Mathematik: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
Released by matroid on Sa. 03. Januar 2004 22:31:44 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)
Bei Internetrecherchen stieß ich auf diesen Begriff und interessiert mich sofort dafür. Heute will ich euch die (vorläufigen) Ergebnisse meiner Nachforschungen präsentieren und mein Wissen über Hypergeometrische Funktionen zusammenfassen:

\big\Definition der Hypergeometrischen Funktion

Hypergeometrische Funktionen werden oft sehr unterschiedlich
definiert.
Ich möchte eine sehr einfach Definition verwenden, die eine
hypergeometrische Funktion in Abhängigkeit von der Veränderlichen z
mit von mehreren Parametern folgendermaßen darstellt:

\mixoff
$_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n)=sum( (a_1^(k^-)*a_2^(k^-)*...*a_m^(k^-))/(b_1^(k^-)*b_2^(k^-)*...*b_n^(k^-))*z^k/k!,k=0,\inf)


a_i\,b_i\,z \el \IC
m\,n\,k \el \IN

Dabei ist x^(k^-) (x\el\IC, k\el\IN) das steigende Pochhammersymbol:
\lr(1.1)x^(k^-)=\Gamma(x+k)/\Gamma(x)=x*(x+1)*(x+2)*...*(x+k-1)
Es werden dabei k Faktoren aufsummiert. Einige Spezialfälle möchte ich
vorwegnehmen, da wir sie noch brauchen werden:
\lr(1.2)1^(k^-)=k!
\lr(1.3)x^(k+1)^-=x*(x+1)^(k^-)
\lr(1.4)x^(k+1)^-=x^(k^-)*(x+k)

Anmerkungen__:
Die a-Parameter der Funktion werden auch als obere Parameter, die b-Parameter
dementsprechend als untere Parameter bezeichnet.
Sehr oft wird $_2|F_1(a,b,\|z;c) als die__ hypergeometrische
Funktion bezeichnet. Diese Variante deckt viele gebräuchliche Funktionen
(Besselfunktionen etc.) ab und wurde seinerzeit von Gauß entdeckt.

\big\Spezialfälle Hypergeometrischer Funktionen

Am erstaunlichsten an Hypergeometrischen Funktionen war für mich,
dass sie die unterschiedlichsten anderen Funktionen darstellen
können. Sie sind stark verallgemeinernd.
Ein Beispiel ist die altbekannte Exponentialfunktion:

exp(z)=$_0|F_0(\|z)=sum(z^k/k!,k=0,\inf)

Hier sind also weder a- noch b-Parameter vorhanden.
Oder die ebenfalls bekannte geometrische Reihe, die sich unter
Verwendung von ref(1.2) so darstellt:

$_1|F_0(1,\|z;$)=sum(1^(k^-)*z^k/k!,k=0,\inf)=sum(z^k,k=0,\inf)=1/(1-z)

Hier sind also keine b-Parameter vorhanden.

\big\Gewinnung Der Hypergeometrischen Darstellung von Funktionen

Eine andere Definiton als die von mir gegebene, ist die, dass eine
Hypergeometrische Funktion eine Reihe ist, bei der der Quotient zweier
Summanden eine bestimmte Form hat.
Mit meiner Definition können wir herausfinden, welche Form solch
ein Quotient haben muss:

Sei t_k der k-te Summand:
t_k=(a_1^(k^-)*a_2^(k^-)*...*a_m^(k^-))/(b_1^(k^-)*b_2^(k^-)*...*b_n^(k^-))*z^k/k!

