Mathematik: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
Released by matroid on Di. 03. August 2004 23:22:38 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Hallo Mathematik-Freunde. Ich war vom 17.Juli bis zum 25.Juli 2004 in Papenburg und habe an der JGW-Schülerakademie 2004 teilgenommen. Ich habe 9 Tage lang einen Kurs mit dem Thema "Von komplexen Zahlen zu elliptischen Kurven: Zahlentheorie und Geometrie" besucht und möchte euch nun einen Teil der Ergebnisse vorstellen. Dabei setze hier ich das Verständnis von komplexen Zahlen voraus. Jeder sollte sich im klaren darüber sein, dass man komplexe Zahlen in der Gauss'schen Ebene darstellen kann, und wie die Grundrechenarten geometrisch in dieser Ebene gedeutet werden können.

1. Gitter

\big\ Formale Definition makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Ein Gitter \Gamma=gitter(v,w) mit v,w\el\IC\\{0}, wobei v/w\notel\IR gelten muss, ist die Menge: {\lambda\.v+\mue\.w \| \lambda,\mue\el\IZ } Und kann in der Gauss'schen Ebene als (wie sollte es anders sein) Gitter veranschaulicht werden: \geo xy(-3,3) plot(-3) plot(-2) plot(-1) plot(0) plot(1) plot(2) plot(3) plot(x-6) plot(x-5) plot(x-4) plot(x-3) plot(x-2) plot(x-1) plot(x) plot(x+1) plot(x+2) plot(x+3) plot(x+4) plot(x+5) plot(x+6) \geooff \geoprint() Dies ist eine Veranschaulichung des Gitters gitter(1,1+i). Man merke: Nur die Gitterpunkte, nicht die Linien, gehören zum Gitter. Die Linien dienen nur der besseren Veranschaulichung. Das Paar komplexer Zahlen von v,w eines Gitters gitter(v,w) wird Basis des Gitters genannt. Dabei müssen einige wichtige Forderungen erfüllt sein, die schon in der Definition eines Gitters vorkamen: Die reellen Vektorentsprechungen zu den komplexen Zahlen müssen linear unabhängig und nicht 0 sein, sprich die komplexen Zahlen in der Gauss'schen Ebene dürfen nicht auf einer Geraden mit dem Ursprung liegen. Das wird durch die Forderungen v!=0, w!=0 und v/w\notel\IR ausgedrückt. Diese Eigenschaften setze ich bei allen nachfolgenden Gittern und Basen voraus. Es ist klar, dass ohne diese Forderungen ein Gitter zu einer Menge von Punkten auf einer Geraden werden würde, was erstens der Anschauung eines Gitters widerspricht und zweitens überhaupt nichts bringt, wenn man mit Gittern arbeiten will. Es gibt zu jedem Gitter unendlich viele Basen. Um nur einige allgemeine Beispiele zu nennen: makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) gitter(v,w)=gitter(w,v) =gitter(v,v+w) =gitter(v,v-w) =gitter(-v,w) =gitter(v,-w) =gitter(-v,-w) Man sieht ein, dass die Elemente eine Gitters \Gamma_1 in einem anderen Gitter \Gamma_2 liegen, dass also \Gamma_1 \subsetequal \Gamma_2 gilt, genau dann, wenn eine Basis von \Gamma_1 aus Elementen von \Gamma_2 besteht: gitter(v_1,w_1) \subsetequal gitter(v_2,w_2) <=> v_1, w_1\el gitter(v_2,w_2) Beweis: => ist ganz \Gamma_1=gitter(v_1,w_1) \subsetequal \Gamma_2=gitter(v_2,w_2), sind trivialerweise auch v_1 und w_1 \el gitter(v_2,w_2) <== Zu jedem \gamma\el\Gamma_1 gibt es \lambda und \mue\el\IZ mit \gamma=\lambda\.v_1+\mue\.w_1. Da v_1, w_1\el\Gamma_2 muss es auch für diese solche \lambda_v|,\mue_v|,\lambda_w und \mue_w geben mit: v_1=\lambda_v\.v_2+\mue_v\.w_2 w_1=\lambda_w\.v_2+\mue_w\.w_2 => \gamma=\lambda(\lambda_v\.v_2+\mue_v\.w_2)+\mue(\lambda_w\.v_2+\mue_w\.w_2) =\lambda\lambda_v\.v_2+\lambda\mue_v\.w_2+\mue\lambda_w\.v_2+\mue\mue_w\.w_2) =(\lambda\lambda_v+\mue\lambda_w)v_2+(\lambda\mue_v+\mue\mue_w)w_2 => \gamma \el \Gamma_2 Wenn (v_1, w_1) != (v_2, w_2) und gilt: v_1, w_1 \el gitter(v_2,w_2) und v_2, w_2 \el gitter(v_1,w_1) dann sind die Gitter gleich und beide Paare sind je eine Basis dieses Gitters.

