Mathematik: Transformationsmatrizen
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Lineare Algebra

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Lineare Algebra für Dumme, Kap. 2 ½

Kapitel 2 ½ : Transformationsmatrizen

Oben haben wir gesehen, wie man die Darstellungsmatrix einer Linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen berechnet. An dieser Stelle möchte ich eine leicht abgewandelte Form davon vorstellen, welche das Verfahren etwas mehr formalisiert. Das Zauberwort hierfür ist „Transformationsmatrix“ und wir fangen am besten gleich mit der Definition an:



Definition:
Sei V ein n\-dimensionaler Vektorraum
und B=(b_1\,...\,b_n) und B'=(b_1^'\,...\,b_n^')
zwei Basen von V.
Dann nennen wir die folgende Lineare Abbildung
\big $_B\.T_B' \normal : V->V
mit $_B\.T_B'(b_1^')=b_1
\ $_B\.T_B'(b_2^')=b_2
\ ...
\ $_B\.T_B'(b_n^')=b_n
die (Basis)-Transformation__ von B nach B'.
Diese Lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt und ist stets bijektiv (und damit natürlich auch invertierbar). Die Definition hat zur Folge, dass das Bild eines Vektors, der bezüglich der Basis B gegeben ist, gerade die Darstellung des Vektors bezüglich der Basis B' ist.

Stellt man eine solche Transformation als Matrix bezüglich der Standardbasis von V dar, so nennt man diese Matrix (Basis)-Transformationsmatrix von B nach B'. Wir benutzen die gleiche Symbolik für die Abbildung an sich und für die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis, das sei hier nur angemerkt, um Missverständnissen vorzubeugen.


Bevor wir uns anschauen, wie man eine Transformationsmatrix zu gegebenen Basen aufstellt, schauen wir uns an einem Beispiel an, was man damit anfangen kann:

Beispiel:

Sei V=\IR^2\, B=matrix((1;2),(2;1)) und B'=matrix((3;1),(1;3)).
Die Transformationsmatrix von B nach B' im obigen Sinne lautet dann

$_B\.T_B' = (1/8,5/8;5/8,1/8)

Wie man überhaupt darauf kommt, das besprechen wir später noch.

Betrachtet man nun den Vektor (3;3)_[S\] bezüglich der Standardbasis, so lautet seine Darstellung bezüglich der Basis B: (1;1)_[B\] , denn:

1*(1;2)+1*(2;1) = (3;3)_[S\] .

Sucht man aber nun nach der Darstellung des Vektors bezüglich der Basis B', so erhält man diese durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix:
$_B\.T_B' matrix(1;1)= matrix(1/8,5/8;5/8,1/8)*(1;1)=1*matrix(1/8;5/8)+1*matrix(5/8;1/8)= matrix(6/8;6/8) = matrix(3/4;3/4)

Es gilt also: (3;3)_[S\] = (1;1)_[B\] = matrix(3/4;3/4)_[B'\] .


Berechnung von Transformationsmatrizen


Wir wissen jetzt, was eine Transformationsmatrix ist, und wozu sie gut sein kann. Nun ist es an der Zeit, dass wir uns anschauen, wie man zu zwei gegebenen Basen eines Vektorraums die zugehörige Transformationsmatrix aufstellt.

Dazu nutzen wir aus, dass Transformationen linear und bijektiv sind, und deswegen die Hintereinanderausführung von Transformationen wieder Transformationen sind. Seien B und B' also zwei Basen unseres n-dimensionalen Vektorraums V, und S bezeichne die Standardbasis. Dann gilt:

$_B\.T_B' = $_S\.T_B' | $_B\.T_S

In Worten: Um eine Transformation von B nach B' zu vollführen, kann man auch erst von B nach S transformieren, und anschließend von S nach B'. In einem Diagramm eingetragen würde man sagen: Das Diagramm „kommutiert“.

„Aber was bringt uns dieser Umweg?“

Nun ja, es ist so: Die Transformationsmatrix von B nach S haben wir insgeheim schon, denn wir brauchen nur die Basisvektoren von B als Spalten in eine Matrix zu schreiben, mehr nicht!
Und die Transformationsmatrix von S nach B' bekommen wir folgendermaßen:

$_S\.T_B' = ( $_B'\.T_S )^(-1)

wobei die TrafoMatrix von B' nach S wieder aus den Spalten der Basis B' besteht, welche man dann noch invertieren muss.
Die gesuchte Transformationsmatrix ist nun das Matrixprodukt aus den beiden „leicht“ zu berechnenden Matrizen.

Beispiel: Wir berechnen die Transformationsmatrix aus dem obigen Beispiel:

Sei also wieder V=\IR^2 , B= matrix((1;2),(2;1)) und B'= matrix((3;1),(1;3)).
Nun setzen wir $_B\.T_B' = $_S\.T_B' | $_B\.T_S = ( $_B'\.T_S )^(-1)\. $_B\.T_S.
$_B\.T_S können wir sofort angeben: $_B\.T_S = matrix(1,2;2,1),
und um ( $_B'\.T_S )^(-1) zu bekommen, müssen wir die Inverse der
Matrix matrix(3,1;1,3) berechnen, und erhalten:

( $_B'\.T_S )^(-1)=matrix(3/8,-1/8;-1/8,3/8)

Nun bilden wir das Produkt und erhalten die gesuchte
Transformationsmatrix:

$_B\.T_B' = $_S\.T_B' | $_B\.T_S = matrix(3/8,-1/8;-1/8,3/8) matrix(1,2;2,1) = matrix(1/8,5/8;5/8,1/8)



Jetzt haben wir gesehen, was Transformationsmatrizen sind und wie man sie berechnen kann, und so können wir unser ursprüngliches Ziel wieder ins Auge fassen:


Die Berechnung der Darstellungsmatrix einer Linearen Abbildung bezüglich verschiedener Basen mithilfe von Transformationsmatrizen


Sei eine Lineare Abbildung f: V->W zwischen den Vektorräumen V und W gegeben, und zwar durch die Darstellungsmatrix bezüglich der Basen BV und BW. Anders ausgedrückt:
Wir haben $_BV\.M_BW (f) gegeben.

