Mathematik: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
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Lineare Algebra

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Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme

Hallo an Alle!


In diesem Abschnitt soll die Theorie der Linearen Gleichungssysteme mal ganz von vorne behandelt werden. In den vorigen Kapiteln ging es um Lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten, welche nützliche Hilfsmittel im Umgang mit linearen Gleichungssystemen sind. Wie immer bitte ich natürlich um (konstruktive) Kritik und Fehlermeldungen.


Inhalt

  1. Lineare Gleichungssysteme: Was ist das?
  2. Definitionen
  3. Darstellung mit Matrizen
  4. Lösungen bestimmen
  5. Lösungsverfahren Gauß-Algorithmus
    1. Fall eindeutige Lösung
    2. Fall keine Lösung
    3. Fall unendlich viele Lösungen
    4. Notation von Lösungen
  6. Warum geht das?
  7. Über Lösbarkeit
  8. Rangbestimmungsverfahren
  9. Anmerkungen/alternative Lösungsverfahren
    1. Pivotierung
    2. Cramer’sche Regel
    3. Vektorraumtheorie


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Lineare Gleichungssysteme: Was ist das?

Eine der ersten Fragen, die sich bei Betrachtung der Namensgebung „Lineare Gleichungssysteme“ aufdrängt, ist sicherlich „Was ist das?“ beziehungsweise „Wozu braucht man das?“. Deshalb möchte nicht mit einer Definition anfangen, sondern erstmal zur Motivation (Grund solche „Dinger“ überhaupt anzuschauen) ein Beispiel geben:


\Seien zwei Geraden im \IR^2 durch folgende Gleichungen gegeben:

g: x_1-2x_2=-2
h: 2x_1-x_2=5

Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden, falls es einen gibt. Das bedeutet,
wir suchen ein Zahlenpaar (x_1, x_2) aus \IR^2, sodass beide Gleichungen
erfüllt sind, womit wir schon ein Beispiel für ein Lineares Gleichungssystem
haben.
Dafür benutzen wir das „Einsetzungsverfahren“, das heisst, wir lösen die
erste Gleichung nach einer Unbekannten auf, und setzen den Term dann in
die zweite Gleichung ein. Dort haben wir dann die Möglichkeit nach der noch
verbliebenen Variable aufzulösen:

Wir lösen die Gleichung der Geraden g nach x_1 auf und bekommen:

x_1 = 2x_2-2

Das setzen wir nun in die Gleichung für h ein, und lösen nach x_2 auf:

2x_1-x_2=5=>2(2x_2-2)-x_2=5=>4x_2-4-x_2=5=>x_2=3

Damit haben wir schon mal eine Koordinate des Schnittpunkts gewonnen,
und die noch fehlende bekommen wir einfach durch Einsetzen von x_2=3
in eine der beiden Geradengleichungen. Wir wählen die erste:

x_1-2x_2=-2=>x_1-2*3=-2=>x_1=4

Daraus folgt, dass der Schnittpunkt die Koordinaten (4,3) besitzt, was auch
der Lösung des LGS entspricht.

\geo
xy(-5,5)
name(plot)
g(0.5,1,g)
g(2,-5,h)
\geooff
geoprint(plot)

Mit der Fähigkeit Schnittpunkte von Geraden auszurechnen erfasst man natürlich nicht die eigentliche Tragweite der Linearen Gleichungssysteme, vielmehr sind sie nicht nur in der Mathematik unentbehrlich, sondern viele Probleme des täglichen Lebens erfordern die Bestimmung von Zahlen, welche gleichzeitig mehreren Gleichungen genügen müssen.

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Nun aber mal zur Definition:

Definitionen

Definition: Lineares Gleichungssystem
Eine Gleichung heisst „linear“, wenn ihre Unbekannten lediglich in der ersten Potenz auftreten.
Zum Beispiel die Gleichung

2x_1+39x_2-13x_3=15

ist linear, und die Gleichung

(x_1)^2-(x_2)^5+3(x_3)^5 =15
ist nicht linear. Hier sind x1, x2, x3 die Unbekannten.
Die Werte vor den Unbekannten heissen Koeffizienten.
Eine Ansammlung von linearen Gleichungen, die „gleichzeitig“ (mit den gleichen Unbekannten) gelöst werden sollen, heisst Lineares Gleichungssystem.
Mit allgemeinen Koeffizienten sieht ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten so aus:

a_11 x_1+a_12 x_2+...+a_1n x_n=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+...+a_2n x_n=b_2
...
...
a_m1 x_1+a_m2 x_2+...+a_mn x_n=b_m
xi sind die Unbekannten und aij sind die Koeffizienten, wobei diese natürlich auch den Wert Null annehmen dürfen.

Definition: Lösung
Unter einer Lösung eines Linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten versteht man ein n-Tupel (x1, x2,..., xn), sodass alle Gleichungen des Systems bei Einsetzen dieses n-Tupels erfüllt sind.
Es existieren entweder eine, unendlich viele oder keine Lösung.


Wir unterscheiden im Allgemeinen zwei Typen von Linearen Gleichungssystemen (LGS):
  1. homogene Lineare Gleichungssysteme
  2. inhomogene Lineare Gleichungssysteme
Ein LGS ist homogen, falls für alle 1<= i <= m gilt bi = 0.
Das bedeutet: Bringt man alle Unbekannten einer Gleichung auf die linke Seite, so muss die rechte Seite Null sein, und zwar bei allen Gleichungen des Systems.
Ist auch nur eines der bi nicht Null, so heisst das LGS inhomogen.
Diese Unterteilung bringt einige Vorteile mit sich, denn es stellt sich heraus, dass die Summe und das Vielfache von Lösungen eines homogenen LGS wieder Lösungen sind. Desweiteren bekommt man alle Lösungen eines inhomogenen LGS, indem man einer Lösung des inhomogenen LGS alle Lösungen des zugehörigen homogenen LGS addiert.

