Das Problem betrifft kombinatorische Geometrie und wurde als Spezialfall einmal bei einer Mathematik - Olympiade gegeben. Die Definition klingt etwas holprig und wird deshalb gleich durch ein Beispiel aufgelockert. Das Problem Gibt es für jede beliebige Dimension d und jede natürliche Zahl x einen Quader in jener Dimension, dass die Anzahl der Kästchen, die an einer oder mehrerer Kante(n) liegen, gleich 1/x der Gesamtkästchen ist? Wenn ja, wie müssen die Abmessungen gewählt werden?
Beispiel: Als Beispiel werde ich genau die Aufgabe aus der Mathematik - Olympiade verwenden. Die Dimension sei 2, d.h. wir sind in der Ebene, und x sei auch 2. Gesucht sind nun die ganzzahligen Abmessungen des Rechtecks, dessen Randkästchen die Hälfte der Gesamtkästchen sind. Die Seitenlängen 3 und 4 sind beispielsweise keine Lösungen, weil 10 Kästchen an einer Kante liegen, aber nur 2 nicht an einer Kante liegen. Man kann das Problem formalisieren.
Die Anzahl der Kästchen am Rand ist: 2*a + 2*b - 4 Das -4 zählt die Eckpunkte weg, die doppelt gezählt worden sind. Das "Volumen", die Fläche also, ist a*b. Man finde zwei Zahlen a und b für die 2*(2*a+2*b-4)=a*b gilt. Man kommt auf a=5 und b=12 und a=6 und b=8
Die spezielle Beschaffenheit der Formeln erlaubt das Umordnen von a und b. Ist ein Rechteck eine Lösung, so ist auch die Drehung des Rechtecks, also die Vertauschung von a und b eine Lösung.
a=12 und b=5 a=8 und b=6
Beweis Man kann nun auch beweisen, dass es für jede Dimension und jedes x immer eine Lösung gibt, später werden wir sogar eine Funktion angeben können, die die Mindest-Anzahl von Lösungen in einer Dimension vorgibt.
Beweis: Man kann die Formel für Hyperquader verwenden, um die Anzahl der Linien zu erfahren. Die Anzahl der k\-dimensionalen Elemente in einem d\-dimensionalen Hyperquader ist gegeben durch: \ 2^(d-k)*(d;k) Jetzt muss man erfahren, was k\-dimensionale Elemente sind. In einem Würfel sind die 1\-dimensionalen Elemente die Kantenlinien, die 2\-dimensionalen Elemente die Flächen, was als Beispiel sicher genügt. Daraus folgt, dass es 2^(d-1)*d Linien gibt. Es können aber maximal d verschiedene Linien sein, da wir in der d\-ten Dimension sind. Daraus folgt, dass jede Linie 2^(d-1) mal vorkommt.
Im Folgenden seien die Seitenlängen des Würfels mit a1\,a2\,..\,ad bezeichnet. Wir müssen nun zeigen, dass es immer eine Lösung für folgende Gleichung gibt:
Der Beweis ist konstruktiv. Beispiel: Ich suche einen Quader im Raum, für den gilt, dass die "Randwürfel" genau den zehnten Teil des Gesamtvolumen ausmachen.
10*(4*a+4*b+4*c-8)=a*b*c x=10 d=3 a*b=80 Beliebig wählen: a=8 und b=10 =>c=16
\big\Die Anzahl der Lösungen In dem Beweis gibt es den Punkt, an dem d\-1 Seitenflächen beliebig auswählt, und genau das wird der Ansatz sein, der zu einer Funktion führen wird, die eine untere Schranke für die Anzahl der Lösungen angeben wird.
Hat man eine Lösung gefunden, kann man daraus sogleich d! Lösungen gewinnen, da die Seitenlängen natürlich beliebig angeordnet werden können, dies wird hier nicht berücksichtigt.
Es gibt immer 2^(d-1)-1 Lösungen, wobei dies nur eine untere Schranke ist. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.
Das konkrete Problem lautet: Wieviele Möglichkeiten es gibt (d-1) Zahlen so zu wählen, dass ihr Produkt 2^d*x ergibt.
Induktionsanfang: n=3
a*b=8*x
\ 8*x-1 \ 4*x-2 \ 2*x-4 \ x -8
Laut Behauptung müsste es 2^(3-1)-1 Möglichkeiten geben.
Es gibt vier Möglichkeiten, und die Bedingung ist erfüllt.
Es folgt der Induktionsschritt.
Um die Begriffe verwenden zu können lege man das ganze in eine Matrix mit d Spalten und einer bisher noch nicht näher definierten Zeilenanzahl. In jeder Zeile sind somit d Zahlen der Produkt 2^d*x ergibt. Im Induktionsschritt erhält man eine neue Spalte dazu. Man setzte die neue Spalte 1, und hat dann 2^(d-1) Möglichkeiten, da eine Zweierpotenz mehr zum Aufteilen da ist, was eine neue Möglichkeit bringt.
Anschließend setze man die neue Spalte 2 und erhält die alten 2^(d-1)-1 Möglichkeiten. Jetzt kann man die Möglichkeiten addieren. Die Summe ist 2^d-1 und die Bedingung ist erfüllt.
Gibt es für jede beliebige Dimension d und jede natürliche Zahl x einen Quader in jener Dimension, dass die Anzahl der Kästchen, die an einer oder mehrerer Kante(n) liegen, gleich 1/x der Gesamtkästchen ist? Wenn ja, wie müssen die Abmessungen gewählt werden?
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