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Ich möchte hier einige Ausführungen zur Überführung von Matrizen in Normalform oder kanonische Form machen. Im Vordergrund sollen dabei die Begriffe stehen, auf Beweise werde ich weitgehend verzichten, sonst würde der Rahmen, den ich mir vorgegeben habe, gesprengt.
Ich werde dabei die moderne Auffassung von der linearen Algebra, wo immer möglich, berücksichtigen, aber manchmal auch den Bezug zur "klassischen" Auffassung herstellen. |
Der Gegenstand der Untersuchung ist ein Vektorraum V und ein Element A aus
End(V), mit anderen Worten, A ist ein Endomorphismus von V, nämlich eine lineare Abbildung, die V in V abbildet.
Wenn V der n-dimensionale Vektorraum Kn über dem Körper K ist, dann ist A nichts anderes als eine nxn-Matrix, umgekehrt kann der Fall eines beliebigen n-dimensionalen Vektorraums V hierauf zurückgeführt werden, indem man eine bestimmte Basis von V auszeichnet. Das Ziel ist, die Wahl der Basis von V so vorzunehmen, dass die Matrix, die A in dieser Basis darstellt, möglichst einfache Gestalt annimmt. 
§ 1. Basiswechsel und ähnliche Matrizen
Es sei (b1,...,bn) eine Basis von V und B die durch B x = x1 b1 + ... + xn bn erklärte lineare Abbildung von Kn auf V.
x ist dabei ein Spaltenvektor matrix(x_1;.;.;x_n)\el\ K^n\..
Weil (b1,...,bn) eine Basis ist, besitzt diese Abbildung eine Umkehrabbildung B-1, die V auf Kn abbildet.
Die Abbildung Mb(A) = B-1 A B bildet Kn in sich ab, ist also eine Matrix, dies ist die schon erwähnte Darstellungsmatrix von A für die Basis (b1,...,bn).
Nun betrachtet man eine weitere Basis (c1,...,cn) von V mit der zugehörigen linearen Abbildung C von Kn auf V. In dieser Basis hat A die Matrix Mc(A) = C-1 A C. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Matrizen Mb(A) und Mc(A)? Die Auflösung der einen Gleichung nach A ergibt A = B Mb(A) B-1,
dann ist Mc(A) = C-1 B Mb(A) B-1 C = T-1 Mb(A) T, wobei T = B-1 C als Übergangs- oder Transformationsmatrix von der Basis (b) zur Basis (c) bezeichnet wird. Es gilt nämlich B T = C, das bedeutet
c_j=sum(t_ij*b_i,i=1,n) für j=1,...,n.
Zwei Matrizen M1 und M2, die zusammen mit einer dritten Matrix T, die eine Inverse T-1 besitzt, die Gleichung M2 = T-1 M1 T erfüllen, nennt man ähnliche Matrizen. Die Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation.
Die Menge aller nxn-Matrizen kann also in Äquivalenzklassen ähnlicher Matrizen aufgeteilt werden. Modern ausgedrückt, der Ring End(V) aller Endomorphismen eines K-Vektorraums V zerfällt in Äquivalenzklassen ähnlicher Endomorphismen. 
§ 2. Das Eigenwertproblem und das charakteristische Polynom
Wir nehmen jetzt an, dass von vornherein eine Matrix gegeben ist, das bedeutet, dass wir in dem Vektorraum V eine bestimmte Basis gewählt haben. Diese Matrix nennen wir der Einfachheit halber jetzt A.
Für die Zurückführung dieser Matrix A auf eine möglichst einfache Form (mittels Ähnlichkeitstransformationen) ist die Untersuchung des Eigenwertproblems
A x = r x , x aus Kn \ {0}, r aus K
von entscheidender Bedeutung (man könnte fragen, warum das so ist - ich habe keine bessere Antwort als die, dass damit das oben angestrebte Ziel erreicht wird). Dies ist bei festem r ein Gleichungssystem von n Gleichungen mit n Unbekannten, das stets die triviale Lösung x = 0 besitzt. Nichttriviale Lösungen gibt es genau dann, wenn die Determinante von A - r I gleich Null ist, mit I wird die Einheitsmatrix bezeichnet, die den identischen Endomorphismus x --> x von Kn auf sich darstellt. Die Determinante der Matrix r I - A ist ein Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten aus K, es wird das charakteristische Polynom der Matrix A genannt.
\phi(r)=\det(r I-A)=r^n-a_(n-1)\.r^(n-1)+-...+(-1)^n\.a_0\.,
wobei a0 = det A die Determinante der Matrix A ist.