Das zugehörige homogene LGS zu einem inhomogenene LGS ist einfach das LGS, in dem man alle bi gleich 0 setzt.


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Darstellung mit Matrizen:

Man kann ein lineares Gleichungssystem der Form

a_11 x_1+a_12 x_2+...+a_1n x_n=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+...+a_2n x_n=b_2
...
...
a_m1 x_1+a_m2 x_2+...+a_mn x_n=b_m

mit Hilfe von Matrizen auch folgendermaßen darstellen:
Die linke Seite

a_11 x_1+a_12 x_2+...+a_1n x_n
a_21 x_1+a_22 x_2+...+a_2n x_n
...
...
a_m1 x_1+a_m2 x_2+...+a_mn x_n

kann man als Produkt einer (m,n)-Matrix A mit einem Spaltenvektor x mit n Einträgen auffassen:

A=matrix(a_11, a_12, ..., a_1n;a_21, a_22, ..., a_2n;...;a_m1, a_m2, ..., a_mn)

x=matrix(x_1;x_2;...;x_n)

=>matrix(a_11, a_12, ..., a_1n;a_21, a_22, ..., a_2n;...;a_m1, a_m2, ..., a_mn)* matrix(x_1;x_2;...;x_n)=matrix(a_11 x_1+a_12 x_2+...+a_1n x_n; a_21 x_1+a_22 x_2+...+a_2n x_n; ...;...;a_m1 x_1+a_m2 x_2+...+a_mn x_n)


Die Matrix A nennt man auch Koeffizientenmatrix.

Die rechte Seite kann man auch als einen Spaltenvektor mit m Einträgen auffassen:

b=matrix(b_1;...;b_m)
Wenn man rechts an die Koeffizientenmatrix noch die Spalte b anhängt, so schreibt man A|b und nennt das ganze erweiterte Koeffizientenmatrix.

Nun kann man das obige Gleichungssystem folgendermaßen schreiben:

a_11 x_1+a_12 x_2+...+a_1n x_n=b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+...+a_2n x_n=b_2
...
...
a_m1 x_1+a_m2 x_2+...+a_mn x_n=b_m
<=> Ax=b

<=>matrix(a_11, a_12, ..., a_1n;a_21, a_22, ..., a_2n;...;a_m1, a_m2, ..., a_mn)*(x_1;x_2;...;x_n)=(b_1;b_2; ... ; b_m)


Man kann Gleichungssysteme umformen.
Erlaubte Umformungen sind z.B.
  1. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0,
  2. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile und
  3. Vertauschung von zwei Zeilen.
Bei solchen Umformungen entsteht ein neues Gleichungssystems, das aber die gleichen Lösungen hat. Das neue Gleichungssystem hat die gleichen Unbekannten aber andere Koeffizienten. In der Matrixschreibweise als erweiterte Koeffizientenmatrix werden nur die Teile des Gleichungssystems notiert, die sich bei Umformungen ändern.

Randbemerkung:
Diese Möglichkeit lineare Gleichungssysteme darzustellen ermöglicht einen Brückenschlag zwischen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen, denn jede Koeffizientenmatrix A aus M(m,n,K) eines LGS kann man als Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung vom Kn in den Km bezüglich zwei fest vorgegebenen Basen auffassen und umgekehrt (siehe Kapitel 2: Über Darstellende Matrizen).

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Lösungen bestimmen

Nun wissen wir, was Lineare Gleichungssysteme sind, wo sie vorkommen können, und was eine Lösung ist, jedoch haben wir noch keine Ahnung, wie man Lösungen für größere Systeme konstruktiv ermitteln kann.

Zur Lösung von Gleichungssystemen lernt man schon früh in der Schule verschiedene Verfahren kennen, zum Beispiel das „Gleichsetzungsverfahren“, das „Einsetzungsverfahren“ oder das „Additionsverfahren“. Möchte man allerdings grössere LGS lösen, so werden diese schnell sehr aufwendig und unübersichtlich. Eine Möglichkeit ist es, eines dieser Verfahren zu erweitern und zu formalisieren, das heisst, jeden Schritt allgemein so festzulegen, dass man für jedes gegebene LGS nach diesem einen Schema vorgehen kann, und so immer zu einer Lösung kommt (soweit es eine gibt!). So ein allgemeines sukzessiv (schrittweise) festgelegtes Schema nennt man „Algorithmus“, denn man könnte es als Programm codieren, und so wäre eine nicht-intelligente Maschine in der Lage jedes LGS zu lösen.

Als besonders geeignet dafür stellt sich eine Art „erweitertes Additionsverfahren“ heraus, denn es ist im Grunde egal wie viele Gleichungen man untereinander schreibt, addieren und multiplizieren kann man sie so immer gut. Damit kann man nicht nur Gleichungen addieren, sondern man kann Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren, und somit auch ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Dieses formalisierte Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme ist nach dem berühmten deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt, dessen Portait die alten 10 DM-Scheine schmückte.

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Gauß-Algorithmus

Wir gehen ganz allgemein von einem LGS mit m Gleichungen und n Variablen aus und schreiben das ganze direkt in der Matrizenschreibweise, das heisst, wir betrachten (m,n)-Matrizen.

