Bereits 1900 wurde diese Vermutung von Hilbert in seine berühmte "Liste von 23 mathematischen Problemen" zu einem Jahrhundertproblem erhoben. Die meisten dieser Probleme sind heute bereits gelöst. Nicht jedoch diese Vermutung, sie wurde deswegen im Jahr 2000 zu einem der berühmten "7 Millenium Problems" des Clay Mathematics Institute erhoben. Jedem der eines dieser Probleme löst, winken dabei 1 Million Dollar. Vielleicht sind das und der damit verbundene Ruhm der Grund für so viele (bis jetzt fruchtlose) Beweis-Bemühungen. Dieser Artikel soll einen Überblick über die mathematischen Grundlagen der Riemann'schen Zetafunktion und ihrer Bedeutung für die Verteilung der Primzahlen geben.
\big\ Die Zetafunktion
Beginnen wir mit der Darstellung der Riemann'schen Zetafunktion wie sie viele bestimmt schon einmal gesehen haben:
\blue\ \z(s)=\sum(n^(-s),n=1,\inf)=\sum(1/n^s,n=1,\inf)
Diese definiert man allgemein für komplexes s=a+b*i mit Re(s)=a>1. Auf diesem Bereich A:=\menge(z|Re(z)>1) konvergiert die Reihe absolut, im Grenzfall s=1 bekommt man die harmonische Reihe, die bereits divergent ist. Da die Zetafunktion auch lokal gleichmäßig konvergiert, gilt nach dem Satz von Weierstrass, dass \z(s) auf A auch holomorph, also komplex differenzierbar ist.
\big\ Meromorphe Fortsetzung
Gibt es eine Fortsetzung von \z(s) auf den Rest der komplexen Ebene, eine sogenannte meromorphe Fortsetzung? Diese Konstruktion will ich ein bisschen ausführlicher beschreiben, da sie auch in fast allen Internetquellen nur erwähnt aber nie ausgeführt wird.
Man benötigt allgemein eine sog. Schwarzfunktion f:\IR->\IR ,d.h. f und alle Ableitungen von f gehen für \abs(x)->\inf stärker gegen 0 als 1/\abs(x). Das sind anschaulich einfach "nur" Funktionen, deren Integrale konvergieren.
Das braucht man für die Fouriertransformation
f^^:\IR->\IR:r->f^^(r)=\int(f(x)*exp(-2\pi\ irx),x,\IR)
und die dazugehörige Poisson'sche Summenformel:
\sum(f(n),n\el\IZ)=\sum(f^^(n),n\el\IZ)
Wir betrachten nun f(x)=exp(-\pi\ tx^2) für t>0, und die Transformierte f^^(r)=\int(exp(-\pi\ tx^2) exp(-2\pi\ irx),x,\IR)= ... =1/sqrt(t) exp((-\pi\ r^2)/t)
Weiter setzen wir \theta(s)=1/2*\sum(exp(-\pi\ isn^2),n\el\IZ)|\small\darkblue\ wegen n^2 ist die Laurentreihe symmetrisch, n=0 wird herausgezogen|\normal\black\ =1/2+\sum(exp(\pi\ isn^2),n=1,\inf). Es folgt:
\align
\theta(it)=1/2*\sum(exp(-\pi\ tn^2),n\el\IZ)=1/2*\sum(f(n),n\el\IZ)= (Poisson) 1/2*\sum(f^^(n),n\el\IZ)=
=1/(2 sqrt(t))*\sum(exp((-\pi\ n^2)/t),n\el\IZ)=1/\sqrt(t)*\theta(i/t)
\stopalign
Diese Funktionen und Formeln benötigt man nur um die folgenden Umformungen übersichtlicher zu gestalten. Man muß sie natürlich nicht länger als für diesen Abschnitt behalten.
Zum Schluß die Definition der Gammafunktion \Gamma(s)=\int(t^(s-1) exp(-t),t,0,\inf), die durch die Funktionalgleichung \Gamma(s)=(s-1)\Gamma(s-1)
auf ganz \IC\\ menge(-\IN) definiert ist.
