Rätsel und Spiele: Kreisringfläche
Released by matroid on Sa. 26. Juli 2003 12:39:09 [Statistics]
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\) Kreisring

Man zeichne einen Kreis, dessen Durchmesser größer als 2 (der Optik wegen nicht viel größer als 2, also möglichst kleiner als 3) ist.
Nun markiert man einen Punkt A auf dem Umfang und zieht eine gerade Strecke der Länge 2 so, dass deren Ende wiederum auf dem Umfang - in Punkt B - landet.
Jetzt folgt der Innenkreis so, dass dessen Umfang die gerade gezeichnete Strecke berührt.

1) Mit welcher Überlegung kann man nun bereits die Kreisringfläche angeben?

2) Wie kann man es mathematisch herleiten?

3) Wie lautet allgemein die Kreisringfläche in Abhängigkeit der genannten Strecke (wenn sie also nicht mehr unbedingt die Länge 2 besitzt)? - Hierbei soll sie nicht mehr AB, sondern einfach s heissen.

Hinweis: die beschriebene Strecke bildet die Sehne eines Kreissegmentes ... viel Spass! (Ich hoffe es ist nicht alles ein alter Hut!)

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: Spiele+Rätsel :: Analytische Geometrie :: Geometrie :: Kreis :: Kreisflächen :
Kreisringfläche [von rabekrax]  
Man zeichne einen Kreis, dessen Durchmesser größer als 2 ist. Nun markiert man eine Sekante der Länge zwei zwischen den Punkten A und B.
Jetzt folgt der Innenkreis so, dass dessen Umfang die gerade gezeichnete Strecke berührt.

1) Mit welcher Überlegung kann man nun bereits die Kreisringfläche angeben?
2) Wie kann man es mathematisch herleiten?
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"Rätsel und Spiele: Kreisringfläche" | 10 Comments
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Re: Kreisringfläche
von: scorp am: Sa. 26. Juli 2003 13:22:57
\(\begingroup\)Hi.

Da r>2 und AB^-=2 betrachte ich nur die obere Haelfte des Kreises.
In diesem Fall kann ich hierfuer sogar eine explizite Gleichung
angeben:
x^2+y^2=r^2 <=> y=f(x)=sqrt(r^2-x^2)
Gesucht ist die innere Kreisflaeche. Diese beruehrt die Sehne.
O.B.d.A sei A=(-r\|0). Daraus kann B errechnet werden. B=(u \|f(u))
2=sqrt(\Delta x^2+\Delta y^2)
=sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2)
=sqrt((-r-u)^2+(0-f(u))^2)
=sqrt(r^2+2ur+u^2+f(u)^2)
=sqrt(r^2+2ur+u^2+sqrt(r^2-u^2)^2)
=sqrt(2r^2+2ur)
2=r^2+ur
u=2/r-r

Wir erhalten A(-r\|0) und B(2/r-r\|2*sqrt(1-1/r^2))
Nun berechne ich die Steigung der Strecke AB^- um anschliessend die
Steigung der Normalen zu berechnen.

m_AB^-=(\Delta y)/(\Delta x) = sqrt(1-1/r^2)/(2/r) = r*sqrt(1-1/r^2)/2

Es gilt: m_n*m_t=-1 =>
n_AB^-=-2/sqrt(r-1)

Jetzt muss nur noch der Schnittpunkt der Geraden mit der Steigung
der Normalen durch den Ursprung mit der Strecke AB^- bestimmt werden
und dessen Abstand vom Ursprung. Das ist der Radius des inneren
Kreises (mit fedgeo waere das bestimmt um Einiges anschaulicher...).

g=-2/sqrt(r-1)*x

Punktsteigungsform:
m=(y-y_0)/(x-x_0) <=> sqrt(r-1)/2=y/(x+r) <=> y=sqrt(r-1)/2*x+sqrt(r-1)/2*r

Gleichsetzen:
2/sqrt(r-1)*x+sqrt(r-1)/2*x=-sqrt(r-1)/2*r
x*(2/sqrt(r-1)+sqrt(r-1)/2)=-sqrt(r-1)/2*r
x=-1/(4r/(r-1)+r)
=>
y=2/sqrt(r-1)*1/(4r/(r-1)+r)

letztlich r_in=sqrt(x^2+y^2)

Bestimmt ginge es vieeeeel einfacher... :-/

Gruss,
/Alex\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: Zahlenteufel am: Sa. 26. Juli 2003 14:56:50
\(\begingroup\)Hallo.

Ich komme auf einen anderen Inkreisradius.
Die Mittelsenkrechte durch AB geht durch den Mittelpunkt O
des Kreises.
Nach Pythagoras (angewand auf das rechtwinklige Dreieck AOM) gilt:
r_in=sqrt(r^2-1)

Gruß
Christoph
\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 26. Juli 2003 15:01:34
\(\begingroup\)Hi!

Mit dem Höhensatz geht's einfacher.

h2 = (s/2)2 = p*q

s Sehnenlänge
r1 Radius des Außenkreises
r2 Radius des Innenkreises

p = r1 + r2
q = r1 - r2

(s/2)2 = r21 - r22

Mit pi multipliziert

pi * (s/2)2 = pi * (r21 - r22)

\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: Site am: Sa. 26. Juli 2003 15:03:09
\(\begingroup\)Hi,

ich sehe schon, scorp, du hast dich mal wieder ins Zeug gelegt, aber verzeih mir, dass ich mich da jetzt nicht durchkämpfen werde, sondern einen anderen Weg gehe.

