Mathematik: von Koch'sche Flockenkurve
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Mathematik

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von Koch'sche Flockenkurve Im Grenzfall wird eine endliche Fläche von einem unendlichen Umfang begrenzt. Der Algorithmus: Eine Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere bildet die Grundseite eines darauf errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Seiten wiederholt. Am Anfang sei n=0 und die Länge der Strecke eine positive reelle Zahl s. Es soll nun erst um den Umfang gehen:

U_0=s U_1=4*s/3=s*(4/3)^1 U_2=16*s/9=s*(4/3)^2 U_3=64*s/27=s*(4/3)^3 U_4=256*s/81=s*(4/3)^4



Schnell sieht man, dass allgemein gilt: U_n=s(4/3)^n|,n\el \IN was auch logisch gemäß des Algorithmus ist. Dass der Umfang im Grenzfall, das heißt nach unendlich vielen Schritten auch unendlich groß wird, kann man so zeigen: U_(n+1)/U_n=(s(4/3)^(n+1))/(s(4/3)^n)=(4/3)^(n+1-n) =4/3>1 Also ist nach einem Schritt der Umfang stets größer als davor, womit er gegen unendlich strebt und sogar exponentiell wächst, weil das n im Exponenten steht. Nun zur Fläche: Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a ist (a^2*sqrt(3))/4 Damit kann man die Flächen leicht zunächst rekursiv berechnen: A_0=0 A_1=A_0+1*((s/3)^2*sqrt(3))/4 A_2=A_1+4*((s/9)^2*sqrt(3))/4 A_3=A_2+16*((s/27)^2*sqrt(3))/4 A_4=A_3+64*((s/81)^2*sqrt(3))/4 Nun kann man das allgemein als Summe schreiben: A_n=1*((s/3)^2*sqrt(3))/4+4*((s/9)^2*sqrt(3))/4 +16*((s/27)^2*sqrt(3))/4 +...+4^(n-1)*((s/3^n)^2*sqrt(3))/4 =sum(4^(k-1)*((s/3^k)^2*sqrt(3))/4,k=1,n) =(s^2*sqrt(3))/16*sum(4^k/3^(2k),k=1,n) =(s^2*sqrt(3))/16*sum((4/9)^k,k=1,n) Dabei handelt es sich um eine geometrische Reihe. Um diese zu vereinfachen, kann man erst mal allgemein mit vollständiger Induktion diese Vereinfachung beweisen: (Ich will wenig als bekannt voraussetzen) s_n=sum(q^k,k=1,n)=(q^(n+1)-q)/(q-1)=t_n Anfang: s_1=q^1=q t_n=(q^(1+1)-q)/(q-1)=(q-1)*(q)/(q-1)=q Behauptung: s_(n+1)=t_(n+1) s_(n+1)=(q^(n+2)-q)/(q-1) #Nach Voraussetzung gilt: s_n+q^(n+1)=t_n+q^(n+1) s_n+q^(n+1)=(q^(n+1)-q)/(q-1)+q^(n+1) =(q^(n+1)-q+(q-1)*q^(n+1))/(q-1) =(q^(n+1)-q+q^(n+2)-q^(n+1))/(q-1) =(q^(n+2)-q)/(q-1)=t_(n+1) =>s_(n+1)=t_(n+1) =>s_n=t_n|,n>=1 QED So kann man die Fläche folgendermaßen vereinfachen: A_n=(s^2*sqrt(3))/16*sum((4/9)^k,k=1,n) =(s^2*sqrt(3))/16*(((4/9)^(n+1)-(4/9))/(4/9-1)) =(s^2*sqrt(3))/16*(((4/9)^(n+1)-(4/9))/(4/9-1)) =(s^2*sqrt(3))/16*(((4/9)^(n+1)-(4/9))/(-5/9)) =(9*s^2*sqrt(3))/80*(4/9-(4/9)^(n+1)) Lässt man n gegen unendlich laufen, erhält man die Fläche im Grenzfall lim(n->\inf,A_n) =lim(n->\inf,((9*s^2*sqrt(3))/80*(4/9-(4/9)^(n+1))) =(9*s^2*sqrt(3))/80*lim(n->\inf,((4/9-(4/9)^(n+1))) =(9*s^2*sqrt(3))/80*(lim(n->\inf,(4/9))-lim(n->\inf,(4/9)^(n+1))) =(9*s^2*sqrt(3))/80*(4/9-0)=(s^2*sqrt(3))/20 Vergleicht man das mit der Dreiecksfläche über s, so bedeckt die Kurve genau ein Fünftel davon. Diese Ergebnisse kann man auch auf ein Dreieck transferieren, wofür nur die Grenzlage betrachtet werden soll: Der Umfang strebt offensichtlich auch gegen unendlich, aber die Fläche F dagegen setzt sich aus einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge s und drei Flockenkurven auf den Dreiecksseiten zusammen: F=(s^2*sqrt(3))/4+3*(s^2*sqrt(3))/20 =(5*s^2*sqrt(3)+3*s^2*sqrt(3))/20 =(8*s^2*sqrt(3))/20=(2|sqrt(3))/5 s^2 Obwohl die Fläche durch einen unendlich langen Umfang begrenzt wird, ist diese endlich. Man könnte es als Paradoxon ansehen, aber die Vorstellung im Unendlichen war doch schon immer schwer. Solche 'Phänomene' gibt es auch in der Integralrechnung. So begrenzt z.B. der Körper, der bei der Rotation von exp(-x) um die x-Achse im Intervall intervall(0,\inf) entsteht, ein endliches Volumen mit einer unendlich großen Oberfläche. Martin Brandenburg, 19.03.03

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von Koch\'sche Flockenkurve [von Martin_Infinite]  
von Koch'sche Flockenkurve Im Grenzfall wird eine endliche Fläche von einem unendlichen Umfang begrenzt. Der Algorithmus: Eine Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere bildet die Grundseite ...
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"Mathematik: von Koch'sche Flockenkurve" | 18 Comments
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Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. März 2003 10:23:10
\(\begingroup\)Hi Martin,

ich dachte du gehst in dem Beitrag noch näher auf den Begriff "Fraktal" ein. Die Koch'sche Flockenkurve besitzt nämlich eine für Fraktale entscheidende Eigenschaft. Sie ist nämlich "Selbstähnlich".