Wir betrachten nun für Re(s)>1/2:
\pi^(-s) \Gamma(s) \z(2s)=\pi^(-s) \int(t^(s-1) exp(-t),t,0,\inf) \sum(1/n^2s,n=1,\inf)=
=\int(\sum((\pi\ n^2)^(-s) t^(s-1) exp(-t),n=1,\inf),t,0,\inf)=\small\darkblue array((t=v\pi\ n^2;dt=dv n^2 \pi))
=\int(\sum((\pi\ n^2)^(-s)(v\pi\ n^2)^(s-1) exp(-v\pi\ n^2)\pi\ n^2,n=1,\inf),v,0,\inf)=\int(v^(s-1) \sum(exp(-v\pi\ n^2),n=1,\inf),v,0,\inf)=
=\small\darkblue\ (einsetzen von (\theta(iv)-1/2)) \normal\black \int(v^(s-1)(\theta(iv)-1/2),v,0,\inf)=
=\small\darkblue\ (aufspalten) \normal\black \int(v^(s-1) \theta(iv),v,0,1)-1/2 \int(v^(s-1),v,0,1)+\int(v^(s-1)(\theta(iv)-1/2),v,1,\inf)=
\small\darkblue array((1/t=v\el intervall(0,1)=>1/v\el intervall(\inf,1);dt=-1/v^2 dv)) im 1. Integral subst., im 3. Integral t=v
=\int(t^(-s+1) \theta(i/t) 1/t^2,t,1,\inf)-stammf(1/2s*t^2,0,1)+\int(t^(s-1)(\theta(it)-1/2),t,1,\inf)=
=\int(t^(-s+1-2+1/2) \theta(it),t,1,\inf)+\int(t^(s-1)(\theta(it)-1/2),t,1,\inf)-1/2s=
=\small\darkblue (1/2 \int(t^(-s-1/2),t,1,\inf)=1/(1-2s)) \normal\black \int((t^(s-1)+t^(-s-1/2))(\theta(it)-1/2),t,1,\inf)-1/(1-2s)-1/2s
Wegen der Symmetrie des letzten Ausdrucks folgt die Funktionalgleichung:
\blue \pi^(-s/2)*\Gamma(s/2)*\z(s)=\pi^(-(1-s)/2)*\Gamma((1-s)/2)*\z(1-s)=
=\int((t^(s/2-1)+t^((1-s)/2-1))(\theta(it)-1/2),t,1,\inf)-(1/(1-s))-(1/s)=
Man sieht sehr schön, dass sich nun für s mit Re(s)>1 auch \z(1-s)berechnen lässt. Mit dieser Funktionalgleichung setzt man \z(s) zu einer meromorphen Funktion auf \IC fort. Einziger Pol ist hierbei, wie oben bereits gesehen, an der Stelle s=1.
\big\ Die Nullstellen
Langsam nähern wir uns dem Geheimnis dieser Funktion. Die Zetafunktion besitzt zwei Arten von Nullstellen: Einmal die (sog.) "trivialen" reellen Nullstellen, die sich durch die Pole der Gammafunktion an den Stellen -2n, n\el\IN ergeben. Weitere Nullstellen mit Re(s)<0 gibt es nicht. Ausserdem gibt es keine Nullstellen mit Re(s)>1 (folgt aus der Reihendarstellung).
Daraus ergibt sich, dass alle noch möglichen Nullstellen im "kritischen Streifen" 0<=Re(s)<=1 liegen müssen. Das sind die "nichttrivialen" Nullstellen der Zetafunktion. Diese liegen nach der Funktionalgleichung symmetrisch zur Geraden a=(1/2), und da ausserdem gilt \z(s^-)=(\z(s))^- (ohne Beweis) auch symmetrisch zur rellen Achse b=0. Dazu ein Bild:
Riemann selbst behauptete nun in seinem berühmten Aufsatz: "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" (1859), dass alle diese Nullstellen auf der Geraden \menge(1/2+it|t\el\IR) liegen müssten, sagt jedoch selbst:
"Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indes die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig beiseite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien". Wie man aber aus seinen Unterlagen ersehen kann scheint er sich sehr lange und ausführlich mit diesem Thema befasst zu haben, so hat er zum Beispiel die ersten Nullstellen bis auf einige Dezimale genau ausgerechnet...
\big\ Ist die Vermutung nun wahr?
Seit damals haben sich viele (auch bekannte) Mathematiker mit dieser Behauptung auseinandergesetzt, aber weder wurde bis jetzt ein Beweis über die Richtigkeit der Vermutung noch ein Gegenbeweis gefunden. Immerhin gibt es viele Gründe, warum heute der größte Teil der mathematischen Gemeinde an die Richtigkeit der Vermutung glaubt:
- Bereits 1914 bewies Hardy, dass \inf viele Nullstellen auf der Geraden liegen
- Nach Van de Lune, te Riele und Winter liegen die ersten 10 Milliarden Nullstellen darauf. Es gibt ein OpenSource Projekt, an dem sich jeder beteiligen kann, dort wurden schon über 88,7 Billion Nullstellen berechnet. Besonders hervorgetan hat sich der Mathematiker Andrew Odlyzko, der Millionen Nullstellen in den Bereichen 10^22 bis 10^24 mit großer Genauigkeit berechnet hat. Er stellt auf den folgenden Seiten viele seiner Ergebnisse zur freien Verfügung:
OpenSource Projekt ZetaGridHomepage Andrew Odlyzko
- Hardy und Littlewood zeigten: \z(1/2+ib)=O(b^(1/4+\epsilon)), das bedeutet, die Nullstellen liegen sozusagen in einem "Schlauch" um die kritische Gerade. Dieser Wert konnte inzwischen sogar auf O(b^(1/6+\epsilon)) gesenkt werden.
