Mathematik: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
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Mathematik

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(Un)produktive Vektoren Teil II: Das Kreuzprodukt

Hi Vektorgeometrie-Freunde und solche die es mal werden wollen. Dies soll der zweite Teil meiner kleinen Reihe zu den Vektorprodukten und ihren Anwendungen sein. Während wir uns das letzte Mal mit dem so genannten Skalarprodukt beschäftigt haben, soll es uns diesmal um das Kreuzprodukt gehen. Wir werden wie schon im ersten Teil versuchen herauszufinden, warum die Frage "Kann man Vektoren multiplizieren" sowohl "Ja" als auch "Nein" als Antwort hat.

Motivation

Die Vektor-Geometrie beschäftigt sich natürlich nicht nur mit Projektionen. Ein wichtiger Teil der Geometrie ist z.B. die Flächenberechnung. Außerdem will man manchmal nicht nur feststellen, ob Vektoren rechtwinklig sind, sondern man will auch einen Vektor finden können, der orthogonal zu vorgegebenen Vektoren ist. Ein Beispiel aus der Physik: In der Elektrizitätslehre ist bekannt, dass die Kraft, die auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt, senkrecht sowohl zur Stromrichtung als auch zur Magnetfeldrichtung ist. Das Kreuzprodukt ist nun eine Möglichkeit, diese Anwendungen zu verbinden, nämlich senkrechte Vektoren zu finden und Flächeninhalte zu berechnen.

Defintion

Wir fangen also einfach an, zu definieren. Sei c^> der Vektor, der durch unser neues Kreuzprodukt entsteht. Also c^>=a^>\cross\ b^>. Wir fordern als erstes: \ll(O)c^> ist senkrecht zu a^> und b^>. Wenn wir uns mal vorstellen, wie das geometrisch aussieht, dann haben wir zwei Vektoren, die eine Ebene aufspannen und c^> ist ein Vektor, der auf dieser Ebene senkrecht steht. Wie man erkennt, hat man damit aber immer noch unendlich viele Vektoren, die das erfüllen. Wir können also noch eine Forderung stellen: \ll(B)abs(c^>)=abs(a^>)*abs(b^>)*abs(sin \sphericalangle(a^>,b^>)) \geo nolabel() punkt(0,0,O) punkt(1,3,P1) punkt(4,1,P2) punkt(5,4,P3) pfeil(O,P1) pfeil(O,P2) pfeil(P2,P3) pfeil(P1,P3) fill(1,1,FFA000) winkel(P2,O,P1) \geooff \geoprint() Wie man erkennt, ist der Betrag so definiert, dass er Flächenberechnungen ermöglicht, denn der Wert abs(a^>)*abs(b^>)*abs(sin \sphericalangle(a^>,b^>)) ist genau der Flächeninhalt des von a^> und b^> aufgespannten Parallelogramms. Wer gut aufgepasst hat, wird feststellen, dass jetzt immer noch zwei Vektoren übrig sind, die diese Forderung erfüllen. Eine letzte Forderung sorgt also dafür, dass wir den Vektor c^> eindeutig bestimmen können: \ll(R)a^>, b^> und c^> bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Ein Rechtssystem ist eine bestimmte Anordnung der Vektoren. So bilden z.B. i^>, j^> und k^> in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem: \geo ebene(150,150) x(-0.5,1) y(-0.5,1) fill(0,0,ffffff) punkt(0,0,O) nolabel() punkt(-0.5,-0.5,P1) punkt(1,0,P2) punkt(0,1,P3) label() pfeil(O,P1,i) pfeil(O,P2,j) pfeil(O,P3,k) \geooff \geoprint() Wenn das System a^>, b^>, c^> so gedreht werden kann, dass die Vektoren eine analoge Anordnung bilden, handelt es sich um ein Rechtssystem. j^>, i^> und k^> wären z.B. ein Linkssystem, das man nicht in so eine Anordnung überführen kann. Wichtig ist hierbei also die Reihenfolge. Damit man es sich besser merken kann, hilft vielleicht folgendes: die Gerade, die durch c^> markiert wird, soll eine Drehachse sein. Wir schauen an dieser Drehachse entlang in dieselbe Richtung wie c^> zeigt. Wie muss man dann das System drehen, um a^> in b^> zu überführen, wenn man die kürzere Drehstrecke verwendet? Wenn man rechtsrum, also im Uhrzeigersinn drehen muss, ist es ein Rechtssystem. Wenn man linksrum drehen muss, ist es ein Linkssystem. Das kann man am Beispiel der Einheitsvektoren i^>, j^> und k^> ja einmal üben. Haben sie diese Reihenfolge, ist es ein Rechtssystem, weil man rechtsrum drehen muss, um i^> in j^> zu überführen. Linksrum könnte man natürlich auch drehen, aber da das eine Drehung von 270° bedeutet und wir festgestellt haben, dass die kürzere Drehung genommen wird, kommt nur rechtsrum in Frage. Ist die Reihenfolge aber j^>, i^>, k^> so muss man linksrum drehen, um j^> in i^> zu überführen. Diese Forderung macht durchaus Sinn, da es physikalische Probleme wie das oben angesprochene aus der E-Lehre vereinfacht, denn die Stromflussrichtung, die Richtung der Magnetfeldlinien und die resultierende Kraft bilden z.B. auch immer ein Rechtssystem. Diese 3 Eigenschaften legen den Vektor eindeutig fest. Das heißt insbesondere, dass zwei Vektoren, die beide diese Eigenschaften erfüllen, identisch sind.

