt. Mit dieser nützlichen Bezeichnung betrachten wir nun die äußere Ableitung der Faraday 2-Form $F$. Es ist $$ \d F=\d(\varepsilon\wedge \d t)+\d B. $$ Weiter ist $$ \d(\varepsilon\wedge \d t)=\d\varepsilon\wedge \d t=\d_R\varepsilon\wedge \d t=(\text{2-Form zu } \nabla\times\underline E)\wedge \d t. $$ Zudem ist $$ \d B=\d_RB+\left(\frac{\partial B_x}{\partial t} \dd t\wedge \d y\wedge \d z+\dots\right)=(\nabla\cdot \underline B)\mathcal V+\d t\wedge\left(\frac{\partial B_x}{\partial t}\dd y\wedge \d z+\dots\right) $$ und somit $$ \d B=(\nabla\cdot \underline B)\mathcal V+\d t\wedge \frac{\partial}{\partial t}B. $$ Wegen $\d t\wedge \frac{\partial}{\partial t}B=\frac{\partial}{\partial t}B\wedge\d t$ und weil $$ \frac{\partial}{\partial t}B=\text{2-Form zu } \frac{\partial}{\partial t}\underline B, $$ erhalten wir insgesamt $$ \d F=(\nabla\cdot \underline B)\mathcal V+\left(\text{2-Form zu } \nabla\times\underline E+\frac{\partial}{\partial t}\underline B\right)\wedge\d t. $$ Ein Blick auf die quellenfreien Maxwell-Gleichungen zeigt uns nun, welche einfache und schöne Erkenntnis sie uns eigentlich liefern wollen: Es stellt sich heraus (Poincaré Lemma), dass die Faraday 2-Form auch exakt ist. Es gibt daher eine 1-Form $A$ derart, dass $F=\d A$ gilt. In der klassischen Theorie betrachtet man das zugehörige Vektorpotential $\underline A$. Das erklärt auch direkt die Eichfreiheit, die man bei der Wahl des Potentials $A$ hat. Wir kommen nun zu den Maxwell-Gleichungen mit Quellen, also mit elektrischer Ladungsdichte $\rho$ und elektrischer Stromdichte $\underline j$. Diese nehmen mit den klassischen Schreibweisen folgende Gestalt an: $$ \nabla\cdot \underline E=4\pi\rho, \quad \nabla\times \underline B-\frac{\partial}{\partial t}\underline E=4\pi\underline j. $$ Zunächst können wir aus der Ladungsdichte und der Stromdichte eine 1-Form auf der Raumzeit machen. Wir setzen $$ J:=-\rho \dd t+j, $$ wobei $j$ die (räumliche) 1-Form ist, die zu dem (räumlichen) Vektorfeld $\underline j$ korrespondiert. Nun betrachten wir $\star J$, wobei $\star$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Letzterer bildet in unserem Fall eine $k$-Form auf der Raumzeit $M$ auf eine $(4-k)$-Form auf $M$ ab. Für die 1-Form $J$ erhält man dabei $$ \star J=-\rho \mathcal V+(\text{2-Form zu }\underline j)\wedge \d t. $$ Weiter ist die zur Faraday 2-Form duale sogenannte Maxwell 2-Form $\star F$ gegeben durch $$ \star F=\beta\wedge \d t-E. $$ Da $\star F$ sich von $F$ nur durch Ersetzen von $E$ und $B$ und durch ein zusätzliches Minuszeichen unterscheidet, können wir die obige Rechnung für $\d F$ übernehmen und erhalten $$ \d\star\! F=-(\nabla\cdot \underline E)\mathcal V+\left(\text{2-Form zu } \nabla\times\underline B-\frac{\partial}{\partial t}\underline E\right)\wedge\d t. $$ Durch die Maxwell-Gleichungen erhalten wir damit $$ \d\star\! F=4\pi\left(-\rho\mathcal V+\left(\text{2-Form zu }\underline j\right)\wedge \d t\right)=4\pi\star\! J. $$ Wir können all das zu folgender, sehr schönen, Erkenntnis zusammenfassen: Abschließend wollen wir beide Erkenntnisse noch zusammenfassen:

Abschließende Bemerkungen

Ich hoffe, dass dieser Artikel vor allem den "Opfern" der Vektoranalysis einen ersten Eindruck geben konnte, dass man diesen Zustand nicht länger ertragen muss! ;) Persönlich kann ich es einfach nicht mehr nachvollziehen, warum die Vektoranalysis heutzutage immer noch so präsent ist, aber Physik- und Mathematikstudenten häufig keinen bis wenig Kontakt zu Differentialformen haben. An meiner Uni höre ich sogar öfter mal "weil Differentialformen zu schwer und kompliziert sind" oder "weil das niemand braucht" - dieser Artikel hat hoffentlich das absolute Gegenteil aufgezeigt. Die Kraft und Schönheit der Differentialformen ist bereits auf dem $\mathbb R^n$ nicht zu übersehen und da ist es doch bemerkenswert, dass der gleiche Formalismus auf völlig allgemeinen glatten Mannigfaltigkeiten anwendbar ist. Durch Differentialformen wird also wirklich alles schöner, allgemeiner und sehr oft auch einfacher. Doch dieser Artikel war erst der Anfang der Schönheit. Im nächsten Artikel, der sich an diesen anschließen wird, wollen wir uns mit der Integration von Differentialformen beschäftigen - das ist quasi der "echte" Lebenszweck von Differentialformen. Dabei werden wir auch den allgemeinen Satz von Stokes betrachten, der die klassischen Integralsätze der Vektoranalysis vereinheitlicht und sehr viel einfacher macht. Nebenbei wird der Satz noch viele weitere bemerkenswerte Konsequenzen haben. Wer es nicht aushalten kann, darf schonmal einen Blick auf diesen wunderschönen Satz werfen: $$ \int_M \d \omega=\int_{\partial M} \omega. $$ In diesem Sinne: Bis zum nächsten mal :) LG Nico Vielen Dank an PhysikRabe für das Korrekturlesen und deine Anregungen!