Physik: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
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Physik

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Wellen

Teil I: Einführung und Mechanik
W

Wellen sind ein zentrales Prinzip der Natur. Mit ihnen lassen sich nicht nur Wasserwellen und Bewegungen der Saiten eines Musikinstruments beschreiben, sie führten ebenso zu einem grundlegenden Verständnis des Schalls und des Lichts, bahnten den Weg zur Relativitätstheorie und gaben der Quantenphysik, der fundamentalsten Theorie über die Kräfte der Natur, den Beinamen »Wellenmechanik«.



1. Einleitung \Dieser Artikel ist der Auftakt einer dreiteiligen Serie. Er behan\- delt einige der wichtigsten Eigenschaften von Wellen und ihrer ma\- thematischen Beschreibung am Beispiel mechanischer Wellen in elastischen Medien. Ziel dieses ersten Artikels ist es, eine solide Basis für den wei\- teren Umgang mit Wellen zu vermitteln und einen Überblick über ihre vielfältigen Phänomene zu geben. Insbesondere für den Leser, der mit dem Thema bereits vertraut ist, bietet der Artikel zudem präzi\- se Definitionen und einen verhältnismäßig hohen Grad an Mathematik - die genauere Behandlung der Wellengleichung etwa kann vom unge\- schulten Leser übergangen werden. Der zweite Artikel wird sich mit elektromagnetischen Wellen befassen und der dritte schließlich mit Wellenerscheinungen in der Quanten\- mechanik. 2. Was ist eine Welle und wie entsteht sie? \Wellen sind ein physikalisches Phänomen, das wir auch in der von uns unmittelbar erfahrbaren Natur in vielfältiger Art und Weise be\- obachten und wahrnehmen können. Da die Mechanik diesen Teil der Na\- tur weitestgehend beschreibt, liegt es nahe, Wellen zuerst als me\- chanische Wellen zu betrachten. Doch was ist eigentlich eine >>Welle<>Welle<< wegen seiner Vielfältigkeit nicht einfach ist. Bevor wir also zu einer klaren Definition gelangen können, be\- trachten wir erst einmal Wellen an einem anschaulichen und gebräuch\- lichen Modell, der Kette miteinander gekoppelter Pendel (Abb. 2.1). Wir erzeugen mit diesem Appaprat Wellen, indem wir eines der Pendel \- wählen wir der Einfachheit halber das erste ganz links \- in Schwingungen versetzen. Bild: Pendelkette \big\Abb. 2.1: \normal\Miteinander gekoppelte Pendel zur Demonstration von Wellen Wir stellen fest, daß die Wellen hier eigentlich nichts anderes sind als sich räumlich ausbreitende Schwingungen der Pendel. Das gleiche gilt auch für kleine Wellen in der Wellenwanne. Hier schwingen anstatt von Pendeln die Wassermoleküle um ihre Ruhelage. Wenn wir nun Schallwellen betrachten, kommen wir auch zu diesem Ergebnis. Meereswellen oder größere Wasserwellen machen uns aber einen leich\- ten Strich durch die Rechnung. Sie sind zwar wie die oberen Bei\- spiele räumlich und zeitlich periodisch, jedoch schwingen die Wassermoleküle nicht wie die Pendel oder Luftmoleküle um ihre Ruhe\- lage, sie kreisen. Wer schon einmal bei einem etwas höheren Wellen\- gang im Meer baden war oder einfach mal ein Wellenbad besucht hat, kann sich vielleicht daran erinnern, daß er leichte kreisähnliche Bewegungen machte, wenn die Wellen vorbeizogen. Diesem Mißstand ist durchaus mit einem abstrakteren Verständnis von Schwingung zu begegnen. \big\Def.:__ Schwingung (\normal\nach Wikipedia) Eine \darkblue\Schwingung (\black\auch \darkblue\Oszillation \black) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, bei der ein mechanisches oder nichtmechanisches System nach einer Störung\/Auslenkung durch eine gegenläufige Wir\- kung wieder in den Ausgangszustand gebracht wird. Wir folgern: Wellen sind in einem physikalischen Medium räumlich übetragene zeitlich periodische Schwingungen von miteinander gleich\- artig gekoppelten Schwingern (Oszillatoren), die um ihre Ruhelage schwingen. Die Kopplung bedeutet, daß die Oszillatoren untereinander Energie übertragen können. Die Gleichartigkeit der Kopplung ist eine Eigen\- schaft des Mediums. Wegen dieser Gleichartigkeit breitet sich eine Welle in einem Medium mit konstanter Geschwindigkeit aus#(der Über- gang einer Welle von einem in ein anderes Medium wird später behan\- delt). Denken wir bereits an die elektromagnetischen Wellen, die keinen materiellen Träger benötigen, so sind die Begriffe "physikalisches Medium" und "gekoppelte Oszillatoren" durchaus auf physikalische Felder zu abstrahieren. Trotzdem können wir die räumliche und zeitliche Periodizität nicht halten: eine Seilwelle, die dadurch entsteht, daß wir ein langes Seil aus dem Handgelenk heraus schnell einmal auf\- und abbewegen, ist nämlich nicht räumlich und zeitlich periodisch. Diese Art von nichtperiodischer Welle können wir z.B. mit den gekoppelten Pen\- deln nach dem gleichen Prinzip erzeugen. Was verstehen wir nun unter einer Welle? Um zu einer konkreten Definition zu kommen, betrachten wir die obe\- ren Beispiele abstrakt. Wir haben stets ein physikalisches Medium\/System \calM gegeben, dessen Elemente\/Teilsysteme schwingungsfähig sind. Dieses Medium kann mit endlich vielen Zu\- standsgrößen (z_1, ..., z_n), n\el\IN beschrieben werden. Bevor sich eine Welle ausbildet, befindet sich das Medium im Gleichge\- wicht, d.h. die Zustandsgrößen nehmen solche Werte an, daß sie in der zeitlichen Entwicklung von \calM ohne äußere Einflüsse konstant wären: \forall|i|z_i(t)=const. Soll sich nun eine Welle im Medium ausbreiten, muß mind. eine Zu\- standsgröße z_i 1<=i<=n von \calM zu mind. einem Zeitpunkt t_0 und mind. an einem Ort x_0 eine Störung erfahren, sprich aus dem Gleich\- gewichtszustand gebracht werden. Dies passiert allgemein, wenn die\- sem Element in x_0 Energie zugeführt wird. Erfolgt diese Störung periodisch, so wird auch die Welle räumlich und zeitlich periodisch. Jetzt wird auch sofort einsichtig, daß Wellen im allgemeinen keine Materie, sondern Energie durch den Raum transportieren. \big\Def.:__ Welle Eine \darkblue\Welle \black\ist eine sich in einem (lokal) schwingungsfähigen Me\- dium räumlich mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitende Störung des Gleichgewichtzustandes. \boxon\small\Hinweis: Die \stress\konstante \small\Geschwindigkeit ist von uns nur eingeführt worden, weil hier keine Wellen betrachtet werden, die dem nicht entsprechen. Im allgemeinen gilt diese Einschränkung nicht. \boxoff\ \big\Transversale und longitudinale Wellen Nachdem wir nun eine Definition haben, kehren wir zu dem Modell der gekoppelten Pendel zurück. Wir haben davon gesprochen, ein Pen\- del in Schwingungen zu versetzen. Wir haben aber nicht gesagt, wie. Es gibt generell zwei Arten, dies zu bewerkstelligen: wir können das Pendel seitlich oder parallel zur Pendelkette hin auslenken. Je nach welchem der beiden Prinzipien wir verfahren, erhalten wir zwei Arten von Wellen. Eine, bei der die Störung im Medium \calM senk\- recht, und eine, bei der die Störung parallel zur Bewegungsrichtung der Störung liegt. Den senkrechten Fall nennen wir \darkblue\transversale \darkblue\Welle \black\ und den parallelen Fall \darkblue\longitudinale Welle \black\. Diese beiden Wellenarten sind nicht nur eine Erscheinung an der Pen\- delkette. Sie bilden eine grobe Klassifikation von Wellen. Die Wel\- len der Wellenwanne oder Seilwellen sind z.B. transversale Wellen. Schallwellen sind hingegen das bekannteste Beispiel für longitudinale Wellen. Je nach Wellenart besitzen die Wellen bestimmte Eigenschaften. Auf eine davon - die Polarisierbarkeit - wird im zweiten Artikel näher eingegangen. \big\Das Superpositionsprinzip Bei den gekoppelten Pendeln haben wir am Anfang das äußere linke Pendel ausgelenkt, um Wellen zu erzeugen. Was passiert aber, wenn wir eines aus der Mitte wählen? Um den Effekt besser beobachten zu können, lenken wir das Pendel nach dem Verfahren aus, wie wir es bei der nichtperiodischen Seilwelle beschrieben haben. Wir beobach\- ten zwei in unterschiedliche Richtungen verlaufende kleinere Stö\- rungen, die an den Enden der Kette reflektiert werden, sich an dem Pendel, das wir ausgelenkt haben, ungestört zu einer, der ursprüng\- lichen Auslenkung ähnlich großen Störung (Reibung!) überlagern, sich erneut in die kleineren Störungen trennen usw. Dieser Vorgang dauert so lange an, bis sich, durch die Reibung bedingt, die zugeführte Energie in thermische umwandelt. Solch eine ungestörte Überlagerung der Wellen, das \darkblue\Superpositions\- \darkblue\prinzip \black\, können wir auch beobachten, wenn wir die Pendel an beiden Enden der Kette in Schwingungen versetzen. Diese Schwingungen können auch periodisch und verschiedener Art sein, der Effekt bleibt erhalten. Das Superpositionsprinzip ist ein Gesetz, das für alle linearen Wellen gilt (vgl. hierzu 4.1) und ohne das z.B. unsere Telekommuni\- kation nicht so einfach funktionieren würde.