Erste Eigenschaften

Wir sehen als erstes, dass im Gegensatz zum Skalarprodukt ein Vektor und keine reelle Zahl das Ergebnis ist. Deshalb wird das Kreuzprodukt alternativ auch Vektorprodukt genannt. Ich werde im folgenden aber weiterhin Kreuzprodukt schreiben, weil man Vektorprodukt schnell für einen Sammelbegriff für die hier vorgestellten Produkte halten kann. Eine zum Skalarprodukt analoge Eigenschaft folgt aus der Betragsbedingung \ref(B), denn wenn einer der Vektoren a^> und b^> gleich dem Nullvektor ist, ist das Ergebnis c^> auch der Nullvektor: a^>\cross\ o^>=o^>\cross\ a^>=o^> Auch wenn a^> und b^> linear abhängig sind, ist das Kreuzprodukt der beiden 0, denn wenn sie linear abhängig, also kollinear, sind, dann ist der Winkel zw. ihnen 0° bzw. 180°. In beiden Fällen ist der Sinus gleich 0, wodurch der Betrag auch 0 wird. Speziell gilt also: a^>\cross\ a^>=o^> Diese beiden Feststellungen machen durchaus Sinn, denn bei unserer Definition sind wir unter anderem davon ausgegangen, dass a^> und b^> eine Ebene aufspannen. Das geht aber nicht, wenn einer der beiden der Nullvektor ist, oder die beiden Vektoren kollinear sind.

Das Alternativ-Gesetz

Okay, stürzen wir uns einfach drauf und schauen, was wir so herausfinden können: Sei wie oben a^>\cross\ b^>=c^>. Schauen wir uns doch einmal an, was uns das Produkt b^>\cross\ a^> bringt. Wir wissen, dass sich der Betrag nicht ändert, denn die Beträge von a^> und b^> bleiben unverändert. Der Winkel wird zwar zu 360°-\alpha, aber durch den Betrag beim Sinus fällt das nicht ins Gewicht. Die Rechtwinkligkeit muss auch erhalten bleiben. Wenn wir unsere Gedanken von oben verfolgen, bleiben wieder 2 Vektoren übrig. Betrachten wir nun aber die Forderung nach dem Rechtssystem. Um b^> in a^> durch eine Rechtsdrehung zu überführen, muss man die Blickrichtung umkehren. Das wiederum heißt, dass die Drehachse \(also das Ergebnis von b^>\cross\ a^>) gleich -c^> ist. Es gilt also zusammengefasst: \ll(A)a^>\cross\ b^>=-(b^>\cross\ a^>) Dieses Verhalten ist etwas sehr besonderes, weil es aller Erfahrung mit Produkten widerspricht. Daran muss man sich erst gewöhnen, weil es besondere Aufmerksamkeit vom Schüler verlangt.