1.1. Ähnlichkeit von Gittern

Zwei Gitter heißen ähnlich zueinander, wenn sie durch Drehstreckung bzw. Multiplikation mit einer komplexen Zahl ineinander übergehen: makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) \exists \xi \el\IC\\{0} : \xi\Gamma_1=\Gamma_2 <=> \Gamma_1 ist ähnlich zu \Gamma_2 Anmerkung: Die Schreibweise "Menge mal Zahl" meint dabei die Menge, die entsteht, wenn man die Elemente der Menge mit der Zahl multipliziert. Es gilt trivialerweise: \Gamma=gitter(v,w) => \xi\Gamma=gitter(\xi\.v,\xi\.w) Das folgt sofort aus der Definition des Gitters.

1.2. Normalisierung auf die obere Halbebene

Oft betrachtet man nur Familien von zueinander ähnlichen Gittern anstelle von einzelnen Gittern. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Jeder dieser Familien kann ein Repräsentant der Form gitter(1,\tau) zugeordnet werden. Wir zeigen nun, wie man das \tau findet. Da es sich um ähnliche Gitter handelt, muss eine Drehstreckung \xi existieren, die jedes Gitter in diese Form überführt: \forall \Gamma=gitter(v,w) \exists \xi : \xi\.\Gamma=gitter(\tau,1) d.h. v'=\xi\.v=\tau w'=\xi\.w=1 => \xi=1/w \tau=v/w Außerdem wird gefordert, dass Im(\tau) > 0 ist. Das heißt, dass man im Zweifelsfall die Reihenfolge von v und w vertauschen muss, so dass \tau sich dann als w/v darstellt. Welche von beiden Alternativen man wählt, hängt davon ab, welche Argumente v und w haben. In jedem Fall ist \tau aber für jede Basis eindeutig festgelegt, wenn man Im \tau >0 fordert.