Man muß aber eingestehen, dass auch die Vermutung von Lindelöff, die schwächer ist als die RV: \z(1/2+ib)=O(b^\epsilon) bis heute nicht bewiesen wurde.
Aber es konnte gezeigt werden, dass 99% aller Nullstellen z=a+bi der Bedingung abs(a-1/2)<=8/(log|abs(b)) genügen.
- 1989 zeigten Selberg, Conrey und Levinson, dass mindestens 40% der Nullstellen auf der Geraden liegen.
- Die RV impliziert, dass alle Nullstellen aller Ableitungen von \z(s) auf der kritischen Geraden liegen, dazu wurde gezeigt, dass 99% aller Nullstellen von \z\ '''(s) auf der Geraden liegen.
- Der letzte und wohl wichtigste Grund mag vielleicht eher philosophischer Natur sein. Der RV zufolge sind die Primzahlen symmetrisch und auf die schönstmögliche Art verteilt (dazu gleich mehr). Ist an der Vermutung etwas falsch, so müsste es irgendwo mehr oder weniger große Unregelmäßigkeiten geben. Die erste Nullstelle ausserhalb der kritischen Geraden wäre eine sehr wichtige mathematische Konstante.
Und nicht zu vergessen natürlich die große Anzahl an Arbeiten und (wichtigen) Sätzen, die alle anfangen mit: "Angenommen die RV wäre wahr..."
\big\ Eulersche Produktentwicklung
Den meisten Lesern wird der Fundamentalsatz der Arithmetik bekannt sein. Dieser besagt folgendes: Jede ganze Zahl lässt sich bis auf das Vorzeichen und die Reihenfolge der Faktoren als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen.
1737 entdeckte Euler, dass dieser
in der folgenden Identität steckt:
\sum(1/n^s,n=1,\inf)=\produkt(1/(1-1/p^s),p prim),
Beide Seiten konvergieren nur für s>1.
\stress\ Beweis:
\produkt(1/(1-1/p^s),p prim)= |\darkblue\small\ (einsetzen der geometrischen Reihe für 1/(1-1/p^s))
=\produkt(\sum((1/p^s)^n,n=0,\inf),p prim)=(1+1/2^s+1/2^2s+...)(1+1/3^s+1/3^2s+...)... =
\darkblue\small\ Man sieht, dass hier beim Ausmultiplizieren jede Kombination von Primzahlen^s im Nenner vorkommt)
=\sum(\sum(1/(\small\ p|array(\small\ n_1;1)*...*p|array(n_r;r)\normal),(n_1 ,..., n_r)\el\IN|array(\small\ r;0)),r\el\IN)
\small\darkblue\ p_1 bis p_r bezeichnen die Primzahlen in natürlicher Reihenfolge
=\sum(1/n^s,n=1,\inf)
Für den Spezialfall s=1 liefert diese Identität ein sehr wichtiges Ergebnis: Da die harmonische Reihe divergiert, kann rechts kein endliches Produkt stehen. Daraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss!
\big\ Die Primzahlfunktion
\stress\ Hinweis:\normal\ Im folgenden Teil gehen wir immer von großen Zahlenwerten für x aus, es ist sinnlos Untersuchungen über die Verteilung der Primzahlen in kleinen Bereichen zu machen, da diese dort eher unregelmäßig verteilt sind. Uns interessiert aber eher das große Ganze.
Man definiert für x\el\IR,x>1 die Primzahlfunktion \pi(x)=abs(menge(p<=x|p Primzahl (p\el\IP))), also definiert \pi(x) die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen reellen Zahl x>1.
Eine zweite Folgerung Eulers lautet: \sum(1/p,array(p prim;p<=x))~\log(\log(x))
\darkblue\small\ Die Schreibweise f(x)~g(x) bedeutet: \lim(x->\inf,f(x)/g(x))=1, der relative Fehler wird also beliebig klein für große x
Das kann man umformen, und kommt zu einem Ergebnis, das auch Gauss 1792 schon vermutet hat: Die Dichte der Primzahlen in einem (großen) Bereich um den Wert x beträgt in etwa 1/\log(x).