Dann ist der Quotient:
\mixoff
t_(k+1)/t_k=(a_1^(k+1)^-*a_2^(k+1)^-*...*a_m^(k+1)^-)/(b_1^(k+1)^-*b_2^(k+1)^-*...*b_n^(k+1)^-)*(b_1^(k^-)*b_2^(k^-)*...*b_n^(k^-))/(a_1^(k^-)*a_2^(k^-)*...*a_n^(k^-))*(z^(k+1)*k!)/(z^k*(k+1)!)

gekürzt nach ref(1.4) ergibt das:
t_(k+1)/t_k=((k+a_1)(k+a_2)...(k+a_n)*z)/((k+b_1)(k+b_2)...(k+b_m)*(k+1))

Das kann als gebrochenrationales Polynom in Abhängigkeit von
k mit dem konstanten Faktor z aufgefasst werden.
Alle Reihen, deren Summanden diesen Quotienten haben, lassen
sich nach der zweiten Definiton als Hypergeometrische
Ausdrücke auffassen. Das wollen wir anwenden:

\big\Formales Beispiel:
Der Quotient t_(k+1)/t_k sei (k^2+7k+10)/(4k^2+1) was wir umformen zu:
t_(k+1)/t_k=((k+2)(k+5))/(4(k+i/2)(k-i/2))

Doch Moment: Muss nicht jeder Quotient für unsere Betrachtungen im
Nenner (k+1) enthalten? Ja, muss er! Deshalb erweitern wir zu:

((k+2)(k+5)(k+1)*1/4)/((k+i/2)(k-i/2)(k+1))

Woraus wir die Parameter und das Argument unserer hypergeometrischen
Funktion ablesen können. Als Anmerkung sei hier notiert, dass
jeder konstante Faktor t_0, der in jedem Summanden enthalten ist,
bei der Quotientenbildung herausgefallen ist und deshalb gesondert
betrachtet werden muss.
All das lässt uns schlussfolgern, dass die Reihe, deren Summanden
den obigen Quotient ergeben so aussieht:

sum(t_k,k=0,\inf)=t_0*$_3|F_2(2,5,1,\||1/4;i/2,-i/2)

Das t_0 muss bleiben, da wir alleine aus dem Quotienten keine
Rückschlüsse darauf ziehen können, welchen Wert t_0 hatte.

\big\Die hypergeometrische Darstellung des Kosinus

Wie wir alle wissen gilt:
cos z=1-z^2/2!+z^4/4!-z^6/6!+...=sum((-1)^k*z^2k/(2k)!,k=0,\inf)

Wir bilden den Quotienten und stellen fest:
\align
t_(k+1)/t_k><=((-1)^(k+1)*z^(2(k+1)))/((2(k+1))!)*((2k)!)/((-1)^k*z^2k)
><=(-z^2)/((2k+2)(2k+1))
><=(-z^2/4)/((k+1/2)(k+1))
\stopalign

Woraus wir die Seriendarstellung so formulieren:
cos z=t_0*$_0|F_1($,\|-1/4*z^2;1/2)

t_0 ist in diesem Fall gleich 1, was aus der
Taylor-Entwicklung hervorgeht.

\big\Die hypergeometrische Darstellung des Sinus

Wie wir alle wissen gilt:
sin z=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+...=sum((-1)^k*z^(2k+1)/(2k+1)!,k=0,\inf)

Wir bilden den Quotienten und stellen fest:
\align
t_(k+1)/t_k><=((-1)^(k+1)*z^(2(k+1)+1))/((2(k+1)+1)!)*((2k+1)!)/((-1)^k*z^(2k+1))
><=(-z^2)/((2k+3)(2k+2))
><=(-z^2/4)/((k+3/2)(k+1))
\stopalign
Woraus wir die Seriendarstellung so formulieren:
sin z=t_0*$_0|F_1($,\|-1/4*z^2;3/2)

t_0 ist dieses Mal nicht 1, sondern gleich z, was wieder aus der
Taylor-Entwicklung hervorgeht.
\big\Differenzierung und Integration hypergeometrischer Funktionen

Da es sich bei hypergeometrischen Funktionen um Summen, einfache
Potenzen von z und konstante Faktoren handelt, können wir prima
Summen-, Faktor- und Potenzregel anwenden und kommen so zum ersten
Schritt auf dem Weg zur 1.Ableitung:

