Mathematik: Ein wenig Hauptachsentransformation
Released by matroid on Do. 03. April 2003 17:18:57 [Statistics]
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Mathematik

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Hi allerseits,

Die folgende Arbeit ist eine Erweiterung eines Beitrags über die
Orthogonalität der Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix,
den ich kürzlich in diesem Forum veröffentlicht habe.
Ein wenig
Hauptachsentransformation
bei gedrehten Kegelschnitten (KS)
für Leute wie Du und ich von H.R.Moser,megamath.
Ich bin schon oft gefragt worden, ob es auch möglich sei,
die charakteristische Gleichung, welche zur Ermittlung der
Eigenwerte der quadratischen Form
F(x,y) = A x^2 + 2 B x y + C y^2
dient, ohne explizite Benützung der Abbildungsmatrix
M: = matrix [[A,B],[B,C]], (Zeilen: A, B und B, C) herzuleiten.
Die erwähnte charakteristische Gleichung lautet bekanntlich so:
L^2  -  sigma L  +  delta  =  0
mit  sigma =  A + C,  delta  = A C – B ^ 2.


Die Lösungen L1 und L2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte
der Matrix M.

Die Frage kann positiv beantwortet werden:
Mit den Mitteln der bekannten Drehformeln aus der ebenen
analytischen Geometrie und der Lehre der linearen Gleichungssysteme
lässt sich die Hauptachsentransformation des allgemeinen Kegelschnitts
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ....... (I)
relativ bequem durchführen.

Das Ziel, das wir erreichen wollen:
durch eine geeignete Transformation hat der Kegelschnitt in einem
gewissen neuen (X,Y) Koordinatensystem die Gleichung:
S * X ^ 2 + T * Y ^2 – 2 p X = 0 ………………. (II)
Diese Gleichung ist der so genannten Scheitelgleichung nachgebildet.
Bezeichnend daran ist das Fehlen des Gliedes X Y (der KS ist ungedreht)
und des konstanten Gliedes (der KS geht durch den Nullpunkt).
In (II) sind alle drei KS-Typen vertreten: Ellipse, Hyperbel und Parabel.
Famos: es wird sich zeigen, dass S und T gerade mit den Eigenwerten
L1, L2 der Matrix der quadratischen Form F(x,y) aus Gleichung (I) übereinstimmen.

Dies soll nun nachgewiesen werden:

Als Transformationsgleichungen für die Drehung und für die
Parallelverschiebung verwenden wir die Gleichungen

x´ = x cos (phi) + y sin (phi)
y´ = - x sin (phi) + y cos (phi) … (IIIa :Drehung um den Winkel phi)
und
X = x´ - r
Y = y´ - s …………. (IIIb :Parallelverschiebung)

Wendet man beide Formeln (III) auf (II) an und ordnet, so kommt:
S [cos(phi)] ^ 2 + T [sin(phi)] ^ 2
als Koeffizient von x^2
S [cos(phi) sin(phi)] – T [cos (phi) sin(phi)]
als Koeffizient von 2 x y
S [sin(phi)] ^ 2 + T [cos(phi)] ^ 2
als Koeffizient von y^2.

Ferner:
- r S cos(phi) + s T sin(phi) - p cos (phi)
als Koeffizient von 2 x
- r S sin(phi) - s T cos(phi) - p sin (phi)
als Koeffizient von 2 y
S r ^ 2 + T s ^ 2 + 2 p r
als konstantes Glied

Durch Gleichsetzung der Koeffizienten dieser Entwicklung mit den
Koeffizienten der linken Seite der Formel (I), d.h. durch Koeffizientenvergleich
entstehen 6 Gleichungen für die 6 Unbekannten
S, T, phi, p, r, s.

Diese lauten:
S [cos(phi)] ^ 2 + T [sin(phi)] ^ 2 = A …………. (1)
S [cos(phi) sin(phi)] – T [cos (phi) sin(phi)] = B……. (2)
S [sin(phi)] ^ 2 + T [cos(phi)] ^ 2 = C …………. (3)

- r S cos(phi) + s T sin(phi) - p cos (phi) = D ……. (4)
- r S sin(phi) - s T cos(phi) - p sin (phi) = E ……. (5)
S r ^2 + T s^2 + 2 p r = F …………. (6)

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung (1) mit cos(phi)
und beide Seiten der Gleichung (2) mit sin (phi);
durch Addition entsteht:
S cos(phi) = A cos phi + B sin(phi) …………. (7)

Analog entsteht aus (2) und (3):
S sin(phi) = B cos phi + C sin(phi) …………. (8)

Multipliziert man beide Seiten der Gleichung (1) mit sin (phi)
und beide Seiten der Gleichung (2) mit cos (phi) und subtrahiert,
so kommt:
T sin (phi) = A sin (phi) – B cos (phi) …………. (9)

Multipliziert man beide Seiten der Gleichung (3) mit cos(phi)
und beide Seiten der Gleichung (2) mit – sin(phi) und addiert,
so kommt:
T cos (phi) = - B sin (phi) + C cos (phi) …………. (10)

Man kann leicht nachweisen, dass das System der vier
Gleichungen (7) bis (10) mit dem System der drei Gleichungen
(1) bis (3) äquivalent ist.

