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Mathematik: Das Prinzip der vollständigen Induktion
Released by matroid on Di. 17. April 2001 20:01:37 [Statistics] [Comments]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Ich möchte eine umfangreiche eigene Arbeit vorstellen. Das Prinzip der vollständigen Induktion

Die vollständige Induktion ist eine der 3 grundlegenden mathematischen Beweistechniken - neben 'direkt' und 'indirekt durch Widerspruch'. Um eine Beweistechnik als Mittel der korrekten logischen Argumentation zu akzeptieren, muß man diese Technik verstanden haben. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist immerhin schon so komplex, daß es Gegenstand von Witzen sein kann.


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Themenüberblick

  1. Wer hat die vollständige Induktion erfunden?
  2. Ist Induktion nur etwas für Folgen und Reihen?
  3. Wie funktioniert die vollständige Induktion?
    1. Zusammenfassung Induktionsverfahren
  4. Kann man sich auf die vollständige Induktion verlassen?.
  5. Kann man denn wirklich den Induktionsschluß unendlich oft anwenden?.
  6. Was ist schwer an der vollständigen Induktion?
  7. Kann man denn Induktion immer anwenden?
    1. Peano-Axiome
  8. Induktion kann man nicht anwenden, wenn ...
  9. Anwendungen der vollständigen Induktion
    1. Geometrie
    2. Mengenleere
    3. Binomialkoeffizienten
    4. Geometrisches und Arithmetisches Mittel
    5. Summenformeln
    6. Abschätzungen
    7. Teilbarkeit
    8. Zahlentheorie
    9. Rekursiv definierte Folgen
    10. Eindeutigkeitsbeweis
    11. Differentialrechnung
  10. Schluß

    11. [Edit]

     
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    Mathematisch für Anfänger
    Mathematisch für Anfänger

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: Schüler aufwärts :: Beweistechnik :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: Leicht verständlich :: vollständige Induktion :: natürliche Zahlen :
Das Prinzip der Vollständigen Induktion [von Matroid]  
Eine umfangreiche Darstellung des Prinzips der Vollständigen Induktion (Beweistechnik) und ihrer Anwendungsbereiche
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"Mathematik: Das Prinzip der vollständigen Induktion" | 3 Comments
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Re: Das Prinzip der vollständigen Induktion
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 18. November 2014 10:26:00
\(\begingroup\)Im Text wird behauptet, dass man 1/(n+1) > 0 nicht aus 1/n > 0 herleiten kann. Womit geschlossen wird, dass die vollst. Induktion nicht anwendbar ist. Was ist dann an diesem Beweis falsch? 1/n > 0 <--> n > 0 <--> n+1 > 1 --> n+1 > 0 <--> 1/(n+1) > 0 MfG JH 😵 ''\(\endgroup\)
 

Re: Das Prinzip der vollständigen Induktion
von: matroid am: Mi. 19. November 2014 15:47:41
\(\begingroup\)Hallo JH, so geht es, ja, das ist direkter Beweis. Was ich sagen wollte: Man kann die Aussage "1/n > 0" nicht mit vollständiger Induktion beweisen. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Das Prinzip der vollständigen Induktion
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 19. November 2014 19:57:06
\(\begingroup\)Hallo Matroid, Ihre Antwort verstehe ich leider nicht. Ich dachte mein Beweis ist gerade der Induktionsschritt: A(n) --> A(n+1) (A(1) ist trivial wahr; A(n) ist die Aussage 1/n > 0.) Somit folgt mit vollst. Induktion die Aussage 1/k > 0 für alle k aus N. Darf der Induktionschritt innerhalb eines Beweises mit vollst. Induktion kein direkter Beweis sein? 1/n > 0 habe ich nicht bewiesen, sondern das war meine Induktionsvoraussetzung, bewiesen habe ich das unter dieser Voraussetzung auch 1/(n+1) > 0 wahr ist. MfG JH \(\endgroup\)
 

 
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