Multiplikation mit einem Skalar

Die nächste Eigenschaft ist wieder etwas gewohntes, das wir von der normalen Multiplikation reeller Zahlen und vom Skalarprodukt kennen. Denn für jede reelle Zahl \lambda gilt: \ll(S) \lambda*(a^>\cross\ b^>)=(\lambda*a^>)\cross\ b^>=a^>\cross(\lambda*b^>) Um das plausibel zu machen, untersuchen wir 2 Fälle: \lambda>0 und \lambda=-1, denn alle anderen Fälle sind trivial oder folgen daraus. Zuerst halten wir fest, dass sich die Ebene, die durch a^> und b^> aufgespannt wird, nicht verändert, wenn wir a^> oder b^> mit \lambda!=0 multiplizieren, das \ref(O)-Kriterium also immer erfüllt ist. Dann das Betragskriterium: abs((\lambda*a^>)\cross\ b^>)=abs(\lambda*a^>)*abs(b^>)*abs(sin \sphericalangle(\lambda*a^>,b^>)) =abs(\lambda)*abs(a^>)*abs(b^>)*abs(sin \sphericalangle(a^>,b^>)) =abs(\lambda*(a^>\cross\ b^>)) Der Übergang von \sphericalangle(\lambda*a^>,b^>) zu \sphericalangle(a^>,b^>) ist deshalb erlaubt, weil bei \lambda>0 der Winkel nicht verändert wird und bei \lambda=-1 der Winkel zu 180°-\sphericalangle(a^>,b^>) wird, was zum selben Sinus-Wert führt. Da sich wegen \lambda>0 die Richtung von a^> nicht ändert, bleibt das \ref(R)-Kriterium erhalten. Ist \lambda=-1 so gilt das auch, denn -a^> ist zu a^> entgegengesetzt und mit einer analogen Überlegung wie zum Alternativgesetz finden wir, dass (-a^>)\cross\ b^>=-(a^>\cross\ b^>) ist. Also haben (\lambda*a^>)\cross\ b^> und \lambda*(a^>\cross\ b^>) diesselben Eigenschaften, sind also identisch. \(Anmerkung: Wir haben hier nur einen Teil bewiesen, für b^> kann man das alles aber analog machen\)

Die Koordinatendarstellung des Kreuzprodukts

Wir wollen im folgenden feststellen, wie man das Kreuzprodukt aus gegebenen Koordinaten berechnen kann. Das ist mit unserer bisherigen Definition aber durchaus schwierig. Aber ein durchaus gängiger Weg ist es, eine andere Definition des Kreuzprodukts zu nehmen und diese zu verwenden. Wir wollen also folgendes machen: Wir führen eine zweite Definition für das Kreuzprodukt ein und zeigen dann, dass sie mit unserer bisherigen äquivalent ist. Wichtig ist nochmal das, was wir oben bereits festgestellt haben: Durch unsere drei Eigenschaften, die wir in der Definition verwendet haben, wird der Vektor eindeutig festgelegt. Wenn also ein zweiter Vektor ebenfalls diese Eigenschaften hat, so sind die Vektoren identisch. Stürzen wir uns also drauf. Folgendes ist die zweite Definition, von der ich sprach: (a_x;a_y;a_z)\cross(b_x;b_y;b_z)=(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x) Um die Äquivalenz zu zeigen, nennen wir den Vektor, der durch die zweite Definition aus a^> und b^> entsteht, einfach d^>, während wir den aus der ersten Definition weiterhin mit c^> bezeichnen, und prüfen nacheinander, ob c^> und d^> die gleichen Eigenschaften haben. \(Anmerkung: Den trivialen Fall, dass a^> oder b^> der Nullvektor ist, lassen wir außen vor, da dann beide Definitionen offensichtlich übereinstimmen\) Zuerst die Betragsforderung \ref(B): Wir betrachten dazu der Einfachheit halber das Quadrat des Betrags. abs(d^>)^2=(a_y*b_z-a_z*b_y)^2+(a_z*b_x-a_x*b_z)^2+(a_x*b_y-a_y*b_x)^2 =a_y^2*b_z^2-2*a_y*a_z*b_y*b_z+a_z^2*b_y^2 +a_z^2*b_x^2-2*a_x*a_z*b_x*b_z+a_x^2*b_z^2 +a_x^2*b_y^2-2*a_x*a_y*b_x*b_y+a_y^2*b_x^2 abs(c^>)^2=abs(a^>)^2*abs(b^>)^2*abs(sin \sphericalangle(a^>,b^>))^2 =abs(a^>)^2*abs(b^>)^2*sin^2 \sphericalangle(a^>,b^>) =abs(a^>)^2*abs(b^>)^2*(1-cos^2 \sphericalangle(a^>,b^>)) =abs(a^>)^2*abs(b^>)^2-abs(a^>)^2*abs(b^>)^2*cos^2 \sphericalangle(a^>,b^>) Jetzt setzen wir für den cos des Winkels einen Ausdruck ein, den wir aus dem Skalarprodukt erhalten: a^>\circ\ b^>=abs(a^>)*abs(b^>)*cos \sphericalangle(a^>,b^>) => cos \sphericalangle(a^>,b^>)=(a^>\circ\ b^>)/(abs(a^>)*abs(b^>)) => abs(c^>)^2=abs(a^>)^2*abs(b^>)^2-(a^>\circ\ b^>)^2 =(a_x^2+a_y^2+a_z^2)*(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z)^2 =a_x^2*b_x^2+a_x^2*b_y^2+a_x^2*b_z^2 +a_y^2*b_x^2+a_y^2*b_y^2+a_y^2*b_z^2 +a_z^2*b_x^2+a_z^2*b_y^2+a_z^2*b_z^2 -a_x^2*b_x^2-a_x*b_x*a_y*b_y-a_x*b_x*a_z*b_z -a_y*b_y*a_x*b_x-a_y^2*b_y^2-a_y*b_y*a_z*b_z -a_z*b_z*a_x*b_x-a_z*b_z*a_y*b_y-a_z^2*b_z^2 =a_y^2*b_z^2-2*a_y*a_z*b_y*b_z+a_z^2*b_y^2 +a_z^2*b_x^2-2*a_x*a_z*b_x*b_z+a_x^2*b_z^2 +a_x^2*b_y^2-2*a_x*a_y*b_x*b_y+a_y^2*b_x^2 Nach dieser Mordsrechnerei \(und Schreiberei \;\-\)\) haben wir schon den anstrengendsten Teil geschafft, denn die Beträge sind offensichtlich gleich. Wenden wir uns dem Orthogonalitätskriterium \ref(O) zu. Dazu nutzen wir die Tatsache, dass das Skalarprodukt immer dann 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal sind. c^> ist per Definition zu a^> und b^> orthogonal. Also müssen wir nur für d^> rechnen: d^>\circ\ a^>=(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x)\circ(a_x;a_y;a_z) =a_x*a_y*b_z-a_x*a_z*b_y +a_y*a_z*b_x-a_x*a_y*b_z +a_x*a_z*b_y-a_y*a_z*b_x =0 d^>\circ\ b^>=(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x)\circ(b_x;b_y;b_z) =a_y*b_x*b_z-a_z*b_x*b_y +a_z*b_x*b_y-a_x*b_y*b_z +a_x*b_y*b_z-a_y*b_x*b_z =0 Der Vektor d^> erfüllt also \ref(O). Bleibt nur noch das \ref(R)-Kriterium zu prüfen, das des Rechtssystems. Ohne größere Anstrengung kann man das meines Wissens nicht zeigen. Es sei soviel gesagt: Die zweite Definition verändert ihr Verhalten nicht in Abhängigkeit der Vektoren. Das heißt, wenn es einmal ein Rechtssystem ergibt, ergibt es immer Rechtssysteme \(oder den Nullvektor\). Betrachten wir also das einfache Beispiel i^>\cross\ j^>=(1;0;0)\cross(0;1;0)=(0*0-0*1;0*0-1*0;1*1-0*0)=(0;0;1)=k^>. i^>, j^>, k^> ist, wie wir bereits wissen, ein Rechtssystem. Also können wir schlussfolgern, dass die zweite Definition immer ein Rechtssystem liefert. Ergo: c^> und d^> haben dieselben Eigenschaften und sind deshalb identisch. Dadurch haben wir (auf einem zugegebenermaßen nicht sehr eleganten Weg) eine Koordinatendarstellung des Vektorprodukts gefunden. Der hier gewählte Weg sollte zumindest vom Prinzip her klar sein, denn er wird sehr oft in der Mathematik verwendet: Man hat mehrere Definitionen ein und desselben Sachverhalts, zeigt dann, dass diese äquivalent sind und benutzt im Folgenden immer die, die in der speziellen Situation am besten geeignet ist. Als Zusatzinformation, sei gesagt, dass es noch andere Methoden gibt, dass Kreuzprodukt zu definieren, die aber ebenfalls mit unseren beiden gleichwertig sind. (siehe dazu hier im Forum. Dort wurden einige der Definitionen angesprochen)