Wir haben etwa gegeben:

A\|b= matrix(a_11, a_12, ..., a_1n, \|,b_1;a_21, a_22, ..., a_2n, \|,b_2;...;a_m1, a_m2, ..., a_mn, \|,b_m)

Falls der oberste linke Eintrag, also a11 gleich Null sein sollte, dann können wir die erste Zeile mit einer anderen vertauschen, sodass das neue oberste linke Element auf keinen Fall Null ist (außer alle ai1 sind Null). Denn es ist ja egal, in welcher Reihenfolge wir die Gleichungen hinschreiben. Wir setzen also voraus, das a11 unserer Matrix ungleich Null ist.

Jetzt schreiten wir zur Tat: Unser Ziel ist es, alle Elemente in der Spalte unter a11 „zu Null zu machen“, und zwar nur durch die Addition eines Vielfachen einer Zeile zum Vielfachen einer anderen. Klingt erstmal etwas verwirrend, ist aber in der Praxis ganz leicht, und auch immer wieder das gleiche. Wenn schon alle Elemente dieser Spalte unter a11 Null sind, so ist dieser Schritt schon fertig, bevor er begonnen hat. Falls es doch von Null verschiedene Elemente gibt, so machen wir folgendes: Angenommen das Element a21 sei so ein Kandidat. Dann können wir an dieser Stelle eine Null „erzeugen“, indem wir das (-a21)-fache der ersten Zeile zu dem a11-fachen der zweiten Zeile addieren, denn an der gefragten Stelle steht dann:

-a_11 *a_21 + a_11* a_21=0.

Genau das machen wir mit allen Elementen dieser Spalte, falls sie nicht sowieso schon Null sind. Dann sollte unsere Matrix so aussehen:

A\|b^'=matrix(a_11, a_12, ..., a_1n, \|,b_1;0, a_22^', ..., a_2n^', \|,b_2^';0,...;0, a_m2^', ..., a_mn^', \|,b_m^')

Nun machen wir das gleiche, nur ausgehend von dem Element a22, und versuchen alle Elemente in dieser Spalte unter a22 zu Null zu machen. Falls a22 selbst Null sein sollte, kann man wieder zwei Zeilen so vertauschen, dass dort ein Element ungleich Null steht. Am Ende dieses Schrittes sollte die Matrix so aussehen:

A\|b^''=matrix(a_11, a_12, ...,..., a_1n, \|,b_1;0, a_22^', ...,..., a_2n^', \|,b_2^';0, 0,a_33 ^'',..., a_3n^'', \|,b_3^'';...;0, 0,a_m3^'', ..., a_mn^'', \|,b_m^'')

Hat man das bis zum bitteren Ende durchgeführt (wir werden unten einige Beispiele durchführen), dann ist die Matrix in der sog. Zeilenstufenform, bei quadratischen Matrizen nennt man solche auch „obere Dreiecksmatrizen“. Man ist also fertig, wenn jede Zeile mit mehr Nullen anfängt, als die vorige.

Nun kann es passieren, dass beim Prozess des „Nullenerzeugens“ eine oder mehrere Zeilen komplett zu Null werden. Auch kann es passieren, dass alle Einträge einer Zeile der Koeffizientenmatrix Null werden, jedoch der zugehörige Eintrag rechts bei der erweiterten Koeffizientenmatrix nicht Null wird. All diese Situationen geben Aufschluss über die Lösbarkeit eines LGS, für die es generell drei Möglichkeiten gibt:

  1. Das LGS ist eindeutig lösbar
  2. Das LGS hat keine Lösung
  3. Das LGS hat unendlich viele Lösungen.
Wir werden später noch Kriterien kennen lernen, mit denen man feststellen kann, welche Situation vorliegt, ohne das LGS immer komplett lösen zu müssen.

Im Moment beschränken wir uns jedoch darauf, ein gegebenes LGS mit dem Gauß-Algorithmus zu bearbeiten, und am Ausgang des Nullenerzeugens zu beurteilen, wie die Lösbarkeit aussieht. Im Folgenden besprechen wir die verschiedenen Situationen und wann sie eintreten und geben jeweils ein Beispiel an:

Beispiel 1: Eindeutige Lösung

Das LGS ist eindeutig lösbar, falls nach dem Nullenerzeugen das übrig gebliebene LGS quadratische Form hat, und alle Elemente der Hauptdiagonalen ungleich Null sind. Dabei erachtet man diejenigen Zeilen, die komplett zu Null werden als unwichtig, und lässt sie einfach weg.

Sei ein LGS gegeben mit folgender erweiterten Koeffizientenmatrix:

matrix(2,-1/2,1/2,\|,7/2;3,1,-1,\|,0;5,2,1,\|,-3;0,6,0,\|,-22)

Um das praktische Rechnen zu erleichtern, schauen wir erstmal, dass wir alle Brüche weg bekommen, indem wir die jeweilige Zeile mit dem Hauptnenner der vorkommenden Brüche multiplizieren. Als zweites achten wir auch darauf, dass die Koeffizienten jeder Zeile so klein wie möglich werden, und trotzdem noch ganzzahlig sind, das heisst, das grösste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten soll 1 sein. Um das in diesem Fall zu erreichen, multiplizieren wir die erste Zeile mit 2 und vierte Zeile mit ½ , und bekommen:

matrix(4,-1,1,\|, 7;3,1,-1,\|, 0;5,2,1,\|,-3;0,3,0,\|,-11)

Nun möchten wir alle Elemente der ersten Spalte unter der 4 zu Null machen, das kann dadurch erreicht werden, dass man das (-3)-fache der ersten Zeile zum 4-fachen der zweiten Zeile addieren, und das (-5)-fache der ersten Zeile zum 4-fachen der dritten Zeile addieren. Wir erhalten:
matrix(4,-1,1,\|,7;0,7,-7,\|,-21;0,13,-1,\|,-47;0,3,0,\|,-11)