1.3. Basen von Gittern

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Basen und der Möglichkeit die Basis zu wechseln. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Sei \Gamma=gitter(v_1,w_1)=gitter(v_2,w_2). Dann gilt: v_2=av_1+bw_1 w_2=cv_1+dw_1 mit a,b,c,d \el\IZ oder anders: (v_2;w_2)=matrix(a,b;c,d)*(v_1;w_1) Man kann leicht nachrechnen, dass die inverse Matrix den umgekehrten Basiswechsel erlaubt. Man erkennt, dass alle Matrizen, die einen solchen Basiswechsel erlauben, eine Untergruppe von SL_2\, der Speziellen Lineare Gruppe vom Grad 2, bilden. Das liegt daran, dass die Matrizen invertierbar sein müssen, denn man kann ja von jeder Basis auch zurückwechseln. Also muss für eine solche Matrix A gelten: det(A)*det(A^(-1))=1 Da die Elemente von A und von A^(-1) aus \IZ sein müssen, wie oben gesagt, sind auch die Determinanten \el\IZ. Daraus folgt, dass det(A)=+-1 sein muss. Man kann aber die Gruppe noch weiter einschränken auf positive Determinanten, sodass man schließlich auf die Untergruppe SL_2(\IZ) kommt, d.h. die Menge aller 2x2-Matrixen über \IZ mit der Determinante 1. Wenn man eine Basis hat und nun den Basis-Wechsel matrix(a,b;c,d) auf gitter(v,w) (ähnlich zu gitter(1,\tau)) anwendet, entsteht ein \tau||' zu der neuen Basis in folgender Weise: \tau||'=v'/w'=(av+bw)/(cv+dw)=(a\.v/w+b)/(c\.v/w+d)=(a\tau+b)/(c\tau+d) Das geht immer, da v und w ungleich 0 sind. Auch die Einzige Polstelle dieser Abbildung bei -d/c kann ausgeschlossen werden, da \tau ja eine nicht-reelle Zahl ist, c und d und damit ihr Quotient sind das aber sehr wohl. Man kann also das neuentstehende \tau aus dem alten und der Matrix direkt berechnen. Diese Berechnung brauchen wir noch öfter, und weil Mathematiker schreibfaul sind, definieren wir uns eine Verknüpfung von Matrix und komplexer Zahl, um diese Transformation auf \tau anzuwenden: $\circ : SL_2(\IZ)\cross\IC -> \IC, matrix(a,b;c,d)\circ\tau:=(a\tau+b)/(c\tau+d) Durch eine kleine Rechnung kann man sich überzeugen, dass gilt: \forall A,B \el \SL_2(\IZ), \tau\el\IC: A\circ(B\circ\tau)=(AB)\circ\tau Als nächstes wollen wir beweisen, dass gilt: \lr(Lemma 1.3.1)Im(A\circ\tau)=(Im \tau)/(abs(c\tau+d)^2) mit A=matrix(a,b;c,d) \el SL_2(\IZ) und \tau=x+iy (x,y\el\IR) Beweis: A\circ\tau=(a\tau+b)/(c\tau+d) =((a\tau+b)\.(c\tau+d)^-)/(abs(c\tau+d)^2) =((a\tau+b)(c\.\tau^-+d))/(abs(c\tau+d)^2) =(ac\tau\.\tau^-+ad\tau+bc\.\tau^-+bd)/(abs(c\tau+d)^2) => Im(A\circ\tau)=(Im(ad\tau+bc\.\tau^-))/(abs(c\tau+d)^2) \| da ac\tau\.\tau^- und bd \el \IR =(Im(adx+adiy+bcx-bciy))/(abs(c\tau+d)^2) =(Im(adiy-bciy))/(abs(c\tau+d)^2) \| da adx und bcx \el\IR =(Im((ad-bc)iy))/(abs(c\tau+d)^2) =(Im iy)/(abs(c\tau+d^)^2) \| da det(A)=ad-bc=1 da A\el SL_2(\IZ) =(Im \tau)/(abs(c\tau+d)^2) q.e.d. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Als Folge dessen kann man sagen, dass alle \tau aus der oberen Halbebene wieder auf ein \tau||' der oberen Halbebene abgebildet werden, so dass man in jedem Fall ein normalisiertes \tau||', sprich ein Gitter gitter(1,\tau||') erhält.