Das Distributivgesetz

Dieses Gesetz gilt auch für das Kreuzprodukt, so wie wir es bisher von den anderen Produkten gewohnt sind: \ll(LD)a^>\cross(b^>+c^>)=a^>\cross\ b^>+a^>\cross\ c^> \ll(RD)(b^>+c^>)\cross\ a^>=b^>\cross\ a^>+c^>\cross\ a^> Hier habe ich absichtlich zwischen Rechts- und Links-Distributivität unterschieden, denn da es so etwas wie das Kommuativgesetz in diesem Fall nicht gibt, müssen wir die Distributivität hier aufteilen. Es ist aber nicht ganz so schlimm, denn die beiden sind äquivalent, wenn man die beiden obigen Eigenschaften \ref(A) und ref(S) zur Hilfe nimmt: a^>\cross(b^>+c^>)=-(b^>+c^>)\cross\ a^>=-(b^>\cross\ a^>+c^>\cross\ a^>)=-b^>\cross\ a^>-c^>\cross\ a^>=a^>\cross\ b^>+a^>\cross\ c^> Hier haben wir unter Zuhilfenahme der Rechtsdistributivität \ref(LD) gefolgert. Durch analoges Vorgehen, kann man aus der Linksdistributivität \ref(RD) beweisen. Das heißt insbesondere, dass wir nur eine Seite beweisen müssen. Denn immer wenn \ref(LD) gilt, gilt auch \ref(RD), und umgekehrt. Der eigentliche Beweis ist wieder Schreibarbeit: a^>\cross(b^>+c^>)=(a_x;a_y;a_z)\cross((b_x;b_y;b_z)+(c_x;c_y;c_z))=(a_x;a_y;a_z)\cross(b_x+c_x;b_y+c_y;b_z+b_z) =(a_y*(b_z+c_z)-a_z*(b_y+c_y);a_z*(b_x+c_x)-a_x*(b_z+c_z);a_x*(b_y+c_y)-a_y*(b_x+c_x)) =((a_y*b_z-a_z*b_y)+(a_y*c_z-a_z*c_z);(a_z*b_x-a_x*b_z)+(a_z*c_x-a_x*c_z);(a_x*b_y-a_y*b_x)+(a_x*c_y+a_y*c_x)) =(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x)+(a_y*c_z-a_z*c_z;a_z*c_x-a_x*c_z;a_x*c_y+a_y*c_x) =a^>\cross\ b^>+a^>\cross\ c^> Das wäre also geschafft... Nachdem uns das Kreuzprodukt doch viel Schreibarbeit gekostet hat, haben wir ein Teilziel erreicht und konnten einige nützliche und interessante Eigenschaften des Kreuzprodukts nachweisen.

Vergleich mit der gewohnten Multiplikation

Genau wie beim Skalarprodukt möchte ich vor der Anwendung noch kurz das Gelernte zusammenfassen und mit der Multiplikation der reellen Zahlen vergleichen: Wir kennen folgendes bereits vom Kreuzprodukt: 2 äquivalente Definitionen: Zum einen anhand der drei Eigenschaften \ref(B), \ref(O), \ref(R) und zum anderen anhand der Koordinaten: (a_x;a_y;a_z)\cross(b_x;b_y;b_z)=(a_y*b_z-a_z*b_y;a_z*b_x-a_x*b_z;a_x*b_y-a_y*b_x) Das Alternativgesetz \ref(A): a^>\cross\ b^>=-(b^>\cross\ a^>) Das Gesetz für die Multiplikation mit einem Skalar \ref(S): \lambda*(a^>\cross\ b^>)=(\lambda*a^>)\cross\ b^>=a^>\cross(\lambda*b^>) Das Distributivgesetz (die beiden Seiten des Distributivgesetzes) \ref(LD) a^>\cross(b^>+c^>)=a^>\cross\ b^>+a^>\cross\ c^> \ref(RD) (b^>+c^>)\cross\ a^>=b^>\cross\ a^>+c^>\cross\ a^> Ich weise hier, wie auch schon im letzten Teil der Reihe, ausdrücklich darauf hin, dass im Namen zwar "produkt" vorkommt, diese Art der Verknüpfung zweier Vektoren aber auf keinen Fall dasselbe ist, was man üblicherweise unter multiplizieren und Produkten versteht. Wichtige Unterschiede, denen sich jeder jederzeit bewusst sein sollte, sind: 1.) Das Alternativgesetz! Es fordert hohe Konzentration vom Rechnenden, denn jede Vertauschung der Vektoren zieht einen Vorzeichenwechsel nach sich. Auch viele Formeln, die man von der Multiplikation gewohnt ist \(man denke nur an die binomischen Formeln\) verlieren ihre Gültigkeit, wenn das Alternativgesetz gilt. 2.) Es gibt keine Eins. Das heißt, dass es keinen Vektor e^> gibt, so dass für alle Vektoren a^>\cross\ e^>=a^> ist. Das kann schon deshalb nicht gelten, weil a^>\cross\ e^> ja immer zu a^> senkrecht steht. 3.) Das Assoziativgesetz gilt nicht. Das kann man durch ein einfaches Gegenbeispiel zeigen: i^>\cross(j^>\cross\ j^>)=i^>\cross\ o^>=o^> (i^>\cross\ j^>)\cross\ j^>=k^>\cross\ j^>=-i^> Es gilt also nicht__ a^>\cross(b^>\cross\ c^>)=(a^>\cross\ b^>)\cross\ c^>.