Für das Weitere nehmen wir an, dass das charakteristische Polynom als Produkt linearer Faktorpolynome dargestellt werden kann, das wird bekanntlich, wenn nötig, dadurch erreicht, dass man den Körper K zu einem Oberkörper erweitert, der alle Nullstellen dieses Polynoms enthält. Im Fall K = R, also für den Körper der reellen Zahlen, kann es nötig sein, zum Oberkörper C der komplexen Zahlen überzugehen. Indem man gleiche lineare Polynome zu einer Potenz zusammenfaßt, erhält man dann
\phi(r)=(r-r_1)^n_1 (r-r_2)^n_2 ... (r-r_s)^n_s\.,
die verschiedenen Zahlen r1,...,rs nennt man die Eigenwerte von A. Außerdem wird die Zahl ni die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts ri genannt, i = 1,...,s.
Alles in diesem Abschnitt gilt wortwörtlich für einen Endomorphismus A eines
K-Vektorraums V, weil für einen beliebigen Endomorphismus P die Determinante der Matrixdarstellung von P in jeder beliebigen Basis dieselbe ist, diese Zahl nennt man daher auch die Determinante von P. Somit ist das charakteristische Polynom sowie die Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten durch den Endomorphismus A allein bestimmt, es ist gleichgültig, in welcher Basis er dargestellt wird. 
§ 3. Eigenvektoren, Hauptvektoren und der Wurzelraum
Wie in § 2 ist A eine Matrix, und wir konzentrieren unsere Aufmerksamkeit nun auf einen bestimmten Eigenwert ri von A. Ein von Null verschiedener Vektor x aus Kn, für den A x = ri x gilt, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert ri. Alle Eigenvektoren von A zum Eigenwert ri, zusammen mit dem Nullvektor, bilden einen Unterraum von Kn, den Eigenraum von A zum Eigenwert ri, ich möchte ihn mit E1(ri) bezeichnen. Die Dimension mi dieses Raumes heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts ri.
Es ist möglich, dass sogar für Matrizen A, die nur einen einzigen Eigenwert r1 besitzen (ihr charakteristisches Polynom lautet dann (r - r1)n), der Eigenraum E1(r1) nicht den ganzen Raum Kn ergibt, das ist der Grund für die Komplikationen, die die Untersuchung von Matrizen im allgemeinen Fall so schwierig machen.
Indem man eine Basis des Unterraumes E1(ri) wählt und sie zu einer Basis des ganzen Raumes ergänzt, kann man (unter Verwendung von Determinanten-Rechenregeln) feststellen, dass das charakteristische Polynom durch (r - ri)mi teilbar ist, daher ist die geometrische Vielfachheit mi stets kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit ni.
Besondere Beachtung verdient der Fall, dass die geometrischen Vielfachheiten mi für jeden Eigenwert ri, i=1,...,s, mit den algebraischen Vielfachheiten ni übereinstimmen. Dann gibt es zu jedem Eigenwert ri die maximal mögliche Anzahl ni von linear unabhängigen Eigenvektoren, die Gesamtanzahl dieser Vektoren ist
sum(n_i,i=1,s)=n,
weil das charakteristische Polynom \phi ein Polynom vom Grad n ist.
Diese n Vektoren bilden dann, wie man leicht beweisen kann, eine Basis des Raumes, und die lineare Abbildung wird in dieser Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt. Die Diagonalelemente sind dabei n1 mal die Zahl r1, n2 mal r2, ..., ns mal rs, also die mit ihrer algebraischen Vielfachheit gezählten Eigenwerte von A.
Emdomorphismen, für die dieser Fall eintritt, nennt man diagonalisierbar.
Ich möchte erwähnen, dass der Begriff "diagonalisierbar" nur dann verwendet werden sollte, wenn alle Eigenwerte von A zum Körper K gehören, man muß sich also die hierfür evtl. nötige Erweiterung des Körpers K als bereits ausgeführt denken. Es gibt aber Bücher, die dieser Auffassung nicht folgen, man muß dann sorgfältig mit der Formulierung von Sätzen sein, die den Begriff "diagonalisierbar" enthalten.
Leider ist dieser Fall nicht der allgemeine Fall, zu dessen Betrachtung wir jetzt übergehen.