Der Übersicht halber kann man jetzt die zweite Zeile mit (-1/7) multiplizieren:

matrix(4,-1,1,\|,7;0,-1,1,\|,3;0,13,-1,\|,-47;0,3,0,\|,-11)

Jetzt wollen wir die Elemente der zweiten Spalte unter der -1 zu Null machen, indem wir das 13-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile addieren, und das 3-fache der zweiten Zeile zur vierten Zeile addieren:

matrix(4,-1,1,\|,7;0,-1,1,\|,3;0,0,12,\|,-8;0,0,3,\|,-2)

Die dritte Zeile noch „kürzen“ mit 4:

matrix(4,-1,1,\|,7;0,-1,1,\|,3;0,0,3,\|,-2;0,0,3,\|,-2)

Und jetzt addieren wir noch das (-1)-fache der dritten Zeile zur vierten, um die letzte 3 zu Null zu machen und dabei entscheidet sich, ob das LGS lösbar ist oder nicht:

matrix(4,-1,1,\|,7;0,-1,1,\|,3;0,0,3,\|,-2;0,0,0,\|,0)

Das LGS ist nun in Zeilenstufenform und wir sehen, dass die letzte Zeile komplett zu Null geworden ist und, das was übrig bleibt den Kriterien der eindeutigen Lösbarkeit entspricht. Wie man nun die Lösungsmenge genau angibt, besprechen wir etwas später.

Beispiel 2: Keine Lösung

Das LGS besitzt keine Lösung, falls nach dem Nullenerzeugen mindestens eine Zeile links zu Null wird, rechts jedoch ein von Null verschiedener Wert steht.

Sei ein LGS durch folgende erweiterte Koeffizientenmatrix gegeben:

A\|b= matrix(1,1,1,\|,1;1,2,2,\|,3;2,1,1,\|,1)

Nach dem ersten Schritt sollte die Matrix so aussehen:

matrix(1,1,1,\|,1;0,1,1,\|,2;0,-1,-1,\|,-1)

Und nach dem nächsten Schritt folgendermaßen:

matrix(1,1,1,\|,1;0,1,1,\|,2;0,0,0,\|,1)

Nun haben wir Zeilenstufenform erreicht, jedoch sieht die letzte Zeile so aus:

0=1

Das ist natürlich immer eine falsche Aussage, und es bedeutet, dass das LGS keine Lösung besitzt.

Beispiel 3: Unendlich viele Lösungen

Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, falls nach dem Nullenerzeugen das übrig gebliebene LGS unterbestimmt ist, das heisst, falls mehr Spalten als Zeilen übrig sind, wobei komplette Nullzeilen wieder weggelassen werden.

Sei ein LGS durch folgende erweiterte Koeffizientenmatrix gegeben:

A\|b= matrix(3,-1,2,\|,7;1,2,3,\|,14;1,-5,-4,\|,-21)

Der erste Schritt des Gauß-Algorithmus liefert:

matrix(3,-1,2,\|,7;0,-7,-7,\|,-35;0,14,14,\|,70)

Nun das zweifache der zweiten Zeile zur dritten Zeile hinzuaddieren:
matrix(3,-1,2,\|,7;0,-7,-7,\|,-35;0,0,0,\|,0)

Eine Zeile ist also komplett zu Null geworden, und die Zeilenstufenform ist auch schon erreicht. Unser LGS besitzt jetzt mehr Spalten als Zeilen, und hat damit unendlich viele Lösungen.

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Notation von Lösungen

Bis jetzt haben wir zwar allerlei Umformungen mit Matrizen gemacht, und allgemein festgestellt, wann ein LGS wie lösbar ist, jedoch die Lösungen selbst haben wir noch nicht ermittelt. Doch das ist jetzt schnell getan: Wir nehmen die unterste Gleichung, das heisst diejenige Gleichung mit den wenigsten Unbekannten, und lösen sie nach derjenigen Unbekannten auf mit dem kleinsten Index (man muss es so nicht unbedingt machen, aber es ist vielleicht besser sich eine gewisse „Ordnung“ zu merken). Wäre die Gleichung zum

Beispiel

x_3 + 10 x_5-x_6 = 98,

dann würden wir sie umformen in

x_3 = 98 -10 x_5 +x_6.

Das machen wir auch mit der Gleichung mit der zweitkleinsten Anzahl an Unbekannten, welche gewöhnlicherweise genau darüber steht. Falls in dieser die Unbekannte vorkommt, nach der man die vorige Gleichung aufgelöst haben, dann können wir diese ja ersetzten. Wäre zum Beispiel die Gleichung mit den zweitwenigsten Unbekannten

x_2+x_3 - x_4 = 5,

dann stellen wir sie nach x2 um:

x_2 = 5-x_3+x_4

und ersetzen x3 durch den Term von eben:

x_3= 98-10x_5+x_6

und kommen auf:

x_2 = 5- (98-10x_5+x_6)+x_4 <=> x_2 = -93+x_4+10x_5-x_6.

Das machen wir nun auch bis zum bitteren Ende, das heisst, bis wir eine Gleichung für x1 haben, in der nur noch diejenigen Unbekannten vorkommen, die in der Gleichung mit der kleinsten Anzahl an Unbekannten rechts standen. Anschliessend bleibt nur noch das ganze in eine Art Lösungsmenge zu verpacken - das bedeutet einfach die Menge aller Lösungen anzugeben.


