Physik: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
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Physik

\(\begingroup\) BildDas Foucault´sche Pendel ist sicherlich einer der bekanntesten physikalischen Versuche der Wissenschaftsgeschichte. Kein anderes Experiment zeigt so anschaulich die Tatsache, dass die Erde rotiert. Es eignet sich aber auch als Objekt für eine theoretische Untersuchung. Ziel dieses Artikels ist es, die Bewegung des Focault´sche Pendels quantitativ zu beschreiben. Dabei werden zuerst allgemeinere Ergebnisse über bewegte Bezugssysteme abgeleitet und danach auf den Spezialfall eines Pendels auf der rotierenden Erde angewandt. Dieses Vorgehen erfordert mehr Aufwand, bringt allerdings auch mehr Erkenntnisse!

\blue\big Scheinkräfte Das Foucault´sche Pendel ist vom Prinzip her ein ganz normales Pendel, wie es jeder schon einmal gesehen hat. In der Praxis muss dieses Pendel aber gewisse Voraussetzungen erfüllen, damit die Auswirkung der Erdrotation auf die Pendelbewegung beobachtet werden kann. Der Effekt, auf den es ankommt (die Drehung der Schwingungsebene), beruht auf der Tatsache, dass die Erde kein Inertialsystem (IS) ist. Es lohnt sich, die Verhältnisse in einem Nicht-IS (NIS) im Verhältnis zu einem IS ganz allgemein zu studieren. Dadurch erhält man nämlich eine sehr nützliche Formel, anhand derer das Foucault´sche Pendel dann in guter Näherung quantitativ beschrieben werden kann. Kurz aber präzise gesagt ist ein IS ein Koordinatensystem, in dem das Trägheitsgesetz (das erste Newton´sche Gesetz) gilt: Eine Punktmasse, auf die keine Kräfte wirken, bewegt sich in einem IS geradlinig gleichförmig. Dort gilt also m*(R__)^**=F__ \lr(1), wobei F die Summe der "echten" Kräfte auf eine Masse bezeichnet. Mit "echter" Kraft ist eine Kraft gemeint, die eine der vier Grundkräfte (Gravitation, Elektromagnetische Kraft, schwache Wechselwirkung, starke Wechselwirkung) als Ursache hat. Die echte Kraft auf ein Fadenpendel zum Beispiel ist gegeben durch die Gravitationskraft senkrecht nach unten und die Kraft im Faden. Das Foucault´sche Pendel zeigt, dass diese Kräfte nicht ausreichen, um eine Bewegung auf der Erdoberfläche genau zu beschreiben. Man braucht ein korrigiertes Kraftgesetz, um die korrekten Bewegungsgleichungen aufstellen zu können. Die Kräfte, die diese Korrektur ausmachen, werden "Scheinkräfte" genannt im Gegensatz zu den echten Kräften. Während echte Kräfte (auch Wechselwirkungskräfte genannt) immer eine Gegenkraft haben, rufen Scheinkräfte anscheinend keine Gegenkraft hervor. Im NIS gilt also m*(r__)^**=F__+F___S; \lr(2) Zur Summe der echten Kräfte tritt die Summe der Scheinkräfte. Die tiefere Ursache der Scheinkräfte (die Trägheit) und die Frage, ob Scheinkräfte nicht doch eine Gegenkraft haben, sind noch nicht zufriedenstellend geklärt. Jetzt