Im folgenden spielt die lineare Abbildung A - ri I eine wichtige Rolle, wir wollen sie kurz Ai nennen. Der Eigenraum E1(ri) besteht aus den Vektoren x mit Ai x = 0. Nun kann es weitere Vektoren x geben, die durch Ai zwar nicht in das Nullelement, aber in ein Element von E1(ri) abgebildet werden, sie heißen Hauptvektoren erster Stufe. Wir bezeichnen mit E2(ri) den Unterraum, der aus allen x besteht, für die
Ai x zu E1(ri) gehört. Dieser Unterraum wird von den Eigenvektoren und den Hauptvektoren erster Stufe aufgespannt. Weiter bezeichnen wir mit Ek(ri) den Unterraum aller x, für die Ai x zu
Ek-1(ri) gehört. Dann ist
E_1(r_i)\subsetequal\ E_2(r_i)\subsetequal\ E_3(r_i)\subsetequal\ ...
eine aufsteigende Kette von Unterräumen, die Vektoren, die zu Ek+1(ri), aber nicht zu Ek(ri) gehören, heißen Hauptvektoren k-ter Stufe.
Diese aufsteigende Kette von Unterräumen muß nach endlich vielen Schritten zuende sein, das heißt, dass sie nicht mehr weiter wächst. Es sei El(ri) der letzte Unterraum in dieser Kette, er fällt also mit El+1(ri), El+2(ri), ... zusammen. Der Index l hängt natürlich vom Eigenwert ri ab, also bezeichnen wir ihn mit li. Wir werden sehen, dass li nicht größer als die algebraische Vielfachheit ni ist.
Offensichtlich ist A diagonalisierbar genau dann, wenn li = 1 für i=1,...,s.
Der Unterraum Eli(ri) wird als der Wurzelraum W(ri) von A zum Eigenwert ri bezeichnet. Dies ist gerechtfertigt durch folgende Sätze: - W(ri) wird von allen Eigen- und Hauptvektoren zum Eigenwert ri erzeugt.
- W(ri) besteht aus allen Vektoren, für die (A - ri I)ni = 0 ist.
- Jeder Wurzelraum wird durch A in sich abgebildet.
- Die Dimension des Wurzelraums ist gleich der algebraischen Vielfachheit ni.
- Jeder Vektor des Raumes kann eindeutig als Summe x1 + ... + xs dargestellt werden, wobei jedes xi zum Wurzelraum W(ri) gehört.
Das bedeutet, wenn man in jedem Wurzelraum eine Basis nimmt, dann ist die Vereinigung dieser Basen eine Basis für den ganzen Raum. In so einem Fall sagt man auch, der Raum ist die direkte Summe der Wurzelräume. 
§ 4. Segresche Charakteristik, Jordansche Normalform und das Minimalpolynom
Ausgehend von der im vorigen Abschnitt betrachteten Unterraumkette
E_1(r_i)\subset\ E_2(r_i)\subset\ E_3(r_i)\subset\ ... \subset\ E_l_i(r_i)=E_(l_i+1)(r_i)=...,
die mit dem Wurzelraum W(ri) endet, wollen wir nun eine Basis des Wurzelraums konstruieren, in der A möglichst einfach wird.
Um das Wesen dieser Konstruktion klarzumachen, müßte man eigentlich mit dem Begriff des Faktorraums arbeiten, ich möchte das aber vermeiden, um die Darlegung zu vereinfachen.
Die Dimension des Unterraumes Ej(ri) bezeichnen wir mit dij. Der Kürze halber schreiben wir außerdem wieder l statt li, da wir einen festgehaltenen Eigenwert ri von A betrachten.
Man kann nun di,l - di,l-1 linear unabhängige Vektoren aus El(ri) finden, so dass außer dem Nullvektor keine ihrer Linearkombinationen zu El-1(ri) gehört. Diese Vektoren nehmen wir als Basisvektoren, außerdem alle Vektoren, die sich daraus durch einmalige, zweimalige, ..., (l-1)-malige Multiplikation mit
Ai = A - ri I ergeben.
Wenn man diese Vektoren in di,l - di,l-1 Gruppen zu je l Vektoren anordnet, dann nimmt die Matrix von A in dem Unterraum mit dieser Basis Blockdiagonalform an, mit lxl-Blöcken der Form
matrix(r_i,1,0,...,0;0,r_i,1,...,0;.,.,.,...,1;0,0,0,...,r_i),
die man als Jordanblöcke bezeichnet.
Dann nehmen wir den Raum El-1(ri) und wählen in ihm soviele linear unabhängige Vektoren wie möglich, deren Linearkombinationen nicht zu El-2(ri) und auch nicht zu dem von den bisherigen Basisvektoren aufgespannten Raum gehören. Dazu nehmen wir die mit Ai, Ai2, ..., Ail-2 multiplizierten Vektoren, das ergibt
(di,l-1 - di,l-2) - (di,l - di,l-1) Jordanblöcke der Größe (l-1)x(l-1). Und so macht man weiter, bis man schließlich bei E1(ri) ankommt.