Beispiele: Wir geben jeweils die Lösungsmenge zu den drei obigen Beispielen an:

Zu Beispiel 1) Wir hatten das LGS schon auf Zeilenstufenform gebracht:
matrix(4,-1,1,\|,7;0,-1,1,\|,3;0,0,3,\|,-2;0,0,0,\|,0)

Die letzte Zeile (die natürlich nicht die Nullzeile ist) bringt uns:

3x_3=-2,
daraus gewinnen wir einen eindeutigen Wert für x3:

x_3=-2/3

Nun betrachten wir die nächste Zeile:

-x_2+x_3=3

Da wir schon einen Term für x3 haben, ersetzen wir es natürlich und stellen diese Gleichung dann nach x2 um:

x_2 = -11/3

Das gleiche machen wir mit der noch verbleibenden Gleichung:

4x_1-x_2+x_3= 7

Das x2 und x3 ersetzen wir und stellen nach x1 um:

x_1 =1.

Das LGS hat also die Lösungsmenge:

IL= set(x \el IR^3 | x= matrix(1;-11/3;-2/3))

Zu Beispiel 2) Da wir herausgefunden haben, dass das LGS keine Lösung besitzt, ist die Lösungsmenge die leere Menge.


Zu Beispiel 3) Unser LGS in Zeilenstufenform hat folgende Gestalt:

matrix(3,-1,2,\|,7;0,-7,-7,\|,-35;0,0,0,\|,0)

Die letzte Zeile liefert uns:

-7x_2 -7x_3 = -35 <=> x_2 +x_3 = 5

Diese Gleichung lösen wir nach x2 auf:

x_2 = 5- x_3

Nun betrachten wir die erste Zeile:

3x_1 -x_2 +2x_3 = 7

Wir ersetzen das x2 durch 5-x3 und erhalten:

3x_1 - (5-x_3) +2x_3=7 <=> 3x_1 -5 +x_3 +2x_3 = 7 <=> 3x_1 = 12 -3x_3 <=> x_1 = 4-x_3.

Zum Schluss setzen wir noch x3 = r und schreiben das ganze mal ordentlich auf:

x_1 = 4 - r
x_2 = 5 - r
x_3 = 0 +r

Das bringen wir abschliessend noch in Vektorform und schreiben es als Lösungsmenge:

IL= set(x \el IR^3 | x= matrix(4;5;0)+r*matrix(-1;-1;1), r \el IR).

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Warum geht das?

Warum darf man denn einfach ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen hinzu addieren, und wieso ändert das nicht die Lösungsmenge?

Um diese Frage zu beantworten kann man natürlich elementare Zeilenvertauschungen als Multiplikation von bestimmten invertierbaren Elementarmatrizen identifizieren, und zeigen, dass sich die Zeilenräume der Matrizen und die Kerne der durch die Matrizen repräsentierten linearen Abbildungen sich bei Multiplikation mit diesen Elementarmatrizen nicht ändern, ABER wir machen das viel einfacher:

Wir haben streng genommen folgende drei Umformungen zur Verfügung:

  1. Zeilen vertauschen
  2. Eine Zeile mit einem Skalar multiplizieren
  3. Eine Zeile zu einer anderen hinzuaddieren.
Man kann sich recht leicht davon überzeugen, dass keine dieser Umformungen an der Lösungsmenge etwas ändert:

Zu 1) Es ist recht herzlich egal, in welcher Reihenfolge man die Gleichungen hin schreibt, es ändert sicherlich nichts an der Lösung.

Zu 2) Sei a1x1+...+anxn = c eine Zeile der Matrix, dann bleibt sie immer noch wahr, wenn man sie mit einer Zahl k ungleich Null multipliziert: ka1x1+...+kanxnn=kc. Eine Lösung dieser Gleichung löst dann natürlich auch die Ausgangsgleichung.

Zu 3) Seien Z1: a1x1+...+anxn = c und Z2: b1x1+...+bnxn = d zwei Gleichungen des LGS. Dann ist Z1+Z2 dadurch erklärt, dass man die linke Seite von Z1 zu der linken Seite von Z2 addiert, und die rechte Seite von Z1 zur rechten Seite von Z2. Damit ist
Z1+Z2 : a1x1+...+anxn + b1x1+...+bnxn = c+d,
wobei man die linke Seite in folgendes Umformen kann:

Z1+Z2 : (a1+b1)x1 +...+(an+bn)xn = c+d.

Daran kann man erkennen, dass falls (x1, ..., xn) eine Lösung von Z1 und Z2 ist, dann löst es auch Z1+Z2, und falls es eine Lösung von Z1 und Z1+Z2 ist, dann löst es auch Z2. Deswegen darf man ohne Bedenken eine Zeile zu einer anderen hinzuaddieren, ja sogar das Vielfache einer Zeile, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert.

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Über Lösbarkeit

Man kann das ganze auch noch unter einem anderen Winkel betrachten, denn sieht man die Spalten der Matrix A als Vektoren an, dann kann man fragen, ob die Spalte b eine Linearkombination der Spalten von A ist, um nach der Lösbarkeit zu fragen.

Dafür betrachtet man den sog. Rang einer Matrix, das heisst, die Anzahl linear unabhängiger Spalten. Ist b als Linearkombination der Spalten darstellbar, dann liegt b im Erzeugnis der Spalten, also im „Spaltenraum“ und damit ist Rang A = Rang A|b.

Genauer:

Sei A eine (m,n)-Matrix und b ein Element aus Km. Dann gilt:

1) Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist lösbar, wenn Rang A = Rang A|b gilt. Das ist so, weil b dann im Erzeugnis der Spalten liegt und als Linearkombination dargestellt werden kann.

2) Eindeutige Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist eindeutig lösbar, wenn Rang A = Rang A|b = n.
Denn, wenn Rang A = n ist sind die Spalten linear unabhängig und jeder Vektor aus ihrem Erzeugnis besitzt damit eine eindeutige Darstellung. als Linearkombination.

