Mathematik: Vektoren I - Das Skalarprodukt
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Mathematik

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(Un)produktive Vektoren Teil I: Das Skalarprodukt

Da steht man nun kurz vorm Abitur und kommt ins neue Semester. Was sieht man dann auf dem Plan stehen? "Lineare Algebra und Analytische Geometrie", was kurzerhand als Vektorrechnung abgetan wird. Okay soweit sogut... Man bekommt dann sehr schnell eingetrichtert, dass Vektoren Pfeile sind, dass sie Verschiebungen repräsentieren und man sie addieren kann. Doch da fängts dann an: "Moment! Wenn man sie addieren kann, kann man sie dann auch multiplizieren?", fragt der ein oder andere Schüler erst sich und dann den Lehrer.

Ja aber was soll man da als Lehrer antworten? "Ja" wäre falsch, da ein Schüler beim Multiplizieren an etwas denkt, was es so in der Form, wie man es von den reellen Zahlen gewöhnt ist, nicht gibt. "Nein" wäre genauso falsch, denn im Laufe des Semesters kommen 2 bis 4 so genannte Produkte auf den Schüler zu, die mehr oder weniger trotzdem wie eine Multiplikation funktionieren. Mit einer kleinen Artikelreihe will ich den verwirrten Schülern diese Produkte etwas näher bringen und versuchen, sie verständlich darzulegen, denn aus eigener Erfahrung weiß ich, dass es genug Leute gibt, die große Probleme damit haben, die Konzepte, die hinter diesen Produkten stehen, zu verstehen. Ein gewisses Verständnis für Vektoren ist aber unabdingbar. Zum Beispiel sollte bekannt sein, wie man Vektoren addiert und sie mit reellen Zahlen vervielfacht: (a_x;a_y;a_z)+\lambda*(b_x;b_y;b_z)=(a_x+\lambda*b_x;a_y+\lambda*b_y;a_z+\lambda*b_z) Folgende Definition der Länge eines Vektors sollte ebenfalls bekannt sein: abs((a_x;a_y;a_z))=sqrt(a_x^2+a_y^2+a_z^2) Ebenso sollte bekannt sein, dass man Vektoren in Komponenten zerlegen kann. Zum Beispiel anhand der Basis des Kartesischen Koordinatensystems, das man i.d.R. in der Schule verwendet: (a_x;a_y;a_z)=a_x*i^>+a_y*j^>+a_z*k^> In diesem Zusammenhang will ich gleich Bezeichnungen einführen: In den folgenden Betrachtungen soll a^>:=(a_x;a_y;a_z), b^>:=(b_x;b_y;b_z) sowie \lambda eine beliebige reelle Zahl sein.

Das Skalarprodukt

Motivation

Dieses Produkt lernt man (zumind. bei uns in M-V) als erstes kennen und deshalb soll ihm auch der erste Teil der Reihe gewidmet sein. Die Vektorgeometrie untersucht geometrische Probleme aller Art. Und ein sehr wichtiges Grundproblem ist dabei die Projektion von Strecken aufeinander, was u.A. sehr geeignet ist, um zu untersuchen, ob zwei Geraden orthogonal, also senkrecht zueinander sind. Ein Beispiel: Hier wird die rote Strecke (OP_1)^- auf die x-Achse projiziert. Die orange Strecke (OP_2)^- kommt dabei heraus... \geo x(-1,6) y(-1,6) punkt(0,0,O) punkt(3,4,P1) punkt(3,0,P2) nolabel() winkel(P2,O,P1) strecke(P2,P1) pen(2) plot(0) color(ff0000) strecke(O,P1) color(FFA000) strecke(O,P2) print(\big\alpha,0.5,0.5) \geooff \geoprint() Diese Projektion von Strecken ist bereits aus dem Physik-Unterricht bekannt. Nämlich in Form der Gleichung W=F*s*cos \alpha mit deren Hilfe sich die Arbeit berechnen lässt, wenn der Betrag der Kraft (F) konstant ist, F^> und s^> aber nicht in derselben Richtung liegen, sondern zwischen ihnen der Winkel \alpha liegt. \(Das ist so nicht ganz korrekt, denn der Spezialfall, dass F^> und s^> gleichgerichtet sind, entspricht dem Falle \alpha=0, wodurch die speziellere Formel W=F*s hier als Spezialfall mit eingeschlossen ist.\)