1.4 Der Fundamentalbereich

Der Fundamentalbereich \calF ist wie folgt definiert: \calF:={\tau\el\IC \| Im \tau>0, abs(\tau)>=1, abs(Re \tau)<1/2} Es gibt auch den so genannten Fundamentalbereich mit Abschluss, der die Ränder des Fundamentalbereichs ebenfalls enthält: \calF^-:={\tau\el\IC \| Im \tau>0, abs(\tau)>=1, abs(Re \tau)<=1/2} Für die Betrachtungen in diesem Artikel spielt es keine wesentliche Rolle, welchen von beiden man betrachtet. Die Beweisprinzipien lassen sich übertragen. Deshalb werde ich im Folgenden immer nur vom Fundamentalbereich sprechen und \calF verwenden. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Die wesentlichste Eigenschaft ist, dass jeder Punkt in diesem Fundamentalbereich genau einer Familie von zueinander ähnlichen Gittern entspricht. Umgekehrt lassen sich alle Familien von ähnlichen Gittern mit jeweils einem Punkt in diesem Bereich identifizieren. Das wollen wir in diesem Abschnitt beweisen. Eine kleine Vorarbeit haben wir schon mit der Normalisierung geleistet, wo wir jedem Gitter ein ähnliches Gitter in der Form gitter(1,\tau) zugeordnet haben. Jetzt wollen wir beweisen, dass sich dieses \tau noch weiter einschränken und in den Fundamentalbereich verlegen lässt. Behauptung: \forall \tau (Im \tau >0) \exists A\el SL_2(\IZ): A\circ\tau\el\calF Wir haben oben kennengelernt, dass (v,w) und (v,v+w) nur verschiedene Basen ein und desselben Gitters sind. Deshalb kann o.B.d.A. sagen, dass der Realteil zw. -1/2 und +1/2 liegen muss, denn alle \tau\.'s außerhalb dieses Streifens lassen sich durch einen solchen Basiswechsel in diesem Streifen verschieben, indem man ein ganzzahliges Vielfaches der zweiten Basis addiert, sprich \tau um eine ganze Zahl k verschiebt. Das entspricht einem Basiswechsel mit matrix(1,1;0,1)^k. Ein anderer Basiswechsel kann mit der Matrix matrix(0,1;-1,0) vorgenommen werden. Dieser bringt die Eigenschaft abs(\tau)>=1 ins Spiel. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) Beweis: \forall \tau (Im \tau >0) \exists A\el SL_2(\IZ), so dass Im(A\circ\tau) maximal wird. Das wird ersichtlich, wenn man \ref(Lemma 1.3.1) verwendet: Im(A\circ\tau)=(Im \tau)/(abs(c\tau+d)^2) Das kann maximal werden, da c\tau+d ein Gitterpunkt des Gitters gitter(1,\tau) ist und als solcher nicht beliebig dicht an den Nullpunkt kommen kann. Deshalb hat abs(c\tau+d) Minimalwerte. Daraus folgt, dass Im(A\circ\tau) maximal werden kann. Wir schreiben der Kürze halber A\circ\tau=\tau_0 Jetzt gilt als Konsequenz der Maximalität des Imaginärteils: Im \tau_0>=Im(matrix(0,1;-1,0)\circ\tau_0) Im(matrix(0,1;-1,0)\circ\tau)=(Im \tau_0)/(abs((-1)\tau+0)^2) nach \ref(Lemma 1.3.1) => Im \tau_0>=(Im \tau_0)/(abs(\tau_0)^2) => abs(\tau_0)>=1 q.e.d. Damit haben wir gezeigt, dass man immer eine Matrix aus SL_2(\IZ) finden kann, so dass der Basiswechsel zu einem \tau\el\calF führt. Diese Matrix ist dann ein Produkt von A, matrix(0,1;-1,0) und\/oder matrix(1,1;0,1)^k Auf der andern Seite zu zeigen, dass alle \tau im Fundamentalbereich unterschiedliche Familien ähnlicher Gitter repräsentieren, ist schon schwerer und hängt wesentlich damit zusammen, dass die beiden hier verwendeten Matrizen matrix(1,1;0,1) und matrix(0,1;-1,0) die Erzeuger von SL_2(\IZ) sind. (siehe dazu hier im Forum)