3) universelle Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist für jedes beliebige b aus K^m lösbar, wenn Rang A = m gilt. Denn ist der Rang A = m, dann findet man m linear unabhängige Spaltenvektoren, die somit den ganzen K^m aufspannen, und folglich ist jedes b aus K^m als Linearkombination der Spalten darstellbar.

4) universelle und eindeutige Lösbarkeit: Das LGS Ax=b ist für jeden beliebigen Vektor b eindeutig lösbar, wenn n=m und A invertierbar ist. Das ist so, weil 2) und 3) erfüllt sein muss, und daraus folgt auch die Invertierbarkeit der Matrix, da der Rang maximal ist.

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Rangbestimmung

Sei A eine (m,n)-Matrix mit Einträgen aus K. Die Frage nach dem Rang dieser Matrix ist gleichwertig mit der Frage der Dimension der durch die Spalten- bzw Zeilenvektoren aufgespannten Unterräume.

Man muss Obacht geben, nur die Dimensionen sind gleich, die erzeugten Unterräume im Allgemeinen natürlich nicht. Die Dimension eines Unterraums kann man herausfinden, indem man eine Basis findet und ihre „Mächtigkeit“ überprüft, das heisst, man muss die Anzahl der Vektoren der Basis zählen. Das verleitet uns zu folgendem Vorgehen für die Bestimmung des Rangs einer Matrix: Wir müssen irgendwie eine Basis des Spalten- oder Zeilenraums finden. Der Einfachheit wählen wir den Zeilenraum, denn wir kennen schon das Werkzeug, was wir zur Bestimmung einer Basis des Zeilenraums brauchen: Elementare Zeilenumformungen. Die drei Typen sind oben in „Warum geht das?“ aufgelistet, und wenn man sich überlegt, dass keine dieser Umformungen den Zeilenraum ändert, dann kann man sich das zu Nutze machen; Und diese Überlegungen folgen recht leicht aus der elementaren Vektorraumtheorie. Der Weg also sollte folgendermaßen aussehen:

1) Die Matrix via elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen

2) Die nicht zu Null gewordenen Zeilen bilden eine Basis des Zeilenraums

3) Die Anzahl dieser nicht zu Null gewordenen Zeilen ist der Rang der Matrix.

Beispiel:

Sei eine (3,4)-Matrix A gegeben durch

A=matrix( 1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12)

Man bringt die Matrix via elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und erhält:

A’=matrix(1,2,3,4;0,-4,-8,-12;0,0,0,0)

Jetzt kann man die Zeilen, die nicht zu Null geworden sind zählen, und kommt auf einen Rang von 2.

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Anmerkungen / Alternative Lösungsverfahren

Pivotierung:

Es ist vielleicht noch anzumerken, ohne es weiter ausführen zu wollen, dass man die Effektivität des Gauß-Algorithmus durch gezielte Pivotierung steigern kann, was besonders im praktischen Berechnen grosser LGS per Computer eine Geschwindigkeitssteigerung mit sich bringt und numerisch bessere Ergebnisse bringt.
Pivotieren heisst einfach, beim Herstellen der Zeilenstufenform immer den betragsmäßig größten Eintrag zu wählen, und diesen durch passende Zeilenvertauschungen nach oben zu bringen. Dann werden die darunterliegenden Elemente zu Null gemacht, was dem obigen Gauß-Verfahren wieder entspricht. Das ganze hat den Vorteil, dass immer durch eine möglichst grosse Zahl dividiert wird, was für weniger arithmetische Fehler bei der Verarbeitung sorgt.

Cramer’sche Regel

Im Falle eines eindeutig und universell lösbaren LGS ist die Determinante der (natürlich quadratischen) Koeffizientenmatrix nicht Null (siehe Kapitel 3). Das führt zu einer alternativen Berechnungsmethode der Lösung eines solchen LGS:

Sei Ax=b ein solches LGS. Die Gleichung Ax=b kann man auch anders schreiben:

Ax=b
<=> x_1\.matrix(a_11;...;a_n1)+...+ x_i\.matrix(a_1i;...;a_ni)+...+x_n\.matrix(a_1n;...;a_nn)=matrix(b_1;...;b_n)

<=> x_1\.matrix(a_11;...;a_n1)+...+x_i\.matrix(a_1i;...;a_ni)-matrix(b_1;...;b_n)+...+x_n\.matrix(a_1n;...;a_nn)=0

Daraus kann man sehen, dass die Vektoren

matrix(a_11;...;a_n1),..., x_i\.matrix(a_1i;...;a_ni)-matrix(b_1;...;b_n), ..., matrix(a_1n;...;a_nn)

linear abhängig sind, woraus folgt:

det(a_11,..., x_i*a_1i-b_1, ..., a_1n; ...;a_n1,...,x_i*a_ni-b_n,...,a_nn)=0

Aus der Linearität der Determinante folgt:

det(a_11,...,x_i*a_1i,...,a_1n;...;a_n1,...,x_i*a_ni,...,a_nn)-det(a_11,...,a_(1i-1),b_1,a_(1i+1),...,a_1n;...;a_n1,...,a_(ni-1),b_n,a_(ni+1),...,a_nn)=0

<=> x_i = det(a_11,...,a_(1i-1),b_1,a_(1i+1),...,a_1n;...;a_n1,...,a_(ni-1),b_n,a_(ni+1),...,a_nn)/detA

Diese Berechnungsmethode ist jedoch für große LGS nicht sehr praktisch, denn hat man ein System mit n Unbekannten, so muss man n+1 Determinanten berechnen, um zur Lösung zu gelangen.

