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über Kegel, Pyramiden und Kugeln
 Hier sollen die allgemein bekannten Formeln für Oberfläche
und Volumen der genannten Körper hergeleitet werden
Klickt auf eine Formel um zu deren Herleitung zu gelangen:
FORMELN | Volumen | Mantel | Oberfläche | | | | M | M+G | | | M+A+B | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| 1) Pyramide |  |
Das Volumen einer Pyramide erhält man, indem man sie mit
einem Treppenkörper annähert; sie somit mit Prismen 'füllt'
und deren Anzahl gegen unendlich laufen lässt. Das Volumen
soll hier von unten angenähert werden, d.h. dass das Volumen
des Treppenkörpers mit endlich vielen Prismen stets kleiner als
das der Pyramide ist. Man kann mit dem gleichen Prinzip auch
das Volumen von oben annähern, was auf dasselbe Ergebnis
hinauslaufen wird. Die Grundfläche wird nun mit G und die
Höhe mit h bezeichnet, die Anzahl der Prismen ist (n-1).
In der Abblidung ist n=5 :
 Also erhält man für das Volumen V von (n-1) Prismen:
Nun muss man die Reihe wohl anders darstellen, damit man
n leichter gegen unendlich laufen lassen kann. Man kann erst
einmal die ersten Partialsummen aufschreiben und davon aus-
gehen, dass es sich um ein Polynom dritten Grades handelt.
Nun hat man schon drei Gleichungen mit drei Variablen,
also kann man die gesuchten Variablen berechnen:
Nun beweist man das noch mit der vollständigen Induktion:
Setzt man die Formel in V ein, so ergibt sich:
Nun kann man n und somit die Anzahl der
Prismen gegen unendlich laufen lassen:
Und da steht sie, die Formel! Und das wurde für Pyramiden mit
beliebiger Grundfläche bewiesen. Nun kann die Abbildung auch
für einen Kreiskegel stehen, der mit Zylindern gefüllt wird. Also
kann man auch sofort das Volumen eines Kreiskegels berechnen.
Habe dieser den Radius r und die Höhe h, so ist die Grundfläche
und somit das Volumen
 .
Man kann das Volumen eines Kreiskegels auch mit der Integral-
rechnung herleiten, wobei man zwar mit Kanonen auf Spatzen
schießt, aber im Grunde genommen geometrisch dasselbe tut. Ein Pyramidenstumpf ist eine eine Pyramide von der die Spitze
abgeschnitten wurde. Siehe Abbildung für Bezeichnungen:
Man versucht nun, die Höhen der Pyramide und der
Spitze ohne t darzustellen. Für den Vergrößerungsfaktor
k von B zu A bezüglich deren Pyramidenhöhen gilt:
 | 2) Kreiskegel |  | Mit der Höhe h und dem Radius r erhält man einen
Kreiskegel, wenn man den Graphen einer linearen
Funktion s(x) um die Höhe rotieren lässt. 
Dabei ist der Graph von s(x) eine Ursprungsgerade, von der man
die Steigung direkt ablesen kann. Sie ist r/h und somit lautet die
Funktionvorschrift s(x)=(r/h)*x. Allgemein gilt, dass das Volumen
des Körpers, der bei der Rotation vom Graphen von s(x) um die
x-Achse im Intervall [a;b] entsteht, das Volumen V hat mit
Die beiden Wege, Treppenkörper sowie Integralrechnung,
führen zum gleichen Ergebnis. Bei der Herleitung speziell für
den Kreiskegel würde ich die Integralrechnung bevorzugen,
sofern sie vorausgesetzt ist, weil man schneller und filigraner
zum Ziel kommt. Aber allgemein wird die 'Arbeit' nur vereinfacht,
wenn man vorher 'Arbeit' reingesteckt hat. Man kann mit der
Integralrechnung auch das Volumen eines Kreiskegelstumpfes
bestimmen. Seien a der Radius der Grundfläche, b der der
Deckfläche und h die Höhe eines Kreiskegelstumpfes:
Dann erhält man das Volumen mit dem Rotationskörper
des Graphens einer linearen Funktion t(x) um die
x-Achse im Intervall [0;h] :
Man hat genug Informationen, um t(x) zu bestimmen:
Wie oben kann man mit der Formel das Volumen berechnen:
Man könnte aber auch einfach die Grundfläche und die Deck-
fläche, die ja bei dem Kreiskegel Kreise sind, in die Formel
für das Volumen eines Pyramidenstumpfes einsetzen,
um das Volumen eines Kreiskegelstumpfes herzuleiten:
Eine weitere Variante, das Volumen eines Kreiskegel-
stumpfes herzuleiten besteht darin, von dem Volumen
eines Kreiskegels das Volumen der Spitze abzuziehen.