Definition

Diese Definition der Arbeit lässt sich verallgemeinern zum so genannten "Skalarprodukt" von Vektoren, das ein sehr wichtiges mathematisches Hilfsmittel für die vielseitigsten Aufgaben in Mathematik und Physik ist: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) Hier sind a^> und b^> zwei beliebige Vektoren und \alpha ist der Winkel, der zwischen diesen Vektoren liegt, wenn man sie so verschiebt, dass sie einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Man erkennt hieran auch, woher der Name Skalarprodukt \(der neben anderen Namen wie z.B. Punktprodukt und inneres Produkt am häufigsten verwendet wird\) stammt, denn aus zwei Vektoren wird durch dieses Produkt eine reelle Zahl gemacht. Wir führen dazu gleich eine Kurzschreibweise ein: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*b'=a'*abs(b^>) Hier sind a' und b' jeweils die vorzeichenbehafteten Projektionen der Vektoren auf den jeweils anderen Vektor. Es ist, wie man leicht erkennt: a'=abs(a^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) b'=abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) Das ist so ähnlich wie oben im Beispiel der Arbeit: W=s*F' Hier ist F' derjenige Anteil der Kraft F^>, der in Richtung von s^> wirkt, nämlich F*cos(\alpha). \(Anmerkung: In der Physik ist es oft üblich, anstelle der Betragsstriche einfach den Buchstaben ohne Pfeil zu benutzen, also abs(F^>) =: F. Wir werden aber im Weiteren die Betragsstriche setzen, da wir es von der mathematischen Seite her beleuchten wollen und nicht von der physikalischen Anwendung aus.\)

Erste Eigenschaften

Wir wollen schauen, was wir so mit Hilfe dieser Definition herausfinden können... Als erstes stellen wir fest, dass für den Nullvektor o^> und einen beliebigen anderen Vektor a^> gilt: a^>\circ\ o^>=o^>\circ\ a^>=0 Das resultiert daraus, dass der Betrag des Nullvektors gleich 0 ist. Eine weitere schöne Eigenschaft ist, dass a^>\circ\ a^>=abs(a^>)*abs(a^>)*cos(0°)=abs(a^>)^2 ist. Außerdem gilt (was besonders wichtig ist) für Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*abs(b^>)*cos(90°)=abs(a^>)*abs(b^>)*0=0

Das Kommutativgesetz

Des weiteren erkennen wir, dass es sich hier nicht um einen gerichteten Winkel handeln muss, da cos(-\alpha)=cos(\alpha) ist. Es ist also egal, ob der Winkel von a^> nach b^> oder der von b^> nach a^> benutzt wird. \(Bei einem anderen Produkt, das wir später kennenlernen werden, ist die Orientierung des Winkels nicht egal.\) Daraus wiederum folgt a^>\circ\ b^>=b^>\circ\ a^>, denn auch die Beträge können folgenlos vertauscht werden \(das sind ja reelle Zahlen, für die x*y=y*x gilt\). Diese Eigenschaft, die uns von der normalen Multiplikation reeller Zahlen in Fleisch und Blut übergegangen ist, bezeichnet man als Kommutativgesetz: \ll(K)a^>\circ\ b^>=b^>\circ\ a^>

Die Multiplikation mit einem Skalar

Ein weiteres wichtiges Kriterium ist, dass die Multiplikation mit einem Skalar, also einer reellen Zahl, sehr ähnlich wie bei der normalen Multiplikation funktioniert (sei \lambda eine beliebige reelle Zahl): \ll(S)\lambda*(a^>\circ\ b^>)=(\lambda*a^>)\circ\ b^>=a^>\circ(\lambda*b^>) Dieses Verhalten folgt daraus, dass für den Betrag eines Vektors gilt: abs(\lambda*a^>)=abs(\lambda)*abs(a^>) Und außerdem ist der Winkel zwischen a^> und dem zu b^> entgegengesetzten Vektor -b^> \(bzw. der Winkel zw. dem zu a^> entgegengesetzten Vektor -a^> und b^>\) gleich 180°-\alpha. Dadurch kehrt sich das Vorzeichen des Cosinus-Wertes um. Diese beiden Eigenschaften führen dazu, dass oben genannte Eigenschaft immer gilt: (\lambda*a^>)\circ\ b^>=abs(\lambda*a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(\lambda*a^>,b^>) =abs(\lambda)*abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(\lambda*a^>,b^>) =fdef(abs(\lambda)*abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>),$ für \lambda>0;abs(\lambda)*abs(a^>)*abs(b^>)*cos(180°-\sphericalangle(a^>,b^>)),$ für \lambda<0) =\lambda*abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) =\lambda*(a^>\circ\ b^>) Den Fall \lambda=0 lassen wir hier außen vor, da er trivial ist. Der zweite Teil, bei dem \lambda mit b^> multipliziert wird folgt direkt aus diesen Ausführungen, da man das ganze auch für b^> machen kann.