3. Das physikalische Modell der harmonischen Welle
\Wir haben bis jetzt viele Beispiele für Wellen kennengelernt, die abstrakte Entstehung einer Welle beschrieben und den Begriff Welle abstrakt definiert. Nun brauchen wir aber auch ein erstes mathema\- tisches Modell, um Wellen quantitativ beschreiben zu können. Wir wollen mit den idealisierten räumlich und zeitlich periodischen Wellen beginnen, da sie für die mathematische Modellierung der an\- derern Wellen von großer Bedeutung sind#(vgl. hierzu Fourier- Reihen bzw. Fourier\-Transformation). Analog zu den Schwingungen betrachten wir zuerst den harmonischen Idealfall: sinusförmige Wellen. \big\Def.:__ Harmonische Welle Unter einer \darkblue\harmonischen Welle \black\verstehen wir miteinander gleich\- artig gekoppelte Oszillatoren im Raum, die harmonische#(sinusför- mige) Schwingungen ausführen. So eine harmonische Welle können wir z.B. beobachten, wenn wir ei\- nem Pendel der oben im Bild (Abb. 2.1) gekoppelten Pendel durch wie\- derholtes leichtes Anstoßen periodisch Energie zuführen. 3.1 Schwingungsdauer und Wellenlänge einer harmonischen Welle \geoon e(330,198) x(0,5) y(-1.5,1.5) print(y,0.1,1.5) print(t,4.9,0) nolabel() color(blue) plot(sin(2*x)) color(red) p(0,0,p1,hide) p(3.142,0,p2,hide) pf(p1,p2) label(T,1.571,0.4) pf(p2,p1) color(green) p(0.785,0,p3,hide) p(0.785,1,p4,hide) pf(p3,p4) label(y^^,0.9,0.6) pf(p4,p3) color(black) \geooff geoprint() \big\Abb. 3.1: \normal\Schwingungsdauer T einer harmonischen Welle \geoon e(330,198) x(0,5) y(-1.5,1.5) nolabel() print(y,0.1,1.5) print(s,4.8,0) color(blue) plot(sin(5*x)) color(red) p(0,0,p1,hide) p(1.256,0,p2,hide) pf(p1,p2) label(\l,0.628,0.4) pf(p2,p1) color(green) p(2.827,0,p3,hide) p(2.827,1,p4,hide) pf(p3,p4) label(y^^,2.9,0.6) pf(p4,p3) color(black) \geooff geoprint() \big\Abb. 3.2: \normal\Wellenlänge \l einer harmonischen Welle Die Zeit für eine Schwingung, also die Zeit für die Auslenkung und Rückkehr zum Gleichgewichtszustand, wird mit der \darkblue\Schwingungs\- \darkblue\dauer T \black\beschrieben. T ist ein Maß für die zeitliche Periodizität der Welle. Für harmonische Schwingungen gilt T=const. Ein harmoni\- scher Oszillator befindet sich also nach einer Zeit t=nT, n\el\IN wieder in der gleichen \darkblue\Phase (Schwingungszustand) \black\. Durch die bereits erwähnte gleichartige Kopplung breitet sich eine Phase räumlich mit einer vom Betrag her konstanten Geschwindig\- keit v^>_\f (genannt \darkblue\Phasengeschwindigkeit \black\) aus. Nach der Zeit t=T durchläuft die Phase den räumlichen Weg s^>=v^>_\f|T. Die Orte x^> und x^>+s^> befinden sich also in der gleichen Phase. \l=abs(s^>) beschreibt diese räumliche Periodizität und heißt \darkblue\Wellenlänge \black\. Da v_\f=abs(v^>_\f) und T konstant sind, ist auch \l=const. Für die Phasengeschwindigkeit v_\f können wir nun v_\f=\l/T schreiben. Mit der Frequenz f=1/T ergibt das v_\f=\l*f. Die Richtung von v^>_\f ist die Ausbreitungsrichtung der Welle. 3.2 Die Gleichung einer harmonischen Welle \Die Größe y^^ heißt \darkblue\Amplitude \black\ und beschreibt die maximale Auslenkung der Zustandsgröße (siehe die Abbildungen zur harmonischen Welle). \w wird als \darkblue\Kreisfrequenz \black\bezeichnet. Es gilt \w=2\p/T=2\p||f. Die Bezeichnung "Kreisfrequenz" kann der Darstellung einer Schwin\- gung als ein mit der Winkelgeschwindigkeit \w rotierender Zeiger der Länge y^^ im sog. Phasendiagramm anschaulich entnommen werden (Abb. 3.3). \geoon e(200,200) xy(-1,1) p(0,0,m,hide) nolabel() c(blue) k(m,1,K) p(K,60,p,hide) c(green) pen(2) label(y^^,0.15,0.6) pf(m,p,a) pen(1) c(black) p(1,0,p1,hide) g(m,p1,g1,hide) label(\w||t,0.12,0.17) w(g1,a) \geooff geoprint() \big\Abb. 3.3: \normal\w gibt an, wie oft ein Kreis (voller Winkel 2\p) mit dem \ Radius y^^ pro Schwingungsdauer T umlaufen wird. Die Größe \f_0 beschreibt die \darkblue\Phasenverschiebung \black\, eine Phase, in der sich der harmonische Oszillator zum Zeitpunkt t=0 befindet. Bei der Betrachtung einer Schwingung wird sie üblicherweise gleich Null ge\- setzt. Für die Gleichung der harmonischen Welle hat \f_0 aber eine ent\- scheidende Bedeutung: sie beschreibt die räumliche Abhängigkeit der Phasenlage einer Schwingung. Für eine harmonische Welle gilt also y(x^>,t)=y^^|sin(\w\.t+\f_0(x^>)). Für den eindimensionalen Fall werden die Vektoren x^> sowie v^>_\f zu Skalaren x und v_\f. Am Ort x=0 wird die Welle für eine belie\- bige Zeit t durch y(0,t)=y^^|sin(\w\.t+\f_0(0)) beschrieben, wobei o.B.d.A. \f_0(0)=0 gelten soll. Die Phase \w\.t breitet sich in der Zeit \D\.t um x=v_\f\.\D\.t aus. Es muß also gelten: y(x,t+\D\.t)=y(0,t). Um diese Bedingung zu erfüllen muss \f_0(x)=-\w\.\D\.t sein. Setzen wir \D\.t=x/v_\f in \f_0(x) ein, so erhalten wir mit v_\f=\l\.f und \w=2\p\.f \f_0(x)=-\w\.x/v_\f=-2\.\p\.f*x/(\l\.f)=-x*2\p/\l. Der Term 2\p/\l wird \darkblue\Wellenzahl k \black\genannt. Wir erhalten die Gleichung für eine harmonische Welle in einer Dimension: \darkblue\ y(x,t)=y^^|sin(\w\.t-k\.x) \black\. Alternativ läßt sich mit \w=2\pi\.1/T und k=2\pi\.1/\l schreiben: \darkblue\ y(x,t)=y^^|sin(2\pi(t/T-x/\l)) Betrachten wir nun den dreidimensionalen physikalischen#(euklidi- schen) Raum \IR^3, in dem sich unsere harmonische Welle ausbreiten soll. Der Einfachheit halber handle es sich erst einmal um eine ebene Welle#(eine Welle, bei der die Wellenfronten [Orte gleicher Phase] auf Ebenen liegen: Abb. 3.4). Bild: 3D Ebene Welle \big\Abb. 3.4: \normal\Ebene Welle Alle x^>, für die y(x^>,t) die gleiche Phasenverschiebung \f_0(x^>_0) auf\- weist, liegen in einer Ebene. Jede dieser Ebenen hat als Normalenvek\- tor die Ausbreitungs\- oder Phasengeschwindigkeit v^>_\f. Nun wird eine Ebe\- ne \e in der Normalform mit einem Punkt x^>_0\el\e und einem Normalenvek\- tor n^> folgendermaßen beschrieben: \e: (x^>-x^>_0)*n^>=0 Sei e^^_\f=v^>_\f/abs(v^>_\f) der Einheitsvektor in Ausbreitungs\- richtung. Mit ihm definieren wir einen \darkblue\Wellenvektor k^> \black\: k^>=k*e^^_\f=2\p/\l*e^^_\f. Eine Ebene der Welle mit gleicher Phasenverschiebung \f_0(x^>)=\f_0(x^>_0) wird mit (x^>-x^>_0)*k^>=0 beschrieben. Lösen wir die Klammer auf, erhalten wir 0=x^>*k^>-x^>_0*k^> <=>x^>_0*k^>=x^>*k^> Für ein x^>_0\parallel\ k^> ergibt das abs(x^>_0)*abs(k^>)=x_0*k=x^>*k^>, was der Phasenverschiebung \f_0(x_0) im eindimensionalen Fall entsprach. Es gilt somit \f_0(x_0)=\f_0(x^>)=x^>*k^> für alle x^> einer Wellenebene. Damit haben wir aber den dreidimensionalen Fall auf den eindimensio\- nalen abgebildet und für die ebene harmonische Welle im \IR^3#(und auch allgemein im \IR^n|) gilt: \darkblue\ y(x^>,t)=y^^|sin(\w\.t-k^>|x^>) \black\. y(x^>,t) muss nicht unbedingt ein Skalarfeld sein. Multipliziert man die obere Gleichung mit einem Einheitsvektor, so beschreibt y^>(x^>,t) ein Vektorfeld. In Wellenvektorfeldern wird der Unterschied zwischen longitudinalen Wellen und transversalen Wellen deutlich. Für longitu\- dinale Wellen zeigt (y^>)^^ in die Ausbreitungsrichtung und ist parallel zum Wellenvektor k^>. Es gilt (y^>)^^*k^>=y^^*k. Bei transversalen Wellen fordert man hingegen (y^>)^^*k^>=0. Fälle, wo (y^>)^^ und k^> einen Winkel mit 0<\a<90° einschließen, haben keinen besonderen Namen. 