Dazu braucht man einen Strahlensatz: 
Weil man ja das Volumen des Stumpfes mit gegebenen
a,b und h berechnen will, isoliert man im Strahlensatz das x:
Es gilt ja
Also bietet die Integralrechnung zwar eine schnelle Standalone-
Herleitung, aber die andere Methode ist elementarer und nutzt
optimal die gegebenen geometrischen Umstände aus, ohne
Grundlagen abstrakter Rechenoperationen vorrauszusetzen.
Nun soll es um die Mantelfläche eines Kreiskegels
mit dem Radius r und der Mantellinie s gehen.
So sieht es aus, wenn man sie ausbreitet:
Der abgerollte Mantel ist ein Kreissektor. Allgemein ist klar,
dass sich eine Kreissegmentsfläche vervielfacht, wenn sich
der Bogen im gleichen Maße vervielfacht. Also sind diese
Größen proportional zueinander, somit sind die Verhältnisse
analoger Größen gleich. Deswegen ist hier das Verhältnis
des Kreiskegelmantels M zur grauen Kreisfläche genauso
groß wie das Verhältnis vom Bogen des Kreissegments
zum Umfang des grauen Kreises:
Man kommt auf das gleiche Ergebnis, wenn man den Umfang
der Grundfläche in n gleich lange Stücke teilt, die mit vielen
Unterteilungen, also für große n, Grundseiten gleichschenkliger
Dreiecke bilden, deren Höhen m dann die Mantellinie s sind:
Die Fläche des gelben Dreiecks ist dann
Eine dritte Möglichkeit, die Formel herzuleiten,
ist wieder das Füllen des Kreiskegels mit Zylindern:
Der Abstand eines Zylinders zum Rand des unteren
Zylinders ist r/n, weil im gesamten Kreiskegel
nach dem Satz von Pythagoras gilt:
...was der Satz von Pythagoras in den grünen Räumen ist.
Weil r/n für große n sehr klein und im Grenzfall, d.h. bei
unendlich vielen Zylindern sogar 0 ist, ist s/n eine gute
Näherung für die Höhen der Zylinder. Die Mantelfläche M
des Kreiskegels ist die Summe der Zylindermantelflächen,
wobei deren Anzahl gegen unendlich läuft:
Die Oberfläche eines Kreiskegels setzt sich aus
der Grundfläche und dem Mantel zusammen. Also gilt:
Man kann die Mantelfläche eines Kreiskegelstumpfes
genauso wie dessen Volumen herleiten:
Ein Strahlensatz besagt hier:
Genug zum Kegel. Um den Artikel abrundend
abzuschließen, geht es nun ausgiebig um die | 3) Kugel |  | Die Oberfläche der Kugel kann man herleiten,
indem man die Kugel mit Pyramiden 'füllt',
deren Höhen der Radius r der Kugel sind und deren
Grundflächen zusammen die Oberfläche ergeben:
Dann ist das Volumen V der Kugel:
 Das Volumen der Kugel erhält man wieder durch
Treppenkörper. Man nähert zunächst eine Halbkugel
mit Zylindern an, deren Anzahl dann gegen unendlich läuft.
Hier soll nun das Volumen von unten angenähert werden.
Das gleiche Ergebnis würde die Annäherung von oben
liefern. Sei r der Radius einer Kugel, die mit n Zylindern
der Höhe r/n und des Radius' z angenähert wird.
Da die grünen Linien stets der Radius sind,
gilt mehrmals der Satz des Pythagoras:
Ein Zylinder hat also hier das Volumen
Das Ganze geht auch viel schneller mit der Integralrechnung,
indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser rotieren
lässt. Dieser kann durch diese Funktion dargestellt werden:
Damit kann man die Formel für Rotationskörper anwenden:
Doch auf die verblüffenste und genialiste Herleitung
kam schon Archimedes (287 v.Chr. - 212 v. Chr.).
Einem Zylinder der Höhe und des Radius' r wird ein
Kreiskegel eingeschrieben und herausgeschnitten.
Eine Ebene schneidet diesen Restkörper und eine
Kugel des Radius' r in der gleichen Höhe h. Nun
werden die Schnittflächen beider Körper berechnet.
Da beide Körper bei beliebiger Höhe die gleiche
Schnittfläche haben, haben sie nach dem Prinzip
von Cavilieri das gleiche Volumen. Das Volumen
des Restkörpers ist das Volumen eines Kreiskegels
der Höhe und des Radius r' von einem Zylinder der
Höhe und des Radius r' abgezogen:
Mit diesem Ansatz kann man auch das Volumen eines
Kugelabschnitts (eine Ebene teilt eine Kugel in 2 Kugel-
abschnitte) berechnen, wobei r der Radius der Kugel
und h die Höhe des Kugelabschnitts ist.
