Stern Mathematik: Das Kugelwunder
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Mathematik

\(\begingroup\) Das Kugelwunder Der Satz von Banach-Tarski Globus-Puzzle Übersicht ______________________________________________________________________
  • Einleitung
  • Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern
  • Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre
  • Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel
  • Abschluss
  • Quellenverzeichnis
  • ______________________________________________________________________

    Einleitung Darauf nahm er die fünf Brote und die zwei Fische, blickte zum Himmel auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie den Jüngern, damit sie sie an die Leute austeilten. Auch die zwei Fische ließ er unter allen verteilen. Und alle aßen und wurden satt. Als die Jünger die Reste der Brote und auch der Fische einsammelten, wurden zwölf Körbe voll. Es waren aber fünftausend Männer, die von den Broten gegessen hatten. Mk 6,41--44 1900 Jahre später zeigten die polnischen Mathematiker Banach und Tarski, dass Vergleichbares möglich ist, wenn man an ein gewisses Axiom der Mengenlehre glaubt: das Auswahlaxiom. Bedeutende Vorarbeit hatte der deutsche Mathematiker Hausdorff geleistet. Das Auswahlaxiom wird verwendet, um eine Vollkugel in endlich viele Teile zu zerlegen und diese dann zu zwei vollen Kugeln von gleichem Radius zusammenzusetzen. Eine verstörende Aussage der Mathematik, von vielen zum Paradoxon erhoben, ist dieser "Satz von der Verdopplung der Kugel". \frame vec(Satz von Banach-Tarski:) Sei B := {(x,y,z) \el \IR^3 \| x^2 + y^2 + z^2 <= 1} die volle dreidimensionale Einheitskugel. Es gibt disjunkte Mengen A_1 , ..., A_n, B_1 , ..., B_m \subsetequal B$ und Bewegungen \(also Drehungen und Verschiebungen im \IR^3 \) \sigma_1, ..., \sigma_n , \tau_1, ...,\tau_m \(hierbei kann es sich auch um die triviale Bewegung handeln\), so dass gilt: B $= union(A_i,i=1,n) \union union(B_j,j=1,m) $ = union(\sigma_i (A_i),i=1,n) $ = union(\tau_j (B_j),j=1,m). \frameoff Das Auswahlaxiom ist die Forderung, dass es möglich sein soll, für jedes System nichtleerer Mengen \calM eine Funktion f : \calM -> union(M,M \el \calM,) anzugeben, so dass für jedes M \el \calM gilt: f(M) \el M. Diese Funktion ordnet der Menge M \el \calM den Repräsentanten f(M) im Repräsentantensystem \calR := f(\calM) zu. Es gibt zahlreiche innerhalb des Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems äquivalente Formulierungen \(siehe dazu den Artikel "Über das Auswahlaxiom" hier auf dem MP\). Falls das Mengensystem \calM unendlich ist, ist es im Allgemeinen unmöglich, eine solche Funktion, und folglich ein Repräsentantensystem, konkret anzugeben. Beweise, die sich des Auswahlaxioms bedienen, sind daher oftmals nichtkonstruktive Existenzbeweise, die die Existenz von etwas zeigen, das nicht näher beschrieben werden kann. Vielen Konstruktivisten war dies ein Grund, das Auswahlaxiom generell abzulehnen, und die Vorsicht bei seiner Verwendung ist bei vielen Autoren geblieben. Tatsächlich wird keine Anweisung gegeben, wie das "Kugelwunder" vollbracht werden könnte, aber ein Beweis dieser höchst interessanten Aussage kann mit Mengen\- und Gruppentheorie erbracht werden. Wir werden uns zunächst anschauen, wie man dies für die Kugeloberfläche S^2 \\ D, aus der eine abzählbare Punktmenge D entfernt wurde, beweisen kann. Dies gelang zuerst Hausdorff.
    Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern Die Gruppe SO(3) ist die Gruppe aller orthogonalen, isometrischen und orientierungserhaltenden linearen Abbildungen des \IR^3. Insbesondere wird von allen Elementen von SO(3) die Einheitskugel S^2 auf sich selbst abgebildet. Da SO(3) eine unendliche nicht\-abelsche Gruppe ist - im Gegensatz zur abelschen SO(2) \(dies ist der Grund dafür, dass Banach-Tarski auf einem Kreis nicht funktioniert\) -, ist die Menge ihrer Untergruppen sehr vielfältig und birgt auch Pathologien, von denen wir auf eine zurückgreifen: eine freie Gruppe von Drehungen. \frame vec(Definition: Alphabet, Wort) Ein vec(Alphabet) \calQ ist ein endlicher oder abzählbar unendlicher Zeichenvorrat, aus dem jedes Zeichen im Zusammenhang mit Gruppen eine noch näher zu bezeichnende Gruppenoperation bedeutet. Ein vec(Wort) über \calQ ist eine endliche, durch Hintereinanderschreiben erzeugte Kombination von Zeichen aus \calQ. Im Falle gar keines Zeichens spricht