Um z.B. die durchschnittliche Wachstumsrate einer Fichte zu berechnen, die in 3 Jahren um 1, 2 und 4 Prozent wächst, muss man das geometrische Mittel benutzen. Hier ist n=3 und damit das gesuchte geometrische Mittel: Dagegen liefert das arithmetische Mittel 2,333 ... , was aber nicht die gesuchte durchschnittliche Wachstumsrate ist. Nimmt man z.B. {1,2,3,4} als Elemente, so erhält man als A.M. 2.5 und als G.M. 2,213... . Es fällt auf, dass das A.M. in beiden Fällen größer als das G.M. ist. Und bevor ich zu sehr zur Statistik über- schweife, geht es nun nur um den allgemeinen Beweis dafür, was sich mit der vollständigen Induktion machen lässt, allerdings hier mal nicht mit den Schluss von n auf n+1, sondern von n auf 2n und von n auf n-1. Damit sind alle natürliche Zahlen mit Hilfe ihrer Additivität abgedeckt, sofern der Induktionsanfang stimmt:
Ich setze zur Abkürzung: Induktionsanfang: (für n größergleich 2, alles dadrunter ist unlogisch) Damit ist gezeigt.
Induktionsvoraussetzung: Induktionsbehauptung: Induktionsschritt für (1):
Induktionsschritt für (2):
Ich setze
Das ist doch mal eine extraordinäre Anwendung für die vollständige Induktion, die mich hier mal wieder fasziniert hat. Dieser trickreiche Beweis stammt von Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). Sein Goldstück musste sich mal auf dem Matheplaneten niederlassen ...
Quelle: H. Bachmann: Einführung in die Analysis 1; Diesterweg-Salle-Verlag
Das
arithmetische Mittel von n postiven Elementen
wird definiert durch
Eine Anwendung sehe ich immer besonders bei Klassenarbeiten, von denen
man den Durchschnitt berechnen will. Hat man z.B. diesen Zensurenspiegel:
dann ist n=1+3+9+7+2+1=23 und somit das arithmetische
\(\begingroup\)Fürwahr ein schöner Beweis :). Hier ist noch einer (Quelle: H. Heuser: Einführung in die Analysis I (das Buch kann ich übrigens sehr empfehlen!))
#Beweis durch Induktion in der äquivalenten Form:
a_1*a_2*...*a_n <= ((a_1+a_2+...+a_n)/n)^n
#Um Triviales zu vermeiden, nehmen wir a_1,a_2,...a_n > 0 an
\big Induktionsanfang n=1
versteht sich von selbst.
wenn mann schon Zuwaechse akkumuliert, dann bitte richtig. 1% Wachstum ergibt sich durch Multiplikation der Ausgangsgroesse mit 1,01, etc., was fuer die durchschnittliche Wachstumsrate, die sich korrekt durch das geometrische Mittel ergibt, nach Abzug der 1,00=100% der Ausgangsgroesse, 1,996731...% ergibt.
Sonst landet man bei Meldungen, die ein Abnehmen des Verlustwachstums als Erfolg darstellen.
\(\begingroup\)Und wenn man den Text korrekt liest, ist der mittelwert bei 1,2 und 4 (nicht 3) Prozent Zuwachs 2,325756 %, was schon ziemlich nah beim arithmetischen Mittel liegt, bei so kleinen Zuwaechsen (unter 6%) auch nicht verwunderlich.
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