Das Distributivgesetz

Was nicht ganz so trivial ist, ist das so genannte Distributivgesetz: \ll(D)a^>\circ(b^>+c^>)=a^>\circ\ b^> + a^>\circ\ c^> Hier muss man allerdings einen Trick anwenden, um es zu beweisen. Wir zerlegen dazu die Vektoren b^> und c^> auf eine ganz bestimmte Weise in Komponenten. Eine solche Zerlegung ist jedem schon bekannt: (x;y;z)=x*i^>+y*j^>+z*k^> Wie man vielleicht weiß, kann man aber nicht nur die Basis des kartesischen Koordinatensystems (i^>, j^>, k^>) verwenden, um Vektoren zu zerlegen, sondern jede Basis, also jede Menge von 3 linear unabhängigen Vektoren. \(Anmerkung: Wir betrachten hier einfach immer 3 Vektoren, also den Raum, weil die Ebene ein Spezialfall ist, der aus unseren Überlegungen sofort folgt, wenn man z=0 setzt.\) Wir benutzen nun eine andere Menge, nämlich eine, in der a^> ein Basisvektor ist \(Dazu müssen wir voraussetzen, dass a^>!=o^> ist, aber das können wir ohne Weiteres tun, da für den Fall a^>=o^> das Distributivgesetz ja sowieso schon gilt.\). Die anderen beiden Basisvektoren bezeichnen wir einfach mit u^> und v^>. Dann gilt: b^>=b'*a^>+?*u^>+?*v^> c^>=c'*a^>+?*u^>+?*v^> Hier ist nicht umsonst b' und c' verwendet worden, denn die "a-Koordinaten" von b^> und c^> entsprechen ja genau den Projektionen von b^> bzw. c^> auf den Vektor a^>. \(Hier sollte man sich klarmachen, dass das für jede Komponentenzerlegung gilt, also a^>\circ\ i^> die x-Koordinate von a^> angibt usw.\) Das heißt insbesondere, dass gilt: b^>+c^>=(b'+c')*a^>+?*u^>+?*v^> Das ist nun der Schlüssel zum Beweis des Distributivgesetzes: a^>\circ\ b^>+a^>\circ\ c^>=abs(a^>)b'+abs(a^>)c'=abs(a^>)*(b'+c')=abs(a^>)*(b+c)'=a^>\circ(b^>+c^>)

Die Koordinatenschreibweise

In der Regel hat man Vektoren ja durch (kartesische) Koordinaten gegeben. Wir suchen also jetzt eine Möglichkeit, wie wir aus diesen Koordinaten direkt das Skalarprodukt errechnen können. Dazu benutzen wir einfach wieder die Zerlegung in Komponenten und die beiden Gesetze \ref(S) und \ref(D): (a_x;a_y;a_z)\circ(b_x;b_y;b_z)=(a_x*i^>+a_y*j^>+a_z*k^>)\circ(b_x*i^>+b_y*j^>+b_z*k^>) =a_x*b_x*(i^>\circ\ i^>)+a_x*b_y*(i^>\circ\ j^>)+a_x*b_z*(i^>\circ\ k^>) +a_y*b_x*(j^>\circ\ i^>)+a_y*b_y*(j^>\circ\ j^>)+a_y*b_z*(j^>\circ\ k^>) +a_z*b_x*(k^>\circ\ i^>)+a_z*b_y*(k^>\circ\ j^>)+a_z*b_z*(k^>\circ\ k^>) Jetzt können wir ausnutzen, dass i^> und j^>, j^> und k^> sowie k^> und i^> jeweils senkrecht aufeinander stehen und ihr Skalarprodukt deshalb 0 ist: (a_x;a_y;a_z)\circ(b_x;b_y;b_z)=a_x*b_x*(i^>\circ\ i^>)+a_y*b_y*(j^>\circ j^>)+a_z*b_z*(k^>\circ\ k^>) Wenn wir jetzt ausnutzen, dass a^>\circ\ a^>=abs(a^>)^2 und der Betrag der Einheitsvektoren 1 ist, kommen wir zu: (a_x;a_y;a_z)\circ(b_x;b_y;b_z)=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z Womit wir eine einfache Formel zur Berechnung des Skalarproduktes ermittelt haben.

