Mathematik: Das trinomische Dreieck
Released by matroid on Do. 22. August 2002 22:48:23 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Grünes Dreieck 
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks ist es bekanntlich einfach, (a+b)n auszurechnen.
Es gibt ein ähnlich einfaches Rechenschema, um (a+b+c)n zu bestimmen.


Wiederholung: Pascals Dreieck

Das Pascalsche Dreieck hat in seiner Spitze eine 1. Jede darunter folgende Zeile enthält eine Zahl mehr als die davor, und jede Zahl, die nicht am Rand steht, ist die Summe der beiden Zahlen darüber. Am Rand stehen immer Einsen.

Pascalsches Dreieck


Die erste Zeile im Pascalschen Dreieck (die, in der nur eine 1 steht), sei die Zeile 0, die folgende (1 1) bezeichne als Zeile 1 usw. usf.

Berechnet man (a+b)n, dann findet man im Ergebnis genau die Zahlen der Zeile n als Koeffizienten der verschiedenen (gemischten) Potenzen von a und b.
Beispiel: (a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab4 + b5.

Ordnet man (wie ich es getan habe) die Summanden absteigend nach den Potenzen von a, dann kann man die Koeffizienten aller vorkommenden Potenzen für (a+b)5 direkt aus Pascals Dreieck ablesen.

[Anmerkung: Koeffizient ist die Bezeichnung für den Faktor vor einer Potenz. Die Potenz a4b hat den Koeffizienten 5. Der Koeffizient von a5 ist 1.]

Immer wenn man eine Potenz (a+b)n ausmultipliziert hinschreiben muß, geht das am schnellsten mit dem Pascalschen Dreieck.

Das Trinomische Dreieck

Wie findet man die ausmultiplizierte Darstellung von (a+b+c)n?
Auch dafür gibt es ein Rechenschema, das auf dem Pascalschen Dreieck aufbaut.
  1. Beginne damit, das Pascalsche Dreieck bis zur Zeile n aufzuschreiben. (Diesmal linksbündig).

           1
    1 1
    1 2 1
    1 3 3 1
    1 4 6 4 1
    1 5 10 10 5 1
  2. Schreibe die Zahlen der letzten Zeile in eine extra Spalte links vom Dreieck.

      1 |  1
    5 | 1 1
    10 | 1 2 1
    10 | 1 3 3 1
    5 | 1 4 6 4 1
    1 | 1 5 10 10 5 1
  3. Multipliziere jede Zahl des Dreiecks mit der Zahl aus der Extraspalte.

      1 |  1
    5 | 5 5
    10 | 10 20 10
    10 | 10 30 30 10
    5 | 5 20 30 20 5
    1 | 1 5 10 10 5 1
  4. Fertig ist das Trinomische Dreieck (ohne die Extraspalte).
Die Zahlen in diesem Dreieck sind die gesuchten Koeffizienten der Potenzen ai bj ck. Die Zuordnung zu ai bj ck erfolgt so:
  1. n minus Zeilennummer bestimmt i
  2. Spaltennummer bestimmt j
  3. k ergänzt i+j zu n
Zeilen- bzw Spaltennumerierung von links nach rechts bzw. oben nach unten, jeweils beginnend mit 0.

Beispiel:

Trinomische Entwicklung

Quelle

J. Chappell, Th.J. Osler, The trinomial triangle

Matroid 2002
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Das trinomische Dreieck [von matroid]  
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks ist es bekanntlich einfach, (a+b)^n auszurechnen. Es gibt ein ähnlich einfaches Rechenschema, um (a+b+c)^n zu bestimmen, das trinomische Dreieck.
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"Mathematik: Das trinomische Dreieck" | 2 Comments
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Re: Das trinomische Dreieck
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 26. August 2002 02:14:19
\(\begingroup\)
Grüß euch Gott


Beim Lesen dieses kurzen Artikels viel mir ein

weiteres Mal die enge Verwandtschaft zwischen

der Kunst (ja Kunst!) Mathematik und dem

Geschlechtsverkehr auf.


Nach alter Väter Sitte gilt jedoch eine Kopulation

erst als solche, sobald das Vorspiel von dem

eigentlich Akt abgelöst wird.





Was also ist beispielsweise mit (a + b + c + d)^n?





...nicht zu vergessen (a1 + a2 + a3 + a4 + ... + ak)^n.



Auf den Fortsetzungsartikel freue ich mich bereits,

mfg tempest\(\endgroup\)
 

 
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