Erweitert man diese Aussage, so gilt für x\el\IN \pi(x)\approx\ 1/\log(2)+1/\log(3)+...+1/\log(x)\approx\int(1/\log(t),t,2,x). Letzteres ist der sogenannte Integrallogarithmus, der hierbei eine große Rolle spielt, deswegen bezeichnen wir ihn mit Li(x).
Partielle Integration führt zu:
Li(x)=x/\log(x)+\int(1/\log^2(t),t,2,x)-2/\log(2)
Und mehrfache partielle Integration führt zu:
Li(x)=x/\log(x)|(1+\sum(k!/\log^k(x),k=1,n-1))+O(x/\log^(n+1)(x))
\darkblue\small\ Das große Landau-Symbol O bedeutet:f(x)=O(g(x)) <=> \exists\ C>0:\forall\ x>=x_0|: abs(f(x))<=Cg(x), das bedeutet ab x_0 wächst f(x) höchstens so stark wie Cg(x)
Die Näherung \pi(x)\approx\ Li(x) bzw. \approx\ x/\log(x)
(als schlechtere Näherung) sind als sog. Primzahlsatz
bekannt geworden. Dieser wurde bereits 1800 von Gauss
vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und
de la Vallee Poussin bewiesen.
\big\ Zusammenhänge
Im folgenden betrachten wir nun den Zusammenhang von \pi(x) und Li(x) etwas genauer, und natürlich interessiert uns die Frage, wie dies mit der RV zusammenhängt.
Nach langwierigen Umformungen und solchen Sachen wie Mellin-Transformation und Möbius-Inversion etc. kommt man zu folgender Gleichung:
\blue\ \pi(x)-Li(x)=O(\sqrt(x)\log(x))
Diese Aussage gilt nur, wenn die RV wahr ist, und ist deswegen äquivalent zur RV! (nicht trivial)
Den Zusammenhang sieht man im Restglied: O(\sqrt(x)\log(x))=-\sum(Li(x^\r),\z(\r)=0)
\small\darkblue\ Dabei benutzt man folgende Zusammenhänge: f(x)=Li(x)-\sum(Li(x^\r),\z(\r)=0),eine Formel von Riemann die 1895 von Mangoldt bewiesen wurde, und der Tatsache, dass gilt f(x)=Li(x)+O(\sqrt(x)\log(x))=\pi(x)
Das Restglied O(\sqrt(x)\log(x)) ist hierbei praktisch bestmöglich, da \pi(x)-Li(x)=O(\sqrt(x)\log(x))<=>\pi(x)-Li(x)=O(x^((1/2)+\epsilon)),\forall\epsilon>0
Denn:\forall\epsilon>0 und genügend großes x: x^\epsilon>\log(x), und für \epsilon=0 stimmt \pi(x)-Li(x)=(\sqrt(x)) bereits nicht mehr.
Klar ist, dass Li(x) eine glatte und streng monoton wachsende Funktion ist, die das Feinverhalten von \pi(x) nicht beschreiben kann. Lange Zeit hat man sogar geglaubt, dass Li(x) eine obere Schranke für \pi(x) ist, also \pi(x)0 gibt, so dass unendlich oft gilt: \pi(x)-Li(x)>(k|sqrt(x))/\log(x)|\log(\log(\log(x)))
Und 1933 zeigte Skewes, dass es x mit x<10^10^10^34 gibt, dass \pi(x)-Li(x)>0.
Oder es gibt 10^500 solcher Werte x zwischen 1,53*10^1165 und 1,65*10^1165.
Das sind natürlich riesige Zahlen, die vielleicht mit der Realität nichts mehr zu tun haben. Oder sie zeigen uns, in welche Dimensionen man sich manchmal bewegen muss...
\big\ Die Jagd
Jetzt gibt es Mathematiker, die haben nichts besseres zu tun, als diese Schwelle immer weiter zu senken. Zwei davon sind Carter Bays und R.H. Hudson. Grundlage ihrer Jagd "for the smallest x with \pi(x)>Li(x)" ist ein Satz von Lehman (1966), den ich hier einmal anbringen möchte, nur um zeigen, wie so etwas dann aussieht:
\stress\ Satz: \small\ Sei A eine positive Zahl, mit der Eigenschaft, dass \b=1/2 für alle Nullstellen \r=\b+i\g von \z(s) mit 0<\g1 und gilt 4A/\w<=\a<=A^2 und 2A/\a<=\eta<=\w/2. Sei K(y)=sqrt(\a/2\pi) exp((-\a\ y^2)/2).