Vergleich mit der gewohnten Multiplikation

Bevor wir mit einer kleinen Anwendung des Skalarprodukts weitermachen, will ich nochmal zusammenfassen, was wir bisher wissen und auf besondere Schwierigkeiten hinweisen. Wir haben folgendes bisher kennengelernt: 2 Möglichkeiten der Definition bzw. der Berechnung des Skalarprodukts: a^>\circ\ b^>=(a_x;a_y;a_z)\circ(b_x;b_y;b_z) =abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) =a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z Das so genannte Kommutativgesetz: \ll(K)a^>\circ\ b^>=b^>\circ\ a^> Das Gesetz für die Multiplikation mit einem Skalar: \ll(S)\lambda*(a^>\circ\ b^>)=(\lambda*a^>)\circ\ b^>=a^>\circ(\lambda*b^>) Das Distributivgesetz: \ll(D)a^>\circ(b^>+c^>)=a^>\circ\ b^>+a^>\circ\ c^> Ich weise aber noch einmal ausdrücklich darauf hin, dass die Skalarmultiplikation zwar so heißt und wie man sieht auch einige Eigenschaften der normalen Multiplikation hat, aber auf keinen Fall wie eine solche behandelt werden sollte. Es gibt signifikante Unterschiede: 1.) Es kommt was anderes raus, als reingeht: Wir haben zwei Vektoren vor der Rechnung und eine reelle Zahl nach der Rechnung. 2.) Es gibt keinen Kehrwert bzw. kein Reziprokes eines Vektors. Das heißt also, dass ich aus einer Gleichung wie z.B. (1;2;3)\circ(x;y;z)=3 nicht auf den genauen Wert des zweiten Vektors schließen kann. 3.) So etwas wie das Assoziativgesetz gibt es nicht allgemein. \(Allerhöchstens die Eigenschaft \ref(S) kann so aufgefasst werden\) Ganz einfach, weil ein Ausdruck wie a^>\circ(b^>\circ\ c^>) gar nicht definiert ist. In der Klammer steht ja eine reelle Zahl. Für das Skalarprodukt muss aber auf beiden Seiten von \circ ein Vektor stehen. Auf diese Eigenschaften sollte unbedingt geachtet werden, wenn man mit dem Skalarprodukt rechnet. Und jetzt wird vielleicht auch dem ein oder anderen klar, warum die Frage vom Anfang "Kann man Vektoren multiplizieren?" sowohl "Ja" als auch "Nein" zur Antwort hat und doch keins von beidem so richtig, denn einige Dinge, die man sich unter multiplizieren vorstellt, treffen durchaus zu, während andere genauso gewohnte Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen hier nicht zutreffen.

