Mathematik: Das Problem der Traktrix
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Mathematik

\(\begingroup\) Das Problem der Traktrix


Mit diesem Artikel möchte ich euch das Problem der Traktrix
darstellen und versuchen einen Lösungsweg zu zeigen.

\stress\Folgendes Problem wird dargestellt:

Auf der x\-Achse bewegt sich der Punkt C mit konstanter Geschwindigkeit
v (blauer Pfeil) vom Punkt D(x_1,0). Der Punkt B bewegt sich mit der
Geschwindigkeit w (roter Pfeil) in Richtung Punkt C. Punkt B startet
im Punkt A(x_0,y_0).
Der Punkt C hat die Koordinaten C(a,0), und der Punkt B hat die Koor\-
dinaten B(x,y).
Nun soll die Bahn des Punktes B bestimmt werden.


pdf-Version des Artikels

\geo
xachse(-0.5,5)
yachse(-0.5,5)
Punkt(0.25,4,A)
plot(1/(x))
p(0.75,1.3333333333333333333333333,B(x/y))
p(1.5,0,C)
p(0.5,0,D)
punktform(.)
p(0.75,0,K,nolabel)
p(0,1.3333333333333333333,L,nolabel)
p(2.5,0,F,nolabel)
p(2.4,0.1,G,nolabel)
p(2.4,-0.1,H,nolabel)
strecke(K,B(x/y),x)
strecke(L,B(x/y),y)
color(blue)
strecke(C,F,v)
nolabel()
strecke(G,F,)
strecke(H,F,)
label()
p(1.3,0.35555555555555555555555,E,nolabel)
p(1.3,0.45555555555555555555555,I,nolabel)
p(1.2,0.35555555555555555555555,J,nolabel)
color(red)
strecke(B(x/y),E,w)
nolabel()
strecke(I,E,)
strecke(J,E,)
label()
\geooff
geoprint()
Offenbar gilt für die Abzisse des Punktes C zum Zeitpunkt t
\lr(1)a=x_1+v*t
Nach Pythagoras gilt nun
\lr(2)
dx^2+dy^2=w^2*dt^2

Somit erhalten wir die Gleichung

\lr(2a)1+(dy/dx)^2=w^2*(dt/dx)^2 <=> dt/dx=1/w*sqrt(1+y'^2)

Für die Steigung zwischen den Punkten B und C gilt

\lr(3)dy/dx=(0-y)/(a-x)=-y/(a-x)=y'

Aus Gleichung 1 folgt a-x=x_1-x+v*t und dies in Gleichung 3 eingesetzt

y'=-y/(x_1-x+v*t)
\lr(4)(x_1-x+v*t)=-y/y'
Differenzieren wir nun Gleichung 4 nach x so erhalten dir
-1+v*dt/dx=-(y'*y'-y*y'')/y'^2
\lr(5)dt/dx=1/v*(y*y'')/y'^2

Setzen wir nun die Gleichungen 2a und 5 gleich und formen nach y'' um so erhalten wir
dir Differentialgleichung der Traktrix:

\red y''=v/w*y'^2/y*sqrt(1+y'^2)

Zur Lösung dieser DGL setze ich y'=dy/dx=p dann ist
y''=dp/dx=dp/dx*dy/dy=dy/dx*dp/dy=p*dp/dy

Das setzte ich in die Differentialgleichung der Traktrix ein und erhalte
p*dp/dy=v/w*p^2/y*sqrt(1+p^2)

Nun trenne ich die Veränderlichen

1/(p*sqrt(1+p^2))*dp=v/w*1/y*dy

Doch bevor ich och dies tue, klammer ist in der Wurzel p^2 aus und erhalte
1/(p*sqrt(1+p^2))*dp=1/(p*sqrt(p^2)*sqrt(1+(1/p)^2))

Da p mir die Tangentensteigung angibt, ist p negativ und ich erhalte
-1/p^2/sqrt(1+(1/p)^2)*dp=v/w*1/y*dy

Nun Integriere ich beide Seiten und bekomme

arcsinh(1/p)=v/w*(ln(y)+C_1)

1/p=(e^(v/w*(ln(y)+C))-e^(-v/w*(ln(y)+C)))/2

1/p=1/2*((C_1*y)^(v/w)-(C_1*y)^(-v/w)) mit e^C=C_1

Nun war p=dy/dx

dx/dy=1/2*((C_1*y)^(v/w)-(C_1*y)^(-v/w))

dx=1/2*((C_1*y)^(v/w)-(C_1*y)^(-v/w))*dy

Nun integriere ich wieder

\blue x(y)=1/2*(1/(C_1*(1+v/w))*(C_1*y)^(1+v/w)-1/(C_1*(1-v/w))*(C_1*y)^(1-v/w))+C_2

Falls v/w=1 ist, so muss anders integriert werden.
Ich wähle die Darstellung x(y), da es schwer ist beim Fall, dass die
Abzisse des Punktes D kleiner ist als die des Punktes A eine eindeutige Darstellung
y(x) zu finden.