\small\ Dann gilt für 2\pi0 die Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden. Wählt man T groß genug, so gilt: F(x)=1+\sum(sin(\g\log(x))/\g,0<=\g<=T)+O(1/\log(x)). Das ist eine sehr gute Formel, erstens, weil der Fehler z.B. bei x\approx\10^50 nur eine Größenordnung von 8/1000 hat, und zweitens, weil in der Formel nur die Logarithmen der großen Zahlen x vorkommen.
Die Nullstellen gibts auf der Homepage von Andrew Odlyzko, und der größte Rechenaufwand (wegen der Genauigkeit) ergibt sich bei der Summation über all diese Nullstellen.
Hat man das geschafft, so präsentiert sich z.B. folgendes Ergebnis:
\big\ Beweisideen
Es gibt inzwischen viele Möglichkeiten und Äquvivalenzen zur RV, die sogar weit über die klassische Mathematik hinaus bis in die moderne Physik reichen.
- Es gibt so etwas ähnliches wie die Zetafunktion über endliche Körper, die "Weil'sche Kongruenzzetafunktion algebraischer Varietäten": Sei E(\IF_q^r)=\menge((x,y)|y^2-x^3-a_1 x-a_2=0), dann ist die Weil'sche Zetafunktion Z(E\/\IF_q \;T)=\exp(\sum(\#E(\IF_q^r)*T^r/r,n=1,\inf)) eine rationale Funktion, deren Nullstellen s alle Re(s)=1/2 haben.
(in den 70ern von P.Deligne vollständig bewiesen)
- Neue Entwicklungen zielen darauf ab, die Nullstellen von \z(s) als Eigenwerte eines unendlichdimensionalen Operators zu deuten, um dann die Vermutung mit Hilfe geeigneter kohomologischer Methoden -wie bei der Weil'schen Zetafunktion- zu beweisen. Diese Idee geht bereits auf Hilbert zurück.
- Und eine der neuesten und verblüffendsten Ideen ist, die Imaginärteile der Nullstellen als Energiezustände eines bestimmten quantenchaotischen Systems aufzufassen. Ähnliche Systeme hat man bereits gefunden, nur ein genau passendes fehlt noch.
Wenn es überhaupt existiert....
\(\begingroup\)Hi Bastl
Danke für diesen wunderbaren Artikel. Der ist dir echt hervorragend gelungen. Und spätestens seit dem letzten Bild ist mir der Herr Riemann richtig sympathisch geworden :D
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Bastl,
Klasse Arbeit. Ich hatte ja die Ehre vorher schon einen Blick in diesen Artikel, der einen wirklich guten Überblick in diese interessante Theorie gibt, zu werfen. Es hat mir Spaß gemacht, diesen Artikel zu lesen. Weiter so.
zaotische Grüße\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Bastl,
das ist genial! Die Darstellung ist lesbar und ohne Längen. Du gibt einen sehr guten Überblick und weckst Interesse. Gut finde ich vor allem einige gelungene Überleitungen, mit denen Du dem Leser Orientierung gibst, und auch, daß Du sehr fein Deine eigene Meinung über verschiedene Forschungsrichtungen andeutest, ohne sie aber für grundsätzlich schlecht zu erklären (Zahlenjagd).
Es müßte ja nun mit dem Teufel zugehen, wenn die RV nicht wahr sein sollte. 😉
Da hast Du doch nun etwas besseres getan, als hier nur aufzuräumen.
Beste Grüße
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Also, danke erstmal für das Lob! Ich muß noch dazusagen, dass ich im Rahmen einer Seminararbeit, zusammen mit zwei Studienkollegen, einiges davon schon für die Uni durchgearbeitet hab, insbesondere das oben erwähnte Programm. Ausserdem hats mir Spaß gemacht diese sehr interessante Materie durchzuarbeiten! 😉
Danke Zaos, fürs wiederholte durchlesen! 😁
Und danke Matro fürs wiederfinden einiger bei einem Computerabsturz verlorengegangener fed-Passagen! Dafür würd ich immer noch gern den MP mal aufräumen oder sowas 😄
Bastl\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mit Freuden habe ich diese schöne Arbeit gelesen. Endlich mal was (zumindest peripher) aus meinem Fachgebiet; es gibt also doch noch die analytische Zahlentheorie in der Praxis.
Eine wunderschöne Darstellung des Problems und auch ein etwas eigenwilliger und anspruchsvoller Einstieg in die Fortsetzung in die komplexe Ebene. Der Weg über Fouriertransformation war mir zugegebenermaßen neu. Ich kannte das nur anders.