Vektorraumtheorie

Vergleicht man den Namen des Themengebiets „Lineare Algebra“, was soviel bedeutet wie „die Kunst lineare Gleichungen zu lösen“, mit dem in der modernen Linearen Algebra gesetzten theoretischen Schwerpunkt, nämlich der Begriff des Vektorraums, so stellt man eine gewisse „Diskrepanz“ fest, und fragt sich vielleicht zurecht, warum man es denn nicht gleich „Vektorraumtheorie“ nennt. Nun dieses ist wohl aus der historischen Entwicklung der Linearen Algebra heraus begründet, denn betrachtet man die Lösungsmenge eines homogenen LGS genauer, so zeigt sich bekanntlich, dass die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist, und das ein Vielfaches einer Lösung auch wiederum eine Lösung ist. Abstrahiert man diese „Muster“, so erhält man auf natürliche Weise die Struktur des Vektorraums. Da sich dieses recht einfache algebraische Konstrukt auf vielen Gebieten als sehr anwendungsfreudig erwies, nahm es schnell eine zentrale Stellung ein.


Ich hoffe es konnte etwas helfen

Thorsten

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Weitere Beiträge zur Linearen Algebra::

  1. Kapitel 1 Vektorräume): Begriffe Basis, Dimension, Direkte Summen.
  2. Kapitel 2 (Lineare Abbildungen): Begriffe: Lineare Abbildung, Kern, Bild, Verbindung zwischen Linearen Abbildungen und Matrizen, Rang einer Matrix, Isomorphismen, Matrizenumformung.
  3. Kapitel 3: Determinanten.
  4. Kapitel 4 (Lineare Gleichungssysteme): Begriffe: homogen, inhomogen, Gauß-Algorithmus affine Unterräume.
  5. Kapitel 5 (Eigenwerte): Begriffe: Endomorphismus, Eigenraum, Diagonalisierung, charakteristisches Polynom.
Über Themen, die man nicht anklicken kann, wurde noch nicht geschrieben, aber die Reihe wächst.

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: Lineare Algebra :: Grundstudium Mathematik :
Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme [von Siah]  
Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme Hallo an Alle! In diesem Abschnitt soll die Theorie der Linearen Gleichungssysteme mal ganz von vorne behandelt werden. In den vorigen Kapiteln ging es um Lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten, welche nützliche Hilfsmittel im Umgang mit linearen ...
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"Mathematik: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme" | 22 Comments
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Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: matroid am: Mi. 13. August 2003 22:46:33
\(\begingroup\)Ich finde das toll, daß
a. die 'Lineare Algebra für Dummies'-Reihe weiter wächst,
b. der neueste Teil hier so viel Ruhe und Übersicht ausstrahlt.

Ich bin sicher, daß zum nächsten Semester sich viele Erstsemester diesen Beitrag über die Suchmaschinen ziehen werden - und ihn dann genauestens studieren werden.

Großen und vielen Dank, Thorsten. Ich weiß, daß es eine Schweinearbeit war, gerade über dieses Thema etwas Vernünftiges und Verständliches zu sagen.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: pendragon302 am: Mi. 13. August 2003 22:58:19
\(\begingroup\)Auch von mir ein dickes Lob für deinen Artikel!!

Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: InWi am: Mi. 13. August 2003 23:28:37
\(\begingroup\)Kommt mir sehr gelegen die Fortsetzung - endlich mal Material mit dem man vernünftig arbeiten kann. Wenn ich den LA-Teil meiner KLausur nicht versemmel, dann liegt das nur an Dir. In diesem Falle werde ich dich mit Lobgesängen und Geschenken überhäufen 😉

vielen Dank
florian\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: scorp am: Do. 14. August 2003 20:19:32
\(\begingroup\)Hi Thorsten!

Immer wieder schoen, dass du dir die Muehe machst, verzweifelten Studenten zu helfen. Mehr faellt mir nicht ein, was nicht schon in frueheren Lobeshymnen gesagt worden waere.

Mitdankend,
/Alex\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Martin_Infinite am: Fr. 15. August 2003 23:22:02
\(\begingroup\)Eine weitere einzigartige Abhandlung über ein zentrales
Thema der LA hast du da geschaffen. Besonders dein
einleitendes Beispiel, die klar aufgebauten Punkte
und natürlich dein letzter satz "Ich hoffe es konnte
etwas helfen" , zeigen, wie sehr du damit den armen
Studenten helfen willst, die mit dem Stoff nichts
anfangen können.
Noch viele andere werden mit diesem Artikel ihre
Verständnisprobleme klären können oder einfach
gemütlich das erste mal in diese Theorien ein-
steigen können (ich zB).
Vielen Dank für diese großartige Arbeit!

Gruß
Martin

(der nächsten erleuchtung von dir über
eigenes steht nix mehr im Weg!Yiha!)\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: happyaura am: Do. 04. September 2003 02:38:18
\(\begingroup\)Hallo,

Ich kann mich meinen Vorgängern nur anschliessen. Leider kann ich von diesen Infos nicht mehr wirklich profitieren, da ich den Stoff schon hinter mir habe. Was für meine Klausur am 8.9. interessant wird, steht leider grösstenteils in Kapitel 5. schade aber es lässt sich wohl nicht ändern...
In diesem Sinne: Weiter So!

H@ppy\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 01. Oktober 2003 21:19:46
\(\begingroup\)Es wird nicht wirklich erklärt, WARUM mann bei "Notation von Lösungen" eines Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen x3=r setzt, also einen Parameter einführt.