3.3 Die komplexe Darstellung einer ebenen harmonischen Welle \Eine komplexe Zahl C=(Re(C),Im(C)) kann wegen ihrer zwei Komponen\- ten, dem Realteil Re(C) und Imaginärteil Im(C), in der sog. Gauß\- schen Ebene trigonometrisch dargestellt werden (Abb. 3.5). \geoon e(200,200) xy(-1,1) print(\II,-0.1,0.95) print(\IR,0.9,-0.08) nolabel() p(0,0,m,hide) k(m,1,K,hide) p(K,50,p,hide) c(green) pen(2) label(abs(C),0.15,0.6) pf(m,p,a) pen(1) c(black) p(1,0,p1,hide) g(m,p1,g1,hide) label(\f,0.15,0.15) w(g1,a) \geooff geoprint() \big\Abb. 3.5: \normal\Gaußsche Ebene. Es gilt C=abs(C)|(cos(\f)+i|sin(\f)) Für Re(C) gilt damit Re(C)=abs(C)|cos(\f), was je nach der Abhängig\- keit von \f als Gleichung für die harm. Schwingung oder die harm. Welle interpretiert werden kann. Der für uns große Vorteil der kom\- plexen Zahlen liegt aber in ihrer Exponentialschreibweise C=abs(C)|(cos(\f)+i|sin(\f))=abs(C)|e^(i\.\f). Setzen wir C=y(x^>,t) und \f=\w\.t-k^>|x^>, erhalten wir die komplexe Darstellung der Welle y(x^>,t)=y^^|e^(i\.(\w\.t-k^>|x^>)), wobei physikalisch der Realteil der komplexen Darstellung ausschlag\- gebend ist. Gehen wir zusätzlich noch von einer konstanten Phasenver\- schiebung \f_0 aus, so erhalten wir \align\ y(x^>,t)=y^^|e^(i\.(\w\.t-k^>|x^>+\f_0)) =y^^|e^(i\.(\w\.t-k^>|x^>))*e^(i\.\f_0) =y^^|e^(i\.\f_0)*e^(i\.(\w\.t-k^>|x^>)) =A^^*e^(i\.(\w\.t-k^>|x^>)), mit A^^\el\IC. \stopalign\Wir haben die Phasenverschiebung in einem komplexen Vorfaktor einge\- baut, dessen Betrag die Amplitude der Welle darstellt. \small\Hinweis: Handelt es um ein Wellenvektorfeld, so ist A^^ ein komplexer Vektor. 3.4 Energieübertragung harmonischer Wellen \Wie bereits erwähnt wird duch Wellen Energie übertragen, ohne daß Massentransport stattfindet. Um die Energieübertragung pro Zeit, also die Leistung einer harmonischen Welle zu berechnen, betrachten wir eine Saite oder eine Vielzahl gleichartiger gekoppelter Pendel mit einer Massenbelegung \mue=dm/dx. Für kleine Auslenkungen y eines Massestücks dm aus der Ruhelage gilt das Hookesche Gesetz, die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung y mit dem Proportionalitätsfaktor D. F=Dy Die Spannenergie durch diese Auslenkung beträgt also E_Spann=int(F,y)=1/2\.Dy^2 Bei einer harmonischen Welle vollführt das Massestück dm eine harmonische Schwingung um seine Ruhelage, in der zum Zeitpunkt der Amplitude y^^ die gesamte Energie gleich der Spannenergie ist und beim Durchschreiten der Ruhelage die gesamte Energie gleich der kinetischen Energie ist. Die Gesamtenergie eines Massenelements dm ist demnach, wenn man den Zeitpunkt der Amplitude zur Berechnung heranzieht: dE=1/2\.D\.y^^^2 Um eine Beziehung zur Masse dm herzustellen, erinnern wir uns an die Berechnung der Schwingungsdauer eines harmonischen Pendels. Bei ihm gilt für die Kreisfrequenz \omega: \omega=2\pi/T=sqrt(D/dm) Wir können also D ersetzen durch: D=\omega^2\.dm Damit wird die Energie des Massenelements dm zu: dE=1/2\.dm\.\omega^2\.y^^^2=1/2\.\mue\omega^2\.y^^^2\.dx Wobei \dm durch \mue\.dx ersetzt wurde. Mit der Phasengeschwindigkeit v_\phi=dx/dt kann die Energie auch folgendermaßen ausgedrückt werden: dE=1/2\.\mue\omega^2\.y^^^2\.v_\phi\.dt Die Leistung P=dE/dt ergibt sich dann zu: \darkblue\ P=1/2\.\mue\omega^2\.y^^^2\.v_\phi 3.5 Harmonische Kugel- oder Elementarwellen \Bis jetzt haben wir im räumlichen Fall nur die ebenen Wellen betrach\- tet. Die nächste große Kategorie sind die nichtebenen Wellen, speziell, die harmonischen Kugelwellen. Hier sind die Wellenfronten um das Wel\- lenzentrum gelagerte konzentrische Kugeloberflächen (Abb. 3.6). Bild: 3D Kugelwellen \big\Abb. 3.6: \normal\Kugelwelle Man nennt Kugelwellen auch Elementarwellen, da mit ihnen nach dem Huygens\-Fresnelschen\-Prinzip Interferenz, Brechung und Beugung von Wellen erklärt werden kann #(Näheres wird im zweiten Artikel behan- delt). In der Abbildung ist der wesentliche Unterschied zwischen nichtebe\- nen und ebenen Wellen zu erkennen. Der Wellenvektor k^>, der immer in die Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt, ist abhängig von x^>. Wir formulieren die allg. harmonische nichtebene Welle y(x^>,t)=y^^|sin(\w\.t-k^>(x^>)|x^>) Um eine Gleichung für harmonischen Kugelwellen herzuleiten, könnten wir genauso wie bei den ebenen Wellen vorgehen und sie auf den ein\- dimensionalen Fall abbilden. Damit es aber nicht langweilig wird, machen wir es anders: wir wechseln die Koordinaten in solche, die der Symmetrie dieses Problems gerecht werden \- in die Kugelkoordi\- naten. \stress\Einschub: Kugelkoordinaten Wie wir im kartesischen Koordinatensystem (O\,e^^_x\,e^^_y\,e^^_z|) den Ursprung O sowie die Orthonormalbasis {|e^^_x\,e^^_y\,e^^_z|} \small\ #(bedeutet: recht- \small\winklig und normiert) \normal\benutzen, um einen Punkt im Raum eindeutig durch (x*e^^_x\,y*e^^_y\,z*e^^_z|) festzulegen, so können wir dies auch mit anderen Koordinatensystemen tun. Ein solches Koordinatensystem ist das ebenfalls orthonormale, jedoch krummlinige Kugelkoordinaten\- system (O\,e^^_r\,e^^_\f\,e^^_\q|). In diesem wird ein Punkt durch die Ko\- ordinaten - Radius r: Abstand des Punktes zum Ursprung (Betrag des Ortsvektors) - Winkel \f: Winkel zwischen der Projektion des Ortsvektors auf die x\-y\-Ebene und der x\-Achse - Winkel \q: Winkel zwischen dem Ortsvektor und der z\-Achse beschrieben (Abb. 3.7). Bild: Kugelkoordinaten \big\Abb. 3.7: \normal\Kugelkoordinaten und Einheitsvektoren des Kugel\- \.koordinatensystems Ohne jetzt auf die Transformationen näher einzugehen ist der Abb. 3.7 anschaulich die Umrechnung der Kugelkoordinaten in die kar\- tesischen Koordinaten zu entnehmen. x=r*cos(\f)*sin(\q) y=r*sin(\f)*sin(\q) z=r*cos(\q) Ein Ortsvektor x^>=(x;y;z) hat in Kugelkoordinaten die Darstellung x^>=abs(x^>)|(cos(\f)*sin(\q);sin(\f)*sin(\q);cos(\q))=abs(x^>)*e^^_r e^^_r ist ein Einheitsvektor in radialer Richtung, denn es gilt \align\ e^^_r^2=cos^2(\f)\.sin^2(\q)+sin^2(\f)\.sin^2(\q)+cos^2(\q) =sin^2(\q)\.