\mixoff
d/dz|$_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n)=sum( (a_1^(k^-)*a_2^(k^-)*...*a_m^(k^-))/(b_1^(k^-)*b_2^(k^-)*...*b_n^(k^-))*(k*z^(k-1))/k!,k=1,\inf)


Der erste Summand (k=0) fällt heraus, da es sich dabei in jedem Fall
um eine Konstante handelt. Da in Exponent und Fakultät jetzt (k-1)
statt k steht, ändern wir die Darstellung unter Verwendung von
ref(1.3) leicht ab:

\mixoff
d/dz|$_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n)=sum( (a_1^((k+1)^-)*a_2^((k+1)^-)*...*a_m^((k+1)^-))/(b_1^((k+1)^-)*b_2^((k+1)^-)*...*b_n^((k+1)^-))*z^k/k!,k=0,\inf)
=sum((a_1(a_1+1)^(k^-)*a_2(a_2+1)^(k^-)*...*a_m(a_m+1)^(k^-))/(b_1(b_1+1)^(k^-)*b_2(b_2+1)^(k^-)*...*b_n(b_n+1)^(k^-))*z^k/k!,k=0,\inf)
=(a_1*a_2*...*a_m)/(b_1*b_2*...*b_n)*sum(((a_1+1)^(k^-)*(a_2+1)^(k^-)*...*(a_m+1)^(k^-))/((b_1+1)^(k^-)*(b_2+1)^(k^-)*...*(b_n+1)^(k^-))*z^k/k!,k=0,\inf)


Daraus folgt:

d/dz|$_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n)=(a_1*a_2*...*a_m)/(b_1*b_2*...*b_n)*$_m|F_n(a_1+1,a_2+1,...,a_m+1,\|z;b_1+1,b_2+1,...,b_n+1)

Und für höhere Ableitungen verallgemeinert:

d^x/dz^x|$_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n)
=(a_1^(x^-)*a_2^(x^-)*...*a_m^(x^-))/(b_1^(x^-)*b_2^(x^-)*...*b_n^(x^-))*$_m|F_n(a_1+x,a_2+x,...,a_m+x,\|z;b_1+x,b_2+x,...,b_n+x)

Hier erscheinen viele gut bekannte Phänomene wieder:
Die Exponentialfunktion beispielsweise ist mit ihren Ableitungen
identisch, weil sie keinerlei a- und b-Parameter hat und so alles
beim alten bleibt.

Aus den Überlegungen zum Differenzierung können wir die allgemeine
Integrationsregel folgern:

int($_m|F_n(a_1,a_2,...,a_m,\|z;b_1,b_2,...,b_n),z)=
((b_1-1)*(b_2-1)*...*(b_n-1))/((a_1-1)*(a_2-1)*...*(a_m-1))*$_m|F_n(a_1-1,a_2-1,...,a_m-1,\|z;b_1-1,b_2-1,...,b_n-1)+C

\big\Besondere Eigenschaften hypergeometrischer Funktionen

Aus der Definition der einzelnen Summanden der allgemeinen
hypergeometrischen Funktion als Produkte folgt, dass die Reihenfolge
der Parameter vollkommen egal ist.
Es ist also beispielsweise:

$_2|F_2(a_1,a_2,\|z;b_1,b_2)
=$_2|F_2(a_2,a_1,\|z;b_1,b_2)
=$_2|F_2(a_2,a_1,\|z;b_2,b_1)
=$_2|F_2(a_1,a_2,\|z;b_2,b_1)

Außerdem ist es logisch, dass sich gleiche a- und
b-Parameter herauskürzen:

$_2|F_2(a_1,c,\|z;b_1,c)
=$_1|F_1(a_2,\|z;b_1)

Nur als Beispiel. Daraus folgt zum Beispiel, dass man die e-Funktion
auf verschiedene Weise darstellen kann:

exp(z)=
$_0|F_0($,\|z;$)=
$_1|F_1(c,\|z;c)=
$_2|F_2(c_1,c_2,\|z;c_1,c_2)=...