Sehr schön auch die graphischen Darstellungen, der Ausflug in rechnerische Ergebnisse, numerische Abschätzungen und Zahlenwerte aus dem Grenzbereich.
Nochmals mein herzlicher Glückwunsch zu diesem hervorragenden Artikel, der den Wunsch nach mehr weckt. Das Thema ist ja schier unerschöpflich.
Na ja und eines fehlt natürlich noch: der von allen ersehnte Beweis..........
im nächsten Artikel????
Für die, die sich in dies ernsthaft einlesen wollen, noch eine Ergänzung zu den Quellen:
Das Standardwerk von Titchmarsh über die Zetafunktion und die Zahlentheoriebücher von Landau.
sehr nullstellenvermutend grüßt Wauzi\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Bastl,
ein sehr toller Artikel, auch wenn ich einiges davon noch nicht verstanden habe. Ich finde er gibt aber dennoch auch schon für mich einen guten Überblick über Aussage und Beweisversuche der RV, dei ich zwar im einzelnen nicht nachvollziehen, aber zum Teil schon grob verstehen kann.
Eine Frage stellt sich mir aber dennoch direkt, die zugegebenermaßen nicht tief in das Thema einsteigt, sondern nur den aller obersten Rand kratzt:
Bei der Euler entdeckten Identität:
summe(1/n^2,n=1,\inf)=produkt(1/(1-1/p^s),p prim)
verwendest Du da den Fundamentalsatz der Arithmetik? Oder sagst Du, dass die Aussage äquivalent ist? Im zweiteren Fall erscheint der Beweis mir nämlich sonst mit meinem bescheidenen Wissen nicht ganz vollständig.
Andererseits ist der Fundamentalsatz ja nicht besonders schwer zu beweisen und somit besteht auch in der Aussage nicht direkt ein Problem.
Gruß
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Huepfer,
du hast vollkommen recht, man verwendet für den Beweis dieser Identität den Fundamentalsatz der Arithmetik. Damit steckt der FdA ja in dieser Behauptung, bzw. die Behauptung gilt wenn der FdA gilt, bzw. diese Identität und der FdA sind äquivalent. ich denke mal, so kann man das betrachten. Vielleicht hätte ich das oben noch erwähnen sollen...
Gruss, Bastl\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Auch ich fand den Artikel toll, eine Frage allerdings bleibt: Wie sehen denn diese quantenchaotischen Systeme aus, von denen du zum Schluss sprichst? Vielleicht hast du ja dafür auch einen Link.
vielen Dank trunx\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi nochmals.
Eine Frage ist mir beim nochmaligen Durchlesen aufgefallen
"40% der NST leigen auf der kritischen Gerade"... wie kann man solche angaben sinnvoll deuten? Wir haben es ja nicht mit einer endlichen Menge zu tun, sondern mit einer unendlichen Menge von Nullstellen. Wie kann ich mir davon 40% vorstellen?
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel,
eine richtige Argumentation dafür habe ich auch nicht gefunden, selbst bei Mathworld steht das genau so...
Mir fallen dazu zwei Argumentationen ein:
(1) Man kann für jede Schranke >0 sagen, dass 40% aller Nullstellen bis zu dieser Schranke auf der geraden liegen
oder
(2) was mir auch noch dazu einfällt, ist dass ich in diesem Zusammenhang auch etliches über Wahrscheinlichkeiten gelsen habe. Ich könnte mir vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nullstelle auf der kritischen Geraden liegt mit 40% beziffert werden kann (das mag nicht ganz mathematisch korrekt ausgeführt sein). Es gab aber in diesem Zusammenhang Untersuchung mit stochastischen Mitteln.
Vielleicht klärt das die Frage ein bisschen...
@Trunx, ich hab das leider erst jetzt gesehen. In sämtlichen Quellen im internet waren da immer nur Hinweise zu finden, konkreter wird es in oben angeführtem ZEIT-artikel, vielleicht wenn du mal nach diesen Physikern googelst...
Bastl
P.S. Ich weiß, daß ich dieses semester etwas zur Quantenmechanik in Funktionalanalysis lernen werde, wenn ich dazu dann genaueres weiß werde ich mich nochmal melden (-;\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hier noch ein paar Sachen die ich gefunden habe:
hier
Hugh Montgomery
investigated and found that the statistical distribution of the zeros
on the critical line has a certain property. The zeros tend not to be
too closely together, but to repel. Visiting at the Institute for Advanced Study in 1972, he showed this result to Freeman Dyson, one of the founders of the theory of random matrices, which is of importance in physics due to the fact that the eigenstates of a Hamiltonian, for example the energy levels of an atomic nucleus, satisfy such statistics.
