Mathematik: Drei kleine Sätze über Primzahlen
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Title Drei kleine Sätze über Primzahlen
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Drei kleine Sätze über Primzahlen [von hansibal]  
In diesem Artikel möchte ich drei kleine Sätze über Primzahlen vorstellen. Der Erste beantwortet die Frage: "Wann gibt es drei Primzahlen mit einer konstanten Differenz a, x, x+a und x+2a?". Der Zweite klärt eine Frage zur Faktorenzerlegung und der Dritte, das eigentliche Juwel, beinhaltet eine Ver
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"Mathematik: Drei kleine Sätze über Primzahlen" | 7 Comments
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Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: FriedrichLaher am: So. 25. Mai 2003 18:56:43
\(\begingroup\)Ich bin nicht sicher, wie Du das mit der Primzahllücke meinst -
sicher zeigst Du, daß die Differenzen beliebig groß werden müssen -
aber
was wäre Deiner Meinung nach z.B. die 1te Primzahl p
so
daß erst p+20 wieder eine Primzahl ist?
\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: Fabi am: So. 25. Mai 2003 19:34:12
\(\begingroup\)Darüber sagt der Satz nichts aus. Er sagt nur, an welcher Stelle spätestens eine solche Primzahllücke kommt.
Das ist spätestens zwischen 2*3*5*7*11*13*17*19+2 = 9699692 und 9699711 der Fall - keine der 20 Zahlen dazwischen kann eine Primzahl sein.
Es kann aber durchaus bereits vorher Primzahllücken dieser Länge geben (ob es die gibt, weiß ich nicht; vielleicht kann man zusätzlich noch zeigen, dass dies die minimale Primzahllücke ist, das glaube ich jedoch nicht)
Gruß
Fabi\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: FriedrichLaher am: So. 25. Mai 2003 19:46:17
\(\begingroup\)ja, das wollte ich klargestellt sehen,
denn schon vor der 20erLücke 1637,1657 gibt es die 34erLücke 1327,1361\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: hansibal am: Mo. 26. Mai 2003 10:35:44
\(\begingroup\)Ja, ihr habt beide recht.
Ich hab keine Ahnung ob es später noch weitere derartige Lücken derselben Länge gibt, vermute aber, dass es meistens früher auch schon eine gibt.

Grüße
Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: arbol01 am: Di. 22. März 2005 15:29:36
\(\begingroup\)"Ja, ihr habt beide recht. Ich hab keine Ahnung ob es später noch weitere derartige Lücken derselben Länge gibt, vermute aber, dass es meistens früher auch schon eine gibt." Klar gibt es Später noch derartige Lücken. Das läßt sich sehr einfach zeigen. Wenn n!+2 bis n!+n eine Lücke darstellt, dann stellt mit k >= 2 das Intervall k*n!+2 bis k*n!+n natürlich wiederum eine Primzahllücke dar. Das gleiche gilt für kgV(1,..,n)+2 bis kgV(1,..,n)+n, die sich zu k*kgV(1,..,n)+2 bis k*kgV(1,..,n)+n erweitern läßt. Und schließlich gilt es auch noch für die Primorials (pn# = p1*p2*p3*...*pn).\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: arbol01 am: Sa. 19. November 2005 03:35:42
\(\begingroup\)Die Produkte solcher dreier Primzahlen x, x+a und x+2a mit a=6n sind Carmichael-Zahlen nach Chernick (Formel: C=(6n+1)*(12n+1)*(18n+1) = p+(2p-1)*(3p-2) Ausserdem handelt es sich bei den Produkten um Zeisel-Zahlen, die aus den Startbedingungen a=1 und b=6n erzeugt werden: p0 = 1 p1 = p0*a + b p2 = p1*a + b p3 = p2*a + b Z = p1*p2*p3\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 10. Oktober 2014 13:57:57
\(\begingroup\)zu Satz 1: Nur für a=2 hast Du was bewiesen. 47, 53 und 59 sind aufeinander folgende Primzahlen mit Abstand a=6. zu Satz 2: Zu den Faktoren einer Zahl zählt eigentlich auch die 1. So sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12 die Faktoren der 12. Und es zählen auch nicht prime Zahlen, wie 4, 6 und 12 dazu. Die 12 hat 6 Faktoren und bis zur 12 existieren nur 5 Primzahlen. Es könnte sein, dass Du mit der Frage recht hast, weil Du die 1 nicht berücksichtigt haben willst. Nur Dein Beweis scheint mir trotzdem ein Trugschluss zu sein. zu Satz 3: (schöne Erkenntnis) Aber es gibt immer schon kurz davor eine gleich lange Primzahllücke: z.B. 2*3*5*7*11*13*17*19-22 bis 2*3*5*7*11*13*17*19-2, also von 9699668 bis 9699688 gibt es keine Primzahlen. Die Teilbarkeitseigenschaft gilt auch immer in der anderen Richtung. Das soll nicht heißen, dass es nicht vorher schon größere Lücken gibt. Gruß somi \(\endgroup\)
 

 
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