folgt die allgemeine Ableitung des korrigierten Kraftgesetzes, das dann später zur Beschreibung des Pendels benutzt wird. S sei ein orthonormiertes IS (Einheitsvektoren I, J, K) mit Ursprung O und S' ein dazu beschleunigt bewegtes orthonormiertes NIS (Einheitsvektoren i, j, k ) mit Ursprung O'. Orthonormiert bedeutet, dass die Basisvektoren Einheitsvektoren sind und rechtwinklig aufeinander stehen. Zudem sollen die Systeme Rechtssysteme sein (d.h.ixj=k). Die allgemeinste Form der Bewegung von S' ist die Überlagerung einer Drehung um O' und einer Translation von O'. Zunächst soll S' nur rotieren, dabei sei O'=O. Wir betrachten eine Punktmasse, die eine beliebige Bewegung ausführt. Der Ortsvektor der Punktmasse in S sei R(t), in S' r(t). Das bedeutet, das die Komponenten von R(t) durch Transformation auf die Basis von S' in die Komponenten von r(t) übergehen. Wir interessieren uns für die Beschleunigungen in beiden Systemen, deswegen betrachten wir zunächst die zeitliche Änderung des Ortsvektors aus Sicht eines Beobachters in S und eines Beobachters in S'. Für den Beobachter in S' sind die Einheitsvektoren i,j,k zeitlich konstant. Er misst also für die zeitliche Änderung: r__^*(t)= d/dt (r_1*i__ + r_2*j__ + r_3*k__)= (r^*_1 i__+r^*_2 j__+r^*_3 k__) Der Beobachter im IS sieht nun zusätzlich zu der zeitlichen Änderung des Ortsvektors in Bezug auf S' noch die zeitliche Änderung, die der Vektor durch die Rotation von S' erfährt. Um die Ableitungen vergleichen zu können, benötigt man die zeitliche Änderung des Ortsvektors in der auf die Basis von S' transformierten Form. Dafür misst der Beobachter: R__^*(t)=d/(dt) (R_1*I__+R_2*J__+R_3*K__)= d/(dt) (r_1*i__ + r_2*j__ + r_3*k__)= r^*_1*i__ +r_1*i__^*+r^*_2*j__+r_2*j__^*+r^*_3*k__+r_3*k__^*= r^*_1*i__+r^*_2*j__+r^*_3*k__+r_1*i__^*+r_2*j__^*+r_3*k__^*= r__^*(t)+r_1*i__^*+r_2*j__^*+r_3*k__^*\lr(3) Damit ist noch nicht viel anzufangen, da man ja die zeitliche Änderung der bewegten Basisvektoren nicht kennt. Es ist aber möglich, diese zeitliche Änderung mit Hilfe einer Vektorgröße, der sogenannten Winkelgeschwindigkeit, zu erfassen. Das soll jetzt gezeigt werden: Man weiß vorerst nur, dass die Zeitableitungen der Basisvektoren wieder Vektoren sind: i__^*=c_1*i__+c_2*j__+c_3*k__ j__^*=c_4*i__+c_5*j__+c_6*k__ k__^*=c_7*i__+c_8*j__+c_9*k__ Da die Basisvektoren orthonormiert sind, sind diese 9 unbekannten Komponenten jedoch nicht unabhängig. Zuerst nutzen wir aus, dass die Basisvektoren Einheitsvektoren sind: Aus i__*i__=1 folgt d/(dt)(i__*i__)=2(i__*i__^*)=0 Daher muss i__^* senkrecht auf i__ stehen (und entsprechend für j__^* und k__^*), woraus man schließen kann: c_1=c_5=c_9=0 Damit wird das Gleichungssystem zu i__^*=c_2*j__+c_3*k__ j__^*=c_4*i__+c_6*k__ k__^*=c_7*i__+c_8*j__ Jetzt nutzen wir aus, dass die Vektoren rechtwinklig aufeinander stehen: i__\cross\j__=k__ => i__^*\cross\j__+i__\cross\j__^*=k__^* Die Ausdrücke i__^*\cross\j__ und i__\cross\j__^* kann man nun ganz einfach berechnen, indem man die entsprechenden Gleichungen mit i__ bzw. j__ vektoriell multipliziert. Man erhält dann: k__^*=-c_3*i__-c_6*j__=c_7*i__+c_8*j__ Daraus kann man ablesen: -c_3=c_7,-c_6=c_8 Das Gleichungssystem reduziert sich auf i__^*=c_2*j__+c_3*k__ j__^*=c_4*i__+c_6*k__ k__^*=-c_3*i__-c_6*j__ Nun wenden wir genau dasselbe noch einmal an: j__\cross k__=i__ => j__^*\cross k__+j__\cross k__^*=i__^* Das liefert dann: -c_4=c_2 ,c_3=c_3 Das Gleichungsystem wird zu i__^*=c_2*j__+c_3*k__ j__^*=-c_2*i__+c_6*k__ k__^*=-c_3*i__-c_6*j__ Die drei Konstanten c_2 ,c_3 ,c_6 sind nun wirklich unabhängig. Das ist auch intuitiv einleuchtend: Die beliebige Drehung des Koordinatensystems um seinen Ursprung benötigt drei Parameter zu ihrer Beschreibung. Jetzt kann die zeitliche Änderung, die der Beobachters im IS sieht, geschrieben werden als: R__^*=r__^*(t)+r_1*i__^*+r_2*j__^*+r_3*k__^*= r__^*+r_1(c_2*j__+c_3*k__)+r_2(-c_2*i__+c_6*k__)+ r_3(-c_3*i__-c_6*j__) Durch Umordnen erhält man R__^*=r__^*+(-r_2*c_2-r_3*c_3)*i__+(r_1*c_2-r_3*c_6)*j__+(r_2*c_6+r_1*c_3)*k__ =r__^*+(c_6 ,-c_3 ,c_2)x(r_1,r_2,r_3) Definiert man nun c_6=:\omega_1,-c_3:=\omega_2, c_2=:\omega_3 so erhält man schließlich R__^*=d/(dt) R=r__^*+\omega__\cross r__=(d/(dt)+\omega__\cross) r__\lr(4) Dem Differentialoperator d/(dt) in S entspricht also der Differentialoperator (d/(dt)+\omega__\cross) in S'. Damit erhält man für die Beschleunigung in S: R^**=d/(dt) d/(dt) R=(d/(dt)+\omega__\cross)(d/(dt)+\omega__\cross) r__=(d/(dt)+\omega__\cross)(r__^*+\omega__\cross r__)= =r__^**+\omega__^*\cross r__+\omega__\cross r__^*+\omega__\cross r__^*+\omega__\cross(\omega__\cross r__)= =r__^**+\omega__^*\cross r__+2\omega__\cross r__^*+\omega__\cross(\omega__\cross r__) \lr(5) Berücksichtigt man nun noch eine mögliche Translationsbeschleunigung von O', und bezeichnet den Abstandsvektor OO'^- als d^-, so muss man offensichtlich bei der Herleitung nur r^- durch d^- +r^- ersetzen. Dann erhält man schließlich: R__^**=d__^**+r__^**+\omega__^*\cross r__+2\omega__\cross r__^*+\omega__\cross(\omega__\cross r__) \lr(6) Das ist die bereits angekündigte nützliche Formel. Sie gilt für alle relativ zueinander beschleunigten Bezugssysteme, die sich mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit bewegen. Die Bestandteile, aus denen sich die zusätzliche Kraft auf einen Körper im NIS zusammensetzt, werden folgendermaßen bezeichnet: d__^**:Translationsbeschleunigung \omega__^*\cross r__:Linearbeschleunigung 2\omega__\cross r__^*:Coriolisbeschleunigung \omega__\cross(\omega__\cross r__):Zentripetalbeschleunigung \blue\big Die Erde als beschleunigtes Bezugssystem Der nächste Schritt ist nun, (6) auf unsere Erde als Bezugssystem