2. Elliptische Kurven

In diesem Abschnitt möchte ich verdeutlichen, was die elliptischen Kurven mit Gittern zu tun haben. Topologisch gesehen sind elliptische Kurven äquivalent zu Tori. Auf diese Weise wurden ellitptische Kurven in dem Kurs, den ich besucht habe, überhaupt erst eingeführt. Den kompletten topologischen Hintergrund zu erläutern würde hier deutlich zu weit führen. Deshalb werde ich mich auf eine geometrisch anschauliche Art und Weise den elliptischen Kurven nähern: Sei \Gamma ein Gitter. makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) define(fettenull,\stress\big\ 0) Dann heißt die Menge {av+bw \| a,b\el\IR; 0<=a,b<=1} Grundmasche des Gitters gitter(v,w). Zuerst definieren wir nun eine Äquivalenzklasse in \IC, so dass z_1 und z_2 \el\IC als äquivalent betrachtet werden, wenn z_1-z_2\el\Gamma ist, wenn sich diese Zahlen also innerhalb ihrer Gittermasche am selben Punkt liegen. Dadurch können wir die gesamte Gauss'sche Ebene auf die Grundmasche reduzieren. Diese Masche lässt sich geometrisch als Parallelogramm veranschaulichen. Anmerkung: Das ist einer der Gründe, warum bei 1. die Wahl von v und w nicht beliebig vorgenommen werden konnte: Es musste sichergestellt sein, dass die Gittermaschen ganz \IC überdecken und keine Gerade bilden. Sonst würde alles, was in diesem Abschnitt gemacht wird, nicht funktionieren. \geo xy(-3,3) plot(-3) plot(-2) plot(-1) plot(0) plot(1) plot(2) plot(3) plot(x-6) plot(x-5) plot(x-4) plot(x-3) plot(x-2) plot(x-1) plot(x) plot(x+1) plot(x+2) plot(x+3) plot(x+4) plot(x+5) plot(x+6) fill(1,0.5,eeeeee) print(\big Grundmasche,0,0) \geooff \geoprint() Der Übergang zur elliptischen Kurve geschieht nun, indem man die gegenüberliegenden Ränder dieses Parallelogramms miteinander "verklebt". Zuerst entsteht dadurch ein Zylinder. Wenn man dessen Ränder nun auch "verklebt" entsteht ein Torus, der ja wie gesagt äquivalent zu einer elliptischen Kurve ist. Was beim Verkleben genau geschieht, das fällt in die Kategorie "würde hier zu weit führen". Wer trotzdem Interesse daran hat, der setze sich bitte mit einem Topologen seines Vertrauens in Verbindung. Diesen Übergang vom Gitter \Gamma zur elliptischen Kurve über diesem Gitter E_\Gamma bezeichnen wir mit \pi: \IC->E_\Gamma Aufgrund dieser Reduktion der Ebene auf die Grundmasche gilt für dieses \pi: \forall \gamma\el\Gamma, z\el\IC : \pi(z+\gamma)=\pi(z) define(fettenull,\stress\big\ 0) Der Punkt, auf den die 0 abgebildet wird, bezeichnen wir mit \fettenull. Aufgrund obiger Eigenschaft werden alle Gitterpunkte auf denselben Punkt, eben diese \fettenull abgebildet. Als weitere Konsequenz ist für die Punkte nur noch von Bedeutung, wie sie relativ zu den nächsten Gitterpunkten liegen. Das hat die erstaunliche Konsequenz, dass man den elliptischen Kurven (als scheinbar einzigen Kurven) eine Gruppenstruktur geben kann, indem man eine Addition wie folgt definiert: Sei p,q \el \E_\Gamma; p^~ , q^~ \el\IC : \pi(p^~)=p, \pi(q^~)=q p+q:=\pi(p^~+q^~) Dass diese Addition wohldefiniert ist, erkennt man daran, dass sich die Urbilder von p und q in \IC höchstens durch die Addition eines Gitterpunktes \gamma unterscheiden. Die Summe von beiden ist also allgemein ausgedrückt: (p^~+\gamma_p)+(q^~+\gamma_q)=(p^~+q^~)+(\gamma_p+\gamma_q). Da wie gesagt nur die relative Position eines Punktes zählt, fällt also der Summand \gamma_p+\gamma_q (ein Gitterpunkt) bei der Übertragung auf die elliptische Kurve nicht ins Gewicht. Deshalb ist die Addition von Punkten auf der elliptischen Kurve unabhängig von der Wahl der Urbilder p^~ und q^~ und deshalb wohldefiniert. Die Struktur einer abelschen Gruppe resultiert daraus, dass die anderen Eigenschaften einer Gruppe durch diese Definition der Addition von (\IC,+) geerbt werden. Die Addition ist also erfüllt also alle Gruppen-Axiome und ist sogar kommutativ. Diese Eigenschaft macht elliptische Kurven so besonders interessant, denn scheinbar sind sie die einzigen Kurven, auf denen eine Gruppenstruktur möglich ist.