Angenommen, wir suchen die Darstellungsmatrix von f bezüglich B'V und B'W, wobei B'V eine beliebige Basis von V ist und B'W eine beliebige Basis von W. Mit anderen Worten:

Wir suchen $_B'V\.M_B'W (f).

Und jetzt kommen die Transformationsmatrizen ins Spiel, es gilt nämlich:

$_B'V\.M_B'W (f) = $_BW\.T_B'W | $_BV\.M_BW (f)\. $_B'V\.T_BV


Wobei wir die Darstellungsmatrix bezüglich BV und BW gegeben haben, und wie man die Transformationsmatrizen aufstellt, das haben wir oben auch schon gesehen. Das ganze mag vielleicht ein wenig kompliziert wirken, aber der Schein trügt, und wir rechnen zur Verdeutlichung ein Beispiel:


Beispiel:

Sei eine Lineare Abbildung f: \IR^3 -> \IR^3 explizit gegeben durch:

f(matrix(x_1;x_2;x_3))= matrix(x_1 +x_2;x_2;x_3)

Wir haben also $_S\.M_S (f) = matrix(1,1,0;0,1,0;0,0,1).
Weiter sind zwei Basen gegeben durch BV=matrix((2;1;0),(3;0;2),(0;5;6))
und BW= matrix((5;0;1),(0;3;1),(0;1;1)).

Wir suchen die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen BV und BW.


Nach obiger Feststellung gilt: $_BV\.M_BW (f)= $_S\.T_BW\. $_S\.M_S (f)\. $_BV\.T_S

Nun können wir uns auf die Suche nach den "Einzelteilen" machen:

Die Transformationsmatrix $_BV\.T_S können wir direkt angeben:
$_BV\.T_S= matrix(2,3,0;1,0,5;0,2,6). Weiter gilt nach durchgeführter Matrix-Inversion:

$_S\.T_BW=( $_BW\.T_S)^(-1)=matrix(5,0,0;0,3,1;1,1,1)^(-1)=matrix(1/5,0,0;1/10,1/2,-1/2;-3/10,-1/2,3/2)


Die gesuchte Darstellungsmatrix bekommen wir nun durch:

$_BV\.M_BW (f) = $_S\.T_BW\. $_S\.M_S (f)\. $_BV\.T_S

\ = matrix(1/5,0,0;1/10,1/2,-1/2;-3/10,-1/2,3/2)* matrix(1,1,0;0,1,0;0,0,1)* matrix(2,3,0;1,0,5;0,2,6)

\ = matrix(3/5,3/5,1;4/5,-7/10,0;-7/5,21/10,5)



Der Umgang mit Basis-Transformationsmatrizen wird besonders wichtig werden, wenn wir uns im 5. Kapitel mit „Diagonalisierbarkeit“ von Linearen Abbildungen auseinandersetzen.

  1. Einleitung: Vektorräume
  2. Kapitel 1 (Vektorräume): Begriffe Basis, Dimension, Direkte Summen.
  3. Kapitel 2 (Lineare Abbildungen): Begriffe: Lineare Abbildung, Kern, Bild, Verbindung zwischen Linearen Abbildungen und Matrizen, Rang einer Matrix, Isomorphismen, Matrizenumformung.
  4. Kapitel 3: Determinanten.
  5. Kapitel 4 (Lineare Gleichungssysteme): Begriffe: homogen, inhomogen, Gauß-Algorithmus affine Unterräume,.
  6. Kapitel 5 (Eigenwerte): Begriffe: Endomorphismus, Eigenraum, Diagonalisierung, charakteristisches Polynom.


 
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"Mathematik: Transformationsmatrizen" | 4 Comments
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Re: Transformationsmatrizen
von: mehrdennje am: Di. 23. März 2004 03:55:14
\(\begingroup\)Ich finde ja, dass es für Anfänger einfacher ist, wenn sie die Transformationsformel über die Zerlegung in Lineakombinationen bestimmen.

aber trotzdem: nicht schlecht.\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsmatrizen
von: Martin_Infinite am: Di. 23. März 2004 23:59:30
\(\begingroup\)Hi Siah

Vielen Dank für diese Einführung in Trafo-Matrizen!

Da im Beutelspacher nicht einmal von solchen Matrizen Gebrauch gemacht wird, kannte ich mich vor dem Lesem deines Artikels hiermit noch nicht wirklich aus.

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsmatrizen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 24. April 2007 20:14:04
\(\begingroup\)Hiho! Vielen Dank für die Tutorials, die helfen mir echt gut weiter! Aber sollte es oben in der Definition nicht Sei V ein n\-dimensionaler Vektorraum und B=(b_1\,...\,b_n) und B'=(b_1^'\,...\,b_n^') zwei Basen von V. Dann nennen wir die folgende Lineare Abbildung \big \ _B\.T_B' \normal : V->V mit \ \ _B\.T_B'(b_1)=b_1^' \ \ _B\.T_B'(b_2)=b_2^' \ ... \ \ _B\.T_B'(b_n)=b_n^' die (Basis)-Transformation__ von B nach B'. heißen?\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsmatrizen
von: hitechmax am: Di. 15. November 2016 21:01:06
\(\begingroup\)Das Ergebnis der Inversen der Basis BW also BW^(-1) . Ansonsten gut erklärt! \(\endgroup\)
 

 
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