Die vier Gleichungen (7) bis (10) können zu je zwei linearen homogenen
Gleichungen (H1) und (H2) für die Unbekannten cos (phi) und sin (phi)
bzw. – sin(phi) und cos (phi) zusammengefasst werden:

( A – S ) cos (phi) + B sin (phi) = 0
B cos (phi ) + ( C – S ) sin (phi) = 0 …………. (H1)

( A – T ) {-sin (phi)} + B cos (phi) = 0
B{-sin (phi)} + ( C – T ) cos (phi) = 0 …………. (H2)

Ein Zwischenapplaus ist fällig!

Beide Gleichungssysteme sind linear und homogen und haben je
nichttriviale Lösungen, da sin (phi) und cos (phi) nicht beide zugleich
null sein können.
Es muss die Determinante des Systems null sein, d.h. es muss gelten:
( A – S ) * (C – S ) – B ^ 2 = 0 bzw.
( A – T ) * (C – T ) – B ^ 2 = 0

Verwenden wir als Variable einheitlich L (Lambda),
so entsteht die eingangs erwähnte
charakteristische Gleichung oder Hauptachsengleichung,
auch Säkulargleichung genannt:
(A – L )* (C – L ) – B ^ 2 = 0 oder
L^2 – (A + C ) L + A C – B ^ 2 = 0 mit den Eigenwerten
L1 = S , L2 = T als Lösungen.
Diese lauten:
L1 = ½ * [A + C + wurzel {(A - C) ^ 2 + 4 B ^ 2 } ]
L1 = ½ * [A + C - wurzel {(A - C) ^ 2 + 4 B ^ 2 } ]
Der Radikand der Wurzel ist nicht negativ.
Daher sind die Eigenwerte reell und verschieden,
außer für den Fall, dass A = C und B = 0 gültig ist.
Dies trifft zu, wenn ein reeller oder imaginärer Kreis vorliegt.

Bemerkungen

(1)
Man kann nachweisen, dass die vier Gleichungen der Gruppe
H1 und H2 unter sich verträglich sind.

(2)
Die Eigenwerte L1 und L2 erfüllen nach Vieta die folgenden
Beziehungen:
L1 * L2 = delta = A C – B^2 und
L1 + L2 = sigma = A + C

(3)
Bezüglich der Kegelschnitttypen gilt das Folgende:
Der Kegelschnitt stellt eine Ellipse dar, wenn die Eigenwerte
dasselbe Vorzeichen haben; dies ist nach (2) der Fall, wenn
delta positiv ist.
Eine Parabel liegt vor, wenn einer der Eigenwerte null ist;
dies trifft zu für delta = 0
Der Kegelschnitt stellt eine Hyperbel dar, wenn die Eigenwerte
verschiedene Vorzeichen haben; dies ist nach (2) der Fall, wenn
delta negativ ist.

(4)
Der Drehwinkel phi kann aus einer der Gleichungen (7) bis (10)
oder aus einer der Gleichungen der Gruppen (H1) und (H2)
gewonnen werden, indem S und T durch die Eigenwerte L1, L2
ersetzt werden.
Aus der Gleichung (8) zum Beispiel entsteht:
tan (phi) = B / (L1 – C) oder mit der ersten Gleichung (H1):
tan (phi) = (L1 – A) / B
Eliminiert man L1 und manipuliert die Gleichungen mit Geschick,
so ergibt sich die bekannte Formel für den doppelten Drehwinkel phi:
tan (2 phi) = 2 B / (A – C)
Mit dieser letzten Formel bekommen wir im Intervall 0 bis Pi
zwei Winkel phi, deren Differenz Pi/2 ist, wie es sein muss.

(5)
Der unter Punkt (4) ermittelte Drehwiinkel phi ist zugleich der
Richtungswinkel der (neuen) X-Achse bezüglich der positiven
(ungedrehten) x-Achse.
Zugleich ist phi der Richtungswinkel eines ersten Eigenvektors e1;
der zweite Eigenvektor e2 steht, wie mehrfach erwähnt, auf e1
senkrecht, in Übereinstimmung mit den Ausführungen unter Punkt (4).

Zum Abschluss dieses ersten Teils folgt eine lehrreiche Anwendung

Berechne ohne Umschweife die Halbachsen der Ellipse
73 x^2 – 72 x y + 52 y ^2 – 100 = 0

Lösung mit Hilfe der Eigenwerte L1 und L2

Es gilt: A = 73, B= -36, C= 52, D = E = 0, F= -100
Die Determinante delta ist AC – B^2 = 2500 > 0, also liegt
eine Ellipse vor.