So ist also die Matrix A in der neuen Basis in Blockdiagonalform dargestellt, zu jedem Eigenwert gibt es einen eigenen Satz von Jordanblöcken, deren Größen als eine Zahlenfolge mi1,mi2,...,mimi angegeben werden können, die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert ri ist gleich der geometrischen Vielfachheit mi dieses Eigenwerts.
Diese Zahlenfolge (fallend geordnet) mi1,mi2,...,mimi heißt die Segresche Charakteristik zum Eigenwert ri, zum Beispiel bedeutet die Segresche Charakteristik (4,2,2,1), dass es Jordanblöcke der Größen 4,2,2,1 gibt, der Wurzelraum zu dem betreffenden Eigenwert wäre dann 9-dimensional.
Man kann die Segresche Charakteristik als Punktschema darstellen, z. B. für (4,2,2,1) als
o o o o
o o
o o
o
Dann ist dij = dim Ej(ri) die Anzahl der Punkte in den ersten j Spalten dieses Schemas. Die geometrische Vielfachheit mi ist die Anzahl der Punkte in der ersten Spalte und li die Anzahl der Punkte in der ersten Zeile, und schließlich ist ni, die algebraische Vielfachheit, die Anzahl aller Punkte. Hieraus geht auch die Ungleichung li <= ni hervor.
Für den Eigenwert ri kann man die Größe des größten zu ri gehörigen Jordanblocks betrachten, das ist also die erste Zahl in der Segreschen Charakteristik. Wie gesagt, ist diese Größe gleich li, und man kann dann beweisen, dass das Polynom
\m(r)=produkt((r-r_i)^l_i,i=1,s)
das Polynom kleinsten Grades ist, das die Gleichung
\m(A)=0
erfüllt, man nennt es das Minimalpolynom von A.
Die oben getroffene Aussage kann dann noch anders formuliert werden:
A ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle Linearfaktoren des Minimalpolynoms einfach sind, also li = 1 für i=1,...,s.
Das am Ende von § 1 erwähnte Klassifikationsproblem von Matrizen hinsichtlich der Ähnlichkeit kann so beantwortet werden:
Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre charakteristischen Polynome übereineinstimmen und wenn die Segresche Charakteristik jedes Eigenwerts ri bei beiden Matrizen dieselbe ist. 
§ 5. Der Satz von Cayley-Hamilton
Dieser Satz besagt, dass ein Endomorphismus A eines K-Vektorraums V die Gleichung
\phi(A)=A^n-a_(n-1)*A^(n-1)+-...+(-1)^n*a_0*I=0
erfüllt, wenn \phi das charakteristische Polynom von A ist.
Dieser Satz gilt allgemein, wenn man aber voraussetzt, dass alle Eigenwerte von A zum Körper K gehören, kann man folgenden Beweis geben.
Man wählt einen beliebigen Eigenvektor e1. In einer Basis, deren erster Basisvektor e1 ist, nimmt A dann die Form
matrix(\l_1,.,...,.;0,\*,...,\*;.,.,...,.;0,\*,...,\*)
an. Von der (n-1)x(n-1)-Matrix, die durch Sterne angedeutet ist, nehmen wir einen Eigenvektor, der natürlich nur n-1 Komponenten hat, wir fügen als erste Komponente eine beliebige Zahl hinzu und nennen diesen Vektor e2. In einer Basis mit e1, e2 als erste Basisvektoren ist dann
matrix(\l_1,.,...,.;0,\l_2,...,.;0,0,...,\*;.,.,...,.;0,0,...,\*)
die Matrix für A, durch Forsetzung des Verfahrens kann man erreichen, dass die Matrix für A eine obere Dreiecksmatrix wird:
matrix(\l_1,.,.,...,.;0,\l_2,.,...,.;0,0,\l_3,...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,\l_n).
Also gilt der Satz, dass jede Matrix einer oberen Dreiecksmatrix
ähnlich ist.
Die Diagonalelemente \l_1\.,...,\l_n sind die Eigenwerte von A.
Unter Benutzung dieser Matrixdarstellung kann man nun das Produkt
(A-\l_1 I)*(A-\l_2 I)* ... *(A-\l_n I) berechnen,
für n=3 erhält man z. B.
matrix(0,.,.;0,.,.;0,0,.)*matrix(.,.,.;0,0,.;0,0,.)*matrix(.,.,.;0,.,.;0,0,0),
wir nennen das zur Abkürzung A1 A2 A3. Dann ist die dritte Zeile von A3 gleich Null, die zweite und dritte Zeile des Produkts A2 A3 sind Null, und schließlich sind alle Zeilen von A1 A2 A3 gleich Null. Die Überlegung ist für eine Matrix beliebiger Größe n gültig. Wegen
\phi(\l)=produkt((\l-\l_i),i=1,n) ist damit die Gleichung \phi(A)=0 bewiesen.