man vom vec(leeren Wort), das mit \epsilon bezeichnet wird und im Zusammenhang mit Gruppen als die identische Abbildung zu verstehen ist. Folgen im Zusammenhang mit Gruppen in einem Wort \xi_1 ... \xi_n die Zeichen \omega und \omega^(-1) direkt aufeinander, so können diese aus dem Wort gekürzt werden. Ist dies vollständig durchgeführt, spricht man von einem vec(reduzierten Wort), d.h. ein reduziertes Wort ist die Äquivalenzklasse aller Wörter über dem Alphabet \calQ, die eindeutig zum gleichen Wort, in dem keine der Buchstabenkombinationen \omega_i \omega_i^(-1), \omega_i^(-1) \omega_i mehr vorkommen, gekürzt werden können. \frameoff \frame vec(Definition: Freie Gruppe) Die Menge aller reduzierten Wörter über dem Alphabet \calA = {a_i, a_i^(-1) \| i \el I}, auf der durch Hintereinanderschreiben \(und ggf. Kürzen gemäß \forall i \el I : a_i a_i^(-1) = \epsilon; a_i^(-1) a_i = \epsilon\) eine assoziative Verknüpfung ° : \calA x \calA -> \calA, (w_1, w_2 ) |-> w_1 ° w_2 = w_1 w_2 definiert ist, heißt vec(freie Gruppe) über \calA. Sie erfüllt außer den Gruppenaxiomen \(d.h. der Kürzungsregel\) keine weiteren Relationen zwischen den Elementen. \frameoff vec(Beispiele:) Die freie Gruppe \calF_array(a,b) über \calA = {a, b, a^(-1), b^(-1) }, bei der einzig die Relationen a a^(-1) = a^(-1) a = \epsilon und b b^(-1) = b^(-1) b = \epsilon gelten, ist eine solche Gruppe, die man die von a und b erzeugte freie Gruppe nennt. Wenn man die Gruppe der Drehungen von S^2 um die x\-Achse betrachtet, die von einer Drehung \rho_(\phi) um den Winkel \phi erzeugt wird, so ist diese Gruppe endlich von der Ordnung q, wenn \phi = 2\pi*p/q und p/q \el \IQ vollständig gekürzt ist. Ist dagegen \phi = r*2\pi mit r \el \IR \\ \IQ, so erzeugt \rho := \rho_(\phi) eine unendliche freie Gruppe über \calA = {\rho,\rho^(-1) }. Diese Gruppe ist noch abelsch, da alle Elemente zu Potenzen von \rho oder von \rho^(-1) reduziert werden können. Nimmt man aber noch eine Drehung \zeta := \zeta_(\gamma) um die z\-Achse mit Drehwinkel \gamma = s*2\pi, s \el \IR \\ \IQ als Erzeuger hinzu, so erhält man eine nichtkommutative Untergruppe von SO(3). In der Literatur werden \rho_(\phi), \zeta_(\gamma) mit \phi = \gamma = arccos(1/3) angegeben als Erzeugerpaar einer freien Untergruppe \calB von SO(3). In der üblichen Matrizendarstellung bedeuten dann: \rho := (1,0,0;0,1/3,-2/3*\sqrt(2);0,2/3*\sqrt(2),1/3), \zeta := (1/3,-2/3*\sqrt(2),0;2/3*\sqrt(2),1/3,0;0,0,1). Induktiv kann man über die Länge der Wörter und die beiden führenden Buchstaben zeigen, dass für jedes Wort w \el \calB, w != \epsilon, entweder das Bild von (1,0,0)^t unter w nicht mit (1,0,0)^t oder das Bild von (0,0,1)^t unter w nicht mit (0,0,1)^t identisch ist: \frame vec(Lemma 1:) Die wie oben definierten Drehungen \rho und \zeta \el SO(3) erzeugen eine freie Gruppe. \frameoff vec(Beweis:) Falls die Länge k \el \IN des Wortes w \el \calB nur einen Buchstaben beträgt, gilt w(0,0,1)^t != (0,0,1)^t für w \el {\rho, \rho^(-1) } und w(1,0,0)^t != (1,0,0)^t analog für w \el {\zeta, \zeta^(-1) }. Sei k >= 2. Ist \zeta^(+-1) der letzte Buchstabe \chi_n des Gruppenwortes w = \chi_1 \chi_2 ... \chi_n, so kann dies für (1,0,0)^t gezeigt werden; ist $\rho^(+-1) der letzte Buchstabe, so geht dies aus Symmetriegründen für (0,0,1)^t. Der Beweis kann sich also auf den ersten Fall beschränken. Es erweist sich induktiv, dass für jedes Wort w der Länge k das Bild w(1,0,0)^t von der Gestalt 1/3^k*(a,b*\sqrt(2),c)^t für gewisse ganze Zahlen a, b, c ist. Im Fall k = 1 ist das offensichtlich, ansonsten muss man die vier Fälle w = \zeta w', $ w = \zeta^(-1) w', $ w = \rho w', $ w = \rho^(-1) w' nach dem ersten Buchstaben von w unterscheiden. Aufgrund der Induktionsannahme w'(1,0,0)^t = 1/3^(k-1)*(a',b'*\sqrt(2),c')^t ergeben sich durch Einsetzen Rekursionsgleichungen für a, b und c: Im Fall $\chi_1 = \zeta^(+-1): a = a' -+ 4b', $ b = b' +- 2a', $ c = 3c', im Fall \chi_1 = \rho^(+-1): a = 3a', $ b = b' -+ 2c', $ c = c' +- 4b'. Damit ist die Ganzzahligkeit von a, b, c gezeigt. Dass für alle w \in \calB, die mit \zeta oder \zeta^(-1) enden, gilt: w(1,0,0)^t != (1,0,0)^t, folgt aus dem Nachweis, dass b nicht durch 3 teilbar ist. Falls w nur einen Buchstaben lang ist - nach der Annahme über den letzten Buchstaben also \zeta oder \zeta^(-1) -, so ist b = +- 2 kein Vielfaches von 3. Für längere Wörter w = \chi_1 \chi_2 v muss man vier Fälle unterscheiden: \chi_1 \chi_2 = \zeta^(+-1) \rho^(+-1), $ \chi_1 \chi_2 = \rho^(+-1) \zeta^(+-1), $ \chi_1 \chi_2 = \zeta^(+-2), $ \chi_1 \chi_2 = \rho^(+-2). Im ersten Fall ergibt sich aus der Rekursionsgleichung, dass a' durch 3 teilbar ist. Demnach kann b = b' +- 2a' nicht durch 3 teilbar sein. Das analoge Argument gilt im zweiten Fall für c', welches durch 3 teilbar ist, nicht aber b = b' -+ 2c'. In den letzten beiden Fällen muss ein Rekursionsschritt weiter zurückgegangen werden: v(1,0,0)^t = 1/3^(k-2)*(a'',b''*\sqrt(2),c'')^t. Für beide Fälle ergibt sich b = b' +- 2a' = b' +- 2(a'' -+ 4b'') = b' +- 2a'' - 8b'' $ = b' + (b' - b'') - 8b'' = 2b' - 9b''. Demzufolge ist mit b' auch b nicht durch 3 teilbar und der Induktionsbeweis fertig. \bigbox \frame vec(Lemma und Definition 2:) Eine solche freie Gruppe mit 2 Erzeugern besitzt eine vec(paradoxe) vec(Zerlegung), d.h. eine Zerlegung in disjunkte Teile \(Fraktionen; hier sind es 5, von denen einer lediglich das leere Wort enthält\), von denen mindestens einer so manipuliert werden kann, dass er zusammen mit weniger als allen der übrigen Teile \(hier nur einem\) wieder die ganze Gruppe ergibt. \frameoff vec(Beweis:) Sei \calB_(\rho) die Menge der mit \rho beginnenden Wörter in \calB, analog \calB_(\rho^(-1)), \calB_(\zeta), \calB_(\zeta^(-1)). Offensichtlich ist \calB = \calB_(\rho) \union \calB_(\rho^(-1)) \union \calB_(\zeta) \union\calB_(\zeta^(-1)) \union {\epsilon}. Da die Wörter in \calB reduziert sind, tritt der Wortanfang \rho^(-1) \rho in \calB_(\rho^(-1)) nicht auf, während nach dem \rho^(-1) außer \rho jeder der drei übrigen Buchstaben folgen kann. Damit ist \rho \calB_(\rho^(-1)) die Menge aller Wörter, die nicht mit \rho beginnen. Auch das leere Wort \epsilon liegt im Bild dieser Operation. \bigbox Bild Abbildung 1: Der Cayley-Graph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern. Die Verästelungen setzen sich bis in beliebige Tiefe fort. Ein "Ast" des Graphen (ohne ε) repräsentiert alle mit dem gleichen Zeichen beginnenden Wörter. Durch Davorschreiben des inversen Zeichens wird der Ast auf drei Äste (incl. ε) abgebildet. Also ist \rho \calB_(\rho^(-1)) = \calB_(\rho^(-1)) \union \calB_(\zeta) \union \calB_(\zeta^(-1)) \union {\epsilon} und analog \zeta \calB_(\zeta^(-1)) = \calB_(\zeta^(-1)) \union \calB_(\rho) \union \calB_(\rho^(-1)) \union {\epsilon}. Durch Davorschreiben eines Buchstaben haben wir aus "einem Viertel" der freien Gruppe "drei Viertel" gemacht, die mit einem weiteren "Viertel" die ganze Gruppe ergeben.
    Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre Diese paradoxe Zerlegung lässt sich auf die durchlöcherte Kugeloberfläche X := S^2 \\ D übertragen, indem man \calB auf ihr operieren lässt. Es wird gezeigt, dass auf diese Weise auch wirklich eine paradoxe Zerlegung der durchlöcherten Sphäre S^2 \\ D entsteht. D sei dabei definiert als die Menge der Fixpunkte nichttrivialer Gruppenwörter aus \calB \\ {\epsilon}: D = {x \el S^2 \| \exists g != \epsilon \el \calB mit g(x) = x}. Wegen der Abzählbarkeit von \calB ist auch D abzählbar, denn zu jeder echten Drehung der Kugel existieren genau zwei Fixpunkte. \frame vec(Lemma 3:) Die Relation \~ \subset {(x,y) \| x,y \el S^2 } $ : $ x \~ y <=> \exists g \el \calB mit y = g(x) ist eine Äquivalenzrelation. \frameoff vec(Beweis:) Zu zeigen sind Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. \squaredot Reflexivität: Es gilt x = \epsilon(x) \forall x \el S^2. \squaredot Symmetrie: Aus y = g(x) folgt x = g^(-1)(y) \forall x,y \el S^2, g \el \calB. \squaredot Transitivität: Aus y = g(x), z = h(y) folgt z = hg(x) \forall x,y,z \el S^2, \forall g,h \el \calB. \bigbox Damit sind die Äquivalenzklassen bzgl. \~, O_x := {y \el S^2 \| \exists g \el \calB mit g(x) = y}, disjunkt, und ihre Vereinigung bildet wieder S^2. Sie heißen vec(Orbits) bzgl. \calB. Man stellt nun fest, dass die Eigenschaft eines Punktes z aus S^2, Fixpunkt bezüglich eines Wortes w \el \calB zu sein, unter der Wirkung von \calB invariant ist: \frame vec(Satz 4:) \forall w \el \calB ist w(D) = D und auch w(S^2 \\ D) = S^2 \\ D. \frameoff Man sagt: \calB vec(operiert treu) auf D und somit auch auf S^2 \\ D. vec(Beweis:) Zeige \calB(D) \subset D: Sei z \el D Fixpunkt bzgl. w \el \calB, dann ist für beliebiges v \el B der Punkt v(z) ein Fixpunkt bzgl. des zu w konjugierten Wortes vwv^(-1), also \calB(D) := {b(d) \| b \el \calB, d \el D} Teilmenge von D. Gruppenwörter