Dyson saw that the statistical distribution found by Montgomery was exactly the same as the pair correlation distribution for the eigenvalues of a random Hermitian matrix.
Subsequent work has strongly born out this discovery, and the
distribution of the zeros of the Riemann zeta function is now believed
to satisfy the same statistics as the eigenvalues of a random Hermitian
matrix, the statistics of the so-called Gaussian Unitary Ensemble. Thus
the conjecture of Polya and Hilbert now has a more solid basis, though
it has not yet led to a proof of the Riemann hypothesis.
hierHier gibt es ein Verzeichnis mit Arbeiten zu diesem Thema
Und noch viel mehr was man dazu finden kann....\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke, Diffform! Endlich weiss ich mehr oder weniger (wobei das weniger mit meinen eher beschränkten Mathematikkenntnissen zusammenhängt), worum es bei der Riemannschen Vermutung geht!
Daumen hoch!
daspan\(\endgroup\)
von: Hans-im-Pech am: Di. 08. November 2005 17:00:41
\(\begingroup\)Hallo Diffform,
sehr schöner, sehr interessanter Artikel!
Ich fürchte zwar, daß ich Dir an vielen Stellen nicht folgen konnte, aber das Thema und Deine Darstellung sind wirklich spannend!
Viele Grüße,
HiP\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Guten Tag Difform,
die Darstellung ist sehr schön, für Nichtmathematiker wird es allerdings spätestens bei der meromeren Formel schwierig. Gibt es irgendwo eine Ausführung der entsprechenden Rechenschritte im Detail(für Dummies?)-
Mich würde etwas interessieren, zunächst nur die ursprüngliche Formel zeta(s)=1/z^s, Re(s)>1 betreffend: Nehmen wir zunächst s-werte,z.B. 2 auf der x-Achse: Wir erhalten die geometrische Reihe, Grenzwert (pi^2)/6(o.ä.). Dabei werden immer kleinere Vektoren (z.B. 1/4), die in der x-Achse liegen, addiert. Nehmen wir nun s mit demselben Realteil und einem Imaginärteil z.B. 0,8, so müsste meiner Ansicht nach eigentlich alles beim alten bleiben, nur dass die Gerade, auf der sich die Summation abspielt, um den Winkel i(0,8 in rad) im Uhrzeigersinn um 0 gedreht sein müsste. (Die Länge der Einzelvektoren, die letztlich summiert werden, bestimmt sich doch über den Realteil von s, während der Imaginärteil lediglich zu einer Rotation um 0 führt). Auf dieser gedrehten Gerade(Bild der x-Achse) ergibt sich aber dann derselbe Absolutwert von zeta(s) für n ->unendlich(Da dieselben Einzelvektoren, lediglich gedreht, zueinander addiert werden). Also müsste die Höhe der Zetafunktion eigentlich für alle Werte mit demselben Realteil gleich sein. Würden wir nur den Realteil oder den Imginärteil von zeta(s) auftragen, so würde sich eine gleichmäßige(Co- oder)Sinus-funktion ergeben. Tatsächlich sieht man aber in den Darstellungen der Zeta-Funktion in der ursprünglichen Formulierung für Re(s)>1 einen nicht so gleichförmigen Verlauf, sieht eher wie ein gewelltes Tuch mit unterschiedlich hohen Falten aus.
Wo liegt da der Denkfehler?
Herzliche Grüße,
Thomas\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hallo Difform!
Erstmal ein dickes Lob über die genaue Darstellung der meromorphen
Fortsetzung von Zeta. Habe schon überall danach gesucht. Riemann
selbst gibt zwar in seinem berühmten Paper eine kurze Darstellung
darüber, habe ich aber nicht verstanden. :(
Achso der Vollständigkeit halber wollte ich dich noch auf einen
kleinen Fehler aufmerksam machen. In dem Abschnitt über die Null-
stellen von Zeta ist in der komplexen Zahlenebene (Bild über die
trivialen Nullstellen) 2 Pfeile die auf -1 und -3 zeigen!
Nun noch eine kleine Verständnisfrage: Ist es bei Richtigkeit der
RV prinzipiell möglich die n-te Primzahl exakt zu bestimmen?
Vielen Dank für Rede und Antwort. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Anonymous.
Es ist bei solchen Sachen immer die Frage, was "exakt" ist. Es gibt z.B. das Sieb des Eratosthenes, mit dessen Hilfe du die Primzahlen der Reihe nach auflisten kannst.
Es gibt aber auch jene Formel:
p_n=1+\sum([](\root(n,n)*\sum([](cos^2(\p*((x-1)!+1)/(x))),x=1,m)^(-1/n)),m=1,2^n)
Das alles geht ohne RV anzunehmen und ist auch (relativ) trivial. Ist es das, was du meintest, oder wolltest du auf etwas anderes heraus?