§ 6. Matrizenfunktionen
Wenn p ein beliebiges Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper K ist, dann ist p(A) ohne weiteres definiert, man muß nur A in das Polynom "einsetzen" und beim Absolutglied die Einheitsmatrix, multipliziert mit diesem Absolutglied, nehmen.
Die Frage, ob man auch für andere Funktionen f, die keine Polynome sind, f(A) definieren kann, ist sehr wichtig.
Wenn A in Jordanscher Normalform ist und J1,...,Jk die Jordanblöcke sind, dann definiert man
f(J_i)=matrix(f(\l_i),f\'(\l_i),f\''(\l_i)/2!,...,.;0,f(\l_i),f\'(\l_i),...,.;.,.,.,...,.;0,0,0,...,f(\l_i))
und schließlich f(A) als die Matrix, die durch Zusammensetzung der Blöcke f(Ji) entsteht.
Diese Definition wird durch die Formel f(T-1 A T) = T-1 f(A) T auf Matrizen, die zu A ähnlich sind, ausgedehnt.
f muß nur in der Umgebung der Eigenwerte von A definiert sein, muß aber dort so oft differenzierbar sein, wie nötig, damit f(A) definiert ist. Das ist alles erfüllt, wenn f die Exponentialfunktion f(t) = et ist, also gibt es zu jeder Matrix A eine wohldefinierte Matrix eA. Wie für reelle und komplexe Zahlen ist auch für Matrizen die konvergente Reihendarstellung
e^A=I+A+A^2/2!+A^3/3!+A^4/4!+...=sum(A^n/n!,n=0,\inf)
gültig, A0 ist als I, die Einheitsmatrix, definiert.
Speziell ist für eine Diagonalmatrix
A=matrix(a_1,0,...,0;0,a_2,...,0;.,.,...,.;0,0,...,a_n)
die Matrix-Exponentialfunktion durch
e^A=matrix(e^a_1,0,...,0;0,e^a_2,...,0;.,.,...,.;0,0,...,e^a_n)
gegeben. Eine entsprechende Formel gilt für f(A) mit einer beliebigen Funktion f.
Die Matrix-Exponentialfunktion ist bei der Lösung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten von Bedeutung. 
§ 7. Rechenbeispiel
Für die Matrix
A=matrix(-3,7,-3;-4,7,-2;-3,3,1) lautet das charakteristische Polynom
\phi(r)=r^3-5*r^2+8*r-4=(r-1)(r-2)^2\..
Für den Eigenwert r=1 ist matrix(1;1;1) ein Eigenvektor, für r=2
gibt es, obwohl die Vielfachheit 2 ist, nur einen linear unabhängigen
Eigenvektor matrix(1;2;3). Also ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Zur Bestimmung des fehlenden Hauptvektors 1. Stufe muß man das
Gleichungssystem
-5 x_1+7 x_2-3 x_3=1, -4 x_1+5 x_2-2 x_3=2, -3 x_1+3 x_2-x_3=3
lösen, ein Lösungsvektor ist x_1=-2, x_2=0, x_3=3. Mit der Matrix
T=matrix(1,1,-2;1,2,0;1,3,3), die aus den Eigen\- und Hauptvektoren zusammen\-
gestellt ist, berechnen wir
T^(-1) A T=matrix(6,-9,4;-3,5,-2;1,-2,1)*matrix(-3,7,-3;-4,7,-2;-3,3,1)*matrix(1,1,-2;1,2,0;1,3,3)=matrix(1,0,0;0,2,1;0,0,2).
Man erkennt, dass die letzte Matrix Jordan\-Normalform besitzt,
wie es auch sein muß. Somit ist A in der Form
A=T*matrix(1,0,0;0,2,1;0,0,2)*T^(-1)=matrix(1,1,-2;1,2,0;1,3,3)*matrix(1,0,0;0,2,1;0,0,2)*matrix(6,-9,4;-3,5,-2;1,-2,1)
dargestellt, und die Matrix e^At läßt sich als
e^At=matrix(1,1,-2;1,2,0;1,3,3)*matrix(e^t,0,0;0,e^2t,t e^2t;0,0,e^2t)*matrix(6,-9,4;-3,5,-2;1,-2,1)
angeben.
Gruß Buri
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