Mathematik: Primzahlzwillinge suchen
Released by matroid on Mi. 21. Januar 2004 09:15:49 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)
Wer möchte seinem Computer nicht mal alle Fehler und Abstürze heimzahlen? Eine effektive Methode ist, ihn mit der Suche nach Primzahlzwillingen zu quälen.
Die Voraussetzung dafür ist ein Primzahlen-Testprogramm, wie es beispielsweise MAPLE zur Verfügung stellt. Solche Tests gibt es heute sogar auf dem Taschenrechner (TI89), allerdings gewähren sie keine beweisbare Sicherheit.




Bevor man testet sollte man eine Kandidatenliste erstellen. Man kann natürlich jede ungerade Zahl (ausser mit Endziffer 5) testen.

Untersucht man 100stellige Zahlen, so ist die Wahrscheinlichkeit
auf eine Primzahl zu treffen ca. 1/Ln(10^100) , also etwa 0.004.
Man wird etwa bei jedem hundertsten Kandidaten auf eine Primzahl
treffen, was für die Suche nach einzelnen Primzahlen durchaus
akzeptabel ist.

Bei Primzahlzwillingen ist die Situation anders.
Ihre relative Dichte beträgt etwa 1.3/(Ln(10^100))^2=0.000024..
oder ein Zwilling auf 16000 Kandidaten.
Es ist also eine bessere Kandidatenliste gefragt.

Als Ausgangspunkt für die folgende Überlegung diene der
Satz von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Multipliziert man alle Primzahlen bis und mit p_m ,
define(pm,p_m)
(was ich mit \pm! bezeichnen werde), so sind die Zahlen
\pm!+1 und \pm!-1 entweder selbst prim oder besitzen nur
Primteiler, welche grösser als p_m sind.

Diesen Satz kann man leicht ausbauen:
Für teilerfremde ganze Zahlen a und b gilt: c=a+b ist
teilerfremd zu a und b.
Zum Beispiel: 5*11-2*3=7*7.
Primzahlen erzeugt man, wenn in a und b alle Primzahlen
unterhalb einer Grenze p_m verbaut sind und ihre Summe
kleiner als (p_(m+1))^2 ist.

Auch hier ein Beispiel:
3*5*7*11-2*2*13*17=271<19^2 .

Für grosse Zahlen ist dieses sichere Verfahren viel zu
aufwändig.
Um nach Primzahlzwillingen zu suchen testet man besser
Kandidaten der Form \pm!+z_1 und \pm!+z_2, wobei
z_1 und z_2 ihrerseits Primzahlzwillinge und grösser als
p_m sind. Um alle Zwillinge zu finden muss man allerdings
auch noch Produkte der Primzahlen, welche grösser als p_m
sind mit einbeziehen, falls b>(p_m)^2.

\big\Rechner und Resultate

Erstaunlich finde ich, dass der TI 89 Taschenrechner bei
80\-stelligen Zahlen noch innert nützlicher Frist einige
Zwillinge fand. \(nützlich ist die Frist zwischen den
Batterienwechseln\)
Der Laptop mit 400MHz suchte um 10^300. Er fand für
a=2*3*5...*719*101
a+307259, a+307261
a-339839, a-339841
a-570077, a-570079
a-1477109, a-1477111
a-1820549, a-1820551

Danach hatte ich endlich wieder Mitleid mit meinem PC und liess ihn schlafen.
Obwohl mich das Resultat positiv überrascht hat (daher auch der Artikel),
im Vergleich zu allen 300stelligen Primzahlzwillingen ist das nicht einmal
ein Kratzer.


\(\endgroup\)
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Primzahlzwillinge suchen [von Ueli]  
Wer möchte seinem Computer nicht mal alle Fehler und Abstürze heimzahlen? Eine effektive Methode ist, ihn mit der Suche nach Primzahlzwillingen zu quälen. Die Voraussetzung dafür ist ein Primzahlen-Testprogramm, wie es beispielsweise MAPLE zur Verfügung stellt. Solche Tests gibt es heute sogar auf
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"Mathematik: Primzahlzwillinge suchen" | 3 Comments
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Re: Primzahlzwillinge suchen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 23. Januar 2008 21:57:36
\(\begingroup\)mich würde interessieren, woher die 1.3 stammt, und gegen welchen wert pi²(x)*log²(x) / x konvergiert, also mit pi²(x) als anzahl der primzahlzwillinge bis x hat da jemand näherere information, oder weiß jemand wo ich für große zahlen die werte von pi²(x) finde?\(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge suchen
von: Ueli am: Mi. 03. Dezember 2008 20:47:01
\(\begingroup\)Der Zwilling könnte vor oder nach p stehen, womit die Wahrscheinlichkeit bei 2/(log(x))^2 läge. Die Verminderung auf 1.32.. kommt daher, dass die Primzahlen nicht unabhängig von einander sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass p+2 durch 3 teilbar ist, ist 1/2 und nicht 1/3, wie bei einer beliebigen Zahl, denn die Möglichkeit, dass p durch 3 teilbar ist, gibt es ja nicht. \(\endgroup\)
 

Re: Primzahlzwillinge suchen
von: Delastelle am: Di. 14. September 2021 02:56:35
\(\begingroup\)Hallo, Du hättest den Maple-Quellcode ruhig noch angeben dürfen... Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
 

 
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