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| "Mathematik: sum(k*(n;k),k=0,n)" | 9 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Ich find das offensichtlich:
Leite (x+y)^n nach x ab und setze x=y=1
=> n*(x+y)^(n-1) = sum k*x^(k-1)*y^(n-k)
x=y=1
=> n*2^(n-1)\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ja, aber was tun, wenn Ableitungen in der Kombinatorik nicht so gern gesehen sind?
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Also nach der Bitte um den ausführlichen Weg,
auch wenn die Kombinatorik mein Ableiten nicht mag :'-(
#Es gilt ja bekanntlich:
(x+y)^n= sum((n;k)*x^k*y^(n-k),k=0,n)
#Wir leiten nun beide Seiten nach x ab:
n*(x+y)^(n-1)=sum((n;k)*k*x^(k-1)*y^(n-k),k=0,n)
#Wird nun der spezielle Fall x=y=1 betrachtet:
n*(1+1)^(n-1)=sum((n;k)*k*1^(k-1)*1^(n-k),k=0,n)
#zusammengefasst:
n*2^(n-1)=sum((n;k)*k,k=0,n)
Also das war nur mein Vorschlag, geht leider
nur mit Ableiten!
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\(\begingroup\)DANKE, WIRKLICH BEWUNDERNSWERT "UM DIE ECKE GEDACHT"\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ohne Ableitung:
sum(k*matrix(n;k), k=0, n)
= sum(k*n!/(k!*(n-k)!), k=1, n)
= sum((n-k+1)*n!/((k-1)!*(n-k+1)!), k=1, n)
= sum((n-k+1)*matrix(n; k-1), k=1, n)
= n*sum(matrix(n; k-1), k=1, n) - sum(matrix(n; k-1)*k, k=1, n) + sum(matrix(n; k-1), k=1, n)
= n*sum(matrix(n; k), k=0, n) - n - sum((k+1)*matrix(n;k), k=0, n) + (n+1) + sum(matrix(n;k), k=0, n) -1
= n*sum(matrix(n; k), k=0, n) - sum(k*matrix(n; k), k=0, n)
<=> 2*sum(k*matrix(n; k), k=0, n) = n*2^n
<=> sum(k*matrix(n; k), k=0, n) = n*2^(n-1)
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\(\begingroup\)Fand die Aufgabe ehrlich gesagt auch nicht sonderlich schwer, bin dafür aber auch nicht auf den Trick mit dem Ableiten gekommen (sehr nett)..
Hier meine Lösung: (leider ohne Formeleditor)
1. Für die Binomialkoeffizienten gilt:
(n,k)=(n,n-k)
Somit gilt für die Summe S:
S= 0*(n,0)+1*(n,1)+...+(n-1)*(n,n-1)+n*(n,n)
= 0*(n,0)+1*(n,1)+...+(n-1)*(n,1)+n*(n,0)
= (0+n)*(n,0)+(1+n-1)*(n,1)+...(n/2)/(n,n/2
für ungerade n und
= (0+n)*(n,0)+(1+n-1)*(n,1)+...(n/2)/(n,(n+1)/2
für gerade n
ALso auch:
S= n*((n,0)+(n,1)+(n,2)...(n,n/2)/2
für gerade n und
= n*((n,0)+(n,1)+(n,2)...(n,(n+1)/2)
für ungerade n
Da (n,k) = (n,n-k) gilt, und die Summe aller (n,k),K=0,n bekannterweise = 2^n ist, handelt es sich hierbei um die halbe Summe:
S= n* (2^n)/2
= n* 2^(n-1)
Sorry für die unglückliche Darstellung....beim nächsten Mal mit Formeleditor..
Dominic\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)So viele Antworten pro Stunde. Und so gute!
(Auch Anonyme dürfen den fed benutzen.;-)
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Die Kombinatorik beeinflusst viel zu viel ihre Meinungen, als ich am Projekt Enigma arbeitete wandten wir similare Folgerungen an welche sich dann nicht erfolgreich erwiesen. Fuer k gleich null und n gleich null erhalten wir null, fuer k gleich eins und n gleich eins erhelten wir eins usw. Dies nach dem Prinzip der Chaostheorie angewandt an der algebraischen Verknuepfung der linearen Kombinatorik, den Bewies konnt ihr in meiner homepage nachlesen.
Prof Dr Dr Markus Maria Holzhitten\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Was ist
(n;k) * k ?
Das ist die Anzahl der Moeglichkeiten, zunaechst eine Gruppe von k Personen aus n Personen Gesamtheit zu bilden, und dann eines der Mitglieder der Gruppe zum Anfuehrer zu bestimmen.
Und was ist
sum((n;k) * k,k=0,n) ?
Das ist dann die Anzahl der Moeglichkeiten, eine beliebige Gruppe mit Anfuehrer aus einer Gesamtheit von n Personen auszuwaehlen.
Wie viele Moeglichkeiten gibt es dazu?
Zunaechst hat man n Moeglichkeiten den Anfuehrer zu waehlen, und dann noch 2n-1 Moeglichkeiten, ihm aus den verbleibenden n-1 Personen seine Untergebenen zur Verfuegung zu stellen.
Wir sehen also, es ist
sum((n;k) * k,k=0,n) = n*2^(n-1)\(\endgroup\)
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