überführen also Fixpunkte in Fixpunkte. Hieraus folgt wegen der Komplementarität von D und S^2 \\ D auch \calB(S^2 \\ D) \superset S^2 \\ D. Zeige \calB(S^2 \\ D) \subset S^2 \\ D: Sei z ein Nichtfixpunkt bzgl. jeden Gruppenwortes in \calB, d.h. \forall w \in B ist w(z) != z. Dann ist für jedes Gruppenwort v \el \calB auch v(z) ein Nichtfixpunkt, denn \forall w \el \calB ist vwv^(-1)(v(z)) = v(w(z)) != v(z) (wg. Injektivität von w). Wie oben ergibt sich \calB(S^2 \\ (S^2 \\ D)) = \calB(D) \superset D und damit in beiden Fällen Gleichheit. \bigbox Die paradoxe Zerlegung der freien Gruppe \calB in \calB_(\zeta), $ $ \calB_(\zeta^(-1)), $ $ \calB_(\rho), $ $ \calB_(\rho^(-1)), $ $ {\epsilon} lässt sich in kanonischer Weise auf die ausreichend große Teilmenge S^2 \\ D der Nichtfixpunkte der Sphäre übertragen. Unter Verwendung des Auswahlaxioms wird dazu ein Repräsentantensystem H aus der Menge \calO := {O_x \| x \el S^2 \\ D} der Orbits unter \calB ausgewählt. Es enthält aus jedem Orbit nur einen Vertreter und, wie aus Satz 4 hervorgeht, keinen Fixpunkt. Es soll damit ermöglicht werden, durch Anwenden einer Drehung \(= Davorschreiben eines führenden Buchstaben in einem Wort der freien Gruppe\) auf "ein Viertel" jedes Orbits, d.h. der Bilder der Elemente von H unter einem "Viertel" der freien Gruppe \calB, "drei Viertel" dieses Orbits unter der gesamten Gruppe zu erhalten. Die Mengen, die aus H durch Anwenden von Wörtern aus verschiedenen Fraktionen von \calB entstehen, bilden auch tatsächlich fünf disjunkte Punktmengen, deren Vereinigung wieder die durchlöcherte Sphäre ergibt. Man bildet also die Mengen \epsilon(H) $ $ := H, \calB_(\rho)(H) $ := union(\calB_(\rho)(\xi),\xi \el H,), \calB_(\rho^(-1))(H) := union(\calB_(\rho^(-1))(\xi),\xi \el H,), \calB_(\zeta)(H) $ := union(\calB_(\zeta)(\xi),\xi \el H,), \calB_(\zeta^(-1))(H) := union(\calB_(\zeta^(-1))(\xi),\xi \el H,). \frame vec(Satz 5:) Die Mengen \calB_(\rho)(H), $ \calB_(\rho^(-1))(H), $ \calB_(\zeta)(H), $ \calB_(\zeta^(-1))(H) $ und $ \epsilon(H) $ = $ H, die durch Operation je einer der fünf Fraktionen der Gruppe \calB aus dem Repräsentantensystem H hervorgehen, sind disjunkt und ihre Vereinigung ergibt S^2 \\ D. \frameoff vec(Beweis:) Für die Disjunktheit reicht es zu zeigen, dass für w_1, w_2 \el \calB mit unterschiedlichen Anfangsbuchstaben gilt: \forall x_1, x_2 \el H ist w_1(x_1) != w_2(x_2). Falls dem so wäre, so hätte das zur Folge, dass unklar wäre, welchem der den Fraktionen der Gruppe \calB \(\calB_(\rho), \calB_(\rho^(-1)), \calB_(\zeta), \calB_(\zeta^(-1)) oder {\epsilon}) entsprechenden Teile der Sphäre der Punkt y = w_1(x_1) = w_2(x_2) zugeordnet werden sollte, wenn w_1 und w_2 mit unterschiedlichen Buchstaben beginnen, was o.B.d.A. angenommen werden kann \(anderenfalls könnten übereinstimmende führende Buchstaben gekürzt werden\). Das Problem lässt sich auf die Frage nach Fixpunkten unter Gruppenwörtern zurückführen. w_1(x_1) = w_2(x_2) ist äquivalent zu w_2^(-1) w_1(x_1) = x_2, also x_2 \el O_(x_1). Das Repräsentantensystem H enthält aber nach Konstruktion nur einen Punkt aus jedem Orbit; folglich ist x_1 = x_2 =: x, so dass x Fixpunkt bezüglich des Gruppenwortes w_2^(-1) w_1 \el \calB ist. Fixpunkte sind aber nach Definition von H ausgeschlossen, also sind \calB_(\rho)(H), \calB_(\rho^(-1))(H), \calB_(\zeta)(H), \calB_(\zeta^(-1))(H) und \epsilon(H) disjunkt. \bigbox Jedes Gruppenwort stellt eine Drehung um eine gewisse Raumachse dar und hat damit genau zwei zueinander antipodische Fixpunkte in S^2. \small vec(Anmerkung:) Diese Tatsache wird in der Linearen Algebra auch "Satz \small vom Fußball" genannt: Alle Elemente von SO(3) sind Drehungen um eine \small gewisse Achse im \IR^3, deren Durchgangspunkte durch die Sphäre S^2 \small von der Drehung fest gelassen werden. Der Fußball, der vor dem Spiel \small und nach dem Spiel auf dem Anstoßpunkt liegt \(unter Nichtbeachtung \small der translatorischen Bewegungen, denen er unterworfen war\), besitzt \small unendlich viele \(im Falle der trivialen Rotation\) oder genau zwei \small Punkte, deren Lage durch das Spiel nicht geändert wurde. Um diese nicht eindeutig zuzuordnenden Fälle zu vermeiden, erlauben wir in H nur Nichtfixpunkte bezüglich der Gruppenworte in \calB und nehmen in Kauf, dass die paradoxe Zerlegung nur auf der löchrigen Sphäre X = S^2 \\ D statt auf der ganzen Sphäre möglich ist. Indem man alle fünf Fraktionen der Gruppe \calB auf dem Repräsentantensystem H operieren lässt, erhält man wieder die ganze "durchlöcherte Sphäre": S^2 \\ D = \calB_(\rho)(H) \union \calB_(\rho^(-1))(H) \union \calB_(\zeta)(H) \union \calB_(\zeta^(-1))(H) \union \epsilon(H) = \calB(H) = union(O_(\xi),\xi \el H,), andererseits ist nach Lemma und Definition 2 \rho(\calB_(\rho^(-1))(H)) = \calB_(\rho^(-1))(H) \union \calB_(\zeta)(H) \union \calB_(\zeta^(-1))(H) \union H und also S^2 \\ D = \calB_(\zeta)(H) \union \zeta(\calB_(\zeta^(-1))(H)). Analog ist S^2 \\ D = \calB_(\rho)(H) \union \rho(\calB_(\rho^(-1))(H)). Insgesamt gilt also folgender Satz: \frame vec(Satz 6 (Hausdorffsches Paradoxon:) Die freie Gruppe \calB operiere auf X = S^2 \\ D. H sei ein vollständiges Repräsentantensystem der Orbits unter \calB. Die fünf Mengen H, $ \calB_(\rho)(H), $ \calB_(\rho^(-1))(H), $ \calB_(\zeta)(H), $ \calB_(\zeta^(-1))(H) bilden eine paradoxe Zerlegung von \calB(H) = S^2 \\ D = X. \bigbox \frameoff Die zwei identischen Kopien von X kann man unterscheiden, indem man einfach \calB_(\rho)(H) \union \rho(\calB_{\rho^(-1))(H)) bildet, X_0 nennt und vor dem Zusammensetzen von \calB_(\zeta)(H) und \zeta(\calB_(\zeta^(-1))(H)) zur zweiten Kopie eine Translation \lambda in beliebiger Richtung um eine beliebige Strecke s > 2 auf beide Teile wirken lässt: \lambda(\calB_(\zeta)(H)) \union \lambda\zeta(\calB_(\zeta^(-1))(H)) = X_1. Man beachte, dass die löchrige Sphäre in fünf Teile zerlegt wird und man nur je zwei davon zu jeweils einer Kopie zusammensetzt. Es bleibt beim Kugelwunder also sogar noch etwas für den Korb.
    Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel Die Schritte, die Banach und Tarski jetzt noch unternahmen, beseitigten einerseits den Mangel, dass die Kugeloberfläche abzählbar viele Löcher aufweisen muss, um paradox zerlegt werden zu können, und andererseits den, dass es nichttrivial ist, von der Sphäre S^2 bzw. der punktierten Vollkugel zur vollen Kugel überzugehen. Mit Hilfe des wichtigen Konzepts der Zerlegungsäquivalenz gelingt dies beides. \frame vec(Definition (Zerlegungsäquivalenz): Sei \calX ein endlichdimensionaler euklidischer Raum. Zwei Teilmengen A, B \subset \calX heißen zerlegungsäquivalent, wenn es eine paarweise disjunkte endliche Familie von Teilmengen {A_i \| i \el I} mit union(A_i,i \el I,) = A \(eine Zerlegung von A\) und Bewegungen {\tau_i \| i \el I} \subset SO(\calX) gibt, so dass {\tau_i(A_i) \| i \el I} gleichfalls paarweise disjunkt und union(\tau_i(A_i),i \el I,) =B \("die Bilder der Zerlegung von A liefern eine Zerlegung von B"\). \frameoff Die Zerlegungsäquivalenz ist, insofern sie die Disjunktheit der Bilder der Zerlegung fordert, eine stärkere Aussage als die, die hier im Satz von Banach\-Tarski gemacht wird. Gezeigt wird die Zerlegungsäquivalenz von S^2 und S^2 \\ D sowie die von B und B \\ {0}, aber nicht die von B und B_0 \union B_1. \frame vec(Lemma 7:) Die Zerlegungsäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. \frameoff vec(Beweis:) Die Zerlegungsäquivalenz ist offenbar reflexiv und symmetrisch, für die Transitivität hat man A = union(A_i,i \el I,), B = union(\tau_i(A_i),i \el I,) sowie B = union(B_j,j \el J,) und C = union(\xi_j(B_j),j \el J,). Man wählt die Zerlegung A = union(A^~_(i,j),(i,j) \in I x J) mit A^~_(i,j) := A_i \cut \tau_i^(-1)(B_j) und den Bewegungen \mue_(i,j) = \xi_j \tau_i und erhält: union(\mue_(i,j)(A^~_(i,j)),(i,j) \el I x J,) = union(\xi_j \tau_i(A_i \cut \tau_i^(-1)(B_j)),(i,j) \el I x J,) = union(\xi_j(\tau_i(A_i) \cut \tau_i(\tau_i^(-1)(B_j))),(i,j) \el I x J,) = union(\xi_j(\tau_i(A_i) \cut B_j),(i,j) \el I x J,) = union((\xi_j(union((\tau_i(A_i) \cut B_j),i \el I,))),j \el J,) = union(\xi_j(B \cap B_j),j \el J,) = union(\xi_j(B_j),j \el J,) = C Also: C = union(\mue_(i,j)(A^~_(i,j)),(i,j) \el I x J) \bigbox \frame vec(Lemma 8:) S^2 ist zerlegungsäquivalent zu S^2 \\ D. \frameoff Der Beweis von Lemma 8 hat viele Gemeinsamkeiten mit dem mengentheoretischen "Hilberts Hotel". vec(Beweis:) Wir wählen aus S^2 \\ D einen Punkt w und bezeichnen mit T_w die Untergruppe von SO(3) der Drehungen, für die \theta(w) = w, also w Fixpunkt ist. Alle Drehungen dieser Untergruppe erfolgen um die Achse durch w, 0 und -w, daher ist T_w isomorph zu der abelschen Isometriegruppe des Einheitskreises: T_w ~= SO(2). R sei die Menge aller Drehungen r aus T_w, für die gilt: \exists n \el \IN mit r^n(D) \cut D != \0. Dies sind alle