In der Abbildung sind die grünen Strecken stets r
und die roten Volumina sind gleich groß.
Deshalb gilt:
Die Integralrechnung kann da wieder alternativ behilflich sein:
Der Ansatz über Rotationskörper liefert:
Man kann diese Formel auch statt in Abhängigkeit vom
Kugelradius r in Abhängigkeit des Radius' t des
Kugelabschnitt-Grundkreises darstellen.
Es gilt doch der Satz des Pythagoras:
(Diese Beziehung wird nun oft wiederverwendet)
Löst man nach r auf, so ergibt sich:
Das setzt man in die Formel des Kugelabschnittvolumens ein:
So sieht ein Kugelausschnitt aus:
Er besteht aus einem Kreiskegel der Höhe r und des
Radius' t mit aufgesetztem Kugelabschnitt der Höhe h
und des Radius' r. Doch ein Kugelausschnitt ist schon
eindeutig definiert durch den Radius r und der Höhe h.
Man kann also t durch den Term wie oben ersetzen.
Damit kann man auch den Mantel eines Kugelabschnitts
berechnen, der auch mit Kugelkappe bezeichnet wird.
Dazu füllt man einen Kugelausschnitt mit Pyramiden,
deren Grundflächen summiert die Kugelkappe ergeben.
 Dabei lässt sich diese Formel auch statt mit dem Radius
der Kugel mit dem Radius des Grundkreises t des Kugel-
abschnitts darstellen. Das Dreieck in der Abbildung ist
rechtwinnklig, weil die längere Seite der Durchmesser eines
Kreises ist, auf dem der gegenüberliegende Eckpunkt liegt.
Der Kathetensatz besagt dann hier:
Für die Oberfläche eines Kugelabschnitts muss man
noch die Grundfläche addieren. Die Grundfläche ist ein
Kreis des Radius' t, den man wieder ersetzt:
Aber auch hier ist die andere Darstellung mit dem
Radius t des Grundkreises möglich:
Beim Kugelausschnitt kann man zwischen Oberfläche
und Mantel nicht unterscheiden. Er besteht aus einem Kreis-
kegelmantel und einer Kugelkappe. Auch hier ersetzt man t:
Zwei parallele Ebenen teilen eine Kugel in zwei Kugelabschnitte
(im Bild blau) und in eine Kugelschicht (im Bild rot).
Die Kugelschicht ist also eine Kugel von der zwei Kugelab-
schnitte abgeschnitten worden sind. Deshalb ist auch der
Mantel einer Kugelschicht , der auch Kugelzone genannt
wird, zwei Kugelkappen von der Kugeloberfläche abgezogen.
Also gilt für den Mantel einer Kugelschicht:
Sowohl s als auch t heben sich auf. Also ist es egal, wo
sich diese Kugelschicht in einer Kugel mit festem Radius
befindet. Nur die Höhe ist entscheidend.
Das komplizierteste Problem ist wohl, das Volumen einer
Kugelschicht herzuleiten. Die Höhe h dieser und der Radius
r der Kugel reichen nicht aus, um das Volumen eindeutig zu
bestimmen. Also braucht man die beiden Radien a und b
der Grundkreise. Zunächst fasst man alles zusammen,
was man 'hat'. Allgemein gilt ja
Es ist offensichtlich, dass h = t - s gilt. Außerdem gilt,
weil die Dreiecke ABC und ABD bei C bzw. D einen
rechten Winkel haben (->siehe hier) , der Höhensatz:
Nun ist das Volumen die Differenz von zwei
Kugelabschnitten, deren Höhen t bzw. s sind:
Ich möchte noch einmal deutlich sagen, dass komplexere
Rechenoperationen vieles vereinfachen, aber man sich dieses
Wissen erst einmal aneignen muss. Das Ziel der Mathematik
besteht auch darin, neue höhere Basen zu schaffen, auf denen
man bildlich gesehen einen neuen Ausblick hat, aber nicht un-
bedingt einen größeren! Deshalb ist es egal, von wo man einen
Beweis in Angriff nimmt, sofern man die freie Auswahl hat. Ich habe sicher nicht alle möglichen Herleitungen aufgegriffen
und dabei versucht, wenig Wissen vorrauszusetzen. Für die
Variablen gelten die Bezeichnungen und Definitionsbereiche
wie in den Abbildungen. Da Recherche nur bei der Kugelschicht
nötig war, können Fehler nicht ausgeschlossen werden...
In diesem Fall könnt ihr mir per Mail den Fehler nennen.
Ich bedanke mich besonders bei Matroid für den Formeleditor,
der hier mal wieder sein Können bewiesen hat.
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