anzuwenden. Nimmt man den Fixsternhimmel als IS an, führt die Erde eine sehr komplizierte Bewegung aus: Sie bewegt sich einerseits um die Sonne und andererseits um den Schwerpunkt des System Erde-Mond. Außerdem rotiert sie bekanntlich um die Polarachse. Ferner bewegt sich das gesamte Sonnensystem in Bezug auf das IS. Für unsere Zwecke genügt es, ein mit dem Mittelpunkt der Erde verbundenes Bezugssystem zu verwenden, das allerdings nicht die Eigendrehung der Erde mitmacht, sondern seine Orientierung gegenüber der Verbindung Erde-Sonne beibehält. Dann ist die Relativbeschleunigung der Erde zum IS nur noch durch ihre tägliche Drehung gegeben. Diese Näherung ist sinnvoll, weil der Effekt durch die Rotation groß ist im Vergleich zu den Trägheitskräften, die durch die anderen erwähnten Beschleunigungen verursacht werden. Wir nehmen also ein Bezugssystem mit Ursprung im Mittelpunkt der Erde und K-Achse in Richtung der Rotationsachse als IS an. Das bewegte System S' habe seinen Ursprung O' an einem Punkt der Erdoberfläche mit der geographischen Breite \psi Bild An diesem Ort ist ein ganz normales Fadenpendel (Länge L) mit einer Masse m installiert. Die Aufhängung darf keine merkliche Kraft auf den Faden ausüben, was in der Praxis durch große Werte für L und m realisiert wird. Bild \blue\big Die Bewegungsgleichungen des Foucault´schen Pendels Nach (6) lauten die Bewegungsgleichungen des Pendels auf der Erdoberfläche: m*r__^**=F__-m*d__^**-m*\omega__^*\cross r__-2*m*\omega__\cross r__^*-m*\omega__\cross(\omega__\cross r__)\lr(7) F__ ist dabei die Summe der äußeren Kräfte im bewegten System, besteht also in diesem Fall aus der Gravitation und der Zwangskraft, die der Pendelfaden auf den Pendelkörper ausübt. d__ ist der Ortsvektor des Punktes an der Erdoberfläche in Bezug auf den Erdmittelpunkt. Der Term m*\omega__\cross(\omega__\cross r__) beschreibt die Zentripetalkraft durch die Rotation von S'. Dieser Effekt ist von der Ordnung \omega^2(mit \omega~=7,3*10^(-5) s^(-1))und kann daher gegen die in \omega linearen Terme vernachlässigt werden. Außerdem ist klarerweise \omega__^*=0. Damit wird (7) zu: m*r__^**=F__-m*d__^**-2*m*\omega__\cross r__^*\lr(8) Um (8) zu bearbeiten, müssen alle Größen im selben System ausgedrückt werden. Da die Bewegung von der Erde aus beschrieben werden soll, ist es sinnvoll, dafür das bewegte System i,j,k zu wählen. Nach einigem Nachdenken und mit Hilfe der folgenden Zeichung kann man die Beziehungen zwischen den Basisvektoren angeben: Bild (Vorlage für das Bild:www.itp.tu-graz.ac.at/LV/ schnizer/Analytische_Mechanik/node9.html) i__=Sin(\psi)*Cos(\phi)*I__+Sin(\psi)*Sin(\phi)*J__-Cos(\psi)*K__ j__=-Sin(\phi)*I__+Cos(\phi)*J__ \lr(9) k__=Cos(\psi)*Cos(\phi)*I__+Cos(\psi)*Sin(\phi)*J__+Sin(\psi)*K__ Auflösen nach I__ , J__ , K__ liefert: I__=Sin(\psi)*Cos(\phi)*i__-Sin(\phi)*j__+Cos(\psi)*Cos(\phi)*k__ J__=Sin(\psi)*Sin(\phi)*i__+Cos(\phi)*j__+Cos(\psi)*Sin(\phi)*k__\lr(10) K__=-Cos(\psi)*i__ +Sin(\psi)*k__ Mit diesen Gleichungen kann man alle Größen beliebig transformieren. \blue\big Translationsbeschleunigung: Man kann sich leicht überlegen(siehe untenstehende Zeichnung), dass für die Translationsbeschleunigung gilt: d__^**=R_E*Cos(\psi)*\omega^2*(Cos(\phi)*I__+Sin(\phi)*J__) Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die durch die Translationsbewegung um die Rotationsachse der Erde im breitenabhängigen Abstand R_E*Cos(\psi) entsteht. Mit den Gleichungen (10) wird diese Zentripetalbeschleunigung zur Zentrifugalbeschleunigung im bewegten System: d__^**=R_E*Cos(\psi)*\omega^2* Cos(\phi)*(Sin(\psi)*Cos(\phi)*i__-Sin(\phi)*j__+Cos(\psi)*Cos(\phi)*k__)+ R_E*Cos(\psi)*\omega^2* Sin(\phi)*(Sin(\psi)*Sin(\phi)*i__+Cos(\phi)*j__+Cos(\psi)*Sin(\phi)*k__)= R_E*\omega^2*Cos(\psi)*(Sin(\psi);0;Cos(\psi)) \(Anmerkung: die Koordinatenschreibweise bezieht sich hier immer auf das bewegte System) Bild Also ist auch diese Kraft von der Ordnung \omega^2 und kann vernachlässigt werden. Die k__-Komponente von m*d__^** ist sowieso normalerweise im Ortsfaktor g(\psi) bereits enthalten; die Gravitationsbeschleunigung wird ja bekanntlich durch die Bewegung um die Rotationsachse der Erde geringfügig verringert. \blue\big Coriolisbeschleunigung: Die Winkelgeschwindigkeit \omega__ ist offensichtlich in S: \omega__=\omega*K__ mit (10) wird das zu: \omega__=\omega*K__=\omega*(Sin(\psi)*k__-Cos(\psi)*i__) Damit kann man die Coriolis-Beschleunigung ausrechnen: 2*m*\omega__\cross r__^*=2*m*\omega*(-Cos(\psi);0;Sin(\psi))\cross (x^*;y^*;z^*)= =(-Sin(\psi)*y^*;Sin(\psi)*x^*+Cos(\psi)*z^*;-Cos(\psi)*z^*)\lr(11) Wenn man bedenkt, dass ein Beobachter im bewegten System die zu (11) entgegengesetzte Kraft spürt, sieht man hieran gut, dass die Coriolis\- Beschleunigung auf der Nordhalbkugel(Sin(\psi)>0) immer nach rechts wirkt: die Änderung von y, also eine Bewegung nach Osten, bewirkt eine Kraft entgegen der i__-Komponente, also nach Norden \(im bewegten System nach Süden). Eine Bewegung nach Süden(x^*) bewirkt eine Kraft in östlicher Richtung(im bewegten System nach Westen). Auf der Südhalbkugel wirkt die Coriolis-Beschleunigung dagegen nach links(Sin(\psi)<0). Für Bewegungen nach oben sind die Verhältnisse noch komplizierter. \blue\big Fadenkraft: Die Komponenten der Fadenkraft sind ihre Normalprojektionen auf die Koordinatenachsen. Die Winkel, die ein Vektor(in diesem Fall die Fadenkraft) mit den Basisvektoren einschließt, nennt man Richtungscosinusse (ich weiß nicht, ob das der grammatikalisch korrekte Plural ist;) Diese Winkel liegen also im allgemeinen nicht in den Koordinatenebenen, daher ist die zeichnerische Darstellung nicht trivial. Ich hab´s trotzdem mal versucht: Bild Aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich nicht alle drei Winkel an einer Stelle eingezeichnet. Außerdem sind die Winkel \a_1 und \a_2 nicht die eigentlichen Richtungswinkel, sondern die zugehörigen Supplementwinkel. Man liest ab: Cos(\alpha_1)=x/L Cos(\alpha_2)=y/L Cos(\alpha_3)=(L-z)/L Daher erhält man für die Fadenkraft: Z__=(Z__*i__) i__+(Z__*j__) j__+(Z__*k__) k__= Z*(Cos(\pi-\alpha_1) i__+Cos(\pi-\alpha_2) j__+Cos(\alpha_3) k__)= Z*(-Cos(\alpha_1) i__-Cos(\alpha_2) j__+Cos(\alpha_3) k__)= Z*(-x/L*i__-y/L*j__+(L-z)/L*k__)= Z/L*(-x;-y;L-z) Die i__-und j__ Komponenten sind negativ, weil der Pendelfaden eine rücktreibende Kraft ausübt. \blue\big Lösung der Bewegungsgleichungen: Nach den bis jetzt durchgeführten Näherungen lauten die Bewegungsgleichungen: x^**=-Z*x/(L*m)+2\omega*Sin(\psi)*y^* y^**=-Z*y/(L*m)-2\omega*Sin(\psi)*x^*-2 Cos(\psi)*z^* \lr(12) z^**=Z*(L-z)/(L*m)-mg+2\omega*Cos(\psi)*y^* Um dieses System leichter lösen zu können, nimmt man folgendes an: Das Pendel mache so kleine Ausschläge, dass der Hub (die Bewegung in z-Richtung) vernachlässigt werden kann und die Bewegung praktisch in einer Ebene stattfindet (und nicht auf einer Kugeloberfläche, was strenggenommen der Fall ist). Es ist also z=z^*=z^**~=0 Außerdem kann in der Gleichung für die z-Komponente der Term proportional \omega gegen den Term proportional g vernachlässigt werden. Dann erhält man: x^**=-Z*x/(L*m)+2\omega*Sin(\psi)*y^* y^**=-Z*y/(L*m)-2\omega*Sin(\psi)*x^* 0=Z*L/(L*m)-g Daraus kann man Z bestimmen: Z=m*g => x^**+g*x/L-2\omega*Sin(\psi)*y^*=0 y^**+g*y/L+2\omega*Sin(\psi)*x^*=0 Dieses System kann man elegant lösen, indem man die komplexe Funktion u(t):=x(t)+iy(t)=abs(u)*e^(i\phi) definiert und damit die zwei Gleichungen zu einer zusammenfasst. Durchmultiplizieren der zweiten Gleichung mit i und Addition liefert: x^**+iy^**-2\omega*Sin(\psi)(y^*-ix^*)+g/L*(x+iy)= d^2/dt^2 (x+iy)+2\omega*i*Sin(\psi)*d/dt (x+iy)-g/L*(x+iy)= u^**+2\omega*i*Sin(\psi)*u^*+g/L*u=0 Diese DGL beschreibt einen Harmonischen Oszillator in zwei Dimensionen. Es ist anzumerken, dass der Faktor vor u^* rein imaginär und die Bewegung deshalb nicht gedämpft ist. Die Lösung erhält man mit dem üblichen Exponentialansatz u(t)=C*e^(\alpha*i*t) Sie lautet u(t)=C_1*e^(i(\Omega-\xi)t) +C_2*e^(-i(\Omega+\xi)t) Dabei ist \xi:=\omega*Sin(\psi) und \Omega:=\sqrt(\xi^2+g/L) Eine anfängliche Auslenkung in NS-Richtung ohne Anfangsgeschwindigkeit entspricht den Anfangsbedingungen x(0)=x_0, y(0)=0; x^*(0)=0, y^*(0)=0 => u(0)=x_0, u^*(0)=0 Man erhält damit für die Integrationskonstanten C_1=x_0/2*(1+\xi/\Omega),C_2=x_0/2*(1-\xi/\Omega) => u(t)=x_0/2*e^(-i*\xi*t)*((1+\xi/\Omega)*e^(i*\Omega*t)+(1-\xi/\Omega)*e^(-i*\Omega*t))\lr(13) u^*(t)=-x_0*e^(-i*\xi*t)*g/(L*\Omega)*Sin(\Omega*t)\lr(14) Diese Funktion beschreibt eine Kurve in