Mathematik: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
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Mathematik

\(\begingroup\) Matheplanet Sommervorlesungen 2004 Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl? Was in der Schulmathematik üblicherweise "in einem Aufwasch" erledigt wird, nämlich die Vervollständigung vom Körper \IQ der rationalen Zahlen zum Körper \IR der reellen Zahlen, erweist sich beim algebraischen Hinsehen als ausgesprochen "langer Marsch". So reicht das motivierende Beispiel "Nullstelle von x^2-2" o.Ä. nur für eine quadratische Körpererweiterung von \IQ zu \IQ [ sqrt(2)] aus, die Behandlung der Potenzfunktionen führt - algebraisch gesehen - zu ähnlich strukturierten Gebilden, die "zwischen \IQ und \IR " angesiedelt sind. All diese Körper gehen im sogenannten Körper der algebraischen Zahlen, Symbol \IA, auf, der jede reelle Zahl enthält, die Nullstelle eines Polynoms (positiven Grades) mit rationalen Koeffizienten ist.

Zur pdf-Version dieses Artikels: hier Definition: \IA=\menge(\zeta\el\IR:\exists\ p\el\IQ [X]\,p!=0: p(\zeta)=0) heißt die Menge der reellen algebraischen Zahlen über \IQ. Zunächst ist bei dieser Definition nicht offensichtlich, dass diese so definierte Menge einen Körper darstellt. So wird eine Zahl \zeta\el\IA nicht mehr als Ausdruck mit rationalen Zahlen und Wurzeln natürlichzahliger Exponenten, ein sogenanntes Radikal, charakterisiert, sondern nur noch durch das Minimalpolynom, also dasjenige Polynom minimalen Grades, das \zeta als Nullstelle besitzt, denn N. H. ABEL zeigte 1827, dass bereits die Darstellung der Nullstellen (damals wie heute oft "Wurzeln" genannt) von Polynomen 5. Grades als Radikal im Allgemeinen unmöglich ist. Wie sieht man ein, dass Summe und Produkt zweier Zahlen \zeta, \xi \el \IA \subset \IR, deren Minimalpolynome p und q\el\IQ [X] bekannt seien, wieder eine algebraische Zahl ist, sprich ein Minimalpolynom besitzt, dass zu \zeta!=0 auch das multiplikative Inverse diese Eigenschaft hat, und wie bestimmt man dieses gegebenenfalls? Darum soll es in diesem Artikel gehen. Satz: Die Menge der reellen algebraischen Zahlen über \IQ bildet einen Körper. Ich werde versuchen, den Beweis dieses Satzes in etwas größerem Umfang als üblich und weitgehend allgemeinverständlich auszuführen. Beweis: Seien \zeta,\xi \el \IA, p, q \el \IQ [X] mit p(\zeta)=0, q(\xi)=0. Sei p vom Grad n, p=\sum(a_i *X^i,i=0,n) und q vom Grad m, q=\sum(b_j *X^j,j=0,m). Wegen der Nullstelleneigenschaft sind \zeta^n=-\sum(a_i *\zeta^i,i=0,n-1) und \xi^m=-\sum(b_j *\xi^j,j=0,m-1) Linearkombinationen von kleineren Potenzen von \zeta bzw. \xi. Salopp gesagt, erhält man beim iterierten Potenzieren einer algebraischen Zahl "nichts Neues", da man jedesmal eine Darstellung findet, die nur Potenzen der Zahl bis herauf zur n-1-ten verwendet. Der Übergang zum Ring \IQ [\zeta ] erzeugt also eine Struktur, die als Vektorraum über \IQ n-dimensional ist. Die Basis wird von den Potenzen 1=\zeta^0 bis \zeta^(n-1) gebildet. Die lineare Unabhängigkeit dieser Potenzen folgt aus der Minimalitätseigenschaft von p. Die Multiplikation mit einem beliebigen Element z\ \el\IQ\ [\zeta\ ], z!