Beispielrechnungen

Wie auch schon im ersten Teil wollen wir der grauen und anstrengenden Theorie die bunte Praxis folgen lassen. \big\ Beispiel 1: Gegeben sei die Ebene \epsilon: (x;y;z)=(0;-2;4)+r*(1;0;4)+s*(-2;2;5) Gesucht sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Wir nutzen dabei zwei Dinge aus: Zum Einen, dass in der Hesseschen Normalform Ax+By+Cz+D=0 der Vektor (A;B;C) ein Normalenvektor auf der Ebene ist und zum Anderen, dass man mit Hilfe des Vektorprodukts einen senkrechten Vektor erhält. Schritt 1: Wir ermitteln uns einen orthogonalen Vektor zur Ebene. Wir wissen aus der Aufgabe, dass (1;0;4) und (-2;2;5) die Ebene aufspannen. Bilden wir also das Kreuprodukt der beiden: (1;0;4)\cross(-2;2;5)=(0*5-4*2;-4*2-1*5;1*2-0*(-2))=(-8;-13;2) Schritt 2: Wir wissen nun, dass die Ebene eine Gleichung der Form -8x-13y+2z+D=0 hat. Außerdem wissen wir, dass der Punkt (0\;-2\;4) diese Gleichung erfüllt. Setzen wir also ein: -8*0-13*(-2)+2*4+D=0 =>D=-34 Damit haben wir die Ebenengleichung -8x-13y+2z-34=0. Wir formen das in die so genannte Achsenabschnittsgleichung um: -8x-13y+2z-34=0 -8x-13y+2z=34 -8/34*x-13/34*y+2/34*z=1 -4/17*x-13/34+1/17*z=1 x/(-17/4)+y/(-34/13)+z/17=1 Aus dieser Form können wir die Schnittpunkte direkt ablesen: S_x(-17/4 \;0 \;0) S_y(0 \;-34/13 \;0) S_z(0 \;0 \;17) \big\ Beispiel 2: Als zweites wieder ein Beispiel aus der Physik: Nachstehende Zeichung sei die xy-Ebene eines Raums, in dem ein elektrisches Feld und ein Magnetfeld wirken (rote bzw. blaue Vektoren). \geo xy(-3,3) nolabel() punkt(-3,3,P1) punkt(-2,3,P2) punkt(-1,3,P3) punkt( 0,3,P4) punkt( 1,3,P5) punkt( 2,3,P6) punkt( 3,3,P7) punkt(-3,-3,Q2) punkt(-2,-3,Q3) punkt(-1,-3,Q4) punkt( 0,-3,Q5) punkt( 1,-3,Q6) punkt( 2,-3,Q7) punkt( 3,-3,Q8) punkt( 3, 3,R11) punkt( 1, 3,R12) punkt(-1, 3,R13) punkt(-3, 3,R14) punkt( 3, 1,R21) punkt( 1, 1,R22) punkt(-1, 1,R23) punkt(-3, 1,R24) punkt( 3,-1,R31) punkt( 1,-1,R32) punkt(-1,-1,R33) punkt(-3,-1,R34) punkt( 3,-3,R41) punkt( 1,-3,R42) punkt(-1,-3,R43) punkt(-3,-3,R44) color(ff0000) pfeil(P2,Q2) pfeil(P3,Q3) pfeil(P4,Q4) pfeil(P5,Q5) pfeil(P6,Q6) pfeil(P7,Q7) color(0000ff) pfeil(R42,R31) pfeil(R43,R32) pfeil(R44,R33) pfeil(R32,R21) pfeil(R33,R22) pfeil(R34,R23) pfeil(R22,R11) pfeil(R23,R12) pfeil(R24,R13) \geooff \geoprint() Hier sei eine Längeneinheit gleich einem Volt pro Meter, Tesla bzw. einem Meter pro Sekunde je nachdem welche Größe wir gerade betrachten... Die Frage lautet: Wie stark ist die Kraft, die auf ein 3-fach positiv geladenes Ion wirkt, dass von oben \(im Sinne der Zeichnung also in Richtung des Bildschirms\) mit 2ms^(-1) eindringt und wohin wird das Teilchen aufgrund dieser Kraft abgelenkt? \(Anmerkung: wir werden hier alle Felder als homogen und scharf begrenzt betrachten\) Dazu benutzen wir folgende Gleichung zur Berechnung der so genannten Lorentz-Kraft: F^>_L=Q*(v^>\cross\ B^>) Und diese Gleichung, die den Zusammenhang zw. elektrischer Feldstärke, Ladung und Kraft angibt: E^>=F^>_e/Q Schritt 1: Wir ermitteln aus der Zeichnung die Vektoren für E^> und B^>. E^> ist die elektrische Feldstärke, die rot eingezeichnet wurde und also den Vektor E^>=(-1;-6;0) hat, während B^> die magnetische Flussdichte (in blau) ist, woraus sich B^>=(+2;+2;0) ergibt. Der Vektor v^> lässt sich dank der Aufgabe mit v^>=(0;0;-2) angeben. Außerdem halten wir für später fest, dass die Ladung Q=+3e=3*1.602*10^(-19)\.C ist. Schritt 2: Wir berechnen die Lorentzkraft: F^>_L=Q*(v^>\cross\ B^>)=(+3e)*((0;0;-2)\cross(+2;+2;0)) =3e*(0*0-(-2*2);-2*2-0*0;0*2-0*2)=3e*N/C*(4;-4;0) Schritt 3: Wir berechnen die elektrische Kraft: F^>_e=Q*E^>=3e*N/C*(-1;-6;0) Schritt 4: Wir berechnen die resultierende Kraft: F^>=F^>_e+F^>_L=3e*((-1;-6;0)+(4;4;0))=3e*(3;-2;0) Schritt 5: Wir berechnen den Betrag dieser Kraft: abs(3*1.602*10^(-19)\.C*N/C*(3;-2;0))=3*1.602*10^(-19)*sqrt(13)N \approx 1.733*10^(-18)\.N Damit haben wir also die Lösung: Das Ion wird in Richtung des Vektors (3;-2;0) \(Also anhand der Zeichung nach rechts unten\) mit einer Kraft von \approx 1.733*10^(-18)\.N abgelenkt.
Hiermit endet dann der zweite Teil meiner kleinen Reihe. Wir haben ein weiteres nützliches Hilfsmittel der Vektorgeometrie gefunden, das vielseitig einsetzbar und äußerst nützlich ist. Wir haben hier einen mathematischen und einen physikalischen Aspekt beleuchtet. Ein weiteres Beispiel ist wieder die Computergraphik, die ohne Vektoren und ohne das Kreuzprodukt eigentlich gar nicht funktionieren würde. Wenn es beispielsweise um Beleuchtungen geht, ist der Normalenvektor der beleuchteten Ebene unverzichtbar. Wenn ihr auch jetzt noch nicht genug von Vektoren habt, könnt ihr den dritten und letzten Teil der Reihe anschauen. mfg^>\cross\ Gockel^>