Drehungen aus T_w, bei deren iterierter Anwendung auf S^{2} \\ D eines der Löcher auf ein anderes abgebildet wird. Als abzählbare Vereinigung höchstens abzählbarer Mengen - für jedes n \el \IN hat man diejenigen höchstens abzählbar vielen r \el R zu wählen, für die es ein Paar (d_1, d_2 ) \el D^2 gibt mit r^n(d_1) = d_2 - ist R selbst abzählbare Teilmenge der überabzählbaren Gruppe SO(3). \small vec(Anmerkung:) Sei {M_i \| i \el I}, I abzählbar unendlich, ein System abzählbarer \small Mengen und U := union(M_i,i \el I,). Auch im Beweis der Mächtigkeitsaussage \#(U) = \#(\IN) \small macht man Gebrauch vom Auswahlaxiom: Die Abzählbarkeit von U ergibt sich aufgrund \small der Auswahl jeweils einer von prinzipiell überabzählbar vielen Wohlordnungen \small auf jedem M_i, entlang derer man das Cantorsche Diagonalverfahren benutzt, \small um U abzuzählen. Um diese kritischen Fälle auszuschließen, wählen wir eine Drehung s \el SO(3) \\ R und definieren D^\inf := union(s^k(D) \subset S^2,k \el \IN,) als den positiven Orbit der Ausnahmemenge D unter der von s erzeugten Untergruppe von SO(3). Nun erhält man S^2 = D^\inf \union (S^2 \\ D^\infty), und Letzteres ist zerlegungsäquivalent zu s(D^\inf) \union (S^2 \\ D^\inf). D kann man nun durch Anwenden der Rotation s auf D^\inf "verschwinden lassen" \(die auszusondernden Punkte "ziehen um"\): s(D^\inf) = union(s^k(D),k=1,\inf) = D^\inf \\ D Damit gilt: s(D^\inf) \union (S^2 \\ D^\inf) = S^2 \\ D, und S^2 ist zerlegungsäquivalent zu S^2 \\ D. \bigbox Das bedeutet: Um aus einer Sphäre zwei zu erhalten, schneide man zuerst die abzählbare Menge D^\inf aus, drehe diese mit s \(so dass D gerade "verschwindet"\) und vereinige sie wieder mit dem Rest der Sphäre S^2 \\ D^\inf, so dass man die durchlöcherte Sphäre S^2 \\ D$ erhält. Diese zerlege man dann in die fünf Mengen, die aus den Bildern des Repräsentantensystems H unter dem neutralen Element und unter den Elementen der vier übrigen Teile der freien Gruppe entstehen, drehe zwei der letzteren um je einen Erzeuger derselben und setze dann je einen gedrehten und einen ungedrehten Teil zu einer durchlöcherten Sphäre zusammen \(wobei H selbst sogar vernachlässigt werden kann, denn es ist eine Teilmenge der gedrehten Teile\). Aus beiden wird dann jeweils s(D^\inf) ausgeschnitten und mittels s^(-1) zu D^\inf gedreht. Nach der erneuten Vereinigung hat man zwei komplette Sphären. Um von hier aus zur punktierten Vollkugel B \\ {0} zu kommen, ist es nur ein kleiner Schritt: B \\ {0} $ $ = $ $ union(rS^2,r \in intervallog(0,1),) $ $ = $ $ ]0,1]*S^2, also setzt man statt der überabzählbaren Punktmengen der Sphäre die überabzählbare Vereinigung halboffener Intervalle zu zwei punktierten Vollkugeln zusammen. Der letzte Schritt zum Beweis des Satzes von Banach\-Tarski besteht nun darin, die Zerlegungsäquivalenz von B und B \\ {0} nachzuweisen. \frame vec(Lemma 9) B und B \\ {0} sind zerlegungsäquivalent. \frameoff vec(Beweis:) Funktioniert genau wie der Beweis von Lemma 8 nach dem Prinzip "Hilberts Hotel". Man wählt innerhalb von B eine Kreislinie \calK \superset {0} und eine Rotation \nue unendlicher Ordnung um deren Zentrum z != 0. \nue erzeugt die freie Gruppe \calN ={\nue^k \| k \el \IZ} unendlicher Ordnung, unter der 0 den abzählbar unendlichen positiven Orbit N = {\nue^k(0) \| k \el \IN} besitzt. Nun ist \nue(N) = {\nue^k(0) \| k >= 1} = N \\ {0}. Somit ist B = N \union (B \\ N) und dies ist zerlegungsäquivalent zu \nue(N) \union (B \\ N) = N \\ {0} \union (B \\ N) = B \\ {0}. \bigbox Fasst man alle bisher unternommenen Schritte zusammen, so folgt also der \frame vec(Satz 10 (Satz von Banach\-Tarski):) Es existiert eine Zerlegung der vollen dreidimensionalen Einheitskugel B in endlich viele disjunkte Teilmengen derart, dass durch Rotation und Translation dieser Teilmengen zwei identische volle Einheitskugeln, B_0 und B_1, aus B hervorgehen. \frameoff Mit weiteren begrifflichen Festlegungen lässt sich die Aussage noch verschärfen, indem man zeigt, dass je zwei beschränkte Gebiete des \IR^n mit nichtleerem Inneren zerlegungsäquivalent sind, wenn n >= 3 ist. Die Zerlegungsäquivalenz besteht also auch zwischen einer Vollkugel und zwei Vollkugeln gleicher Größe, auch wenn sie aus dem hier präsentierten Beweis vec(nicht) hervorgeht. Dieser Beweis lässt sich problemlos auf höhere Dimensionen übertragen, da die Drehgruppen SO(n), n >= 3, freie nicht\-abelsche Untergruppen besitzen.