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hallo Gockel.
Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort. Das Sieb des
Eratosthenes ist mir bekannt, aber die Formel für die n-te
Primzahl hab ich noch nie gesehen. Soll das eine Näherung für
große n sein? Woher kommt diese Formel?
Würde mich über nochmalige Antwort sehr freuen.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi nochmal.
Nein, das ist keine Näherung, das ist eine exakte Formel. Sie stammt aus diesem Thread hier Eine nette Gleichung und basiert im Wesentlichen auf dem Satz von Wilson.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Gockel!
Alles klar, die eckigen Klammern sind Gaußklammern. Jetzt ver-
stehe ich es auch. :) Nochmals Danke!
Aber nochmal zurück zu Zeta. Da man die Zetafunktion auf die
gesamte komplexe Zahlenebene meromorph fortsetzten kann, er-
geben sich ja endliche Werte für divergente Summen, wie z.B:
Zeta(-1)=-1/12 (was ja der unendlichen Summe über n enrspricht).
Nun meine Frage: Wie kann man das mathematisch interpretieren, und was hat das mit Renormierung zu tun?
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi.
Es steht ganz eindeutig dar, dass \zeta(s)=sum(1/n^s,n=1,\inf) \big\ nur für Re(s)>1\normal gilt, sonst nicht, denn wie du schon gesagt hast, ist die Reihe woanders divergent.
\zeta(-1) ist anders definiert, wie du oben nachlesen kannst.
mfg Gockel.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Der nette Artikel enthält zwei Fehler: Triviale Nullstellen sind nur bei negativen geraden Zahlen (im Bild anders). Der Spezialfall der R.V. für elliptische Kurven wurde schon von Weil bewiesen, lange vor Deligne.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wenn ich eine Formel hätte mit der man exakt berechnen kann ob
eine beliebige ungerade Zahl prim oder nicht prim ist, würde mir da jemand antworten?
z.B.: wenn jemand wissen will ob die Zahl 454645477 prim oder nicht ist
muß man doch immer irgend ein Testverfahren anwenden.
Ich behaupte daß ich das mit einer einzigen Rechenoperation bewerkstellige kann.
genauer gesagt ich führe eine Division aus u. weß dann sofort
ob die Zahl Prim oder nicht ist.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
Gruß H.S.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ein etwas verspätetes, aber nichtsdestowewniger verdientes Lob für diesen hervorragenden Artikel. Eine Kleinigkeit hätte ich auch noch: Der gute Mann heisst Deligne, nicht Delinge.
Viele Grüße,
Mentat\(\endgroup\)
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2023-12-02 12:45 U <
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Mathematik: Die Riemann Vermutung
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erhoben. Die meisten dieser Probleme sind heute bereits gelöst. Nicht jedoch diese Vermutung, sie wurde deswegen im Jahr 2000 zu einem der berühmten "
Riemann selbst behauptete nun in seinem berühmten Aufsatz: "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" (1859), dass alle diese Nullstellen auf der Geraden \menge(1/2+it|t\el\IR) liegen müssten, sagt jedoch selbst:
"Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indes die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig beiseite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien". Wie man aber aus seinen Unterlagen ersehen kann scheint er sich sehr lange und ausführlich mit diesem Thema befasst zu haben, so hat er zum Beispiel die ersten Nullstellen bis auf einige Dezimale genau ausgerechnet...
\big\ Ist die Vermutung nun wahr?
Seit damals haben sich viele (auch bekannte) Mathematiker mit dieser Behauptung auseinandergesetzt, aber weder wurde bis jetzt ein Beweis über die Richtigkeit der Vermutung noch ein Gegenbeweis gefunden. Immerhin gibt es viele Gründe, warum heute der größte Teil der mathematischen Gemeinde an die Richtigkeit der Vermutung glaubt:
- Bereits 1914 bewies Hardy, dass \inf viele Nullstellen auf der Geraden liegen
- Nach Van de Lune, te Riele und Winter liegen die ersten 10 Milliarden Nullstellen darauf. Es gibt ein OpenSource Projekt, an dem sich jeder beteiligen kann, dort wurden schon über 88,7 Billion Nullstellen berechnet. Besonders hervorgetan hat sich der Mathematiker Andrew Odlyzko, der Millionen Nullstellen in den Bereichen 10^22 bis 10^24 mit großer Genauigkeit berechnet hat. Er stellt auf den folgenden Seiten viele seiner Ergebnisse zur freien Verfügung:
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