Mathematik: Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung
Released by matroid on Fr. 09. August 2002 21:14:10 [Statistics] [Comments]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Kartenhaus, hier aus Bierdeckeln gebaut  

Was haben Pentagonalzahlen mit Kartenhäusern zu tun? Und in welcher Weise helfen beide bei der Frage nach den möglichen Summenzerlegungen einer natürlichen Zahl?
Mathematik bringt oft unglaubliche Beziehungen zutage.

 

[Dieser Artikel ist Teil 4 des Sommerausflugs in die Kombinatorik.]


Was sind Pentagonalzahlen?

Für die Pythagoräer war alles Zahl. Besondere Beachtung wurde den figurierten Zahlen (s. /Gärtner/ p.6ff) gegeben. Man untersuchte Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen usw.

Aus Fünfeck- oder Pentagonalzahlen lassen sich in regelmäßiger Weise Figuren zu Fünfecken legen.

Die folgende Abbildung zeigt die ersten 4 Pentagonalzahlen, nämlich 1, 5, 12 und 22

Pentagonalzahlen

Mit 5 Punkten kann man ein regelmäßiges Fünfeck legen. Mit 12 Punkten kann man in der gezeigten Weise zwei Fünfecke legen.

Eine Spielerei für Zahlenmystiker?!

Für die Pentagonalzahlen gilt die Formel:

[19]      f(k) = k * (3k-1) / 2
und die Rekursion:
[20]      f(k) = 3 f(k-1) - 3 f(k-2) + f(k-3)

Kartenhaus-Zahlen

Kartenhaus-Zahlen haben keinen antiken Hintergrund. Die ersten 4 Kartenhaus-Zahlen zeigt die folgende Abbildung:

Kartenhaus-Zahlen

Es ist g(m) die Anzahl der Karten (oder Bierdeckel), die man für ein Kartenhaus mit m Etagen benötigt - wenn man es in der gezeigten Weise errichtet.
Für ein Kartenhaus mit 5 Stockwerken, wie es meine Tochter gebaut hat (siehe oben), benötigt man 40 Karten (oder Bierdeckel).
[Richtig vermutet: während meine Tochter Kartenhäuser baute, habe ich mich der Frage gewidmet, wieviele Deckel sie für eine weitere Etage benötigt.]

Eine Spielerei an Wirtshaustischen?!

Für die Kartenhaus-Zahlen gilt die Formel:

[21]      g(m) = m * (3m+1) / 2
und die Rekursion:
[22]      g(m) = 3 g(m-1) - 3 g(m-2) + g(m-3)

Erstes Wunder

Für Pentagonalzahlen und Kartenhaus-Zahlen gilt die gleiche Rekursion!
Und nicht nur das, die eine Folge ist in bestimmter Weise die Fortsetzung der anderen.
Setzt man nämlich m = -k, findet man:
[23]      g(-k) = (-k) * (-3m+1) / 2 = k * (3k-1) /2
Man erhält die Kartenhaus-Zahlen, wenn man in der Formel der Pentagonalzahlen [19] negative Zahlen einsetzt.

Dieser Zusammenhang war schon Euler bekannt. Die Zahlen g(m) werden üblicherweise als "Pentagonalzahlen zweiter Art" oder auch als "negative Pentagonalzahlen" bezeichnet.

Verallgemeinerte Pentagonalzahlen

Die Folge
[24]      h(n) = n * (3n-1) / 2 , für n = ±1, ±2, ±3, ±4, ...

beginnt: 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40

Man nennt sie: die verallgemeinerten Pentagonalzahlen, engl.: generalized pentagonal numbers.

[Siehe A001318 in Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.]

Zur Vervollständigung definiere ich noch h(0) = 0, denn für ein Kartenhaus mit 0 Stockwerken benötigt man 0 Karten.

Euler und Kartenhäuser?

Die Deutung der Pentagonalzahlen zweiter Art als Kartenhaus-Zahlen ist meines Wissens nirgendwo erwähnt.

Ich weiß nicht, wie ich das anschaulich deuten soll.
Den Formeln nach gehören die Zahlen h(n) und h(-n) zusammen.
Es ist h(3) = 12 und h(-3) = 15.
Dazu gehören die Bilder:

Gegenüberstellung Kartenhaus und Pentagonalzahl
Das eine hat so viel von einem Fünfeck, wie das andere mit Dreiecken zu tun hat.
Vielleicht findet ein Leser eine "Dualität".

