Wettbewerbe: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
Released by matroid on Sa. 01. März 2003 00:01:01 [Statistics]
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Mathematik

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Man ermittle alle Trippel (x,y,z) ganzer Zahlen, die jede der folgenden Gleichungen
erfüllen
(a)     x³ - 4x² - 16x + 60 = y
(b)     y³ - 4y² - 16y + 60 = z
(c)     z³ - 4z² - 16z + 60 = x .
Vor Wochen hatte - ich glaube eine gewisse Kathy - per e-mail mich um Hilfe bei der Lösung der Aufgabe gebeten; daß sie aus dem laufenden Bundeswettbewerb Mathematik sei, merkte ich erst, als ein gewisser O. mich bat, einen kritischen Blick in seine Facharbeit zu werfen, für die er sich die Wettbewerbsaufgaben als Thema gewählt hatte.

Kathy hatte ich wohl nicht sehr viel mit dem Hinweis geholfen, doch mal die Gleichungen (a) - (b), (a) - (c), (b) - (c) , die durch (x-y), (x-z), (y-z) teilbar sein müssen, zu betrachten.
Damals hatte ich keine Lust, mich weiter damit zu befassen, aber schon daraus geht hervor, daß x = y = z eine Lösungsmöglichkeit ist.

Das dann in eine beliebige der Gleichungen (a)..(c) eingesetzt reduziert diese auf eine Unbekannte, und ist durch Versuche mit den Teilern von 60 unter Berücksichtigung des Vieta'schen Wurzelsatzes, relativ schnell lösbar.

Daß das dann wirklich alle möglichen ganzzahligen Lösungen sind dürfte damit allerdings noch unbewiesen sein.

Die Facharbeit von O. zeigte allerdings keinen Lösungsweg, sondern nannte bloß die Lösungen und bewies mühsam, daß es die einzigen seien unter Verwendung der Tatsache, daß die linken Seiten von (a)..(c) alle dieselbe Funktion f(t) enthalten, so daß

(d)     F(t) = f( f( f(t) ) ) = t
gilt. Da ich es garnicht mag, etwas bloß bewiesen statt hergeleitet zu bekommen, erregte ich O.'s Unmut mit der spontanen Bemerkung, die Wettbewerbsjuroren würden es vermutlich als negativ vermerken, daß er nicht schon aus (d) geschlossen habe x = y = z müsse eine Lösung sein.

Auf O.'s Reaktion hin nahm ich meine Behauptung, ebenso vorschnell wie geäußert, reuig zurück - es ist aber doch so:

Mit (d) werden aus (a)..(c) die BESTIMMUNSGLEICHUNGEN

F(x)-x = 0,
F(y)-y = 0,
F(z)-z = 0
die wenigsten eine Lösung der Form x = y = z haben müssen - damit dann wieder nach oben.
Aber ganz befriedigt hatte mich das noch nicht, bei Zahlentheorieproblemen ist es immer gut, auch nach Faktorisierungen, wenigstens teilweisen, zu suchen, und da fällt natürlich auf, daß ja
60 = 4³ - 4
also
x³ - 4x² - 16x + 60 = x³ + 4³ - 4x(x+4) - 4

f(x) = (x+4)(x²-4x +4²)- 4x(x+4) - 4
f(x) = (x+4)[x²-4x-4x+4²] -4
f(x) = (x+4)(x-4)² -4

was natürlich genauso für y, z gilt

Substituiert
man noch
         u = x+4, x-4 = u-8 | x = u-4

v = y+4, y-4 = v-8 | y = v-4

w = z+4, z-4 = w-8 | z = w-4
werden
(a)..(c)
 
zu
(A) u*(u-8)² = v | also mit | v = k*u | v = k*m*w
(B) v*(v-8)² = w | ganzen | w = l*v | = k*m*l*v
(C) w*(w-8)² = u | k,l,m | u = m*w |
da berücksichtige ich noch garnicht, was die k,l,m eigentlich sind, sondern nur, daß für v = k*m*l*v ( wobei ebenso w = k*m*l*w, u = k*m*l*u gelten ),
mit ganzzahligen k,l,m eben | k | = | l | = | m | = 1 gelten muß
also
u = v = w eine Lösung sein müßte,
aber auch hier ist schon als 1te Lösung
u = v = w = 0
also
x = y = z = -4
ersichtlich (wegen '      v = k*l*m*v,     v*(1-k*l*m) = 0   ').

Die beiden anderen Lösungen ergeben sich aus

| k | = (u-8)² = (v-8)² = (w-8)² = 1, ±(u-8) = 1, ...
Und weil k,l,m ganzzahlig sein müssen, sind das auch die einzigen ganzzahligen Lösungen.

Die Aufgabe ist damit gelöst.

VERALLGEMEINERUNGEN

Schon aus den ersten Überlegungen zu F(t) = t folgt, daß man den Zyklus beliebig lange machen könnte, also
f(x1) = x2, f(x2) = x3, ... f(xn) = x1
und für alle n > 1 ein Lösung x1 = x2 = .. xn existieren muß.

Aus der Form u*(u-8)²=v, ... ist ersichtlich, wie sich mit ganzzahligem a auch andere lösbare Systeme u*(u+a)²=v, ... , aufstellen lassen.

NICHT GEKLÄRT

habe ich, ob
- für die von Computeralgebra-Programmen gelieferten weiteren 24 Lösungen, für die x = y = z bzw. u = v = w nicht zu gelten scheint, das wirklich so ist

- und ob Systeme f(x1) = x2, f(x2) = x3, ... f(xn) = x1 möglich sind die auch ganzzahlige Lösungen haben für die NICHT x1 = x2 = .. = xn gilt.