2.1 Isogenien

Definition: makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) define(fettenull,\stress\big\ 0) Eine Isogenie ist eine Abbildung von einer elliptischen Kurve zur anderen, die die \fettenull der einen Kurve auf die \fettenull der anderen abbildet. \geo fill(0,0,FFFFFF) nolabel() punkt(1,4,pC1,hide) punkt(4,4,pC2,hide) punkt(1,1,pE1,hide) punkt(4,1,pE2,hide) pfeil(pC1,pC2) pfeil(pE1,pE2) pfeil(pC1,pE1) pfeil(pC2,pE2) print(\big\Gamma_1,0.7,4.3) print(\big\Gamma_2,4.3,4.3) print(\big\ E_1,0.7,0.7) print(\big\ E_2,4.3,0.7) print(\big\ f^~,2.4,4.4) print(\big\pi_1,0.7,2.4) print(\big\pi_2,4.3,2.4) print(\big\ f, 2.4,0.7) \geooff geoprint() Wenn man dabei den "Umweg" über die Gitter macht, die den elliptischen Kurven zugrunde liegen, kann man einige wichtige Eigenschaften ableiten. Zum Beispiel erkennt man an diesem "Umweg", dass die Abbildung f^~ , die der Isogenie f entspricht, die Gitterpunkte von \Gamma_1 auf Gitterpunkte von \Gamma_2 abbildet, d.h. \forall \gamma\el\Gamma_1 : f^~(\gamma)\el\Gamma_2 Ansonsten könnte die Forderung f(\fettenull_E_1)=\fettenull_E_2 nicht erfüllt werden, denn wir haben ja festgestellt, dass Gitterpunkte durch \pi_1 bzw. \pi_2 immer auf \fettenull_E_1 bzw. \fettenull_E_2 abgebilet werden. Also müssen alle Gitterpunkt von \Gamma_1 durch f^~ auf Gitterpunkte aus \Gamma_2 abgebildet werden. define(fettenull,\stress\big\ 0) Eine Konsequenz daraus ist die Tatsache, dass Isogenien immer auch Gruppenhomomorphismen zw. den elliptischen Kurven sind, d.h. eine Isogenie f: E_1 -> E_2 erfüllt: \forall P,Q\el\E_1: f(P+Q)=f(P)+f(Q) Das folgt daraus, dass man zu jeder Isogenie den "Umweg" über die Gitter nehmen kann. Dieser muss eine Drehstreckung, d.h. eine Multiplikation mit einer komplexen Zahl sein: f^~(z)=\xi\.z mit \xi\el\IC\\{0} Das führt in Verbindung mit den Eigenschaften von \pi zwangsläufig zu einem Gruppenhomomorphismus. Der konkrete Beweis ist zu lang für diesen Artikel und zu schwer für mich, so dass es an dieser Stelle bei der Feststellung bleiben muss, dass es so ist. Wichtige Isogenien sind die Isomorphien, also die bijektiven Isogenien. Eine solche Isomorphie gibt es zwischen allen elliptischen Kurven, deren Gitter zueinander ähnlich sind. Also: makro(gitter,braket(%1\,%2)_\IZ) \forall \xi\el\IC\\{0}: E_(gitter(v,w))~=E_(gitter(\xi\.v,\xi\.w)) Logischerweise ist die Isogenie dann die Entsprechung zu f^~(z)=\xi\.z Das heißt vor allem, dass man jede elliptische Kurve mit einem Punkt im Fundamentalbereich \calF identifizieren kann, denn jeder dieser Punkte steht für eine andere Familie ähnlicher Gitter und somit für eine andere elliptische Kurve. Also sind zwei elliptische Kurven isomorph, wenn sie ihre Gitter denselben Punkt aus \calF haben. Besonders interessante Isogenien sind vor allem die "Multiplikationsisogenien" [m] mit einer ganzen Zahl m. Sie sind wie folgt definiert: [m]: E_\Gamma->E_\Gamma: [m](P)=P^m Dabei ist die Potenzierung als m-malige Hintereinanderausführung der Gruppenverknüpfung definiert. m=0 ist dabei eine konstante Abbildung auf das neutrale Element \fettenull, m<0 ist dabei die (-m)-malige Addition von (-P). Diese Definition genügt den üblichen Potenzgesetzen: x^m*x^n=x^(m+n) (x^m)^n=x^mn=(x^n)^m x^(-n)=(x^(-1))^n=(x^n)^(-1) (für alle m,n\el\IZ) (siehe dazu mein 5ter Artikel über das Potenzieren in Halbgruppen)

