Mathematik: Die fünf platonischen Körper
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Mathematik

\(\begingroup\) In der Geometrie und Philosophie der alten Griechen spielten die 5 platonischen Körper eine bedeutende Rolle. Sie galten als die perfekten geometrischen Körper:

Das Tetraeder mit 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten:

Bild 



Das Oktaeder mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen:

Bild

Das Ikosaeder mit 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen:

Bild

Der Würfel mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen:

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Und das Dodekader mit 20 Ecken, 30Kanten und 12 Flächen:

Bild

Die platonischen Körper zeichnen sich dadurch aus, dass alle Flächen regelmäßige Polygone sind, alle Flächen dieselbe Eckenanzahl haben und in jeder Ecke dieselbe Anzahl an Kanten ankommt.

Warum gibt es aber nur diese fünf platonischen Körper? Könnte es nicht noch mehr geben?

Für jedes Polyeder mit E Ecken, K Kanten und F Flächen gilt die Eulersche Polyederformel:

E+F-K = 2

Wir suchen nun alle Polyeder, bei denen

- in jeder Ecke dieselbe Zahl n an Kanten ankommen
- alle Flächen dieselbe Zahl s an angrenzenden Ecken haben

Für ein Dodekaeder ist z.B. n = 3 und s = 5.

Jetzt kann man neben der Eulerformel noch mehr Zusammenhänge zwischen E, F und K aufstellen.

Erstmal kann man die Ecken noch mal von einem anderen Blickwinkel aus zählen:

Jede Fläche hat s anliegende Ecken, zählt man diese für alle Flächen zusammen, so kommt man auf sF Ecken.
Dabei zählt man aber jede Ecke n-fach, da jede Ecke an n Flächen angrenzt.

Es gilt daher

E = s/n*F

F = n/s*E

Ähnliches gilt für die Kanten:

In jeder Ecke treffen n Kanten zusammen, und jede Kante trifft auf 2 Ecken.

Also gilt:

K = n/2*E

Mit diesen beiden Gleichungen elimiert man jetzt F und K aus der Polyederformel:

E+F-K = 2

E+n/s*E-n/2*E = 2

E*(1+n/s-n/2) = 2

E*(2s+2n-ns) = 4s

2s+2n-ns muss natürlich positiv sein, da sowohl E als auch s positiv ist:

1 <= 2s+2n-ns

Jetzt kann man noch nutzen, dass n mindestens 3 ist – in jeder Ecke müssen drei oder mehr kanten aufeinander treffen:

1 <= 2s+2n-ns = 2s+n(2-s) = 2s-n(s-2) <= 2s-3(s-2) = 6-s

s <= 5

Da jede Fläche zumindest ein Dreieck ist, gilt sogar

3 <= s <= 5

Als Flächen kommen also nur Dreiecke, Vierecke und Fünfecke in Frage.
Jetzt kann man die einzelnen Möglichkeiten durchprobieren:

1.s = 3 (also Dreiecke als Flächen)

E(2s+2n-ns) = 4s
E(6-n) = 12

Für n sind also 3,4 oder 5 möglich, erstmal probieren wir es mit 3:

3E = 12
E = 4

Als erster Kandidat für einen platonischen Körper kommt also ein Körper mit Dreiecksflächen, mit 4 Ecken und, wie man mit den oben hergeleiteten Zusammenhängen zwischen E,F und K sieht, K = 6 und F = 4 und mit 3 Kanten an jeder Ecke in Betracht. Dieser Körper ist das Tetraeder.

Mit n = 4:

2E = 12
E = 6

Zweiter Kandidat: Ein Körper mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen, die alle Dreiecke sind, und mit 4 Kanten an jeder Ecke; das ist das Oktaeder.

Mit n = 5:

E = 12

Also 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen, die alle Dreiecke sind, außerdem mit 5 Kanten an jeder Ecke; das ist das Ikosaeder.

Jetzt schauen wir mal, was mit Vierecken als Seitenflächen anfangen lässt:

2. s = 4

E(8-2n) = 16

Einzige Möglichkeit für n ist 3 – kleinere n gibt es nicht, und bei größeren wird die linke Seite 0 oder sogar negativ.

