Mathematik: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
Released by matroid on Di. 14. Mai 2002 13:44:41 [Statistics]
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Physik

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AbflussMotiviert wurde ich zu nachfolgendem Artikel durch den Beitrag "Geometrische Lösung von Badewannenproblemen", veröffentlicht im Matheplaneten am 11. März 2002. Die Lösung der dort gestellten Aufgabe, bei der eigentlich Physik und Mathematik gleichermaßen gefragt sind, ist faszinierend einfach, reduziert sie sich doch auf eine reine lineare Beschreibung. Jedoch hat die Sache bei einer "realen" Badewanne einen Haken, wie folgende Geschichte verdeutlichen soll (Übereinstimmungen mit tatsächlichen Begebenheiten oder mit lebenden Personen wären rein zufällig und vom Verfasser nicht beabsichtigt):


Gegeben ein Pärchen, bestehend aus einem Mathematiker (männlich, ich nenne ihn "Neill") und einer Physikerin (ich nenne sie "Samantha", kurz "Sam"), welches schon seit langer Zeit miteinander befreundet ist, und in einem gemeinsamen Haushalt zusammenlebt. Beide verstehen sich glänzend, jedoch versuchen beide bei jeder sich bietenden Gelegenheit, den anderen auf die Schwächen seiner Wissenschaft hinzuweisen, und die Vorzüge des eigenen Studiums hevorzuheben. Verstehen sich "glänzend" ist leicht übertrieben: Wenn es ums Putzen geht, versucht meistens Neill (das hat weder mit seinem Geschlecht etwas zu tun, noch damit, daß er Mathematiker ist), die strenge halbe/halbe Regelung mit allerlei Raffinesse zu umgehen. So ist mal wieder Neill mit dem Putzen des Bades an der Reihe, er würde aber gerade jetzt gerne eine Runde auf der Internetseite vom Matheplaneten surfen. Die Schwäche von Sam für physikalische Probleme im Kopf, ruft er sie ins Bad und es entwickelt sich folgender Dialog:

Neill: "Ich würde gerne ein Experiment machen. Ich fülle unsere Badewanne mit Wasser, und wir messen die Zeit, die es braucht bis die Badewanne voll ist. Wir drehen den Wasserhahn dann ab, ziehen den Stöpsel raus, und messen die Zeit, die es braucht, bis das gesamte Wasser in der Badewanne durch den Abfluss gelaufen ist."

Sam, etwas verwundert über das plötzliche Interesse von Neill an Physik wirft ein:

Sam: "Du sollst hier keine Experimente machen, sondern das Bad putzen!

Neill: "Ja klar, aber nehmen wir einmal an, die Wanne läuft schneller voll als leer, dann wäre ich, ohne physikalisches Verständnis, was Du mir ja immer absprichst, und ohne es auszuprobieren, in der Lage, Dir vorherzusagen, wie lange es dauert, bis die Wanne bei offenem Abfluß und aufgedrehtem Wasserhahn voll gelaufen ist."

Sam: "Und weiter?"

Neill: "Wenn ich das schaffe, werde ich dann heute vom Putzen befreit, und kann morgen weitermachen?"

Sam ist einverstanden, jetzt selbst neugierig geworden auf die Lösung.

Gesagt, getan, sie lassen die Wanne vollaufen und messen 20 Minuten für die dafür benötigte Zeit. Anschließend zieht Neill den Stöpsel heraus, und es vergehen bei geschlossenem Wasserhahn 30 Minuten bis das Wasser abgelaufen ist. Neill zieht sich in sein Arbeitszimmer zurück, und präsentiert Sam kurze Zeit später die rein mathematisch gefundene Lösung, siehe den oben zitierten Artikel: Es dauert 60 Minuten, bis die Wanne bei offenem Abfluß und aufgedrehtem Wasserhahn voll ist.

