Mathematik: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
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Mathematik

\(\begingroup\) Winkeldreiteilung und der Satz von Haga In diesem Artikel werde ich zeigen wie man mittels Origami beliebige Winkel dreiteilen kann und einen interessanten Satz beweisen. Die Kunst des Origami wird uns dabei helfen, denn alles was wir im folgenden brauchen werden ist ein quadratisches Blatt Papier. Origami heisst ganz schlicht uebersetzt Papierfalten (oru=falten, kami=Papier; in der Zusammensetzung wird aus dem k ein g) und so unglaublich das klingt, reicht es dennoch aus um klassische Probleme der Geometrie zu bewaeltigen, wie etwa die erwaehnte Winkeldreiteilung, die Verdopplung des Wuerfels und der Konstruktion von n-Ecken.

1. Winkeldreiteilung

Das klassische Problem der Trisektion eines beliebigen Winkels ist mit der klassischen Geometrie, also unter von Verwendung von Zirkel und Lineal, im allgemeinen nicht zu bewerkstelligen. Der Beweis hierfuer gelang Pierre Laurent Wenzel, indem er zeigte, dass die Winkeldreiteilung bereits fuer einen Winkel von 60 Grad unmoeglich ist. Schauen wir uns aber die folgende Konstruktion an, so werden wir feststellen und beweisen, dass es doch geht, wenn man die Beschraenkungen von Lineal und Zirkel aufgibt.

1.1 Konstruktion der Trisektion

Als erstes nehme man sich ein beliebiges rechteckiges Blatt Papier. Hierbei ist nicht wichtig, dass es genau quadratisch ist. Vor uns ausgebreitet falten wir zunaechst zwei Hilfslinien ins Papier, wobei die entstehenden Rechtecke gleichgross sein sollen. Dabei muss nur eines gelten: die Strecken AB und BC muessen gleich lang sein, die tatsaechliche Laenge spielt keine Rolle: Bild In diese Konstruktion hinein falten wir nun unseren beliebigen Winkel, der zwischen der unteren Kante und dem gerade gefaltetem Knick (Strecke DG) liegen soll: Bild als naechsten Schritt muessen wir nun den Punkt D auf die Strecke EB und den Punkt F auf die Strecke DG falten: Bild Die Punkte F, E und D erzeugen nun neue Punkte F', E' und D', wir markieren die Gerade durch diese Punkte durch einen weiteren Knick. Dann drittelt der "Knick" durch DD' unseren Winkel. Bild

1.2 Beweis:

Bild Bezeichne der Punkt I das von D' aus senkrecht gefaellte Lot, dann sind nach Konstruktion die Dreiecke DF'E', DE'D' und DD'I kongruent und der Winkel damit exakt gedrittelt.

2 Satz von Haga und Verallgemeinerung

Wenden wir uns nun einem anderen interessanten Thema zu, dem Satz von Haga. Mit diesem Satz kann man tatsaechlich fuer jedes natuerliche n>1 ein Quadrat in n^2 Teilquadrate unterteilen.

2.1 Satz von Haga

Fuer diesen Satz faltet man ein quadratisches Blatt Papier zunaechst in Mitte, so dass zwei kongruente Rechtecke entstehen: Bild Im naechsten Schritt faltet man A auf B, es entsteht folgende Figur: Bild Markiert man die entstehenden Dreiecke ergibt sich folgendes Bild: Bild Der Satz von Haga lautet dann:

Satz 1:

Die Dreiecke IHG, BDC und BEF sind aehnlich zueinander und ihre Seiten stehen jeweils im Verhaeltnis von 5:4:3 zueinander.