Ich danke euch für eure Aufmerksamkeit und möchte gleichzeitig auf mathworld.wolfram.com verweisen, wo sich dem des Englischen mächtigen Leser noch weitere Erkenntnisse erschließen mögen.
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"Mathematik: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick" | 5 Comments
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Re: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
von: matroid am: So. 04. Januar 2004 16:43:04
\(\begingroup\)Hi Gockel,

ich hatte noch nie davon gehört. Ehrlich gesagt, es sieht schlimm aus. Ich habe mich gefragt, was der Vorteil ist, wenn man eine Funktion hypergeometrisch darstellen kann?

Anscheinend - du kannst es mir evtl bestätigen - handelt es sich um eine Art 'Weltformel', denn sie enthält zahlreichen schwere Sätze als Spezialfälle?


Allein die Liste der Querverweise bei mathworld ist ein Hammer:
Carlson's Theorem, Clausen Formula, Confluent Hypergeometric Function, Confluent Hypergeometric Limit Function, Dixon's Theorem, Dougall-Ramanujan Identity, Dougall's Theorem, Generalized Hypergeometric Differential Equation, Gosper's Algorithm, Heine Hypergeometric Series, Hypergeometric Function, Hypergeometric Identity, Hypergeometric Series, Jackson's Identity, k-Balanced, Kampe de Feriet Function, Kummer's Theorem, Lauricella Functions, Nearly-Poised, Ramanujan's Hypergeometric Identity, Saalschütz's Theorem, Saalschützian, Sister Celine's Method, Slater's Formula, Thomae's Theorem, Watson's Theorem, Well-Poised, Whipple's Identity, Whipple's Transformation, Wilf-Zeilberger Pair, Zeilberger's Algorithm

Wie bist Du an das Thema gekommen?

Gruß
Matroid

PS: Den fed hast Du jedenfalls kräftig ausgenutzt. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
von: Gockel am: So. 04. Januar 2004 19:16:19
\(\begingroup\)Ich bin darauf gestoßen, als ich nach einer Lösungsformel für Polynome 5.Grades suchte. Und in der Tat: die Hypergeometrischen Funktionen verallgemeinern eine (sehr,sehr) große Menge von anderen Funktionen (um hier nur einige Beispiel aufzuführen):

ln(1+z)=z*$_2|F_1(1,1,\|-z;2)

Wenn man die geometrische Reihe etwas verallgemeinert
kommt man zu:

$_1|F_0(a,\|z;$)=sum((a^(k^-)*z^k)/k!,k=0,\inf)=sum( (a+k-1;k)*z^k,k=0,\inf)=1/((1-z)^a)
=>
$_1|F_0(-a,\|-z;$)=(1+z)^a

Und die Besselfunktionen stecken da auch mit drin, wie schon erwähnt:

$_0|F_1($,\|z;b)=sum(z^k/(k!*b^(k^-)),k=0,\inf)
=sum(((b-1)!*z^k)/((b+k-1)!*k!),k=0,\inf)
=I_(b-1)(2*sqrt(z))*(b-1)!/(z^((b-1)/2))

Mit dem Spezialfall:
$_0|F_1($,\|z;1)=I_0(2*sqrt(z))


Das sind wie gesagt nur wenige Kostproben. W.W.Sawyer hat mal gesagt,
dass man 95% aller höheren Funktionen, die ein Student so braucht,
in der Form von Gauß ($_2|F_1(a,b,\|z;c) )darstellen kann.

Du kannst ja zur Übung mal die hypergeomtrische Darstellung von
sinh, cosh, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh oder erf suchen.