Sam ist beeindruckt von der mathematischen Eleganz des Lösungsweges (ein lineares Problem?), jedoch verwirrt, ist sie doch mit ihrem physikalischen Ansatz auf etwas ganz anderes gekommen. Allerdings, und das stimmt sie nachdenklich, hat ihr Ansatz zu einer nicht ganz trivialen Differentialgleichung geführt (Mathematik ist gefragt!), und sie musste sich Hilfe bei einem alten Studienkollegen holen, der gleich zu Beginn ihres gemeinsamen Studiums viel zu früh in die theoretische Physik abgerutscht, und am Ende nur noch bei den Mathematikern zu finden war. Mit der gemeinsam erarbeiteten Lösung sieht sie eine Chance, Neill für längere Zeit putzen zu lassen, und schlägt ihm vor:

Sam: "Ich bin mit meiner Berechnung zu einem komplett anderen Ergebnis gekommen. Laß uns ausprobieren, was tatsächlich passiert?"

Neill nun seinerseits erstaunt, Sam "berechnet" etwas? Jedoch, der Computer ruft, und da war da so ein interessantes Mathe-Problem, über das er gerne nachgedacht hätte...

Neill: "Einverstanden, d.h., ich kann, während unser Versuch läuft, 60 Minuten lang zum Matheplaneten ins Internet?"

Sam: Ok, aber wenn ich richtig liege, putzt Du für den Rest des Jahres das Bad, ja?

Neill gibt Sam sein Ehrenwort als Mathematiker, und der Versuch nimmt seinen Lauf.

Was wird wohl tatsächlich passieren?:

Läuft die Wanne über, während Neill sorglos im Internet surft (es ist an ihm das Bad zu putzen!), läuft sie überhaupt nicht voll (Neill hätte unendlich lange Zeit für den Matheplaneten), oder hat Neill am Ende doch recht mit seiner Vorhersage?

Hier ist die Lösung:

Bezeichnungen:











Auch nicht ganz so ernste Kommentare/Antworten sind gefragt...

Habt Spass!

Juergen


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Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?« [von Spock]  
Motiviert wurde ich zu nachfolgendem Artikel durch den Beitrag "Geometrische Lösung von Badewannenproblemen", veröffentlicht im Matheplaneten am 11. März 2002. Die Lösung der dort gestellten Aufgabe, bei der eigentlich Physik und Mathematik gleichermaßen gefragt sind, ist faszinierend einfach, reduz
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"Mathematik: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«" | 21 Comments
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Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 16. Mai 2002 13:09:16
\(\begingroup\)Hallo Jürgen,

eine super interessante Aufgabe.
Natürlich kann die Lösung kein linearer Ansatz sein.
Du liegst mit deiner Betrachtung völlig richtig.

Das Ergebnis (18b mit 18a) kann schon aus Plausibilitätsgründen nicht richtig sein. t_l muß auf jeden Fall größer sein als t_e. Eigentlich muß es sogar größer sein als die Summe aus t_f und t_e, also mindestens 44 min.

Gruß,
Gerhard, der Ingenieur\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 16. Mai 2002 13:31:13
\(\begingroup\)Hallo Jürgen,

nach mehreren Versuchsreihen zum Wannenproblem suche ich nun (wie auch die Mieter unter unserer Wohnung) eine neue Behausung. Für die Wasserschäden wird ja sicher Deine Haftpflicht aufkommen. Mein Vermieter wird sich in Kürze bei Dir melden.

Gruss
Wolfgang\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: matroid am: Do. 16. Mai 2002 23:45:31
\(\begingroup\)Was sagt dem Physiker folgende Betrachtung?\(\endgroup\)
 

Re: Fortsetzung zur »Realen Badewanne«
von: matroid am: Mo. 20. Mai 2002 15:54:24
\(\begingroup\)Eine Analyse der von mir ermittelten Meßwerte hat Spock durchgeführt.
Siehe MATROIDS Badewanne - Ein Beispiel aus der Praxis