der komplexen Ebene, die der Bahn des Pendelkörpers entspricht. Die Nullstellen von (14) entsprechen den Nullstellen von Sin(\Omega*t). Sie bezeichnen die Umkehrstellen der Bahn, da an diesen Stellen x^*=y^*=0 gilt. Wegen \Omega=\sqrt(\xi^2+g/L)~=\sqrt(g/L)entspricht die Schwingungsdauer ziemlich genau derjenigen ohne Coriolis-Kraft. \xi ist die Kreisfrequenz der Drehung der Schwingungsebene. Die komplexe Exponentialfunktion hat die Periode 2\pi. Damit kann man die Dauer der kompletten Drehung berechnen: \xi*(t+T)-\xi*t=2\pi=>T=2\pi/\xi=2\pi/(Sin(\psi)*\omega)=T_E/Sin(\psi), wobei T_E die Dauer eines Erdentages ist. Für \psi->0 geht T ->\inf, d.h. der Effekt verschwindet in Äquatornähe. Der Anzahl der Schwingungen pro Umdrehung ist N=T/(2\pi)*\Omega=T_E*\Omega/(2\pi*Sin(\psi))=1/Sin(\psi)*\Omega/\omega Daraus ergibt sich der Abstand zwischen zwei Umkehrpunkten: d=2\pi*x_0/N=2\pi*x_0*Sin(\psi)*\omega/\Omega Es ist beachtenswert, das d~x_0 aber ~sqrt(L) ist. Allerdings steigen sicher mit der Auslenkung auch die Störeffekte stärker an als bei einer Verlängerung des Seils. Für L=50 Meter, x_0=5 Meter und \psi=50°(ungefähr mitteleuropäische Breite) ergibt sich N~=7951 und d~=0,004m=0,4cm Bild Bild Bild Diese Abbildungen sind nicht maßstabsgetreu, sonst würde man die Steigung kaum erkennen können. Im richtigen Maßstab sieht die Bewegung so aus: Bild Bild Wie man sieht, erfolgt die Drehung der Schwingungsebene im Uhrzeigersinn. Für einen Breitengrad auf der Südhalbkugel dagegen (der Sinus wird dann negativ) erfolgt die Drehung gegen den Uhrzeigersinn Außerdem ist die Bewegung von der Masse des Pendelkörpers unabhängig! In der Praxis sorgt aber eine große Pendelmasse dafür, dass Störungen wie Luftwiderstand, Vibrationen im Faden etc... an Einfluss verlieren. Wenn man sich Mühe gibt, sollte man auch im eigenen Keller ein Pendel konstruieren können, mit dem man direkt die Drehung der Erde nachweisen kann:) Zum Schluss noch eine vielleicht interessante \blue\big Historische Anmerkung Das Foucault´sche Pendel ist benannt nach dem französischen Physiker Jean Bernard Leon Foucault (1819-1868), der übrigens Autodidakt war. Er stellte Anfang 1851 der Öffentlichkeit im Pariser Pantheon ein 67 Meter langes Pendel mit 28kg schwerem Pendelkörper vor. Der Pendelkörper hatte unten eine Spitze, mit der er Striche in einen feuchten Sandwall auf dem Boden zog. Nimmt man eine Auslenkung von 3 Metern an, war nach den obigen Formeln der Abstand zwischen zwei Strichen d=2\pi 3*Sin(49)*7.3*10^(-5)/(sqrt(10/67))~=2,7mm, also so groß, dass sich jeder Besucher dort von der Tatsache, dass die Erde rotiert, überzeugen konnte. Den ersten nachgewiesenen mechanischen Nachweis der Erdrotation überhaupt erbrachte Johann Friedrich Benzenberg (1777-1846) durch Fallversuche von der Michaeliskirche in Hamburg im Jahre 1802.