    Abschluss Die Implikationen dieses Satzes sind enorm: Während es auf \IR und \IR^2 keine bewegungsinvarianten sigma\-additiven Maße gibt, die allen Teilmengen ein eindeutiges Maß zuordnen können, existieren auf \IR^3 nicht einmal bewegungsinvariante endlich\-additive Maße für alle Teilmengen. Nicht einmal bei endlichen Vereinigungen von Mengen kann man sich noch darauf verlassen, dass es eine Volumenfunktion auf der Potenzmenge \calP(\IR^3) von \IR^3 gibt, mit der der disjunkten Vereinigung endlich vieler Teilmengen die endliche Summe der Volumina der einzelnen Teilmengen als Volumen zugeordnet werden kann. Die intuitive, jedoch lediglich aus der anschaulichen Erfahrung gewonnene Vorstellung, jeder Teilmenge könne man eindeutig ein Volumen zuordnen, scheitert an der Unüberschaubarkeit der Teilmengen der überabzählbaren Räume und muss aufgegeben werden. Mit dieser Einschränkung kann man aber leben, solange man nicht tatsächlich eine nicht\-messbare Menge konstruieren, also durch eine Bildungsvorschrift angeben kann.
    Quellenverzeichnis Reinhard Winkler, Wie macht man 2 aus 1? Björn Karge, Das Banach-Tarski-Paradoxon Appell K. und Appell J., Mengen - Zahlen - Zahlbereiche. Eine elementare Einführung in die Mathematik. Elsevier GmbH, München 2005 Stan Wagon, The Banach-Tarski-Paradox, Cambridge University Press 1985
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    Das Kugelwunder [von shadowking]  
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    "Stern Mathematik: Das Kugelwunder" | 18 Comments
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    Re: Das Kugelwunder
    von: matroid am: Fr. 03. September 2004 21:00:56
    \(\begingroup\)Super, ich bin ganz stolz, daß es auf dem Matheplaneten nun einen Aufsatz über dieses so schwer verständliche Paradoxon gibt. Ich habe schon andere Ausarbeitungen dazu gelesen, aber das hier ist sicher eine der besten. Vielen Dank, Du bist großartig. Gruß Matroid\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Wauzi am: Sa. 04. September 2004 10:33:00
    \(\begingroup\)Das Auswahlaxiom sollte bei diesem Satz nicht weiter stören. Wurde nicht im August nach zwei spektakulären Beweisen (Primzahlzwillinge, Riemannsche Vermutung) auch das Konstruktionslemma bewiesen? Es besagt, daß jede per Auswahlaxiom ausgewählte Menge auch von Laien in endlich vielen Schritten konstruierbar ist. Leider gibt es bis jetzt nur einen Existenzbeweis, weil beim Beweis des Konstruktionslemmas das Auswahlaxiom gebraucht wurde..... Wenn Dir, Splendour, eine ebenso schöne Darstellung des Beweises des Konstruktionslemmas gelingt wie bei dieser wirklich tollen Ausarbeitung, werde ich sofort meine Bierkästen zerlegen, bewegen, verdopppeln, vervierfachen,....... Es grüßt Wauzi, ziemlich zerlegt, leicht ins Drehen geraten aber noch nicht verdoppelt.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Spock am: So. 05. September 2004 19:36:02
    \(\begingroup\)Hallo Norbert, eine gelungene und "abgerundete" Ausarbeitung! Gruß Juergen\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: scm am: Fr. 19. November 2004 19:31:35
    \(\begingroup\)Find' ich auch! Toll! Gruß Sven\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 06. Februar 2007 14:27:42
    \(\begingroup\) \ Ich versteh nicht, wieso " Offensichtlich ist \calB = \calB_\rho \union \calB_(\rho^(-1))\union \calB_\zeta \union \calB_(\zeta^(-1)). " das gilt, e ist in \calB, aber nicht rechts. \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. Mai 2007 23:22:51
    \(\begingroup\)Allerdings muss nach Lemma 3 gelten: (Wurzel(10^50 * Bx0)) / B/N{0} = Bx0'(10^5) * B/N - wurzel((x1*g1)^N / (x2*g2)^N) --> nach Satz des Ptolomäus Also ist Zerlegesumme ExB: E1 = 10^50 (~) E2 = wurzel(10^50) (~) E3 = -10^-50 (~) Eg = sum(E1,E2,E3) ================== \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. November 2007 12:01:11
    \(\begingroup\)Das Banach-Tarski-Paradox zeigt schön den fundamentalen Unterschied zwischen Geometrie und Wirklichkeit. Letztere kennt nur existierende Volumina, erstere kennt aber auch den Punkt, die Gerade und die Fläche. In der Geometrie kann man ein Volumen in unendlich viele Schnittflächen zerlegene, ebenso eine Fläche in unendlich viele Strecken und eine Strecke in unendlich viele Punkte. Der Umkehrschluss ist aber ein verbreiteter Irrtum: Es ist nicht möglich aus unendlich vielen Punkten eine Strecke aufzubauen, und es ist genauso nicht möglich, aus Strecken Flächen und aus Flächen Volumina aufzubauen. Strecken können sich nur aus Strecken konstituieren, Flächen nur aus Flächen und Volumina nur aus Volumina, die jeweils in der entsprechenden Einheit messbar (!) sein müssen. Würden nichtmessbaren Teile akzeptiert, kann man das Banach-Tarski-Paradox auf den ganz allgemeinen Satz umformulieren: Aus jedem kann alles werden.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Hans-Juergen am: Fr. 23. November 2007 19:19:10