Zweites Wunder

Eulers Ergebnis bzgl. der Anzahl der Summenzerlegungen (s. /Summenzerl1/) lautet:
Eulers Pentagonalzahlensatz

Es gilt:
[25]      Eulers Pentagonalzahlensatz

In der rechten Summe stehen die verallgemeinerten Pentagonalzahlen im Exponenten.

Um zu sehen, daß diese Formel vernünftig ist, multipliziere man einige Faktoren und stelle fest, daß die ersten Exponenten tatsächlich mit den verallgemeinerten Pentagonalzahlen übereistimmen.

Den Beweis findet man z.B. in /Hitzler/.

Die linke Seite in Eulers Pentagonalzahlensatz ist der Kehrwert der erzeugenden Funktion der Partitionszahlen bzw. der Summenzerlegungen (s. [13] in /Summenzerl3/).

Die direkte Folgerung daraus ist:

Sei p(n) die Anzahl der Summenzerlegungen (= numerischen Partitionen) der natürlichen Zahl n.

[26]     

und somit gilt:

[27]     

Durch Vergleich der Koeffizienten der x-Potenzen in der Gleichung [27] findet man schließlich:

[28]     

und das bedeutet u.a.:

In allgemeiner Formulierung:
Allgemeine Rekursion für die Partitionszahlen p(n)

Für die Partitionszahlen p(n) gilt:

[29]   
wobei p(n) = 0 definiert wird, wenn n < 0,
f(k) definiert als [19].

Frage: Nun stellt sich dem einen oder anderen möglicherweise die die Frage, ob diese Formel nützlich ist, und ob sie verglichen mit den anderen Formeln [6] oder [12] aus /Summenzerl2/ einen Vorteil hat?

Antwort: Die Beziehungen [6] und [12] haben die gesuchte Anzahl p(n) mit einen Umweg über andere Folgen berechnet.
Die Rekursion [29] ist eine Rekursion der p(n) untereinander!

Anwendung

Was so unhandlich aussieht wie [29] ist dennoch einfach zu verwenden. Die ersten Summanden lauten:

Man berechnet also die Partitionszahl p(n) indem man genau die p(n-h(k)) für 0 < h(k) <= n addiert bzw. subtrahiert, jeweils 2 mal positives Vorzeichen, dann zweimal negativ usw. Aufhören kann man, sobald die nächste verallgemeinerte Pentagonalzahl h(k) größer ist als n.

Was ist z.B. p(100) ?

p(100)
= p(99) + p(98) - p(95) - p(93) + p(88) + p(85) - p(78) - p(74) + p(65) + p(60) - p(49) - p(43) + p(30) + p(23) - p(8) - p(0)
In /Osler/ ist der Algorithmus für diese Rekursion in Basic implementiert. Er hat nur wenige Zeilen.

Nachlese

Was bedeutet es, daß die Pentagonalzahlen bzw. Kartenhauszahlen die entscheidende Rolle in der allgemeinen Rekursion für die Partitionszahlen haben?
Weil diese überraschende Beziehung wahr ist, kann es kein Zufall sein. Eine anschauliches Argument, warum es gerade die verallgemeinerten Pentagonalzahlen sein müssen, kenne ich nicht.
Möglicherweise hatten die Pythagoräer doch recht: "Alles ist Zahl".

Quellen und Verweise

  1. /Osler/ Playing with partitions on the computer, Thomas J. Osler / Abdul Hassen, Mathematics Department, Rowan University, NJ gefunden auf der Homepage von Th. Osler (.pdf)
  2. /Hitzler/ Proseminararbeit von Pascal Hitzler über Eulersche Partitionsprodukte (.ps.gz)
    [Falls dieser Link nicht funktioniert, dann hier im ungezipten Format.
  3. /Gärtner/ Vorlesung Zahlentheorie von Barbara Gärtner, PH Karlsruhe (.ps)
  4. /Summenzerl1/ eigener Artikel: Summenzerlegungen, Teil 1: Definitionen
  5. /Summenzerl2/ eigener Artikel: Summenzerlegungen, Teil 2: Rekursive Ansätze
  6. /Summenzerl3/ eigener Artikel: Summenzerlegungen, Teil 3: Erzeugende Funktionen
  7. /A001318/ Folge A001318 in Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  8. Hinweise auf gedruckte Literatur in den genannten Quellen
Matroid (Martin Wohlgemuth) 2002

PS: In früheren Artikeln hatte ich statt p(n) die Bezeichnung z(n) verwendet. Es ist p(n) = z(n). Mit p(n) hoffe ich nun der üblichen Notation zu folgen.