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Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2 [von FriedrichLaher]  
Man ermittle alle Trippel (x,y,z) ganzer Zahlen, die jede der folgenden Gleichungen erfüllen (a) x³ - 4x² - 16x + 60 = y (b) y³ - 4y² - 16y + 60 = z (c) z³ - 4z² - 16z + 60 = x . Vor Wochen hatte - ich glaube eine gewisse Kathy -
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"Wettbewerbe: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2" | 11 Comments
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Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Martin_Infinite am: Sa. 01. März 2003 17:57:26
\(\begingroup\)Gerade auf
f(f(f(t)))=t
war ich zu meinem Erstaunen gekommen und
war dann daran gescheitert,
die Nullstellen von
f(f(f(t)))-t, einer Funktion 28. Ordnung
zu berechnen bzw zu zeigen, dass es nur diese
ganzzahligen Lösungen sind. \(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 01. März 2003 19:30:27
\(\begingroup\)Zu der Fragestellung ob Systeme f(x1) = x2, f(x2) = x3, ... f(xn) = x1 möglich sind die auch ganzzahlige Lösungen haben für die NICHT x1 = x2 = .. = xn gilt:

Wie wärs mit

x = -y-2

y = -x-2

x=4 y=-6



\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: FriedrichLaher am: Sa. 01. März 2003 22:04:11
\(\begingroup\)x = -y-2 ⇒ x + y = -2
y = -x-2 ⇒ x + y = -2

WEITERPROBIEREN, Anomnmous!!
---------------------------------

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
(
Und für Irrtümer muß es auch Platz haben [F.]
) \(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: FriedrichLaher am: Sa. 01. März 2003 22:10:37
\(\begingroup\)@Martin_Infinite: stimmt meine Arithmetik wieder mal nicht? ( 3*3*3 ? Oder was ist "Ordnung" ) ?\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ben am: Mo. 03. März 2003 20:46:39
\(\begingroup\)Man kann x=y=z auch über gößer / kleiner Relationen beweisen:
für den Term f(t)=t^3-4t^2-16t+60 kann gelten:
f(t)t
f(t)=t
Also:
f(x) y was für keine Zahl erfüllbar ist. Analoges gilt für die gößer-Relation. Nur für "gleich" macht die letzte Zeile Sinn:
y=x=z=y

Fertig.

Ben\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 03. März 2003 21:48:38
\(\begingroup\)Man was macht ihr das alle so schwer???? Die Lösungen sind doch ganz einfach!!!! -4; 3; 5!!
Fallunterscheidung zwischen Verhältnis von x zu y. Es gibt 3 Fälle, die den Beweis mit enthalten. Hab auch länger gebraucht, zugegeben. Da ich auch teilnehme, sage ich aber nicht den genauen Weg. Aber immerhin habt ihr meine Lösungen zum Ausprobieren!
Zwar ist der Einsendeschluss schon vorbei, aber ich verrate dennoch nichts genaueres. Wer also auf meine Lösungen kommt liegt richtig!
Gruss von Hans_christian_regen@hotmail.com\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ben am: Di. 04. März 2003 18:38:39
\(\begingroup\)So ein M...! *piep* HTML!
Naja, wer meinen oben angesprochenen Beweis kennen will, soll mir eine PM schicken, ich werd's dann ins Forum stellen.

Ben\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ende am: Di. 04. März 2003 19:03:08
\(\begingroup\)Bei mir rufen manchmal Leute an, die wollen mir eine PM schicken, wenn sie mir einen Hotelgutschein schenken duerfen. Manchmal wollen sie auch eine Hoerzu schicken oder eine Gala. Das sind schon merkwuerdige Leute.

Gruss, E. 😉\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Ben am: Mi. 05. März 2003 17:54:44
\(\begingroup\)Mit PM ist nicht Peter Moosleitners "Wissenschafts"magazin (manchmal ist es wirklich interessant) gemeint, sondern eine "Private Message", also eine private Mitteilung. Für alle, die es noch nicht wissen (der Rest möge mir meine scheinbare Besserwisserei verzeihen): Eine private Mitteilung ist eine Art e-mail, allerdings auf eine ganz bestimmte Seite beschränkt und meist nur für Mitglieder einer bestimmten, auf eine oder zumindest wenige Seiten beschränkte Gruppe zugänglich. (Man sollte sich den Satz seehr langsam und bedächtig durchlesen, wenn man ihn nicht auf Anhieb versteht).
Alle Klarheiten beseitigt?
Gut!

Ben\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: DeepThought am: So. 13. April 2003 22:13:43
\(\begingroup\)Ich hab das gelöst, indem ich erstmal folgendermaßen faktorisiert habe:

(x+4)(x-4)²=y+4 etc

dann immer wieder einsetzen ergibt:

(x-4)²(y-4)²(z-4)²(x+4)=(x+4)

daraus ergeben sich dann die einzigen lösungstripel (-4,-4,-4), (3, 3, 3) und (5, 5, 5), wenn man von ganzen Zahlen ausgeht.\(\endgroup\)
 

Re: Bundeswettbewerb Mathematik, Aufgabe 2
von: Raggeffast am: Di. 23. Oktober 2007 17:56:11
\(\begingroup\)Ey servus! Hab mir gerade mal die Aufgabe angeschaut. Wenn gilt x=y=z dann gilt auch folgendes: x³ - 4x² - 16x + 60 = x x³ - 4x² - 17x + 60 = 0 Daraus ergeben sich dann die Lösungen -4;3;5 Gruß Raggeffast\(\endgroup\)
 

 
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