(cos^2(\f)+sin^2(\f))+cos^2(\q) =1 \stopalign\Der interessierte Leser sei für eine detaillierte Behandlung der den Kugelkoordinaten ähnlichen Zylinderkoordinaten auf Eckards Artikel Einführung in die Vektoranalysis Teil 1 \verwiesen. Vielleicht kommt auch bald seine Fortsetzung über die Kugelkoordinaten selbst. \stress\Rückkehr zur harmonischen Kugelwellengleichung Der Wellenvektor k^>(x^>) ist stets radial gerichtet, es gilt also k^>(x^>)=k*e^^_r. Setzen wir nun x^> und k^>(x^>) in Kugelkoordinaten in die Gleichung für nichtebene harmonische Wellen ein, so erhalten wir die harmoni\- sche Kugelwellengleichung \darkblue\ y(x^>,t)=y^^|sin(\w\.t-k*abs(x^>)*e^^_r^2)=y^^|sin(\w\.t-k*abs(x^>)) \black\. Diese Gleichung gilt wegen y^^=const. ausschließlich für harmonische Kugelwellen in nichtkonservativen Systemen. Das sind Systeme, in de\- nen keine Energieerhaltung (Konservation) gilt#(z.B. offene oder geschlossene Systeme). Umgekehrt kann sie in konservativen Systemen höchstens als lokale Näherung für Kugelwellen verwendet werden. In diesen Systemen ist die Amplitude y^^ abhängig von der radialen Entfernung vom Wellenzentrum. Wie schon erwähnt liegt die Ursache in der Energieerhaltung. In konservativen Systemen muß die Leistung, die durch eine Wellenfront (hier Kugeloberfläche) fließt, konstant sein. Im Abschnitt 3.4 wurde die Leistung harmonischer Wellen allge\- mein als P=1/2\.\mue\omega^2\.y^^^2\.v_\phi hergeleitet. Dabei galt \m=dm/dx. Sei die Masse m nun im Medium homogen verteilt, so daß die Dichte \r konstant ist. Für die Masse m(x) einer Kugel mit dem Radius x=abs(x^>) gilt dann \align\ m(x)=\r\.4/3\.\p\.x^3. Daraus folgt für \m \m=\r\.4\.\p\.x^2 Setzen wir \m in die Gleichung für P ein, erhalten wir P=2\.\r\.\p\.x^2\.\omega^2\.y^^^2\.v_\phi Nun muss aber nach Voraussetzung P=const. gelten. Da \r, \w und \v_\f konstant sind, ist dies nur möglich, wenn die Amplitude y^^ folgender Gleichung genügt y^^(x^>)=y^^_0*x_0/abs(x^>) \stopalign\Dabei ist y^^_0 die Amplitude für die im radialen Abstand x_0 gemessenen Leistung P_0. Wir erhalten die Gleichung für (amplitudengedämpfte) harmonische Kugelwellen in konservativen Systemen \darkblue\ y(x^>,t)=y^^_0\.x_0/abs(x^>)|sin(\w\.t-k*abs(x^>)) \black\. Bild: Kreiswellen \big\Abb. 3.8: \normal\1\/r\-amplitudengedämpfte harmonische Kreiswelle 4. Die Wellengleichung \Bis hierher haben wir Gleichungen für Wellen speziellen Typs herge\- leitet. Nun wollen wir aber wissen, was Wellen \- zumindest ein größerer Teil als nur die harmonischen Wellen \- gemeinsam haben.
4.1Die Herleitung der linearen homogenen n-dimensionalen Wellengleichung
\align\Betrachten wir eine Zustandsgröße u(x^>,t) mit t\el\IR, x^>\el\IR^n, n\el\IN eines isotropen Mediums \calM. Diese Zustandsgröße u erfahre eine Stö\- rung \F, die sich in die Richtung eines Einheitsvektors e^^\el\IR^n als ebene Welle mit der Geschwindigkeit v_\f=const. ausbreitet. Es gilt: u(x^>,t)=\F(x^>*e^^+v_\f\.t) Sei nun \x=x^>*e^^+v_\f\.t und x^>*e^^=sum(x_i*e_i,i=1,n) das euklidische Skalar\- produkt. \F sei mindestens zweimal nach \x differenzierbar. Für die 2. Ableitung von u nach einer Koordinate x_i, i<=1<=n von x^> gilt dann: \align\pd||u/\pd||x_i=\pd||\F/\pd||\x\.\pd||\x/\pd||x_i =\pd||\F/\pd||\x\.e_i (\pd^2\.u)/(\pd\.x_i^2)=(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)\.\pd||\x/\pd||x_\.e_i =(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)\.e_i^2. \stopalign\Für die 2. Ableitung von u nach der Zeit t erhalten wir: \align\pd||u/\pd||t=\pd||\F/\pd||\x\.\pd||\x/\pd||t =\pd||\F/\pd||\x\.v_\f (\pd^2\.u)/(\pd\.t^2)=(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)\.\pd||\x/\pd||t\.v_\f =(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)\.v_\f^2. \stopalign\Bilden wir nun die Summe aller 2. Ableitungen von x_i: sum((\pd^2\.u)/(\pd\.x_i^2),i=1,n)=sum((\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)\.e_i^2,i=1,n)=(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2)*sum(e_i^2,i=1,n). Der Term sum(e_i^2,i=1,n) ist das Skalarprodukt des Einheitsvektors e^^ mit sich selbst. Es gilt also sum(e_i^2,i=1,n)=1 und damit sum((\pd^2\.u)/(\pd\.x_i^2),i=1,n)=(\pd^2\.\F)/(\pd\.\x^2) Multiplizieren wir diese Gleichung mit v_\f^2, so ist sie mit der 2. Ableitung von u nach t identisch. Wir erhalten die n\-dimensionale homogene lineare Wellengleichung \darkblue\ v_\f^2\.sum((\pd^2\.u)/(\pd\.x_i^2),i=1,n)=(\pd^2\.u)/(\pd\.t^2) \black\. Wir haben die Wellengleichung anhand der allgemeinen ebenen Welle hergeleitet. Aus diesem Grund hat sie ihren höchsten Grad an Allge\- meinheit noch nicht erreicht. So, wie sie nämlich oben steht, gilt sie nur für kartesische Koordinaten. Um sie koordinatensystemunabhängig formulieren zu können, bedienen wir uns des Laplaceschen Differentialoperators \D. Dieser lautet für kartesische Koordinaten: \D=sum((\pd^2)/(\pd\.x_i^2),i=1,n) Mit ihm lautet die Wellengleichung folgendermaßen: v_\f^2\.\D\u=(\pd^2\.u)/(\pd\.t^2) In Kugelkoordinaten nimmt \D folgende Form an: \D=1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(r^2*(\pd)/(\pd\.r))+1/(r^2\.sin^2(\q))\.(\pd^2)/(\pd\f^2) +1/(r^2\.sin(\q))*(\pd)/(\pd\q)\.(sin(\q)*(\pd)/(\pd\q) Transformieren wir nun die Koordinaten, so müssen wir auch den La\- place\-Operator transformieren. Die Wellengleichung wird somit ko\- variant unter einer (orthogonalen) Koordinatentransformation. Wir können aber auch aus der Wellengleichung selbst einen Differential\- operator konstruieren: \darkblue\ (\D-1/v_\f^2\.