=0, bildet für 0<=i<=n-1 die \zeta^i auf voneinander linear unabhängige Linearkombinationen der \zeta^i ,0<=i<=n-1 ab, ist also eine \IQ\-lineare und bijektive Abbildung. Daher hat auch 1 ein Urbild bezüglich dieser Abbildung, so dass folgt: 1/z\el \IQ [ \zeta ] => \IQ [ \zeta ] ist sogar ein Körper. All das gilt auch für \IQ [ \xi ] mit m statt n. Jetzt bilden wir alle Produkte \zeta^i*\xi^j , 0<=i<=n-1, 0<=j<=m-1 (mittels der auf \IR erklärten Multiplikationsregeln). Als Linearkombinationen dieser n*m Produkte lassen sich nicht nur \zeta+\xi, sondern bereits auch alle Potenzen von \zeta und \xi darstellen. Der von diesen Produkten aufgespannte Vektorraum \IQ [ \zeta ][ \xi ] ist also ebenfalls von endlicher Dimension, so dass die Multiplikation mit irgendeinem Element z != 0 aus diesem Raum (wir bedienen uns der Ringstruktur) selbigen wieder \IQ-linear und wegen der Nullteilerfreiheit injektiv, wegen der Endlichdimensionalität also sogar bijektiv auf sich abbildet. Somit handelt es sich auch bei \IQ [ \zeta ][ \xi ] um einen Körper, denn genau ein Element z^~ \el \IQ [ \zeta ][ \xi ] wird durch diesen Isomorphismus auf 1 abgebildet. Somit folgt: \IQ [ \zeta ][ \xi ] ist ebenfalls ein Körper. Wir können zu jedem beliebigen Paar \zeta, \xi!=0 reeller algebraischer Zahlen über \IQ also einen Teilkörper \IQ [ \zeta ][ \xi ] von \IA angeben, der \zeta+\xi, \zeta*\xi und \zeta/\xi enthält. Damit sind die Körperaxiome für \IA selbst gezeigt, denn Kommutativität, Assoziativität und Distributivgesetz werden von \IR geerbt. Bestimmung des Minimalpolynoms von Summe und Produkt algebraischer Zahlen mit bekannten Minimalpolynomen: Dieser Beweis gibt einen Hinweis darauf, wie das Minimalpolynom zu Summe, Produkt und Quotient zweier gegebener algebraischer Zahlen \zeta, \xi gefunden werden kann. Da die \zeta^i*\xi^j ein Erzeugendensystem (keine Basis, denn es ist möglich, dass die \zeta^i*\xi^j linear abhängig sind!) des höchstens n*m-dimensionalen \IQ-Vektorraums \IQ [ \zeta ][ \xi ] sind, kann auch der Grad des Minimalpolynoms von \zeta+\xi, \zeta*\xi und \zeta/\xi nur maximal n*m sein, denn wäre er größer, könnte die n*m-te Potenz der betreffenden algebraischen Zahl nicht als Linearkombination der niedrigeren Potenzen geschrieben werden und wäre nicht Element von \IQ [ \zeta ][ \xi ] . Damit stehen uns in diesem Raum die Hilfsmittel der linearen Algebra zur Verfügung. Die Vorgehensweise zur Bestimmung des Minimalpolynoms skizziere ich folgendermaßen am Beispiel von \zeta+\xi: 1. Berechne sämtliche Potenzen (\zeta+\xi)^k, 1Anwendungsbeispiel: Als Beispiel führe ich das Verfahren