Aber ich kann auch noch ein Beispiel nennen, wo eine endliche Fläche ein unendlichen Umfang besitzt:

Bekanntlich besitzt das Integral von -unendlich bis +unendlich über e^-x² dx eine endlichen Wert, nämlich sqrt(pi).

Gruß N.
\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: viertel am: Do. 20. März 2003 14:33:27
\(\begingroup\)Hi Martin,
ich hatte mit meiner Mathe AG vor kurzem auch die Kochkurve besprochen und dafür diese beiden Grafiken erstellt.
Zum einen die Entstehung der ersten Spitze:
Bild
 
Und dann die weiteren Schritte:
Bild
 
Falls mal jemand sowas braucht...
Gruß
Dietmar das 1/4\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. März 2003 16:54:27
\(\begingroup\)@Anonymus:
Ich wollte nur den mathematischen Teil
betrachten, weil ich damit persöhnlich
mehr anfangen kann.\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 21. März 2003 00:26:15
\(\begingroup\)einfachstes beispiel für unendlichen flächeninhalt und endlichen volumen des rotationsintegrals ist wohl 1/x\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 21. März 2003 12:08:50
\(\begingroup\)unendlich große Fläche - endliches Volumen,

unendlicher Umfang - endliche Fläche, ...

Leute, irgendwie scheint da in der Mathematik etwas nicht zu stimmen ...
\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Martin_Infinite am: Fr. 21. März 2003 17:23:10
\(\begingroup\)Mit 1/x ist beides unendlich.\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: matroid am: Fr. 04. April 2003 20:01:56
\(\begingroup\)Hi MI,

der Artikel findet Anerkennung.

Gut gemacht!

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 19. November 2003 11:30:45
\(\begingroup\)Danke Martin!
Als mir mein Mathelehrer letzte Woche zur Aufgabe stellte, ich solle doch mal einen kleinen Vortrag über das Verhalten von Umfang und Flächeninhalt der Kcoh'schen Schneeflocke halten, brach bei mir der Schweiß aus. Ich hatte keine Ahnung, wie ich das bewerkstelligen sollte. Deine Seite hat mir sehr viel weiter geholfen. Schön, dass es Menschen gibt, die ihre Erkenntnisse ins Netz stellen.
Also noch mals danke! \(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Martin_Infinite am: Sa. 14. Februar 2004 13:59:17
\(\begingroup\)Schön, dass dir dieser Artikel geholfen hat 😄\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 22. September 2005 20:01:22
\(\begingroup\)kleiner Fehler in letzter Zeile, s^2 fehlt \(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Gockel am: Do. 22. September 2005 20:34:15
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Du kannst durch den Klick auf [Bearbeiten] solche Änderungsvorschläge jederzeit selber einreichen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: matroid am: Sa. 24. September 2005 22:41:09
\(\begingroup\)Leider ist dieser Artikel schon einige Jahre alt. Damals war der fed in seinen Anfängen. Die Einbindung der Formeln war damals völlig anders. Darum sehe derzeit nicht mal ich, wie ich hier auf eine nachvollziehbare Weise die gewünschte Änderung vornehmen kann. Man müßte den Artikel völlig überarbeiten. Dazu fehlt mir leider die Zeit. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Martin_Infinite am: Sa. 24. September 2005 23:27:52
\(\begingroup\)Erledigt 😉\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: matroid am: Sa. 24. September 2005 23:29:04
\(\begingroup\)@MI: Mit vereinter Motivation!\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 04. Januar 2007 15:35:41
\(\begingroup\)Hallo zusammen! Mir will bei der Berechnung des Umfangs eine Sache nicht ganz einleuchten: man will ja zeigen, Un+1 > Un müsste daraus nicht folgen (Un+1)/(Un) > 1 anstatt > 0 ? mit freundlichen Grüßen und ein frohes neues Jahr Michi\(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: fru am: Do. 04. Januar 2007 15:46:06
\(\begingroup\)Hallo Michi! Du hast Recht, da hat sich Martin offenbar vertippt. Die zugehörige Änderung habe ich bereits beantragt ist bereits durchgeführt. Danke für Deine Aufmerksamkeit! Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 27. April 2007 01:08:42
\(\begingroup\)Servus! Ich hab mir jetzt seit ner halben stunde eure rekursionsformel angeschaut, und hab es selber nochmal nachgerechnet, und bin zu dem schluss gekommen, dass der Schritt A1, Falsch ist!. Zudem ist auch noch euer Beweis für die Geometrische Reihe Falsch, also ich meine nicht den Beweis an sich, der is richtig, nur die Behauptung is schon FALSCH! Da empfehle ich mal, in eine Buchhandlung zu gehen und den Forster Analysis 1 KAUFEN, Seite 8 steht der Beweis! Naja Gut gemeint is die Seite ja! 😉 \(\endgroup\)
 

Re: von Koch'sche Flockenkurve
von: matroid am: Fr. 27. April 2007 06:46:29
\(\begingroup\)Hi Fremder, Danke für den Kommentar. Wir schauen mal, ob da ein Fehler ist. Ich kann Dir auch etwas empfehlen: einen Schülerduden für Rechtschreibung und auch gleich den Grammatikband dazu. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

 
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