Rechenbeispiele

Jetzt will ich nach all der Theorie einmal ein paar Rechenbeispiele bringen, um die Anwendung in der Praxis zu verdeutlichen. \big\ Beispiel 1: Gegeben ist eine Ebene \epsilon: 3x+4y+6z-7=0. Wie weit ist der Punkt P(3\;1\;-2) von der Ebene entfernt? Um diese Aufgabe zu lösen, bedienen wir uns zweier Tatsachen: Zum einen, dass die Koeffizienten von x,y und z einen Vektor definieren, der senkrecht zur Ebene ist. Und zum anderen, dass wir durch Projektion auf diesen Vektor den Abstand sehr schnell berechnen können. Schritt 1: n^>=(3;4;6) Schritt 2: Wir suchen einen beliebigen Punkt der Ebene. Durch "scharfes Hinsehen" erkennt man, dass Q(1\;1\;0) ein Punkt der Ebene ist. Schritt 3: Wir projizieren den Vektor PQ^> auf n^>. PQ^>\circ\ n^>=(-2;0;2)\circ\ (3;4;6)=-2*3+0*4+2*6=6 Schritt 4: Wir erkennen aus der Definition des Skalarprodukts, dass in unserem Wert 6 noch der Betrag des Vektors n "drinsteckt". Um also den endgültigen Abstand zu erhalten, müssen wir noch durch diesen Betrag dividieren: 6/abs(n^>)=6/sqrt(3^2+4^2+6^2)=6/sqrt(61) Der Abstand des Punktes P von der Ebene \epsilon beträgt also genau 6/sqrt(61) Längeneinheiten. \(Anmerkung: Das Skalarprodukt ist nicht immer positiv, im Gegenteil es wird auch ziemlich oft negativ. Auch daraus kann man interessante Schlüsse ziehen. z.B. würde ein negativer Wert bei der hier verwendeten Abstandsberechnung aussagen, dass der Punkt "unter" der Ebene liegt, wobei die Richtung des Normalen-Vektors n^> hier das "oben" festsetzt. Wenn man allerdings nur am reinen Abstand interessiert ist, muss man einfach den Betrag bilden.\) \big\ Beispiel 2: Ein Kind zieht einen Schlitten hinter sich her. Es zieht mit der konstanten Kraft F=60N an einem Seil, das zum (als vollkommen eben angenommenen) Erdboden einen Winkel von 30° bildet. Insgesamt legt das Kind dabei 1.2km zurück. Wieviel Arbeit wurde dabei verrichtet? Wir können hier direkt auf unsere Einführung zurückgreifen, wo wir die Arbeit mit dem Skalarprodukt so ausgedrückt haben: W=F^>\circ\ s^> Was gleich mit dem folgenden war: W=abs(F^>)*abs(s^>)*cos \sphericalangle(F^>,s^>) Wir setzen ein: W=60N*1.2km*10^3\.m*cos(30°)=60N*1200m*1/2=36000Nm=36kJ Das Kind hat also eine Arbeit von 36 Kilojoule verrichtet.
Das Skalarprodukt ist in Mathematik und Physik sehr beliebt und wird in vielen Bereich eingesetzt, um zu eleganten und schnellen Lösungen zu gelangen. Es hat wie wir gesehen haben durch seine Projektionseigenschaft viele Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. den Nachweis der Orthogonalität zweier Vektoren. (Diese Anwendung ist derart beliebt, dass der Begriff des Skalarprodukts in der höheren Mathematik weiter ausgedehnt wird, sodass man plötzlich auch feststellen kann, ob z.B. Funktionen orthogonal sind o.Ä.) In der Praxis ist, wie gesagt, die Physik ein großer Nutznießer dieses Hilfsmittels. Außerdem ist die Computergraphik hier nicht zu vernachlässigen, denn dort wird gerade in komplexen Bereichen wie 3D-Computerspielen fast ausschließlich mit Vektoren gearbeitet. Zum Beispiel sind Schatteneffekte immer Projektionen. Diese werden dann auf Basis des Skalarprodukts berechnet. Ich hoffe, euch hat der Artikel gefallen und dass er euer Wissen vergrößert/aufgefrischt/gefestigt hat. Wer Interesse hat, dem sei auch der zweite Teil meiner Reihe ans Herz gelegt, in dem ein nicht minder wichtiges Produkt von Vektoren, das Kreuzprodukt, besprochen wird. mfg^>\circ\ Gockel^>