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Das Foucault'sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme [von Jonas_Rist]  
Das Foucault'sche Pendel ist sicherlich einer der bekanntesten physikalischen Versuche der Wissenschaftsgeschichte. Kein anderes Experiment zeigt so anschaulich die Tatsache, dass die Erde rotiert. Es eignet sich aber auch als Objekt für eine theoretische Untersuchung. Ziel dieses Artikels ist es, d
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"Physik: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme" | 7 Comments
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Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Spock am: Mi. 29. September 2004 12:30:23
\(\begingroup\)Hallo Jonas, das ist ein ziemlich guter Artikel, den Du da abgeliefert hast, ich bin beeindruckt! Ich hab das in dieser ausführlichen und sehr gut dargestellten Form so noch nirgendwo gesehen. Bei Dir stimmt beides, die Mathematik und die anschauliche Physik dahinter. Besonders gut gefällt mir die klare Auseinanderhaltung der jeweiligen Bezugssysteme, da kann man viel falsch machen. Der Artikel ist wirklich ein kleines Schmuckstück für den Mp, und er bestätigt den Eindruck, den man aus Deinen zahlreichen kompetenten Antworten im Physikforum gewinnt! Gruß Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Jonas_Rist am: Mi. 29. September 2004 16:07:20
\(\begingroup\)Danke Jürgen! Es war auch mein Ziel, eine Darstellung abzuliefern, die zumindest für weniger erfahrene Leute leichter verständlich ist als die gängigen Darstellungen. Es steckt auch einiges an Arbeit drin, weil mir dauernd Sachen aufgefallen sind, die man doch noch besser machen könnte. Außerdem musste ich an manchen Stellen mein eigenes Verständnis erstmal überprüfen und richtigstellen. Gruß Jonas\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Nils_D am: So. 30. Oktober 2005 19:37:17
\(\begingroup\)In Gleichung (12) hat sich ein Fehler eingeschlichen die z-Komponente der Beschleunigung enthält im 2. Summanden ein "m" zuviel. Allein von den Einheiten passts so nicht. Grüße Nils\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: KingGeorge am: Di. 04. Juli 2006 15:16:07
\(\begingroup\)Hallo jonas, ich bin gerade auf deinen Artikel gestoßen (worden ). Wirklich ausgezeichnet. Respekt. lg Georg\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Modoki am: Fr. 10. Dezember 2010 18:14:05
\(\begingroup\)Hallo Jonas. Ein wunderbarer, ausgezeichneter Artikel, der mir sehr in meinem Verständnis geholfen hat! Wie hast du die Zeichnungen gemacht?\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 14. Januar 2012 15:31:46
\(\begingroup\)hallo, ich bin nicht bewandert was mathe und physik angeht und habe deshalb nur eine simple frage. in umberto eco's "das focaultschen pendel" heisst es : "Ich wusste, dass die Erde rotierte, und ich mit ihr und Saint-Martin-des-Champs und ganz Paris mit mir; wir alle rotierten gemeinsam unter dem Pendel, das in Wirklichkeit nie seine Schwingungsebene ändert, denn dort oben, von wo es herabhing, und längs der ideellen Verlängerung des Fadens, endlos hinauf bis zu den fernsten Galaxien, dort oben stand, reglos in alle Ewigkeit, der Feste Punkt. Die Erde rotierte, doch der Ort, wo das Pendel verankert war, war der einzige Fixpunkt im Universum." was meint eco mit "Die Erde rotierte, doch der Ort, wo das Pendel verankert war, war der einzige Fixpunkt im Universum."? meint er die verankerung auf der erde z.b. pantheon paris - oder auf einer galgenlatte oder sonst einer irdischen konstruktion an dem das pendel verankert ist? oder meint er dass der fixpunkt irgendo im universum ist? und kann es nicht sein das die schwingungsebene von der gravitationskraft der erde herrührt, da alles ja in den erdkern gezogen wird und somit wie gesagt der fixpunkt der erdkern ist? muss man denn den fixpunkt im universum vermuten? ist das nicht zu hoch gegriffen? gibt es keine physikalische erklärung was den fixpunkt angeht? fragen über fragen.. grüße, ahab.\(\endgroup\)
 

Re: Das Foucault´sche Pendel - Bewegte Bezugssysteme
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 22. März 2015 05:14:40
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel, gefällt mir sehr gut und die Darstellungen sind weitestgehend ohne Nachrechnen nachzuvollziehen. Aber an einer Stelle hätte ich doch eine Frage (vielleicht übersehe ich was Einfaches): Du schreibst d/(dt)(i__*i__)=2(i__*i__^*)=0. Ich dachte es wäre aber d(i__*i__)/dt=2(i__*i__^*)=0. Vielleicht kannst du mich behelligen? \(\endgroup\)
 

 
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