(\pd^2)/(\pd\.t^2))\.u=0 \black\. Der Operator trägt den Namen "Wellenoperator", "Quabla" oder "D'Alem\- bert\-Operator". Er wird gewöhnlich mit einem Quadrat dargestellt. Die lineare homogene n\-dimensionale Wellengleichung (WGL) ist selbst nur eine Idealisierung. Zusätzlich existiert noch die lineare inho\- mogene Wellengleichung, die z.B. von den harmonischen Kugelwellen in nichtkonservativen Systemen erfüllt wird, sowie nichtlineare Wel\- lengleichungen, wie z.B. die Gordon\-Gleichungen. Betrachten wir eine Pendelkette wie in Abb. 2.1, nur mit dem Unter\- schied, daß die Pendel auf einem Gummiband befestigt sind, das stark verdrillt werden kann, so würde durch die starke Verdrillung eines Pendels eine nichtlineare Welle entstehen, die mit der Sinus\- Gordon\-Gleichung beschrieben werden kann. Für nichtlineare Wellen gilt das Superpositionsprinzip nicht__. \darkblue\Nichlineare Wellen sind in der Natur die Regel, lineare \darkblue\ Wellen die Ausnahme. Bild: Chaoswelle 4.2 Eigenschaften und Lösungen der Wellengleichung \Obwohl es wegen der Eigenschaft "ebene Welle" eigentlich trivial ist, zeigen wir trotzdem, daß die Gleichung der ebenen harmonischen Wel\- le die WGL erfüllt. Wir müssen die harmonische Welle dazu in die bei der Herleitung benutzte \F\-Form bringen. \align\ y(x^>,t)=y^^|sin(\w\.t-k^>|x^>) =y^^|sin(-k|(-\w/k*t+e^^_\f|x^>)) \stopalign\Mit k=2\p/\l und \w=2\p\.f sowie v_\f=\l||f ergibt dies \align\ y(x^>,t)=y^^|sin(-k|(-2\p\.f\l/2\p*t+e^^_\f|x^>)) =y^^|sin(-k|(e^^_\f|x^>-v_\f*t)) =\F(e^^_\f|x^>-v_\f*t). \stopalign\Nun erfüllt aber \F für \-v_\f ebenfalls die Wellengleichung, da v_\f quad\- ratisch in diese eingeht. Dies ist auch die erste Eigenschaft der WGL: \darkblue\Ist \F(e^^_\f|x^>+v_\f*t) eine Lösung der WGL, so ist \darkblue\dies auch \F(e^^_\f|x^>-v_\f*t). Zwei Wellen u_1 und u_2, die sich nur im Vorzeichen der Ausbreitungs\- geschwindigkeit unterscheiden, sich also quasi entgegenkommen, sind von der WGL her gleich. Wir können das Vorzeichen auch als Zeitumkehr interpretieren. Hätten wir also nur eine ebene Welle als Referenz, so könnten wir nicht sagen, ob wir uns vorwärts oder rückwärts in der Zeit bewegen. Untersuchen wir nun die Kugelwellen auf Lösungen der WGL in Kugelko\- ordinaten. Wir machen hierfür den abstrakten Ansatz u(x^>,t)=\K(abs(x^>)+v_\f*t) und betrachten nur die radiale Abhängigkeit. Der Laplace\-Operator reduziert sich zu \D=1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(r^2*(\pd)/(\pd\.r)). Wir erhalten mit r=abs(x^>) die radialsymmetrische WGL 1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(r^2*(\pd\.\K)/(\pd\.r))=1/v_\f^2*(\pd^2\.\K)/(\pd\.t^2). Substituieren wir mit \x=r-v_\f*t, ergibt dies 1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(r^2*(\pd\.\K)/(\pd\.\x))=1/v_\f^2*(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2)*v_\f^2 <=>2/r\.(\pd\.\K)/(\pd\.\x)+(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2)=(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2) <=>2/r\.(\pd\.\K)/(\pd\.\x)=0 (Widerspruch). Es ist zu erkennen, daß \K in der gegebenen Form nicht die WGL er\- füllt. \K ist vielmehr eine Lösung der inhomogenen Wellengleichung, wobei die Störfunktion gerade mit 2/r\.(\pd\.\K)/(\pd\.\x) gegeben ist. Da die Gleichung für harmonische Kugelwellen in nichtkonservativen Systemen der Form von \K entspricht, ist damit die Inhomogenität für nichtkonservative Kugelwellen gezeigt. Für das Auffinden der homogenen Lösung übernehmen wir die 1\/r\-Ab\- hängigkeit der konservativen Kugelwellen: u(x^>,t)=1/r*\K(abs(x^>)+v_\f*t) In die WGL eingesetzt ergibt 1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(r^2*(-1/r^2*\K+1/r*(\pd\.\K)/(\pd\.\x)))=1/v_\f^2*(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2)*v_\f^2 <=>1/r^2\.(\pd)/(\pd\.r)\.(-\K+r*(\pd\.\K)/(\pd\.\x))=(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2) <=>-1/r^2\.(\pd\.\K)/(\pd\.\x)+1/r^2\.(\pd\.\K)/(\pd\.\x)+(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2)=(\pd^2\.\K)/(\pd\.\x^2) <=> 0=0 (w.A.) In konservativen Systemen werden kugelsymmetrische Wellen mit der Gleichung u(x^>,t)=1/r*\K(abs(x^>)+v_\f*t) beschrieben. Die 1\/r\-Ab\- hängigkeit ist keine Besonderheit der harm. Kugelwellen, sondern eine generelle Eigenschaft. Als nächstes betrachten wir beliebige (auch unendliche) Summen von verschiedenen Lösungen \F_j. \S(x^>,t)=sum(\F_j,j)=sum(\F_j(e^>_\f_j|x^>+v_\f_j*t),j) Für \D\S erhalten wir mit der Summenregel: \D\S=\D\.sum(\F_j,j)=sum(\D\F_j,j). Für die zweite Ableitung von \S nach der Zeit erhalten wir: (\pd^2\.\S)/(\pd\.t^2)=sum((\pd^2\.\F_j)/(\pd\.t^2),j). Da jedes \F_j eine Lösung ist, gilt für alle j v_\f_j^2\.\D\F_j=(\pd^2\.\F_j)/(\pd\.t^2) und damit (\pd^2\.\S)/(\pd\.t^2)=sum(v_\f_j^2\.\D\F_j,j). Das bedeutet jedoch, daß \S nur eine Lösung ist, wenn mindestens eine der folgenden Eigenschaften auf \S zutrifft: (1) Es gilt \forall||j: v_\f_j^2=v_\f^2. (2) Es gilt \forall||j: \D\F_j=\D\F. Erst dann können wir entweder für (1) v_\f^2 ausklammern und erhal\- ten (\pd^2\.\S)/(\pd\.t^2)=v_\f^2\.sum(\D\F_j,j)=v_\f^2\.\D\S, oder für (2) \D\F ausklammern und erhalten (\pd^2\.\S)/(\pd\.t^2)=\D\F\.sum(v_\f_j^2,j) Mit v_\f_\S^2=sum(v_\f_j^2,j) ergibt dies (\pd^2\.\S)/(\pd\.t^2)=\D\F\.v_\f_\S^2=v_\f_\S^2/n\.\D\S, n\el\IN. Für beide speziellen Fälle ist die WGL gelöst, allgemein jedoch nicht. Dies ist die zweite Eigenschaft der WGL: \darkblue\Sind \F_j Lösungen der WGL, so ist ihre Summe \S ebenfalls eine \darkblue\Lösung, wenn mindestens eine der Eigenschaften (1),(2) zutrifft. Interpretieren wir jedes \F_j als Gleichung der Wellenausbreitung in eine Raumrichtung, so bedeutet (1), daß sich die Welle in alle Raumrichtungen mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag abs(v_\f) aus\- breitet, jedoch unterschiedliche Formen \F_j haben kann. (2) erlaubt zwar eine Ausbreitung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten v_\f, verlangt jedoch, daß die Ausbreitungsformen bis auf ein lineares Glied und eine Konstante identisch sind. Eine Welle als Summe von Wellen bestätigt nicht nur das Superpositionsprinzip für lineare Wellen, sondern zeigt, daß mit diesem Superpositionsprinzip sogar eine Welle selbst durch die Überlagerung von anderen Wellen darge\- stellt werden kann. Diese Eigenschaft machen sich z.B. die Fourier\- Reihen und das Huygens\-Fresnelsche\-Prinzip zunutze. Betrachtet man beliebige Summen, so liegt der Gedanke nahe, auch Integrale von Lösungen zu betrachten. Bei den Lösungen handle es sich um ebene Wellen mit dem von \a abhängigen Einheitsrichtungs\- vektor e^^_\f\.(\a): u_\a\.(x^>,t)=\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t) Sei \I das Integral von \F_\a nach \a: \I=int(\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) Wenden wir \D auf I an, so ergibt dies \align\D\.I=\D\.int(\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) =int(\D\.\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,). Die zweite Ableitung von I lautet (\pd^2\.\I)/(\pd\.t^2)=(\pd^2)/(\pd\.t^2)\.int(\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) =int((\pd^2)/(\pd\.t^2)\.\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) \stopalign\Nun ist \F_\a eine Lösung der WGL. Es gilt: v_\f^2\.\D\.\F_\a=(\pd^2\.\F_\f)/(\pd\.t^2) Wir multiplizieren \D\.