2.2 Andere Darstellungen elliptischer Kurven

Elliptische Kurven wurden zwar in dem Kurs, den ich besuchte, über Tori und die damit verbundenen Gitter untersucht. In der Praxis bevorzugt man allerdings eine andere Darstellungs-Form. Die Algebraische Darstellung, die auch den Namen elliptische Kurve__ rechtfertigt, sieht für Körper mit Charakteristik !=2 und !=3 so aus: y^2=x^3+ax+b define(fettenull,\stress\big\ 0) Auf Basis dieser Gleichungen kann man viel sehr wichtige und interessante Eigenschaften elliptischer Kurven ableiten. Mit Hilfe der Weierstraßen \wp-Funktion kann man einen Punkt des Gitters in einem Punkt auf der algebraischen Kurve überführen: Wenn wir die komplexe Zahl z in einem Punkt auf der elliptischen Kurve umwandeln, dann hat dieser die Koordinaten (\wp(z),\wp||'(z)). Für die Interessierten sei hier ohne Beweis erwähnt, dass eine elliptischen Kurve technisch gesehen eine "glatte, projektive, geometrisch zusammenhängende Kurve vom Geschlecht 1 mit rationalem Punkt" ist, dass das additive Inverse eines Punktes (a,b) genau die Koordinaten (a,-b) hat, dass der Punkt \fettenull in der algebraischen Darstellung der unendlich ferne Punkt ist und die Addition von Punkten geometrisch gedeutet werden kann als Gerade durch die zu addierenden Punkte A und B. Der Punkt, an dem diese Gerade die Kurve das dritte Mal schneidet, nennen wir ihn C, ist genau das additiv Inverse des Ergebnisses der Addition. Es gilt also folgendes Gesetz für die Addition auf elliptischen Kurven: A+B+C=\fettenull \geo x(-3,4) y(-3.5,3.5) color(ff0000) param(xx,-2.1038,4,0.01) kurve(xx,-sqrt(xx^3-3*xx+3)) kurve(xx, sqrt(xx^3-3*xx+3)) print(\red y^2=x^3-3x+3,-3,3) color(000000) nolabel() punkt(-2,-1,A) print(\big\ A=(-2\;-1),-1.9,-1) punkt( 1,1,B) print(\big\ B=(1\;1),1,1) #punkt(13/9,35/27,C) punkt(1.444444,1.296296,C) print(\big\ C=(13/9\.\;\.35/27),1.8,1.7) #punkt(13/9,-35/7,A+B) punkt(1.444444,-1.296296,ApB) print(\big A+B=-C,1.5,-1) gerade(A,B) \geooff geoprint()

2.3 Anwendungen elliptischer Kurven und Ausblick

Elliptische Kurven haben vielfältige Anwendungen in großen Teilen der Mathematik. In der Zahlentheorie sind sie beliebt, denn sie ermöglichen u.A. den Goldwasser-Atkins-Primzahltest und eine Primfaktorzerlegungsmethode. Des weiteren werden elliptische Kurven aufgrund ihrer Gruppeneigenschaft auch in der Kryptographie verwendet. Als Beispiel sei hier das asymmetrische Verschlüsselungsverfahren El Gamal genannt, dass auf dem Problem des diskreten Logarithmus in Gruppen beruht. (siehe hier Potenzen fürs Volk) Außerdem sind sie vor allem nach dem Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung (besser bekannt in der äquivalenten Form des Großen Satz von Fermat) durch Andrew Wiles im Jahr 1995 in aller Munde. Sie tauchen oft in ganz unerwarteten Zusammenhängen auf und verbinden so viele Bereiche der Mathematik in interessanter und faszinierender Weise. Damit möchte ich meinen Artikel beenden. Ich hoffe, dass er euch gefallen hat und ihr genauso viel Spaß beim Lesen hattet, wie ich beim Erarbeiten während meiner Reise nach Papenburg. mfg Gockel.
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Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern! [von Gockel]  
Gitter über komplexen Zahlen und ihre Verbindung zu elliptischen Kurven
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"Mathematik: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!" | 6 Comments
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Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: susi0815 am: Mi. 04. August 2004 09:31:36
\(\begingroup\)Hallo Gockel,

