Mathematik: Modell der Verhältnisse in Meta Palthens Zustellbezirk
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Zustellbezirk 23

Die wirklichen Verhältnisse sind erwartungsgemäß komplex, Häuser liegen rechts und links am Weg, Straßen sind zu kreuzen und die Eingänge der Häuser liegen teilweise etwas zurückgesetzt von der Straße, es gibt auch Einbahnstraßen, aber da Frau Palthen ihr Rad schiebt, muß man die nicht beachten. Auch Stockwerke sind für die Auswahl des Weges egal, denn sie, Frau Palthen, nimmt ja nicht alle noch auszutragenden Zeitungen mit in die Etagen.


Mein erster Gedanke waren Kanten mit Gewichten für die Wege und Entfernungen, für jedes Haus ein Punkt mit Eckengewicht für die Anzahl der Zeitungen abzugeben in dem Haus. Die Darstellung erreichte damit große Genauig- und Unübersichtlichkeit, ich wußte nicht mehr, was und wie ich damit rechnen sollte.

Schließlich habe ich mich gegen eine Eckenbewertung und für eine doppelte Kantenbewertung entschieden.

Doppelte Kantenbewertung

Das folgende Modell basiert auf dem Stadtplan, den Meta Palthen gesendet hat. Darin waren die Straßen ihres Bezirks markiert und die Anzahlen der Abonnenten sehr genau eingetragen.

Das Modell bildet die vorhandenen Straßen und Fußwege als Linien ab. Punkte stehen an Kreuzungen oder Verzweigungen der Straßen oder Wege und zusätzlich unterteilen Punkte längere Straßen in etwa gleich lange Abschnitte (von je ca. 50 m).

Doppelte Kantenbewertung

Zu jeder Kante gibt es zwei Zahlen: die erste (blau) steht für die Länge der Kante, die zweite (rot) für die Anzahl der Zeitungen, die auf dem Teilstück abzuliefern sind.

Der Ausgangspunkt X der Tour durch den Bezirk ist oben links (X). Dort holt Meta Palthen die Zeitungen ab. Da sie nordwestlich von X wohnt, führt der Rückweg ebenfalls über X.

[Neben den eingezeichneten Straßen gibt es weitere, die aber alle aus dem Bezirk hinausführen. Ein Weg durch diese Straßen kann unmittelbar als unnötiger Umweg angenommen werden.]

Eine Kante (Linie) mit der Bewertung 2|4 bedeutet:

  • Die Weglänge beträgt 2 * 50 m (diese Entfernung etwa ein größter gemeinsamer Teiler der vorkommenden Entfernungen), und
  • die Anzahl der auf diesem Abschnitt auszuteilenden Zeitungen ist 4.
  • Es gibt Wegstücke, auf denen keine Zeitungen auszuteilen sind, dafür ist die rote Bewertung gleich 0.
  • Die Gesamtzahl aller roten Bewertungen ist die Anzahl der Bezieher der Zeitung in diesem Bezirk.
  • Ich werde die Entferungszahl oft als ‚blaue‘ Bewertung und die Zeitungszahl als ‚rote‘ Bewertung ansprechen.

Gefragt ist nach einem Rundweg,

  • der bei X startet und endet, und
  • der durch jede Kante (Linie) mit einem roten Gewicht > 0 mindestens einmal führt.
  • Kanten mit rotem Gewicht 0 dürfen durchlaufen werden, müssen aber nicht.

Einen Weg durch den Bezirk werde ich als Folge von Kanten notieren. Die Kanten haben Namen von K1 bis K49.

Die Zuordnung der Kantennamen erfolgt von links nach rechts und von oben nach unten.

Für die Mathematiker Kollegen definiere ich:

Eine Zustelltour ist eine Folge von Kanten, die

  • einen geschlossenen Weg Z := k1 k2 k3 ... kn von X zurück nach X ergeben und
  • für die die Summe der roten Gewichte der Kanten ki 243 ergibt. [243 ist die mitgeteilte Anzahl der Zeitungen.]

Eine kürzeste Zustelltour ist eine Zustelltour mit minimaler Summe der blauen Gewichte.

Eine leichteste Zustelltour
ist eine Zustelltour Z := k1 k2 k3 ... kn,
für die folgender Ausdruck minimal ist:

[1]   G(Z) := = Minimal!
und
[2]    gilt.

Die Funktion rot() liefert die rote Bewertung einer Kante (Anzahl Zeitungen). Die Funktion blau() die blaue Bewertung (Entfernung in 50m).

Weil eine Kante auch mehrfach durchlaufen werden kann (auf dem Hinweg und dem Rückweg), aber schon auf dem Hinweg (so sei vereinbart) die Zeitungen ausgeteilt werden, wird das rote Kantengewicht nach dem ersten Durchlaufen einer Kante auf 0 gesetzt.

Es sei darum rot(ki) = 0, wenn es ein j < i gibt mit ki = kj

Zur Begründung der Zielfunktion:

Auf dem Abschnitt km sind die Zeitungen der Abschnitte kj, j < m, schon verteilt, und die Zeitungen für Anrainer von km werden verteilt. Folglich werden noch Zeitungen, durch km getragen. Durch Multiplikation mit der Kantenlänge erhält man eine Maßzahl in der Einheit "Zeitungsmeter":

1 Zeitungsmeter ist die Arbeit, die geleistet werden muß, um eine Zeitung eine Entfernungseinheit (hier 50m) zu tragen.

Als zu verrichtende Arbeit (in Zeitungsmeter) auf dem m-ten Teilstück der Zustelltour formuliere ich

[3]   G(km) :=

Ich vernachlässige dabei die Bewertung der Zeitungen, die auf dem Wegstück km verteilt werden. Das kann evtl. später betrachtet und nachgebessert werden.

Die Summe der G(km), für 1 <= m <= n, ist mein erstes Maß für die Gesamtleistung des Zustellers auf einer Zustelltour Z = k1 k2 k3 ... kn

Indem ich schließlich 243 durch [2] ersetze, erhalte ich [1].

Zielfunktion = Bewertungsfunktion

Hallo Frau Palthen,

das ist noch keine Lösung, aber ich habe nun ein Modell und eine Bewertungsfunktion G(Z), mit der ich Zustelltouren Z bzgl. der Arbeit bewerten kann.

Als nächstes möchte ich ein Programm schreiben, das G(Z) berechnet. Und mit dieser Hilfe möchte ich prüfen, ob das von mir aufgestellte Modell genügend realistisch ist.

Wenn ja, dann könnte man schon brute-force ansetzen, also alle Möglichkeiten durchprobieren und die beste (die besten) herausfiltern.

Ein Programm hat den Vorteil, daß man die Rechnung mit anderen Zeitungsanzahlen wiederholen könnte, sobald jemand die Zeitung abbestellt oder umzieht oder zuzieht.

Anschließend werde ich mich wieder melden. Das dauert sicherlich wieder einige Tage.

Viele Grüße
Matroid

[Zur Frage von Meta Palthen]

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