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(Un)Produktive Vektoren

Teil I: Das Skalarprodukt Teil II: Das Kreuzprodukt Teil III: Das Spatprodukt
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201211-11 (245x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorrechnung kreuzprodukt 4 mal 4
201201-01 (241x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist das kreuzprodukt
201301-11 (241x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
201206-06 (221x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wenn kreuzprodukt 0 dann vektoren kollinear
201205-05 (197x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=welche 3 eigenschaften haben vektoren
2012-2016 (170x)http://www.matheraum.de/read?i=103071
201204-04 (155x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie das für das vektorprodukt gil...
2012-2014 (150x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=
201210-10 (122x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorrechnung kreuzprodukt herleitung
201212-12 (95x)http://google.li/url?sa=t&rct=j&q=flächenberechnung mit vektoren
201405-05 (89x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDAQFjAC
201306-06 (89x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=kreuzprodukt invertieren
201305-05 (89x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vorzeichenwechsel kreuzprodukt
201304-04 (84x)http://google.sk/url?sa=t&rct=j&q=distributivgesetz vektorprodukt
2014-2018 (68x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=fachreferat kreuzprodukt
201310-10 (64x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kreuzprodukt invertieren
201207-07 (62x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201302-02 (58x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang kreuzprodukt sinusfunktion
201208-08 (47x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorprodukt referat
201410-10 (46x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&ved=0CDIQFjAG
201503-03 (45x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAA
201403-03 (45x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorprodukt gesetze herleitung
201406-06 (44x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CCQQFjAA
201504-04 (43x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vortrag vektorprodukt
201502-02 (38x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCEQFjAC
201303-03 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorprodukt distributivgesetz
201505-05 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kreuzprodukt distributiv
201404-04 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorprodukt mit reelle zahl beweis
201412-12 (35x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CB4QFjAB
201307-07 (33x)http://google.fr/search?safe=off&q=vektor kreuzprodukt
201407-07 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kreuzproduktgesetze
201309-09 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=gesetze kreuzprodukt
2020-2022 (17x)https://duckduckgo.com/
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201509-09 (5x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&rct=j&q=gesetze für vektorproduk...
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2013-2014 (4x)http://www.bing.com/search?q=gesetze des kreuzproduks&qs=n&form=QBLH&filt=all...