 
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von: am: Do. 01. Januar 1970 01:00:00
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \(\endgroup\)
 
"Mathematik: Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung" | 3 Comments
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Re: Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung
von: matroid am: So. 01. Juni 2003 22:26:00
\(\begingroup\)Die Interpretation als Kartenhauszahlen ist freundlicherweise vermerkt in A005449 und auch in A001318 findet sich ein Link auf diesen Artikel.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung
von: vim am: Mi. 21. April 2004 17:08:31
\(\begingroup\)ein "schwacher" zusammenhang fuer pythagoraeer:

pentagonalzahl/3 = triangonalzahl, also
4*pentagonalzahl/3 = 4*triangonalzahl.


nun ist jede 4*triangonalzahl eine b - seite in einem PPT (primitive pythagorean tripel) (a,b,c)
mit den seitenlaengen

(2n+3, 2n^2+6n+4, 2n^2,6n+5), n=0,1,2,...


gegeben seien nun die drei matrixen

U=(1,2,2;-2,-1,-2;2,2,3) und

A=(1,2,2;2,1,2;2,2,3) und

D=(-1,-2,-2;2,1,2;2,2,3)


dann ist
(2n+3, 2n^2+6n+4, 2n^2,6n+5) = (3,4,5)U^n

nun steht das 4-fache der pentagonalzahlen
in den b-seite von (3,4,5)U^nA und das 4-fache der kartenhauszahlen in der b-seite von (3,4,5)U^nD
dabei ist symmetrischerweise (3,4,5)U^nD = (3,4,5)U^(-n-3)A


Hier die ersten terme fuer n=-5..5:
(3,4,5)U^nA:
[91, 60, 109]
[45, 28, 53]
[15, 8, 17]
[1, 0, 1]
[3, 4, 5]
[21, 20, 29]
[55, 48, 73]
[105, 88, 137]
[171, 140, 221]
[253, 204, 325]
[351, 280, 449]

(3,4,5)U^nD:
[105, 88, 137]
[55, 48, 73]
[21, 20, 29]
[3, 4, 5]
[1, 0, 1]
[15, 8, 17]
[45, 28, 53]
[91, 60, 109]
[153, 104, 185]
[231, 160, 281]
[325, 228, 397]


na ja, was sich so zusammenhang nennt ...
\(\endgroup\)
 

Re: Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 10. September 2013 18:27:05
\(\begingroup\)ad erstes wunder: dass beide figuren der selben rekursion unterliegen, lässt sich auf ihr identisches wachstumsverhalten zurückführen. fügt man an ein bestehendes kartenhaus ein x-tes stockwerk an, so benötigt man dazu 2*x karten für die diagonalstreben plus x-1 karten für die zwischendecke, insgesamt 3*x-1 karten. erweitert man auf die selbe art die fünfecke, so bedeutet das, man benötigt 3*x punkte für 3 zusätzliche seiten, weniger 2 aufgrund der ecken, an denen sich die punkte überschneiden. als formel sieht das so aus: f(k) = f(k-1) + 3k - 2 bzw. g(m) = g(m-1) + 3m - 1 die formeln unterscheiden sich nur durch eine konstante, die in der obigen rekursion nicht berücksichtigt wird. stattdessen wird schlicht postuliert, dass f(1) = 1 und g(1) = 2, wodurch die rekursion frei von startwerten gehalten wird. die anschaulichkeit des zusammenhangs zwischen den verallgemeinerten pentagonalzahlen erhöht sich außerdem, wenn man die zahlenreihe richtig herum anordnet: h(n) = n * (3n-1) / 2 --> ... 40, 26, 15, 7, 2, 0, 1, 5, 12, 22, 35, ... das ganze von rechts nach links für g(n). dass die zahlen immer positiv bleiben, ist schließlich der tatsache geschuldet, dass das vorzeichen von n (oder k, oder m) immer auf beiden seiten des asterisks anzutreffen ist, daher ist das ergebnis der multiplikation immer positiv. weiteres hilfreiches: h(n) - 2*h(n-1) + h(n-2) = 3 f(x) = g(x) - x fragen, wünsche, anregungen --> office(at)harryjen.com \(\endgroup\)
 

 
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