\I mit v_\f^2 und erhalten \align\v_\f^2\.\D\.I=v_\f^2\.int(\D\.\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) =int(v_\f^2\.\D\.\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) =int((\pd^2)/(\pd\.t^2)\.\F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t),\a,\a,) =(\pd^2\.\I)/(\pd\.t^2). Folglich ist \I ebenfalls eine Lösung der WGL. Wir haben nun eine weitere und die hier letzte betrachtete Eigenschaft der WGL: \darkblue\Ist \F_\a\.(e^^_\f\.(\a)|x^>+v_\f*t) eine Lösung der WGL, so ist auch \darkblue\das Integral I von \F_\a über \a eine Lösung. Diese sehr wichtige Eigenschaft der WGL beruht wie die Summe auf der Superposition. Wählen wir z.B. Kugelkoordinaten für e^^_\f, so können wir eine nichtebene Welle \I aus dem Integral der ebenen Welle \F über \q oder über \f bilden. Mathmematisch ist die WGL ein Spezialfall der linearen homogenen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Ko\- effizienten. Der Unterschied zu dieser besteht hauptsächlich im Ver\- schwinden von Mischableitungen (\pd^2\.\u)/(\pd\.x_i\.\pd\.x_j) mit i<>j sowie dem aus\- schließlichen Auftreten von Ableitungen zweiter Ordnung. Interpre\- tieren wir erneut hinsichtlich der Raumrichtungen, so bedeutet das verschwinden der Mischableitungen, daß die Richtungen voneinander unabhängig sind. Die Raumkoordinaten für zwei Raumrichtungen x_i und x_j mit i<>j sind also höchstens additiv miteinander verknüpft. Für die systematische Suche nach konkreten Lösungen der WGL gibt es verschiedene Klassifizierungen von Anfangs\- sowie Randwertproblemen und damit verbundene analytische Lösungsverfahren. Auf diese wird hier jedoch nicht mehr eingegangen. 5. Zwei Anwendungen aus der Mechanik 5.1 Die Saite erfüllt die Wellengleichung Wir werden nun zeigen, daß sich auf einer Saite Störungen so ausbreiten, daß sie für kleine Auslenkungen der (linearen homogenen) Wellengleichung genügen. Sie ist für den eindimensionalen Fall gegeben durch: v_\phi^2\.(\pd^2\.u)/\pd\ x^2=(\pd^2\.u)/\pd\ t^2 Als Zustandsgröße wählen wir die Auslenkung in y\-Richtung. v_\phi^2\.(\pd^2\.y)/\pd\ x^2=(\pd^2\.y)/\pd\ t^2 Für die Ausbreitung einer Störung auf einer Saite ist die Kopplung der einzelnen Teilchen untereinander verantwortlich. Mechanisch läßt sie sich über die Zugkraft beschreiben, die auf jedes Massensegment der Saite in beide Richtungen betragsmäßig gleich wirkt. Ihre Richtung ist durch die Tangente an das Massensegment gegeben, sie wirkt also entlang der Saite. In der Tangente drückt sich die Steigung aus, also die erste Ableitung. Da die Wellengleichung aber die zweiten Ableitungen beschreibt, reicht diese Betrachtung noch nicht. Vielmehr wird die "Steigung der Steigung" entscheidend. Zu ihr gelangen wir, wenn wir die Differenz der Steigungen an zwei dicht beieinanderliegenden Stellen erfassen. Wir betrachten daher ein kleines Massensegment der Länge dx auf einer Saite der Längendichte \mue=m\/x, bei der die Richtungen der Zugkraft nach rechts und der Zugkraft nach links nicht parallel sind, sondern um den Winkel d\phi abweichen: Bild: Ausschnitt einer Saite \big\Abb. 5.1: \normal\Vergrößerter Ausschnitt einer Störung auf einer Saite Die Abbildung zeigt die Zugkräfte F^>_l nach links und F^>_r nach rechts, die betragsmäßig gleich sind, abs(F^>_l)=abs(F^>_r)=F_Z. Ihre Komponenten in y\-Richtung sind zusammen: F=F_Z\.sin\phi_l-F_Z\.sin\phi_r=F_Z\.(sin\phi_l-sin\phi_r) Für kleine Winkel kann hier die Kleinwinkelannäherung verwendet werden, wodurch sich der Sinus durch den Tangens approximieren läßt. Er geht daher in die Steigung über. F~=F_Z\.(tan\phi_l-tan\phi_r) In der Klammer steht nun die Differenz der beiden Steigungen, also der ersten Ableitungen. F~=F_Z d\.\pd\ y/\pd\ x Nach Newton läßt sich diese Kraft auch als Masse mal Beschleunigung aufschreiben, also als: F=m\.a=m\.(\pd^2\.y)/(\pd\ t^2) Die Masse des Massensegments können wir für kleine Winkel (in der Abbildung sind die Winkel größer dargestellt) als m=\mue\.dx darstellen. Wir erhalten dann durch Gleichsetzen: \mue\.\pd\ x\.(\pd^2\.y)/(\pd\ t^2)=F_Z \pd\.\pd\ y/\pd\ x Wir haben hier von dem Symbol d auf \pd gewechselt, da wir die partiellen Ableitungen betrachten. Umstellen führt auf: (\pd^2\.y)/(\pd\ t^2)=F_Z/\mue\.\pd/\pd\ x\.\pd\ y/\pd\ x \darkblue \.F_Z/\mue\.(\pd^2\.y)/(\pd\ x^2)=(\pd^2\.y)/(\pd\ t^2) Das ist aber gerade die Wellengleichung, wobei v_\phi=sqrt(F_Z/\mue) ist. 5.2 Schall Als ein nächstes wichtiges Beispiel mechanischer Wellen werden wir uns den Schallwellen widmen. Schallwellen treten nicht nur in Gasen, sondern auch in anderen elastischen Medien auf, in Flüssigkeiten ebenso wie in Festkörpern. Es handelt sich dabei um Druck\- oder Dichteschwankungen, die sich durch Wechselwirkungen innerhalb des elastischen Mediums ausbreiten. Die einzelnen Teilchen schwingen dabei entlang der Ausbreitungsrichtung um ihre Ruhelage. Schallwellen sind Longitudinalwellen. Im folgenden werden wir die Schallgeschwindigkeit in Gasen und Flüssigkeiten herleiten, kurz auf die Phänomene der stehenden Wellen und der Schwebung eingehen und den Doppler\-Effekt kennenlernen. \big\Die Schallgeschwindigkeit Für die Herleitung der Schallgeschwindigkeit verwenden wir den Druck P, der definiert ist als Kraft F, die das Medium pro Fläche A auf eine Behälterwand ausübt. P=F\/A Ferner hängt der Schall mit dem sogenannten Kompressionsmodul K einer Flüssigkeit bzw. eines Gases zusammen. K ist der (negative) Druck P pro relativer Volumenänderung \Delta\ V\/V: K=(-\Delta\ P)/(\Delta\ V\/V)=1/\k, wobei \k die Kompressibilität des Mediums ist. Wir betrachten ein elastisches Medium mit Dichte \rho in einem Rohr. Ein Kolben der Fläche A bewege sich in einer Zeit \Delta\ t mit einer Geschwindigkeit v_K und erhöhe damit den Druck P in seiner Nähe um \Delta\ P. Diese Störung breitet sich im Medium mit der Schallgeschwindigkeit v_\phi aus. Bild: Ermittlung der Schallgeschwindigkeit \big\Abb. 5.2: \normal\Ein sich bewegender Kolben verursacht eine Störung, die sich mit Schallgeschwindigkeit ausbreitet. Die Änderung des Impulses \Delta\ p erhält man über: F=(\Delta\ p)/(\Delta\ t)=>\Delta\ p=F\Delta\ t Durch den Kolben erhöht sich der Druck um \Delta\ P=F\/A und damit wird die Änderung des Impulses: \Delta\ p=A \Delta\ P \Delta\ t Die zweite Bedingung ist über die Definition des Impulses als Masse mal Geschwindigkeit gegeben. Die Masse des bewegten Gases bzw. der bewegten Flüssigkeit ist \rho\.V=\rho\.Av_\phi\.