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(Un)Produktive Vektoren

Teil I: Das Skalarprodukt Teil II: Das Kreuzprodukt Teil III: Das Spatprodukt
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(Un)produktive Vektoren I [von Gockel]  
(Un)produktive Vektoren Teil I: Das Skalarprodukt
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"Mathematik: Vektoren I - Das Skalarprodukt" | 19 Comments
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Re: (Un)produktive Vektoren I
von: Gonzbert am: So. 07. November 2004 22:34:29
\(\begingroup\)Hi Gockel! Schöner Artikel! 😄 Besonders die Herleitung zur Koordinatenschreibweise gefällt mir! Viele Grüße\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: huepfer am: Mo. 08. November 2004 07:35:37
\(\begingroup\)Lieber Gockel, eine schön Serie hast Du da wieder gestartet. Die Herleitung der einzelnen Eigenschaften ist präzise (bis auf nötige Ungenauigkeiten) und (deshalb) sehr gut verständlich. Also eigentlich ein absolutes Muss für jeden Schüler, der sich mit Skalarprodukten beschäftigen will oder muss (gibt's das überhaupt? 😉 ). Ich freu mich schon auf die nächsten Teile und verspreche auch zu versuchen, mein Versprechen, sie noch zu lesen, einzulösen. Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: DaBrainBug am: Mo. 08. November 2004 14:15:50
\(\begingroup\)Hi gockel! Mir gefiel dein Artikel sehr gut, weil er mein Schulwissen über Vektoren (bei uns in NDS schon in 12/1 durchgenommen) aufgefrischt hat und alles verständlich erklärt war. Ich bin schon gespannt wies weitergeht. Wäre cool wenn du Vektoren in Bezug auf die Orthogonalität von Funktionen näher erläutern könntest, das klingt interessant. Viele Grüße, Alex\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: Gockel am: Mo. 08. November 2004 16:41:17
\(\begingroup\)Hi Gonzo, Felix und Alex. Danke danke danke kann ich da nur sagen. Freut mich, dass euch der Artikel gefällt. @Alex: Ne da werd ich nicht weiter drauf eingehen, weil Funktionen keinen Vektorraum bilden, wie man ihn aus der Schule heraus kennt. Das war nur eine Anmerkung um (offensichtlich erfolgreich 😉 ) das Interesse am Thema weiter zu fördern. Aber soviel sei gesagt: Man definiert ein allgemeines Skalarprodukt (nicht fur für den gewohnten Vektorrraum \IR^3, sondern für viele andere auch), indem man eine so genannte Bilinearform benutzt. Soweit ich weiß, muss so eine Bilinearform \ folgendes erfüllen: \ =\+\lambda*\ \ =\+\lambda*\ Sie muss also linear in beiden Argumenten sein. (deshalb auch bilinear). Ein Skalarprodukt wird dann als eine spezielle Bilinearform aufgefasst. Das Beispiel mit den Funktion hat z.B. dieses Skalarprodukt: \ := int(f(x)*g(x),x,a,b) Hierbei ist der Vektorraum der über dem Intervall [a,b] stetigen Funktion mit dem Grundkörper der reellen Zahlen. Und zwei dieser Funktionen werden genau dann als orthogonal bezeichnet, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Für genauere Informationen müsstest du dich an einen Experten wenden. Aber daran dürfte hier aufm MP ja kein Mangel bestehen ;) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: MathSG1982 am: Sa. 13. November 2004 20:48:19
\(\begingroup\)Nichts neues. Das hier findet man in jedem Oberstufenskript. Is halt meine Meinung.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: Gockel am: Sa. 13. November 2004 21:24:24
\(\begingroup\)Das ändert nichts an der Tatsache, dass es einige Schüler trotzdem nicht verstehen. Und für genau die versuche ich hiermit eine Alternative zu Skripts o.Ä. anzubieten, damit doch ein wenig Verständnis entsteht (hoff ich doch). mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: Martin_Infinite am: So. 14. November 2004 10:52:03
\(\begingroup\)@MathSG: Das ist doch typisch: Man meint, dass etwas noch nicht so aufgeschrieben worden ist, wie es aufgeschrieben werden sollte, und versucht dann, das selbst besser hinzubekommen. Du findest auf dem Matheplaneten unglaublich viele solcher Artikel, deren mathematischer Inhalt nichts weiter als Reproduktion ist. Aber vergiss nicht, dass ein Artikel aus mehr besteht.\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: matroid am: So. 14. November 2004 16:07:07
\(\begingroup\)Sportler laufen auch immer um den gleichen Platz. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: cow_gone_mad am: Mo. 15. November 2004 00:33:01
\(\begingroup\)@Alex: Eigentlich ist die Orthoganilität von Funktionen ziemlich unspektakulär. Man definiert sie halt ziemlich willkürlich. Allerdings kann man dann in Funktionenräumen Resultate aus der Linearen Algebra anwenden. Allerdings weiss ich jetzt nicht genau, ob dir es etwas sagen wird, wenn ich sage, dass man zum Beispiel zu einem linearen Operator, eine Basis aus Eigenfunktionen finden kann. Ich hoffe das beantwortet deine Frage irgendwie... Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: Martin_Infinite am: Mo. 15. November 2004 13:33:44
\(\begingroup\)@Matroid: Wunderbarer Vergleich!\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren I
von: MathSG1982 am: So. 21. November 2004 22:55:13
\(\begingroup\)Da hat Matroid wirklich recht. Grundsätzlich finde ich es ja gut, dass Gockel sich so viel Mühe gemacht hat\(\endgroup\)
 