aus, um das Minimalpolynom von \sqrt(3)-\wurzel(3,2) zu ermitteln: Das Minimalpolynom von \sqrt(3) ist natürlich 2., das von \wurzel(3,2) 3. Grades. Also muss man bis zur 6. Potenz ausrechnen: (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^6 = \sqrt(3)^6 -6*\sqrt(3)^5*\wurzel(3,2) +15*\sqrt(3)^4*\wurzel(3,2)^2 -20*\sqrt(3)^3*\wurzel(3,2)^3 +15*\sqrt(3)^2*\wurzel(3,2)^4 -6*\sqrt(3)*\wurzel(3,2)^5 +\wurzel(3,2)^6 =27-54*\sqrt(3)*\wurzel(3,2)+135*\wurzel(3,4)-120*\sqrt(3)+90*\wurzel(3,2)-12*\sqrt(3)*\wurzel(3,4)+4 =31-120*sqrt(3)+90*\wurzel(3,2)+135*\wurzel(3,4)-54*\sqrt(3)*\wurzel(3,2)-12*\sqrt(3)*\wurzel(3,4) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^5 = -60+9*\sqrt(3)-45*\wurzel(3,2)-2*\wurzel(3,4)+15*\sqrt(3)*\wurzel(3,2)+30*\sqrt(3)*\wurzel(3,4) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^4 = 9-8*\sqrt(3)+2*\wurzel(3,2)+18*\wurzel(3,4)-12*\sqrt(3)*\wurzel(3,2) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^3 = -2+3*\sqrt(3)-9*\wurzel(3,2)+3*\sqrt(3)*\wurzel(3,4) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^2 = 3+\wurzel(3,4)-2*\sqrt(3)*\wurzel(3,2) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^1 = \sqrt(3)-\wurzel(3,2) (\sqrt(3)-\wurzel(3,2))^0 = 1 Dies tragen wir folgendermaßen in ein 6x6-System ein: (31;\-120;90;135;\-54;\-12)=-a*(\-60;9;\-45;\-2;15;30)-b*(9;\-8;2;18;\-12;0)-c*(\-2;3;\-9;0;0;3)-d*(3;0;0;1;\-2;0)-e*(0;1;\-1;0;0;0)-f*(1;0;0;0;0;0) <=>(60,-9,2,-3,0,-1;-9,8,-3,0,-1,0;45,-2,9,0,1,0;2,-18,0,-1,0,0;-15,12,0,2,0,0;-30,0,-3,0,0,0)*(a;b;c;d;e;f)=(31;-120;90;135;-54;-12) Dieses System wird gelöst durch a=0 b=-9 c=4 d=27 e=36 f=-23 so dass wir r(x) = x^6-9*x^4+4*x^3+27*x^2+36*x-23 als Minimalpolynom von \sqrt(3)-\wurzel(3,2) gefunden haben. Ebenfalls nicht schwer zu zeigen ist, dass der entsprechend über \IC definierte Körper \IQ^- der algebraischen Zahlen über \IQ bereits algebraisch abgeschlossen ist, d. h. alle Nullstellen von Polynomen über diesem Körper liegen bereits in dem Körper, so dass vom Standpunkt einer "Zahlenmengen-Ökonomie" keine Erweiterung zu \IC mehr nötig wäre. Ich stelle mir immer mehr die Frage, ob es überhaupt ein algebraisches Argument für den Übergang zu den vollständigen Körpern \IR und \IC gibt, oder ob man mit \IA auskommt, solange man Algebra über \IQ betreibt.
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Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen [von shadowking]  
Hier werden interessante Sachen über algebraische Zahlen und deren MiPo bewiesen.
" Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl?"
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"Mathematik: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen" | 9 Comments
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Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: Martin_Infinite am: Fr. 07. Mai 2004 22:49:30
\(\begingroup\)Schöner Artikel Norbert! 😄