Nun hab ich Anfangsbedingungen, ich weiß das A auf der Kurve liegt somit hab ich
x(y_0)=x_0
und ich kenne die Steigung zum Zeitpunkt t=0, denn es ist die Steigung
der Gerade durch die Punkte A und D
m=(0-y_0)/(x_1-x_0)
Somit ist x'(y_0)=-y_0/(x_1-x_0)

Bei der zweiten MPC war ebenfalls von Toaster eine Aufgabe zur Traktrix gestellt
worden. In seinen Anfangsbedingungen war v/w=2 , y_0=1 , x_0=0 und x_1=-1

Damit kann ich nun die Bahn bestimmen.
1.Bedingung x(1)=0:
0=1/2*(1/(C_1*3)*C_1^3-1/(C_1*(-1))*C_1^(-1))+C_2
\lr(A)0=1/2*(1/3*C_1^2+1/C_1^2)+C_2

2.Bedingung x'(1)=1
\lr(B)1=1/2*(C_1^2-C_1^(-2))
Nun folgt aus B C_1=sqrt(1+sqrt(2)) dies setze ich nun in A ein
0=1/2*(1/3*(sqrt(1+sqrt(2)))^2+1/(sqrt(1+sqrt(2)))^2)+C_2
0=1/2*(-2+4*sqrt(2))/3+C_2
C_2=(1-2*sqrt(2))/3

Somit ergibt sich für die Bahn dieselbe Lösung wie Toaster in seiner
Aufgabe hatte:

x(y)=(1+sqrt(2))/6*y^3+1/(2*(1+sqrt(2))*y)+(1-2*sqrt(2))/3

Bild
Es gab für mich zwei Gründe diesen Artikel zu schreiben. Zum ersten fand ich
das Problem der Traktrix sehr interessant ist und zum zweiten konnte
ich damals bei der MPC diesem Problem nicht ganz folgen konnte.
Erst als ich mich ein wenig mit Differentialgleichungen beschäftigt habe,
konnte ich die Lösung nachvollziehen.

Ich hoffe ich konnte euch das Problem näher bringen und den Lösungsweg verständlich
rüberbringen.



Gruß

Artur Koehler
(alias pendragon302)




\small Literatur:
\small W.W. Stephanow, Lehrbuch der Differentialgleichungen, DVW Verlag

Trennlinie
Artikel von pendragon302 zur Differential- und Integralrechnung:

  • Ganz genau: Potenzreihenentwicklung nach Taylor
  • Ganz genau: Gelöste Differentialgleichungen
  • Ganz genau: Krümmungskreise
  • Ganz genau: Das Problem der Traktrix
  • Ganz genau: Gelöste Standardintegrale
  • Ganz genau: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus

  • \(\endgroup\)
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    Das Problem der Traktrix [von pendragon302]  
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    "Mathematik: Das Problem der Traktrix" | 4 Comments
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    Re: Das Problem der Traktrix
    von: scorp am: Mi. 23. Juli 2003 22:56:15
    \(\begingroup\)Es war nur eine Frage der Zeit bis sich der "Integrator" auch die Differentialgleichungen und damit u.a. auch Toaster's Aufgabe und den allgemeinen Fall unter den Nagel reissen wuerde.

    Was soll ich sagen, dafuer dass es von dir ist, wirklich beeindruckend 😛

    Viele Gruesse,
    /Alex\(\endgroup\)
     

    Re: Das Problem der Traktrix
    von: SchuBi am: Do. 24. Juli 2003 07:22:49
    \(\begingroup\)Hallo, Arthur!
    Das ist ein agenehm zu lesender Artikel, den sogar ich verstehe.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Problem der Traktrix
    von: Martin_Infinite am: Fr. 25. Juli 2003 13:30:29
    \(\begingroup\)Vorweg: (denn das letzte merkt man sich
    besser, also meine Komplimente) Du hast
    beim Ausklammern von p² rechts ein dp
    vergessen und ein paar andere Tippos, ABER:

    Super Artikel! Wie immer! Jedes mal kann ich
    u.v.a das, was du schreibst, gut nachvollziehen.
    Obwohl ich keine mathematischen Vorkentnisse über
    DGLs habe konnte ich den gesamten Artikel prima
    verstehen! Toasters Lösung ist dagegen sehr
    unverständlich, aber wenn du, Penny, DGLs löst,
    (und hier auch noch so allgemein!) verstehe
    selbst ich das, es ist so logisch alles!
    Ich freue mich schon auf deinen Nächsten :D\(\endgroup\)
     

    Re: Das Problem der Traktrix
    von: pendragon302 am: Sa. 26. Juli 2003 01:19:43
    \(\begingroup\)Ich danke euch Dreien 😄


    Gruß\(\endgroup\)
     

     
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