Vektoren
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 17. September 2006 18:40:14
\(\begingroup\)hallöchen. mir hat die seite auch sehr gut gefallen.aber ich habe ein problem,denn ich muss einen aufsatz über vektoren schreiben,nur ich weis nicht was ein vektorfeld und ein differenzvektor sind.wäre lieb wenn du mir das ma erklären könntest.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: matroid am: So. 17. September 2006 21:11:05
\(\begingroup\)Hi Fremder, danke für Dein Interesse, aber wenn Du mit Vektoren genau so genau bist, wie mit Deiner Rechtschreibung und Grammatik und Umgangsformen, dann wird das nie was. Ich sage das mal so deutlich, weil es mir immer wieder auffällt, daß sehr frei mit Regeln und Formen umgegangen wird. Das ist aber nicht der Stil eines Mathematikers, zumindest nicht meiner. Ich wage das so zu sagen, weil Du anonym bist, darum rede ich in den Äther, und da ich Dich nicht kenne, kann ich Dir auch kein großes Unrecht tun. Meine Bitte an alle, die hier schreiben: Rechtschreibung, incl. Groß- und Kleinschreibung, Zeichensetzung, vollständige Sätze, eine Grußform, die unter Unbekannten angemessen ist. Wenn ihr das investiert, dann habt ihr Antworten auf eure Fragen verdient. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: Gockel am: So. 17. September 2006 21:56:17
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Die Definition eines Vektorfeldes kannst du wie vieles andere auch bei Wikipedia nachlesen. Dort heißt es: ein Vektorfeld (ist) eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet Und was ein Differenzvektor ist, geht eigentlich direkt aus dem Namen hervor, denke ich: Ein Differenzverktor ist ein solcher Vektor, der Differenz zweier Vektoren ist. Oder trat dieses Wort in einem speziellen Zusammenhang auf? Dann wäre es gut, diesen zu kennen. Besonders, wenn ich die Frage nach dem Vektorfeld bedenke, erscheint mir die naheliegende Möglichkeit nämlich viel zu trivial... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: chrisss am: Di. 26. September 2006 19:21:47
\(\begingroup\)Hallo Gockel, wir behandeln gerade die Vektorrechnung und dein Artikel gefällt mir sehr gut. ps: Ich komme aus Rostock bye chrisss\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: Diophant am: Fr. 12. Dezember 2008 08:25:23
\(\begingroup\)Hi Gockel, sehr anschaulich geschriebener und gut verständlicher Artikel! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: Dune am: Mo. 30. März 2009 20:04:08
\(\begingroup\)Moin Gockel! Danke für diesen sehr ausführlichen Artikel! Ich hab jedoch noch eine Frage zum Beweis der Skalarmultiplikation (S): \ abs(\lambda*a^>)=abs(\lambda)*abs(a^>) Warum kannst du dies ohne weiteres voraussetzen? Natürlich ist es irgendwie logisch, aber könntest du es trotzdem noch formal begründen oder handelt es sich dabei etwa um ein Axiom? Vielen Dank im voraus! Gruß, Dune\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: Gockel am: Mo. 30. März 2009 20:58:11
\(\begingroup\)Hi Dune. Dazu muss man sich nur bewusst werden, wie man die Länge eines Vektors berechnet. Wenn v^>=(x,y,z) ist, dann ist ja abs(v^>) = sqrt(x^2+y^2+z^2) Wenn ich v^> mit \lambda multipliziere, erhalte ich den Vektor (\lambda\.x, \lambda\.y,\lambda\.z). Dessen Länge ist abs(\lambda*v^>)=sqrt((\lambda\.x)^2+(\lambda\.y)^2+(\lambda\.z)^2) =sqrt(\lambda^2*(x^2+y^2+z^2)) =sqrt(\lambda^2)*sqrt(x^2+y^2+z^2) =abs(\lambda)*abs(v^>) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren I - Das Skalarprodukt
von: Dune am: Di. 31. März 2009 01:09:06
\(\begingroup\)Moin Gockel und danke für die schnelle Antwort! Verstehe, du definierst den Betrag also durch den Pythagoras. Ich dachte eigentlich, der Cosinussatz und somit auch der Satz des Pythagoras wären direkte Folgerungen aus dem Skalarprodukt aber scheinbar ist zumindest der Pythagoras eine Voraussetzung... Danke jedenfalls für diese Erleuchtung :) Gruß, Dune Edit: Der Pythagoras durch komponentenweise Multiplikation funktioniert aber auch nur auf orthogonalen Basen oder? Allgemein kann man diese Definition wohl nicht verwenden, denke ich.\(\endgroup\)
 

 
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