Wir ermitteln die Eigenwerte der quadratischen Form
73 x^2 – 72 x y + 52 y ^2, d.h. der Matrix
M = [[73,-36],[-36,52]]
Die Eigenwerte L1, L2 erhalten wir aus der quadratischen Gleichung für L,
die durch Nullsetzen der (2,2) - Determinante
(73 - L) * (52 – L) – 36 * 36 entsteht;
somit lautet die charakteristische Gleichung im vorliegenden Fall:
L^2 – 125 L + 2500 = 0
Lösungen: L1 = 25, L2 = 100
Damit erhalten wir für die transformierte Gleichung
im gedrehten Systen x´,y´, indem wir
die Eigenwerte als Koeffizienten von x´^2 und y´^2
einsetzen:
25 x´^2 + 100 y´ ^2 - 100 = 0, oder vereinfacht
x´^2 + 4 y´^2 - 4 = 0 , woraus sofort die
Halbachsen a = 2 und b = 1 abgelesen werden können.
(a auf der x´-Achse, b auf der y´-Achse)

Beachte noch:
1.
Die Spur A + C = 73 + 52 = 125 der Matrix M stimmt mit der Spur
A* + C* = 100 + 25 der transformierten Matrix überein.
Analoges gilt für die Determinanten delta und delta*
vor und nach vollzogener Drehung:
delta = A C – B^2 = 73*52 – 72^2 = 2500
delta* = A* C* = 100 * 25 = 2500 (Beachte:B* = 0)
Beide Grössen, Spur und Determinante, sind Invarianten der Drehung;
das ist eine andere bekannte Geschichte.

2.
Für den Drehwinkel phi erhalten wir mit dem ersten Eigenwert
tan (phi) = B / (S – C) = B / (L1 – C) = -36 / (25 – 52) = 4/3
Das ist zugleich die Steigung der x´-Achse.
Der zweite Eigenwert liefert die y´-Achse mit der Steigung – ¾.
Alles in Übereinstimmung mit der Formel
tan(2 phi ) = 2 B / ( A – C ) , die in vielen Formelsammlungen steht.
Bestätigung:
Einerseits gilt mit der vorstehenden Formel
tan (2 phi) = - 72 / (73- 52) = - 24 / 7
andrerseits nach der Doppelwinkelformel des Tangens:
tan (2 phi) = 2 tan (phi) / [1 – (tan (phi) ^2 ] =
= 8/3 / [1 – 16/9] = - 24 / 7,
alles soweit o.k.

Es geht nun noch darum, mit den Formeln (4), (5), (6) aus
S = L1 = 25, T= L2 = 100, cos (phi) = 3/5, sin (phi) = 4/5
D = E = 0 , F = - 100 die drei Unbekannten
r, s und p zu berechnen.
Die entsprechenden Gleichungen lauten:
- 75 r + 400 s = 3 p
100 r + 300 s = - 4 p
25 r^2 + 100 s^2 + 2 p r = - 100
Als Lösungen finden wir: r = - 2 , s = 0, p = 50

Empfehlung:
Man trage die Ellipse in ein rechtwinkliges (x,y)- Koordinatensystem
ein, in welchem auch das gedrehte und verschobene (X,Y)-System
eingezeichnet werden soll.

So weit, so gut !
Viel Erfolg beim Studium wünscht
Hans Rudolf Moser, megamath


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"Mathematik: Ein wenig Hauptachsentransformation" | 3 Comments
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Re: Ein wenig Hauptachsentransformation
von: Spock am: Fr. 04. April 2003 12:58:17
\(\begingroup\)Hallo Hans Rudolf,

ich spende dann mal den ersten Endapplaus!

Gruss

Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Ein wenig Hauptachsentransformation
von: Spock am: Fr. 04. April 2003 20:07:01
\(\begingroup\)Hallo Hans Rudolf,
der Rest des Planeten ist (ein wenig) still und denkt wohl noch über Deine interessante Alternative zur Hauptachsentransformation nach.
Verstehe ich Deine Botschaft richtig: Du zeigst, wie sich eine Hauptachsentransformation einer allgemeinen Quadrik ohne Kenntnis der Matrizenalgebra (Determinanten, Eigenwerte, usw.) auf Normalform bringen lässt? Wenn ja, was hat Dich dazu motiviert, magst Du keine Matrizen?

Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Ein wenig Hauptachsentransformation
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 06. April 2003 14:53:40
\(\begingroup\)Mein Junge, meon altes Mathematikerherz, 94 Jahre, muss dir ein Kompliment schenken! Ich bin wahrlich stolz dass ein Sohn unseres Landes solche Leistungen erbringt.

Grusse

Prof Dr Dr Markus Maria Holzhitten\(\endgroup\)
 

 
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