\Delta\ t. Seine Geschwindigkeit ist v_K. Also ist \Delta\ p=\rho\.Av_\phi\.v_K\.\Delta\ t Gleichsetzen liefert für die Druckänderung \Delta\ P: \Delta\ P=\rho\.v_K\.v_\phi Die Druckänderung spielt auch bei der Definition des Kompressionsmoduls eine Rolle. K=(-\Delta\ P)/(\Delta\ V\/V) =>\Delta\ P=-K\.(\Delta\ V)/V=\rho\.v_K\.v_\phi Die relative Volumenänderung \Delta||V\/V können wir errechnen, wenn wir bedenken, daß das Medium zu Beginn auf der Strecke v_\phi\.\Delta\ t das Volumen V=A\.v_\phi\.\Delta\ t einnahm, der Kolben aber dann durch seine Bewegung das Volumen \Delta\ V=Av_K\.\Delta\ t abzog. Die relative Änderung des Volumens ist also (-\Delta\ V)/V=-(Av_K\.\Delta\ t)/(A\.v_\phi\.\Delta\ t)=-v_K/v_\phi Eingesetzt bei der Druckänderung: \Delta\ P=K\.v_K/v_\phi=\rho\.v_K\.v_\phi bzw. \darkblue v_\phi=sqrt(K/\rho)=1/sqrt(\rho\k) An diesem einfachen Zusammenhang können wir bereits problemlos einige Erscheinungen deuten. Flüssigkeiten und Festkörper lassen sich z.B. schwieriger komprimieren als Gase, ihre Kompressibilität \k ist also geringer und damit die Schallgeschwindigkeit höher. \big\Stehende Wellen Stehende Wellen spielen fast überall, wenn es um Wellen geht, eine entscheidende Rolle. Ihre besondere Eigenschaft ist nämlich, daß sie ein stationäres Schwingungsmuster bilden und nicht in eine Richtung wandern. Das erleichtert viele Messungen, beispielsweise diejenige der Wellenlänge. Auch aus dem Alltag sind uns stehende Wellen bekannt, beispielsweise entstehen sie in der Mikrowelle, weshalb das Gericht gedreht werden muß, um überall gleichmäßig erwärmt zu werden. In Verbindung mit dem Schall kennen wir sie insbesondere von Musikinstrumenten. Sie geben uns auch den entscheidenden Hinweis auf ihre Entstehung. Zupft man an einer Saite, so breitet sich in beide Richtungen eine Welle entlang der Saite aus. Diese werden an den Enden reflektiert und überlagern sich so immer wieder. Dabei können wir sehen, daß die gesamte Saite in ein stationäres Schwingungsmuster gerät. In der sog. Grundschwingung zum Beispiel oszilliert sie in der Mitte am stärksten und an den Rändern gar nicht. Man nennt dann Bereiche, in denen die Oszillation am stärksten ist, Schwingungsbäuche und solche, in denen sie Null ist, Schwingungsknoten. Ohne auf die vielfältigen Erscheinungen einzugehen überlegen wir kurz mathematisch, wie aus räumlich und zeitlich periodischen Wellen ein stationäres Schwingungsmuster werden kann. Hierzu betrachten wir zwei gegenläufige harmonische Wellen gleicher Wellenlänge, Frequenz und Amplitude und ihre Überlagerung y: y_1=y^^\.sin(2\pi(t/T-x/\lambda)) y_2=y^^\.sin(2\pi(t/T+x/\lambda)) y=sum(y_i,i,)=y^^\.sin(2\pi(t/T-x/\lambda))+y^^\.sin(2\pi(t/T+x/\lambda)) Mit dem Additionstheorem sin\alpha+sin\beta=2\.cos(1/2\.(\alpha-\beta))\.sin(1/2\.(\alpha+\beta)) können wir die Gleichung umschreiben zu: \darkblue y=2\.y^^\.cos(2\pi\.t/T)\.sin(2\pi\.x/\lambda) Die Überlagerung y der zwei gegenläufigen Wellen y_1 und y_2 wird also zu einem Produkt aus einer nur zeitabhängigen Funktion und einer nur ortsabhängigen Funktion. \big\Schwebung Zwei Wellen mit Frequenzen, die sehr dicht beieinanderliegen, überlagern sich, wie wir im folgenden sehen werden, auf solche Weise, daß sich die Amplitude der resultierenden Welle selbst wellenförmig ändert, und zwar mit einer Frequenz (Schwebungsfrequenz), die von den Ausgangsfrequenzen abhängt. Diesen Effekt, die \darkblue\Schwebung\.\black\, nutzt man zum Beispiel beim Stimmen von Instrumenten. Liegt nämlich die erzeugte Frequenz sehr nah an der Frequenz des Instruments, so wird die Schwebungsfrequenz klein, und man kann mit dem Ohr hören, wie der Ton abwechselnd lauter und leiser wird. Auf diese Weise werden winzige Unterschiede in der Frequenz meßbar. Um dieses Phänomen zu verstehen, nehmen wir zwei Wellen ähnlicher Frequenz f, Schwingungsdauer T und gleicher Amplitude y^^ an, die sich sich in einem Punkt überlagern. An diesem Punkt vollführen sie Schwingungen der Form: y_1=y^^\.sin(2\pi*t\/T_1+\delta_1)=y^^\.sin(2\pi\.f_1\.t+\delta_1) y_2=y^^\.sin(2\pi*t\/T_2+\delta_2)=y^^\.sin(2\pi\.f_2\.t+\delta_2) \delta_i ist die jeweilige Phasenverschiebung im betrachteten Punkt. Für das Verständnis des Effekts ist sie jedoch nicht entscheidend, weshalb wir von nun an \delta_i=0 setzen. Wie bereits bei den stehenden Wellen verwenden wir für die Überlagerung y der beiden Wellen das entsprechende Additionstheorem: y=y^^\.sin(2\pi\.f_1\.t)+y^^\.sin(2\pi\.f_2\.t) y=2\.y^^\.cos(1/2\.(2\pi\.f_1-2\pi\.f_2)t)\.sin(1/2\.(2\pi\.f_1+2\pi\.f_2)t) Mit \Delta\ f:=f_1-f_2 und \=(f_1+f_2)/2: \darkblue y=2\.y^^\.cos(\pi\Delta\ f\.t)\.sin(2\pi\.\\.t) Die Funktion cos(\pi\Delta\ f\.t) beschreibt eine Schwingung, die mit der Frequenz \Delta\ f extremal wird. Die Frequenz \Delta\ f ist die Schwebungsfrequenz. Die Funktion sin(2\pi\.\\.t) beschreibt eine Schwingung, deren Frequenz der mittleren Frequenz der beiden Ausgangswellen entspricht. Die folgenden Abbildungen verdeutlichen diesen Zusammenhang: Bild: Mischen zweier Frequenzen Bild: Schwebung \big\Abb. 5.3: \normal\Aus der Überlagerung zwei gemischter Frequenzen entsteht eine Schwebung. \big\Doppler\-Effekt Der vom österreichischen Mathematiker und Physiker Christian Doppler vorhergesagte und nach ihm benannte Effekt entsteht bei einer Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger einer Welle. Bewegen sich beide aufeinander zu, ist die empfangene Frequenz höher, bewegen sie sich voneinander weg, so ist die empfangene Frequenz niedriger. Beispiele sind typischerweise ein vorbeifahrender Krankenwagen in Büchern aus Heidelberg, oder ein vorbeifahrender Polizeiwagen in amerikanischen Büchern. Zunächst sei der Fall gegeben, daß sich der Sender mit einer Geschwindigkeit v_S bewegt, während der Empfänger in Ruhe ist. Je nachdem, ob der Empfänger hinter oder vor dem Sender ist, mißt der Sender die vorangehende Wellenlänge \lambda_v oder die nachlaufende Wellenlänge \lambda_n. Bild: Doppler-Effekt \big\Abb. 5.4: \normal\Ein sich bewegender Sender ruft den Doppler\- Effekt hervor. Vom Sender ausgehend breitet sich im ruhenden Medium die Welle der Frequenz f in alle Raumrichtungen gleichmäßig mit der Geschwindigkeit v_\phi aus. In einer Zeitspanne \Delta\ t erzeugt der Sender N=f\Delta\ t Wellenberge. Der erste Wellenberg hat sich in dieser Zeit um die Strecke v_\phi\.\Delta\ t fortbewegt, der Sender um v_S\.\Delta\ t in dieselbe Richtung. Also befinden sich in der Strecke v_\phi\.\Delta\ t-v_S\.