Ein kleines bisschen ernüchtern muss ich dich allerdings:
Funktion wie tan(z) oder Die Zetafunktion lassen sich nicht
hypergeometrisch darstellen.\(\endgroup\)
 

Re: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
von: wasseralm am: So. 04. Januar 2004 20:57:39
\(\begingroup\)Hallo Matroid,

dein Spruch von der "Weltformel" trifft die Sache nach meiner Erinnerung nach ganz gut.

Ich habe (lange ist's her) einige kleine Kombinatorik-Tagungen besucht. Öfters passierte es, nachdem eine kombinatorische Identität durch eine geeignete Bijektion bewiesen war (manchmal mühsam), dass einer der Anwesenden eine hypergeometrische Funktion aus dem Hut zauberte, mit der das Ergebnis sofort folgte.

Gruß von Helmut
\(\endgroup\)
 

Re: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. Oktober 2014 19:21:37
\(\begingroup\)Hat die hypergeometrische Verteilung aus der Stochastik irgendeine Verbindung zu den entsprechenden Funktionen? Wo kommt der Name her? \(\endgroup\)
 

Re: Hypergeometrische Funktionen: Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. November 2014 20:12:54
\(\begingroup\)Also ich hätte schon das ein oder andere an dem Artikel zu beanstanden. Direkt die Definition am Anfang und dann zu sagen, es gäbe eine Fülle von Definitionen bzw. dann eine "andere" als zweite über eine Reihe heranzuziehen, das trifft meiner Ansicht nach so nicht zu. Die "erste" Definition ist die Wesentliche zur Begrifflichkeit der hypergeometrischen Funktion. Die "zweite" Definition führt zum Begriff der hypergeometrischen Reihe, eben eine Reihe heißt hypergeometrisch, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Summanden eine rationale Funktion in der Variablen, der Summationvariablen der betrachteten Reihe/Summe, ist. Diese "zweite" Definition sollte meiner Ansicht nach der ersten vorangestellt werden, denn wie hier beschrieben ergeben sich aus dem Quotienten aufeinanderfolgender Summanden, im Falle das dieser rational ist, d.h. die betrachtete Reihe ist hypergeometrisch, die Parameter für die allgemeine hypergeometrische Funktion. Erstmal noch das mit dem Pochhammer-Symbol $(a)_k:=a\cdot(a+1)\cdots(a+k-1)$. Das ist tatsächlich als steigende Faktorielle zu sehen. Dabei wird nicht die Notation wie oben verwendet. Gut, meinetwegen hängt das vom Kontext ab, aber es gibt für mich kein steigendes Pochhammer-Symbol. Es gibt nur das im Sinne der steigenden Faktorielle. Hinzukommt noch, dass man auch eine Vielzahl von Summen betrachten kann, inbesondere solche, die Binomialkoeffizienten im Summanden enthalten. Es geht auch nicht so sehr darum, die Funktionen der Analysis in einer allgemeinen Form zu schreiben. Weitere Stichworte sind zum Beispiel holonome Rekursionsgleichungen und holonome Differentialgleichungen. Die $e$-Funktion ist gewissermaßen der Prototyp der hypergeometrischen Funktion. An-sich findet sich der Begriff schon bei Euler. Historische Details liegen mir allerdings gerade fern. Tut mir Leid, wenn ich schnell ans Ende kommen will. Wichtig ist noch der Begriff der hypergeometrischen Identität und der hypergeometrischen Datenbank (zum Thema "aus dem Hut zaubern"). Als Bücher sind A=B von Wilf, Petkovsek und Zeilberger, sowie Hypergeometric Summation von Koepf zu empfehlen. Die waren beide schon vor diesem Artikel hier erschienen. A=B kann heruntergeladen werden. Mit deutschsprachiger Literatur zum Thema sieht es mau aus. Auch insgesamt sind Experten meiner Ansicht nach eher rar. \(\endgroup\)
 

 
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