erst Gruppen und dann elliptische Kurven, dann freu ich mich schon drauf, wenn Du auf die Idee kommst und beides in einen Topf schmeißt :)

Eigentlich müsste dann Dein nächster Artikel über ECC (Elliptic Curve Cryptography) gehen.

Viele Grüße,
Susi\(\endgroup\)
 

Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: jannna am: Mi. 04. August 2004 09:48:50
\(\begingroup\)Hallo

Der Titel ist toll (der Rest auch aber den Titel hab ich erst zum Schluß bemerkt, wirklich schön...)

Wie gesagt, ich finde den Artikel sehr interessant.
Ich hab dieses Semester Zahlentheorie gehört und am Ende (also quasi letzte Woche) hat mein Prof einen Ausblick gegeben und gleichzeitig Werbung für seine Vorlesung nächstes Semester gemacht (Arithmetische Theorie über Modulformen).

Leider kann man hier kein fed benutzen aber der Inhalt dieser Vorlesung war auch ziemlich krass.

Was man vielleicht noch sagen kann ist, daß es einen Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven und Kongruenzzahlen gibt (n heißt Kongruenzzahl, wenn a^2+b^2=c^2 und n=1/2 ab, a,b,c aus Q) also n ist Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks a,b,c.

Jetzt ist n Kongruenzzahl genau dann wenn die elliptische Kurve E: y^2 =x^3-n^2x unendlich viele Lösungen hat.

Dazu haben wir L-Reihen betrachtet und eine ganze Menge unbewiesener Vermutungen aus den 70er gebracht.

Außerdem haben wir am Schluß den Zusammenhang zwischen L-Reihen und Modulformen angesprochen...

Alles sehr kompliziert aber auch sehr interessant.

Grüße

Jana \(\endgroup\)
 

Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: angenaehtePommes am: Mi. 04. August 2004 16:46:41
\(\begingroup\)Hey ich geh in Papenburg aufs Gym und weiss da nix von... sowas.\(\endgroup\)
 

Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: Gockel am: Mi. 04. August 2004 17:12:06
\(\begingroup\)Hi Pommes.

Wir waren in der HÖB (Historisch-Ökologischen Bildunsgstätte) untergebracht und haben die Räumlichkeiten dort für unsere Seminare genutzt.
Vielleicht wirst du ja auch einmal in den Genuss einer Schülerakademie kommen. Kommt drauf an wie alt du bist bzw. in welcher Klasse.
Für nähere Informationen empfehle ich dir Die Seite der Deutschen Schülerakademie und Die Seite des JGW e.V., der die Schülerakademie veranstaltet hat, an der ich teilnahm.
Wenn du noch mehr wissen willst, schick mir doch ne PM.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: El-Kaputzki am: Mo. 15. Oktober 2007 09:07:44
\(\begingroup\)Hallo Gockel, finde den Artikel super, habe nur eine kleine Frage. Ist das Gitter, was du da gezeichnet hast wirklich <1,1+i> ? Sieht mir irgendwie eher nach <1,i> aus. Da sind doch die Punkte (1,1), (2,2), (1,2),... drauf oder verzerrt mir mein Bildschirm das? Gruß Sven\(\endgroup\)
 

Re: Graf im Knast: Elliptische Kurve hinter Gittern!
von: Martin_Infinite am: Mo. 15. Oktober 2007 12:58:36
\(\begingroup\)<1,1+i> = <1,i>.\(\endgroup\)
 

 
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