\Delta\ t. N Wellenberge. Da die Wellenlänge die Strecke von einem Wellenberg zum nächsten ist, gilt für sie: \lambda_v=((v_\phi-v_S)\.\Delta\ t)/N=(v_\phi-v_S)/f Es handelt sich um die vorangehende Welle, da wir für sie genau die Bewegungsrichtung des Senders gewählt haben. \darkblue \lambda_v=v_\phi/f\.(1-v_S/v_\phi) Für die nachlaufenden Wellenberge wird die Strecke mit N Wellenbergen zu v_\phi\.\Delta\ t+v_S\.\Delta\ t. Schließlich ergibt sich damit die Wellenlänge: \darkblue \lambda_n=v_\phi/f\.(1+v_S/v_\phi) Über die bekannte Beziehung v_\phi=\lambda\.f folgt für die neuen Frequenzen: \darkblue f_v=v_\phi/\lambda_v=f/(1-v_S/v_\phi) \darkblue f_n=v_\phi/\lambda_n=f/(1+v_S/v_\phi) Im nächsten Fall bewegt sich der Empfänger mit einer Geschwindigkeit v_E bei ruhendem Sender. Die Wellenlänge bleibt nun unverändert, allerdings mißt der Empfänger eine andere Frequenz. Ein ruhender Empfänger messe in einer Zeitspanne \Delta\ t genau N_1=(v_\phi\.\Delta\ t)/\lambda Wellenberge. Der sich bewegende Empfänger registriert nun, wenn er sich auf den Sender zubewegt, außerdem noch die Wellenberge, die sich auf der von ihm in der Zeitspanne \Delta\ t durchschrittenen Strecke \Delta\ s befinden. Ihre Anzahl ist N_2=\Delta\ s/\lambda=(v_E\.\Delta\ t)/\lambda. Also gilt für die gemessene Frequenz f_v: f_v=(N_1+N_2)/\Delta\ t=(v_\phi+v_S)/\lambda bzw. \darkblue f_v=f\.(1+v_E/v_\phi) Analog ergibt sich für den sich entfernenden Empfänger: \darkblue f_n=f\.(1-v_E/v_\phi) Zu beachten ist, daß es in den Formeln sehr wohl einen Unterschied gibt, je nachdem, ob sich der Sender oder der Empfänger bewegt. Die Relativgeschwindigkeit allein ist also nicht ausschlaggebend. Wir werden uns im Rahmen der Relativitätstheorie noch einmal mit diesem Punkt beschäftigen. 6. Ausblick Maxwell Einstein de Broglie Schrödinger \big\Abb. 6.1: \normal\Maxwell, Einstein, de Broglie, Schrödinger Im nächsten Artikel werden wir uns auf der Grundlage der Maxwell\- schen Gleichungen, mit deren Hilfe sich die gesamte klassische Elektrodynamik verstehen läßt, mit der Familie der elektromagnetischen Wellen beschäftigen. Zu ihnen gehören beispielsweise das sichtbare Licht, Radiowellen, Röntgen\- und Gammastrahlen. In diesem Rahmen werden wir weitere Eigenschaften von Wellen kennen\- lernen und analysieren: Beugung, Reflexion, Brechung und Polarisation. Die Beschäftigung mit der Elektrodynamik brachte schließlich Einstein auf sein Gesetz der konstanten Lichtgeschwindigkeit. Als Folge ergibt sich ein Doppler\-Effekt, mit dem sich die Ausbreitung des Universums zeigen läßt. Als Einstein mit Hilfe von Max Plancks revolutionären Erkenntnissen den Photoeffekt so deutete, daß Licht aus einzelnen Teilchen be\- steht, und de Broglie jedem Teilchen kühn Welleneigenschaften zu\- ordnete, wurde eine neue grundlegende Theorie notwendig, die von Anfang an gezwungen war, Teilchen\- und Welleneigenschaften zu ver\- binden. Ein Meilenstein dieser Entwicklung ist die Schrödinger\- Gleichung. Mit diesen Themen wird sich der dritte Artikel auseinandersetzen und somit die Gesetzmäßigkeiten von Wellen, die wir in diesem Artikel im Makroskopischen kennengelernt haben, auf die kleinste Ebene übertragen. In großem Nutzen werden wir auf die Grundlagen zurückgreifen, die in diesem ersten Artikel geschaffen wurden. Ohne sie ist ein um\- fassendes Verständnis von Licht und Quantenmechanik nicht möglich. Filip und Site
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: Physik :: für Physikstudenten :: Wellen :: Mechanik :
Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik [von Filip]  
Site und Filip schreiben: Wellen Teil I: Einführung und Mechanik Wellen sind ein zentrales Prinzip der Natur. Mit ihnen lassen sich nicht nur Wasserwellen und Bewegungen der Saiten eines Musikinstruments beschreiben, sie führten ebenso zu einem grundlegenden Verstä
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"Physik: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik" | 8 Comments
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Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: Spock am: Di. 17. August 2004 22:35:02
\(\begingroup\)Hallo Filip, Site inhaltlich und in der Art der Darstellung eine überzeugende, lehrbuchhafte Ausarbeitung! Auf die Fortsetzung kann man nur gespannt sein, macht weiter so! Juergen \(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: hachi am: Mi. 12. Januar 2005 22:33:06
\(\begingroup\)ja bitte nächsten artikel, das mit optische,e-wellen, hab ich grad im unterricht :)\(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: KingGeorge am: So. 16. Oktober 2005 19:19:58
\(\begingroup\)Hallo Site und Filip, diesen hervorragenden Artikel hätte ich fast übersehen. Was für eine Fundgrube der MP doch ist. Wie Spock schon erwähnte. "lehrbuchhaft und überzeugend" lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: FlorianM am: Sa. 19. November 2005 17:58:04
\(\begingroup\)Wann kommt der zweite Teil? :P\(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: Helixx am: So. 21. Januar 2007 14:33:22
\(\begingroup\)bin begeistert; super Artikel! :) Vielen Dank 2. Teil wird wohl nicht mehr kommen oder darf man noch hoffen ? lg Helixx\(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 14. März 2007 18:28:13
\(\begingroup\)Der Artikel war sehr hilfreich! Ich hätte auch soooooo gerne den zweiten und dritten Teil! Ich schliesse mich also der Frage des letzten Postings an: Kommt er noch? Schöne Grüße, Carita\(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 13. April 2007 22:46:10
\(\begingroup\)Echt geil. Mehr davon 😮 . Besser kann man nicht erklären!\(\endgroup\)
 

Re: Wellen - Teil I: Einführung und Mechanik
von: Site am: Mi. 05. September 2007 16:22:36
\(\begingroup\)Es freut mich sehr, daß der Artikel (über die letzten Jahre hinweg!) so positiv aufgenommen wurde und vielen beim Verstehen von Wellenphänomenen helfen konnte. Die Arbeit am zweiten Teil der Reihe begannen Filip und ich direkt nach Fertigstellung des ersten Artikels. Ich hatte schon mühsam Grafiken zu den verschiedenen Polarisationen (longitudinal, transversal, ...) von Wellen angefertigt. Aber der Beginn des Studiums im Oktober 2004 für Filip und mich ließ uns das Projekt aus den Augen verlieren. Eine Fortsetzung wird es also aller Voraussicht nach von uns nicht geben. Fantastisch wäre es aber, wenn jemand anders aus dem Matheplaneten interessiert ist, die Reihe fortzusetzen! Site\(\endgroup\)
 

 
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