Zu deiner Frage ganz am Ende : Was machst du denn mit transzendenten Zahlen?

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: huepfer am: So. 09. Mai 2004 19:02:36
\(\begingroup\) Hallo Norbert,

das ist ein sehr guter Artikel, meiner Meinung nach. Allerdings hätte ich noch eine Frage dazu. Ich habe gehört, dass \IR ein unendlich dimensionaler \IQ-Vektorraum ist. Die Teilkörper von \IA hast Du jetzt als endlich dimensionale \IQ-Vektorräume dargestellt, was mir auch einleuchtet. Nun meine Frage dazu:
Ist \IA dann ebenfalls ein endlicher \IQ-Vektorraum oder ein abzählbar-unendlich-dimensionaler \IQ-Vektorraum?


Gruß
Felix\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: Martin_Infinite am: So. 09. Mai 2004 19:06:50
\(\begingroup\)@Felix: Die Dimension ist |IN|.\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: shadowking am: So. 09. Mai 2004 19:42:49
\(\begingroup\)Vielen Dank für das Lob.

Felix, Du kannst Dir am besten
klarmachen, dass \IA über \IQ ein abzählbar
unendlich-dimensionaler Vektorraum ist, weil
der \IQ-unendlich-dimensionale Körper

\IQ [ \menge( \sqrt(p) : p\el\IP) ]
= \IQ [ \sqrt(2)][ \sqrt(3)][ \sqrt(5)][ \sqrt(7)]...,

der die Quadratwurzeln sämtlicher natürlicher
Zahlen enthält, in \IA enthalten ist.

Er enthält noch keine einzige kubische Wurzel, die nicht
bereits in \IN liegt, geschweige denn Nullstellen
komplizierterer Polynome, ist also ein recht "kleiner"
Unterkörper von \IA.

Gleichwohl ist \IA selbst abzählbar!

Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: LutzL am: Mi. 14. September 2005 18:19:57
\(\begingroup\)Hi, zur letzten Frage wenn Du, wie angefangen, nur reelle algebraische Zahlen definieren willst, musst Du die Ordnungsstruktur von Q mitschleppen. Ohne Ordnungsstruktur ist der algebraische Abschluss in C enthalten. Und soweit es die Algebra betrifft, ist der Uebergang zum Ordnungsabschluss, d.h. "jede Teilmenge mit oberer Schranke habe ein Supremum", nicht notwendig. Denn alle algebraischen Konstruktionen sind letztendlich endlich. Und finden damit immer in einer endlichen algebraischen Erweiterung statt, es ist nur bequemer, die Theorie erstmal im algebraischen Abschluss zu formulieren. Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: huepfer am: Di. 24. Januar 2006 11:38:12
\(\begingroup\)Mit etwas Abstand möchte ich diesen Artikel jetzt nochmals in Erinnerung rufen. Ich finde den Artikel sehr gut und verständlich geschrieben. Er bietet eine sehr gute Einführung in die Theorie der Minimalpolynome algebraischer Zahlen, ihre Suche und ihre Übernahme für andere algebraische Zahlen. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 22. Januar 2012 22:26:23
\(\begingroup\)Hervorragend. Es ist auch möglich (wenn recht umständlich, bei den meisten auftretenden Fällen) Mipos nur eines primitiven Elements zu bestimmen. Danke vielmals für den Einblick. \(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 22. Februar 2015 15:09:35
\(\begingroup\)Hallo zusammen .... Ich hoffe hier kann mir jemand helfen. Ich brauche die Algebraische Zahl von 4/24/2 wäre zusammen 30. Benötigen tue ich diese Zahl für ein Geocaching Rätsel. Ich habe schon gegoogelt aber leider habe ich keinen Plan von dieser Matherie. Es wäre sehr nett wenn mir einer weiterhelfen kann. Danke \(\endgroup\)
 

Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
von: shadowking am: Mi. 25. Februar 2015 02:08:51
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, ich fürchte, so wird Ihnen hier beim besten Willen niemand helfen können. Sie haben vermutlich per Suchmaschine nach "algebraische Zahl" o.Ä. gesucht und so diesen Artikel gefunden. Algebraisch (genauer: algebraisch über einem Ring wie z.B. dem der ganzen Zahlen) zu sein ist eine Eigenschaft, die gewissen Zahlen an sich zukommt, aber es gibt keine algebraischen Zahlen von anderen Zahlen (wie etwa 30) oder von Objekten wie "4/24/2" (was immer damit gemeint sein könnte). Algebraische Zahlen sind noch nicht einmal solche von Polynomen; man würde statt dessen von Wurzeln oder Nullstellen von bestimmten Polynomen sprechen. Zumindest soweit, daß man Fragen verständlich formulieren kann, sollte also jeder die mathematische Sprache anwenden können. Es bleibt wohl nichts übrig, als daß Sie beim Rätselsteller nachfragen, was genau er möchte. Wenn er keine genaueren Angaben machen kann, dann hat er ein Rätsel gestellt, ohne von der Materie genug zu verstehen, und auf das sich wegen "Schlechtgestelltheit" keine Antwort geben läßt. Gruß shadowking\(\endgroup\)
 

 
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