Der äußere Kreis habe den Radius R und der innere den Radius r. Nun wird die Strecke AB (ich nenne sie a) gezeichnet. Wenn ich das richtig verstehe, dann sind R und a bekannt.

Aufgezeichnet:
\geo
e(300,300)
punkt(2.5,2.5,M)
nolabel()
kreis(M,2,KreisA)
kreis(M,1.5,KreisB)
punkt(2.5,4,P2)
label()
color(blue)
punkt(3.82,4,B)
punkt(1.18,4,A)
strecke(A,B,a)
strecke(M,P2,r)
strecke(M,B,R)
\geooff
geoprint()
Nun sieht jeder Sofort das rechtwinklige Dreieck auf der rechten Seite, das die Seiten a, r und R hat, wodurch man die Unbekannte r errechnen kann:
r=sqrt(R^2-a^2/4)
Und daraus ergibt sich auch schon der Flächeninhalt des Ringes:
A_Ring=A_außen-A_innen
=\pi *R^2-\pi *r^2
=\pi *a^2/4
Wenn das jetzt nicht viel zu einfach wäre, dann würde ich meinen, dass es richtig sei ...\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: matroid am: Sa. 26. Juli 2003 15:10:45
\(\begingroup\) Für eine Sehne der Länge 2 ist die
Ringfläche gleich \p \- unabhängig von der Größe
des äußeren Kreises.
Nett!

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: DaMenge am: Sa. 26. Juli 2003 15:43:25
\(\begingroup\) heißt das, man kann dieses Verfahren rekursiv verwenden
und damit genau r^2 solche Ringe herstellen jeweils
mit Flächeninhalt \p ??
für natürliches r sieht das ziemlich antik aus...\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: matroid am: Sa. 26. Juli 2003 16:11:45
\(\begingroup\)@DaMenge: Gute Idee.

\geo
xy(-3.2,3.2)
p(0,0,O)
k(O,3.1,k1)
p(k1,120,p1)

makro(ring,k(p%{1},2,k%{1}1,hide)sp(k%{1}1,k%{1},p%{1}1,+,hide)c(silver)s(p%{1},p%{1}1,s%{1})c()p(p%{1},p%{1}1,p%{2})k(O,p%{2},k%{2}))
ring(1,2)
ring(2,3)
ring(3,4)
ring(4,5)
ring(5,6)
ring(6,7)
ring(7,8)
ring(8,9)
ring(9,10)
\geooff

Alle Ringe haben die Fläche \p.
geoprint()


Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: rabekrax am: Sa. 26. Juli 2003 20:26:33
\(\begingroup\)Das nenne ich prompt - Ihr lasst ja wirklich nichts anbrennen ..! Klasse!

Sehr gut gefällt mir der letzte Beitrag, enthält er doch anschaulich die Antwort auf die erste Frage: mit welcher Überlegung kann man nun bereits ( = sofort) die Kreisringfläche angeben?

=> Offensichtlich (da nicht angegeben) spielt der Durchmesser des Aussenkreises keine Rolle (wie von Matroid treffend festgestellt), zumindest solange er größer als 2 ist.
Lässt man ihn nun gegen 2 marschieren, so wird der Innenkreis immer kleiner, bis er, wenn der Durchmesser des Aussenkreises bei 2 landet, gerade verschwindet - aus dem Kreisring wird ein Kreis mit dem Radius 1 ..! Dessen Fläche somit pi beträgt!
Der kleinste Innenkreis in Matroids Abbildung des voranstehenden Beitrags ist der Punkt 0 im Ursprung des Kreuzes, der nächste Kreis drumherum (als erster Aussenkreis) hat den Radius 1 und die Fläche pi ..!

Den Vergleich der Kreisfläche abhängig vom Durchmesser mit der Kreisringfläche abhängig von der beschriebenen Sehne (wie von "Site" gefunden) finde ich sehenswert.

Zur mathematischen Herleitung (2. Frage): betrachten wir das rechtwinklige Dreieck (wie von "Site" beschrieben und gezeichnet). Vom Mittelpunkt beider Kreise geht die Hypotenuse (R) und eine Kathete (r) weg. Die andere Kathete besitzt die Länge 1 (die Hälfte der mit der Länge 2 gegebenen Sehne). Stellt man den Satz des Pythagoras nach dieser anderen Kathete um, so erhält man:

R^2 - r^2 = 1

In der allgemeinen Kreisringfläche

A(kr) = pi * ( R^2 - r^2 )

ergibt dies

A(kr) = pi * 1

Den (überraschend langen) ersten Beitrag werde ich mir nochmal eingehend betrachten, sieht sehr interessant aus.
Auf weitere Gedanken und Anregungen freue ich mich schon!

(Sorry wegen der umständlichen Schreibweise, ich sehe ja bereits dass es irgendwie viel besser geht - ich muss nur noch rausfinden, wie! Ich kenne diese Website erst seit gestern ...)\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. Juli 2003 13:21:27
\(\begingroup\)@matroid : interessanter Weise sind die Radien deiner gezeichneten Kreise gerade der Reihe nach (von innen nach außen beginnend mit 1): sqrt(n)\(\endgroup\)
 

Re: Kreisringfläche
von: Hans-Juergen am: Mi. 30. Juli 2003 19:53:49
\(\begingroup\)So sind die vielfach anstelle von Linsen verwendeten Fresnel'schen Zonenplatten aufgeteilt.

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

 
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