    \(\begingroup\)Hallo Norbert, die von Dir bei den Literaturquellen angegebene Arbeit von Winkler ist hier vom Matheplaneten aus nicht direkt durch Anklicken erreichbar, wohl aber über den entsprechenden Wikipedia-Artikel über das Paradoxon von Banach-Tarski ( de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon ); ihre Adresse ist: dmg.tuwien.ac.at/winkler/pub/bata/index.html (Der Winkler-Artikel erhebt den Anspruch, das "Kugelwunder" mit Hilfe der Schulmathematik zu erklären. Er ist sehr lang und ausführlich und geht auch auf die inner- und außermathematischen Konsequenzen des PvBT ein.) Herzlichen Gruß, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: shadowking am: Fr. 14. Dezember 2007 00:42:56
    \(\begingroup\) @ Anonymous 1 06.02.'06 Gut aufgepasst, doch für den Beweis brauchen wir das Nullelement nicht weiter. Ich habe nun \calB^\* statt \calB geschrieben wie für die Menge der nichttrivialen Gruppenelemente üblich. @ Anonymous 2 30.05.'07 Ich sehe keinen Zusammenhang mit meinem Artikel. @ Anonymous 3 23.11.'07 Die Gefahr, dass man Geometrie und Wirklichkeit verwechseln könnte, sehe ich ehrlich gesagt nicht. Warum heben Sie die Messbarkeit von Volumina, Längen und Flächen so hervor als konstituierend für die "Wirklichkeit" geometrischer Objekte? Wenn ich konstruiere: \IR = union({x},-\inf\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: wasseralm am: Do. 10. April 2008 23:06:56
    \(\begingroup\)Hallo shadowking, was hat dich denn bewogen, in der Einleitung bei den 3 beteiligten Mathematikern ihre Religion anzugeben? Das sieht man eigentlich nie. Hat es für die hier behandelte mathematische Aussage eine Bedeutung? Neugierig, Helmut\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: PeterTheMaster am: Sa. 22. November 2008 17:23:02
    \(\begingroup\)na wohl der vorangehende bibelspruch...\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: DaFlu am: Fr. 09. Januar 2009 14:37:03
    \(\begingroup\)schoener artikel! Danke. >Dass nichtmessbare Teilmengen von \IR existieren, war schon vor >Banach\-Tarski bekannt \(Vitali 1905\). Das wuerde ich aber nicht so absolut formulieren. Gruss DaFlu\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 11. Januar 2011 19:20:43
    \(\begingroup\)Hallo! Ich glaube ich habe einen Fehler im Artikel gefunden. So ganz verstehe ich den folgenden Schritt noch nicht: \ Sei z ein Nichtfixpunkt bzgl. jeden Gruppenwortes in \calB, d.h. \forall w \in B ist w(z) != z. Dann ist für jedes Gruppenwort v \el \calB auch v(z) ein Nichtfixpunkt, denn \forall w \el \calB ist vwv^(-1)(v(z)) = v(w(z)) != v(z) (wg. Injektivität von w). Dieser Beweis scheint mir nicht ganz schlüssig. \ Wenn v(z) Fixpunkt für w sein soll, dann wäre v(v(z)) auch Fixpunkt des konjugierten Worts vwv^(-1), also vwv^(-1)(v(v(z))) = vwv(z) ?= v(v(z)). Damit funktioniert aber die Konstruktion mit der injektiven Abbildung nicht mehr. Deutlich schlüssiger erscheint mir das folgende Argument: \ Laut Annhame ist für jedes w der Punkt z kein Fixounkt. Damit kann für alle v und w der Punkt v(z) kein Fixpunkt für w sein, denn wäre w(v(z))=v(z) dann auch v^(-1) wv(z)=z und damit wäre z Fixpunkt zu v^(-1) wv. Dies widerspricht aber der Annahme, dass z kein Fixpunkt ist. Vielen Dank übrigens für den fantastischen Artikel! \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 08. August 2012 13:08:42
    \(\begingroup\)Dieser Editor ist ...... reiner Quatsch und eine Perversion des Guten Willens. Natürlich kann man sich mit Hilfe von aufwendigen Kursen und Helfern die Benutzung beibringen - aber dazu ist der Computer erfunden worden. Aber diese Voraussetzung wurde ins Gegenteil verdreht. \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: shadowking am: So. 12. August 2012 01:06:00
    \(\begingroup\)Was willst Du uns damit sagen, Anonymer? Der Computer kann Dir nicht das Aufschreiben Deiner Gedanken abnehmen, weil er sie nicht kennen kann - und wenn doch, würde sich das Aufschreiben dann noch lohnen? Wenn Du schon mal ein CAS benutzt hast, dann kannst Du nicht sagen, daß der FED hier nicht intuitiv und leicht erlernbar sei.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Martin_Infinite am: Sa. 23. März 2013 23:24:08
    \(\begingroup\)Und was passiert, wenn Mathematiker versuchen, das Banach-Tarski Paradoxon physikalisch umzusetzen? Darum geht es in der Kurzgeschichte Michael D. Taylor, Eine Menge Nichts Sehr zu empfehlen :)\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Martin_Infinite am: So. 02. August 2015 21:45:42
    \(\begingroup\)Vorgestern wurde auf dem YouTube-Kanal Vsauce ein sehr anschauliches Video zum Banach-Tarski-Paradoxon veröffentlicht: The Banach–Tarski Paradox Es geht sogar auf die Ideen des Beweises ein und gibt am Anfang eine kleine Einführung in die benötigten Grundlagen der Mengenlehre.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Slash am: Mo. 03. August 2015 00:20:50
    \(\begingroup\)In diesem Video wird das Paradoxon auch für Laien verständlich erklärt: Vortrag von Prof. Rudolf Taschner Gruß, Slash\(\endgroup\)
     

     
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