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"Mathematik: Vektoren II - Das Kreuzprodukt" | 11 Comments
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Re: (Un)produktive Vektoren II
von: DaBrainBug am: Mi. 10. November 2004 19:29:50
\(\begingroup\)Hi Gockel! Mal wieder ein toller Artikel der das Thema verständlich erklärt. Ich bin schon mal gespannt was uns im dritten so erwartet... Du scheinst ja echt ein Talent zum Schreiben zu haben. Mfg Alex\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren II
von: Martin_Infinite am: So. 15. Mai 2005 03:48:55
\(\begingroup\)Hi Gockel, ich habe mir den Artikel auch mal durchgelesen ;) Mit solch einem Artikel kann man das viel besser verstehen, als wenn man mit 8 stirnrunzelnden Gesichtern in einem kleinen Raum unterhalb der Schule sitzt und ein gestresster Lehrer versucht, einem dessen Erinnerungen an das Kreuzprodukt näherzubringen. Jedenfalls geht es mir so :) Also, vielen Dank für diesen ausführlichen und mE sehr verständlichen Artikel! Gruß Martin PS: Es gab schon damals ein Pfeil-Makro?\(\endgroup\)
 

Re: (Un)produktive Vektoren II
von: Gockel am: So. 15. Mai 2005 20:56:29
\(\begingroup\)Danke für das Lob, maddin. Und nein, das gab es damals noch nicht, aber es gibt einen fed-Befehl "pfeil", den ich hier verwendet habe. Sieht allerdings nicht so schön aus, wie dein Makro :) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 14. November 2005 17:33:55
\(\begingroup\)Vielen Dank für diesen tollen Artikel! Endlich mal in einer verständlichen Sprache geschrieben! Er hat mir sehr geholfen!\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. August 2006 17:11:55
\(\begingroup\)Super Artikel! Ich soll nen Referat übers Kreuzprodukt halten und jetzt hab ich endlich kapiert, was das Kreuzprodukt überhaupt ist 😄 Vielen Dank!\(\endgroup\)
 

Beweis Distributivität
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 07. November 2006 20:31:33
\(\begingroup\)Wow super Seite, hat mir wirklich sehr geholfen übrigens, beim Beweis der Distributivität sind in Zeile zwei obern rechts falsche einheitsvektoren... aber sonst stimmt glaub ich alles vielen dank nochmal \(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 13. Dezember 2006 16:12:11
\(\begingroup\)super artikel!! hab nur einproblem damit, wie hasst du diesen Term: (a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z)^2 ausquadriert?? Ich kann im moment noch nicht ganz dahinter steigen. mir wäre damit sehr geholfen vielen dank schoma \(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Gockel am: Mi. 13. Dezember 2006 20:17:12
\(\begingroup\)Hi. Das geht genauso, wie man (ohne binomische Formeln) etwas ausmultipliziert: Immer schön jedes mit jedem. :) Ich habe gerade noch einen Tippfehler an dieser Stelle gefunden, ich hoffe, das hat dich nicht verwirrt... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 16. Dezember 2006 19:08:13
\(\begingroup\)Sorry, ich hab 2 Vektoren nicht richtig schreiben gekonnt, aber sonst... Beim Kreuzprodukt muss a^> \senkrechtauf\ c^> und b^> \senkrechtauf\ c^> Also, a^>\circ\ c^> und b^>\circ\ c^> => a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0 I *b_1 b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0 II *a_1 Fall 1: I-II c_2(a_1 b_2 - a_2 b_1) - c_3(a_3 b_1 - a_1 b_3) = 0 => c_2 = (a_1 b_3 - a_3 b_1) c_3 = (a_2 b_1 - a_1 b_2) c_2 und c_3 in I => c_1 = (a_3 b_2 - a_2 b_3) Fall 2: II-I c_2(a_2 b_1 - a_1 b_2) - c_3(a_1 b_3 - a_3 b_1) = 0 => c_2 = (a_3 b_1 - a_1 b_3) c_3 = (a_1 b_2 - a_2 b_1) c_2 und c_3 in I => c_1 = (a_2 b_3 - a_3 b_2) In beiden Fällen denke ich, dass die Gleichung richtig gelöst wurde. Doch die Lösungen sind nicht gleich im Gegenteil, c^> = -c^> Habe ich da irgendwo einen Denkfehler oder bin ich nur zu blöd?? \(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Gockel am: Sa. 16. Dezember 2006 20:15:32
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Der Fehler liegt darin, dass du aus der Gleichung ax+by=0 folgerst, es wäre y=-a und x=b. Das geht aber nicht, denn eine Gleichung dieser Art hat unendlich viele Lösungspaare (x,y). Diese unterscheiden sich aber nur um ein Vielfaches, d.h. die Lösungen haben alle die Form y=-\lambda*a und x=\lambda*b für ein festes \lambda. Das erklärt auch deine verschiedenen Lösungen. Zunächst hast du die spezielle Lösung gewählt, die sich bei \lambda=1 ergibt, und dann hast du die Lösung gewählt, die sich bei \lambda=-1 ergibt. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vektoren II - Das Kreuzprodukt
von: Diophant am: Fr. 12. Dezember 2008 08:31:29
\(\begingroup\)Klasse. Vor allem die Definition und die daraus folgenden Eigenschaften sind sehr gut nachvollziehbar dargestellt. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

 
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