Also n = 3:

2E = 16
E = 8

Das ist also eine weitere Möglichkeit für einen platonischen Körper: 8 Ecken, dementsprechend 6 Flächen und 12 Kanten, alle Flächen sind Vierecke und an jeder Ecke liegen 3 Kanten.. Auch diese Möglichkeit findet sich unter den 5 bekannten platonischen Körpern, nämlich als Würfel.

Zu guter letzt die Fünfecke:

3. s = 5

E(10-3n) = 20

Da bleibt nur n = 3 und damit E = 20, also 20 Ecken, 12 Flächen und 30 Kanten, alle Flächen Fünfecke und je drei Kanten an einer Ecke, also das Dodekaeder.


Und mehr Möglichkeiten für einen potenziellen sechsten platonischen Körper gibt es nicht, es gibt also tatsächlich nur diese 5 platonischen Körper.

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: Geometrie :: Leicht verständlich :: Platonische Körper :: Mathematik :
Die fünf platonischen Körper [von Fabi]  
In der Geometrie und Philosophie der alten Griechen spielten die 5 platonischen Körper eine bedeutende Rolle. Sie galten als die perfekten geometrischen Körper: Das Tetraeder mit 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten:  
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"Mathematik: Die fünf platonischen Körper" | 18 Comments
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Re: Die fünf platonischen Körper
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 11. April 2004 22:50:30
\(\begingroup\)sehr schön danke, es ist ja erstaunlich "leicht", nur bei der Eulerformel ist wohl der Haken, oder? mfg sespastian \(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Fabi am: So. 11. April 2004 23:00:58
\(\begingroup\)Nein, die Eulerformel ist auch nicht so schwer zu beweisen, ist nur ein Induktionsbeweis ohne besondere Ideen, die man braucht.

Gruß
Fabi

\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Mathematicus am: Mo. 12. April 2004 14:02:12
\(\begingroup\)Netter Artikel!
(Mit welchem Programm hast du den Dodekader, etc. erstellt. Sieht ganz nach Vektorgraphik aus...)

mfg\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: jannna am: Mo. 12. April 2004 14:54:25
\(\begingroup\)Hallo

sehr schön. leider fehlt mir das Ikosaeder.
(Ich weiß aber wies aussieht ;o))

\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Mathematicus am: Mo. 12. April 2004 14:56:09
\(\begingroup\)janna, den Ikosaeder hab ich als Avatar gewählt. Einfach mal bei meinem Benutzerinfo nachschauen! Das ganze in eine kleine Animation verpackt und fertig

frohe Ostern\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: huseyin am: Mo. 12. April 2004 16:00:28
\(\begingroup\)Jo, den Ikosaeder hats umgehauen, der ist futsch.\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: matroid am: Mo. 12. April 2004 22:03:56
\(\begingroup\)Jetzt ist es wieder da.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Martin_Infinite am: Di. 13. April 2004 18:31:30
\(\begingroup\)Schöner Artikel Fabi!\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Anschewski am: Di. 27. April 2004 13:00:21
\(\begingroup\)Gut gemacht, schöner Beweis. Für alle die noch eine andere Idee gerne lesen:

An den Ecken treffen mehrere gleiche Flächen zusammen, und es muss ein Winkeldefekt entstehen, damit der Körper nicht eine Ebene bleibt. Außerdem müssen es mindestens drei Flächen sein, denn sonst sind es keine Ecken sondern nur Kanten 😉

Also schauen wir uns das genauer an:
Dreiecke haben eine Winkel von 60°, Vierecke 90° Fünfecke 108° und Sechsecke 120°. (Natürlich immer regelmäßige Figuren)
AHA! Drei Sechsecke sind schon 360°, da gibt es keinen Winkeldefekt, also können wir mit Sechs- und Nochmehr-Ecken keinen solchen Körper basteln.