Grüße Anonymous\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Siah am: Mi. 01. Oktober 2003 22:17:02
\(\begingroup\)Hi Anonymous,

Nunja, es ist ja auch kein zwingend notwendiger Schritt, das heisst, es ist eigentlich egal, ob man das Teil x3 oder r nennt. Deswegen hab ich da kein grosses Gewicht drauf gelegt.

beste Grüsse
Siah\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. Dezember 2003 15:49:14
\(\begingroup\)danke für die tolle seite. ich bin zwar schon fast fertig mit dem studium, aber mathe liegt schon so lange zurück, dass man sich nicht mehr an alle dinge erinnern kann, und durch eine solche zusammenfassung spart man sich das studieren der skripten aus den ersten semestern....
grüsse aus graz (österreich) Patrick\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 27. Dezember 2003 19:32:14
\(\begingroup\)Klasse. Einfach klasse!
Was so viele Professoren nur muehsam und kryptisch auf dutzenden Seiten ihrer Skripte zumeist vergeblich zu vermitteln suchen, wird hier kompakt und verstaendlich erklaert.

Thorsten, Du hast nicht nur verstanden, wovon Du schreibst. Du weisst auch ebenso sehr, was so viele Studenten zum Nachdenken bewegt. Du darfst stolz auf Deine Arbeit hier sein!

Gruesse aus NRW,
Georg\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Kryptian am: Mi. 10. März 2004 12:35:33
\(\begingroup\)Herzlichen Glückwunsch zu diesem durchaus gelungenen Artikel. Ein weiterer Vorschlag von mir zur Lösung von einem(wäre mit Kanonen auf Spatzen geschossen) oder mehreren Gleichungssystemen mit identischen Koeffizienten ist der Versuch über die Inverse der Matrix. Sie kann auf zwei unterschiedliche Weisen gebildet werden. Zum einen über den Gauß-Algorithmus und zum anderen über die Adjunkte. C^-1=1/det*adjC\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Siah am: Mi. 10. März 2004 13:42:14
\(\begingroup\)Hi Kryptian,

Erstmal Danke für deine Bemerkung. Ja, diese Möglichkeit gibt es, aber nur für quadratische invertierbare Koeffizientenmatrizen, was ja eigentlich ein absoluter Spezialfall ist. Und wenn man die Inverse mit Gauss-Jordan berechnet, dann kann man (vom zeitlichen her) auch gleich den oben beschriebenen Gauss Algorithmus auf das LGS anwenden. Im anderen Fall muss man halt noch die Determinante der Koeffizientenmatrix ausrechnen, was im Allgemeinen auch recht aufwendig sein kann.

Deswegen: Ja, es gibt Situationen in denen man diese Möglichkeit hat, aber ob es für das praktische Umgehen eines LGS von Nutzen ist, das steht auf einem anderen Blatt.

beste Grüße
Siah\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Puppetmaster am: So. 23. Januar 2005 13:57:15
\(\begingroup\)Mir hat der Artikel gut geholfen. Darum ein großes Dankeschön.\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: FlorianM am: So. 27. März 2005 13:19:10
\(\begingroup\)Wirklich toller Artikel, nochmal alles auf einen Blick... :) Hatte auch mal so einen ähnlichen geschrieben, aber der ist denke ich noch besser und übersichtlicher... :) Und wenn ich hier sehe, dass du schon weitere solcher tolle Artikel geschrieben hast, respekt... Ich weiß, was das für eine Arbeit ist... :)\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. September 2005 20:01:35
\(\begingroup\)Das ist ganz ehrlich das erste mal das ich wirklich was verstanden hab in Mathe... Wir haben so einen furchtbaren Mathelehrer, da bin ich nicht die einzige die nur Bahnhof versteht... Wenn das mal jeder Lehrer so wie du machen würde, hätte ich keine Probleme und Mathe würde mir Spaß machen 😄 Danke!! \(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 11. November 2005 15:05:51
\(\begingroup\)Toller Artikel ! Dank und Gruss an den Autor\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: kostja am: Mo. 14. November 2005 19:59:19
\(\begingroup\)Hallo Siah! Vielen Dank für diesen genialen Beitrag! Hat mir sehr weitergeholfen! MfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 18. Februar 2006 11:34:02
\(\begingroup\)Hilfe ich kann eine Aufgabe nicht wer kann sie mir bitte lösen ich verstehe das nicht! x²+y=10x-19+(x-4)² -y²+3y=-(y-1)²-x+7 bitte lösen entweder schreibt auch ins Gästebuch den Lösungsweg oder per e-Mail simone.daiminger@gmx.de vielen dank!!!!!\(\endgroup\)
 

Aufgaben gehören ins Forum
von: fru am: Sa. 18. Februar 2006 13:13:17
\(\begingroup\)Hallo, Simone! Hier bei den Artikel-Kommentaren ist nicht der richtige Ort, Aufgaben zu lösen, deshalb nur ein Hinweis: Wenn Du das Quadrieren der beiden Klammerausdrücke ausführst, bekommst Du anschließend leicht die quadratischen Summanden weg. Das Gleichungssystem läßt sich dann leicht auf eine Form bringen, die im Artikel besprochen ist. Falls Du damit nicht klar kommst, melde Dich bitte an und stelle Dein Problem ins Mathematikforum. Dort wird Dir sicher rasch und kompetent geholfen werden. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: da_bounce am: Di. 24. Oktober 2006 13:56:03
\(\begingroup\)Hey ein wunderbaerer Artikel sehr hilfreich und übersichtlich gerade für erstis wie mich :) Ich hoffe doch das weitere folgen gruss George\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 13. November 2006 17:08:19
\(\begingroup\)ihr habt mir sehr geholfen, muss nämlich morgen ein referat über die lösbarkeit von homogenen und inhomogenen LGS halte..\(\endgroup\)
 

Re: Kapitel 4: Lineare Gleichungssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 24. April 2007 23:21:15
\(\begingroup\)hast nem Mathe-Lkler die Note gerettet 😛 \(\endgroup\)
 

 
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