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 08. Juni 2002 19:41:36
\(\begingroup\)nun ja, vielleicht verschwinden jetzt in 50 Jahren die Lineare Lösung implizit verlangende Aufgaben aus Schulbüchern - wenn man dann sich noch Leisten kann, Badewannen mit wasser zu füllen.
Friedrich Laher\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 23. Februar 2003 23:23:06
\(\begingroup\)Mir erscheint die ganze Lösung dieses hochinteressanten Problems doch etwas zu oberflächlich. Von mathematischer Seite schlage ich eine exaktere (und deutlich einfachere)Vorgehensweise vor. OBdA beinhaltet die Wanne n mol Wasser, womit sich leicht die Teilchenanzahl abschätzen läßt. Ort und Impuls dieser Teilchen sowie die entsprechenden Unbestimmtheiten werden durch geeignet gewählte Variable ausgedrückt. Da ein relativistischer Ansatz bei diesem Problem wohl nicht erforderlich ist, reduziert sich das ganze auf einfachste Vorgänge der Teilchenbewegung, längst gelöst durch die Quantenmechanik. Die Anzahl der auftretenden Gleichungen ist endlich und damit (mathematisch gesehen)fast Null. Folglich existiert eine Lösungsmenge, die offensichtlich auch nicht leer ist. Da die Ungenauigkeit bei der Ortsbestimmung der Teilchen sich im ungünstigsten Fall addiert, im anderen aufhebt, ist die gesuchte Lösungsmenge eine Wahrscheinlichkeitsbreite von leerer Wanne zu übergelaufener Wanne, womit sich eine genauere Rechnung offensichtlich erübrigt.
Für den Physiker dürfte evtl noch der Fall interessant sein, daß die Wanne trotz Leerlaufens überläuft, was mathematisch allerdings auch nur eine mit von Null verschiedener Wahrscheinlichkeit auftretende (und damit realistische)Möglichkeit ist. Gemeint ist das dauerhafte Auftreten des Tunneleffekts, wenn gerade etwas mehr Teilchen durch die Wannenbegrenzung durchtunneln, als normalerweise überlaufen würden.
Interessant wäre auch noch die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daß das Wasser nicht ausläuft, sondern unter Abkühlung nach oben steigt, überläuft und sich beim Fallen wieder erwärmt.
Aber das ist wohl ein anderes Problem

MfG puggy\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 30. Januar 2004 01:35:27
\(\begingroup\)Nur mal so an alles dies ist eine Aufgabe aus Maschbauer Physik der FH Köln Abtl. Gummersbach\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: matroid am: Fr. 30. Januar 2004 16:41:56
\(\begingroup\)Hi Fremder, ich weiß aber nicht, was Du uns damit sagen willst?

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: kostja am: Mi. 19. Januar 2005 13:32:37
\(\begingroup\)Hi! Handelt es sich bei der Badewanne nicht um einen exponentiellen "Zerfallsprozess" mit zeitlich konstanter Zufuhr? Die homogenen DGl stellt das leerlaufen der Wanne dar, wenn der Wasserhahn ausgedreht ist: dV/dt = - l V Wenn der Wasserhahn jedoch zeitlich konstant die Wassermenge b liefert, so ist das die zugehörige DGl: dV/dt = - l V + b die Lösung wäre also: V(t) = b/l + (V_0 - b/l)e^(-l t) für t -> inf nimmt das Volumen also den stabilen Zustand b/l ein. Ist das falsch? Dann klärt mich doch bitte auf! mfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 06. März 2006 22:25:28
\(\begingroup\)Bin zwar kein mathematiker und hab auch nicht studiert aber wär es nicht besser wenn mann wüsste wieviel liter pro minute rein und wieviel liter pro minute raus laufen und dann kommt mann doch ganz einfach auf nen zeitwert?? Aber ansonsten klasse über was ihr euch gedanken macht!! Find die seite klasse!\(\endgroup\)
 

Re: Die »Reale Badewanne« oder »Wer putzt das Bad?«
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 19. September 2014 14:11:59
\(\begingroup\)Beim Abfließen des Wassers bildet sich ein Wirbel (ob der auf der Nord- und Südhalbkugel verschieden in der Drehrichtung ist, ist eine andere Frage - Corioliskraft, die aber sehr klein ist). Wie beeinflusst dieser (wenn überhaupt) die Geschwindigkeit mit der das Wasser abfließt? Je "realer" die Badewanne wird, um so schwieriger wird die Mathematik. sondern philosophisch: Und wie real ist die Mathematik? \(\endgroup\)
 

 
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