Bleiben Fünfecke, von denen man genau drei nehmen kann, denn vier und mehr gibt auch über 360°, dann noch Vierecke von denen man (4x90°=360°) auch nur drei nehmen kann, und Dreiecke, von denen bis zu Fünf an einer Ecke zusammenstoßen dürfen.
Wir sehen: Es gibt Fünf verschiedene Platonische Körper; Je einen auf der Basis von Vier- und Fünfecken, und drei auf der Basis von Dreiecken.\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: chessmaster am: Mi. 30. November 2005 23:03:47
\(\begingroup\)ich habe eine Frage: wenn in einen Würfel eine "Doppelpyramide eingeschrieben ist, so dass die Ecken in den Diaogonalenschnittpunkten der Seitenflächen des Würfels liegen wie kann man dann: 1. Nachweisen, dass es sich um ein Oktaeder handelt und 2. wie lautet desen Formel zum Ausrechnen des Volumens ???\(\endgroup\)
 

Aufgaben bitte im Forum stellen
von: fru am: Mi. 30. November 2005 23:51:20
\(\begingroup\)@chessmaster: Deine beiden Fragen lassen sich mit elementarer Geometrie erledigen. Aber hier ist nicht der geeignete Ort hierfür. Du solltest diese Fragen besser im Geometrieforum stellen. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Mehr als fünf platonischen Körper ?
von: fru am: Do. 01. Dezember 2005 00:24:39
\(\begingroup\)@all: Wenn man übrigens auf die Bedingung n > 2 verzichtet, dann gibt es noch unendlich viele andere platonische "Körper". Aus n=2 folgt sofort E=K=s und F=2 und man hat für beliebiges s ein sogenanntes Dieder, ein regelmäßiges ebenes s-Eck mit doppelt gezählter Fläche (Ober- und Unterseite). Außer der Dreidimensionalität hat jedes Dieder alle Eigenschaften eines platonischen Körpers. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 11. Januar 2006 00:35:47
\(\begingroup\)alle Artikel von Ihnen sind genial!! Wir möchten mit Ihnen Kontakt per E-mail aufbauen. Wie ist das möglich? Smitt ohh yeah man das hier is echt suuper genial ich bin ganz sprachlos über diese seite mein einziges hobby ist nämlich die mathematik,verstehst? ohh geil 1+1=2 yoo\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: matroid am: Mi. 11. Januar 2006 22:14:15
\(\begingroup\)Hi Fremder, Du kannst 'Du' sagen, das ist hier auf dem Matheplaneten so üblich. Um Kontakt aufzunehmen, könntest Du hier Mitglied werden. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: mathema am: Do. 12. Januar 2006 13:02:35
\(\begingroup\)Schöner Artikel, aber ist der Polyedersatz wirklich so einfach zu beweisen? Ich finde es geht auch ohne: Sei g die Anzahl der regulären p-Polygone die in einer Ecke zusammenstoßen. Das reguläre p-Polygon hat (wie man ganz leicht zeigt) einen Innenwinkel von 180°*(1-2/p). In einer Ecke muß die Summe der aufeinanderstoßenden Innenwinkel <360° sein. Damit folgt: g*180°*(1-2/p)<360° => g*(1-2/p)<2 => 1/g+1/p>1/2 Damit existeren nur die folgenden Lösungen: g=3=>p=3 v p=4 p=5=>Tetraeder v Hexaeder v Dodekaeder g=4=>p=3=>Oktaeder g=5=>g=3=>Ikosaeder Ich finde ohne Polyedersatz ist es noch schöner, oder? Setzt Du mal ein Link auf den Beweis des Polyedersatzes oder postet ihn mir!? Herzlichen Dank mathema \(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 03. Februar 2011 15:42:20
\(\begingroup\)ist gut aber sehr viele Formeln. Kann man das nicht einwenig kürzen? Ausder kommte man noch etwas mehr über herr platon scheiben!! ;p\(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 05. Februar 2011 16:18:10
\(\begingroup\)ja finde ich auch !!! ich würde auch gern etwas mehr uber platon wissen !! 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Die fünf platonischen Körper
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 17. Juni 2011 09:28:27
\(\begingroup\)hallöchen 😮 \(\endgroup\)
 

 
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