Beweis:

Aus der vorletzten Darstellung ergibt sich sofort die Aehnlichkeit der Dreiecke. Sei nun die Seitenlaenge des Quadrats als 1 angenommen, dann ist nach Konstruktion BD=DA, abs(CD)+abs(DA)=1 und die Laenge der Strecke BC ist 1/2. Da das Dreieck BDC rechtwinklig ist kann der Satz von Pythagoras angewendet werden. Sei hierzu zunaechst x die Laenge von CD und y die Laenge von BD. =>x+y=1 und y^2-x^2=1/4 Nun gilt: x+y=1 <=>x=1-y einsetzen in die zweite Gleichung ergibt dann: y=5/8 =>x=3/8 =>y : 1/2 : x=5/8 : 1/2 : 3/8=5 : 4 : 3 das behauptete Verhaeltnis Wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke gilt dies auch fuer die anderen beiden Dreiecke. qed
Aus diesem Satz kann man noch weitere Schlussfolgerungen ziehen:

Corollar 1.

Die Strecke FE hat unter der Annahme, dass das Quadrat Seitenlaenge 1 hat, eine Laenge von 2/3.

Beweis:

Aus dem Satz von Haga folgt zunaechst, dass FE:EB=4:3 gilt, nun ist aber nach Konstrukion schon abs(EB)=1/2. =>abs(FE)=(1/2*4)/3=2/3. qed

Corollar 2.

Die Strecke GH hat eine Laenge von 1/8, falls das Quadrat Seitenlaenge 1 hat.

Beweis:

Aus Corollar 1 ergibt sich die Laenge von FB zu 5/6. Nun gilt nach Konstruktion (siehe zweite Abbildung in diesem Abschnitt) abs(HI)=1-abs(FB)=1/6 Damit folgt ueber die Erkenntnis ueber die Seitenverhaeltnisse, dass abs(GH)=1/8. qed

2.2 Die Verallgemeinerung des Satzes von Haga

Eben haben wir nur bewiesen, wie der Satz von Haga aussieht, wenn man von einer initialen Teilung einer Quadratseite in zwei Haelften ausgeht. Man kann dies jedoch verallgemeinern, da man mit dem obigen Satz aus der Zweiteilung der Seite eine Dreiteilung erzeugen kann und diese als neue Ausgangssituation verwendet. Das Faltmuster, das dabei entsteht aendert sich im wesentlichen nicht, es werden nur die einzelnen Punkte etwas verschoben (kann man sich durch einfaches Nachfalten klar machen).

Satz 2.

Mit den Bezeichnungen aus dem Satz von Haga sind die Dreiecke FEB, BCD und HGI aehnlich zueinander und es gilt das Teilungsverhaeltnis der Seiten zueinander: n^2+1 : 2n : n^2-1

Beweis

Es gilt analog zum Satz von Haga x+y=1, abs(EF)=1/n und 1/n^2=y^2-x^2. Mit einer einfachen Rechnung analog zum Satz ergibt sich das allgemeine Teilungsverhaeltnis n^2+1 : 2n : n^2-1. qed. Mit n=2 erhaelt man dann wieder den Satz von Haga. Analog lassen sich auch die Folgerungen verallgemeinern. Es gilt dann:

Corollar 1'

Die Strecke FE mit den obigen Bezeichnungen hat bei Seitenlaenge 1 des Quadrates eine Laenge von 2/(n+1).

Beweis:

Analog zum Beweis von Corollar 1. qed

Corollar 2'

Die Strecke GH mit den obigen Bezeichnungen hat bei Seitenlaenge 1 des Quadrates eine Laenge von (n-1)^2/(2n^2)

Beweis.

Abermals analog zum Beweis von Corollar 2. qed

3. Schlussbemerkung

Mit den vorangegangenen Konstruktionen kann man allerhand anfangen, wenn man sich fuer Origami interessiert. Mittlerweile ist diese vermeintliche Beschaeftigung fuer Kinder laengst zu einem (kleinen) Teilgebiet der Mathematik herangewachsen und Arbeiten wie die von Tomoko Fuse (absolute Expertin fuer modulares Origami) beweisen, dass mit durch Papierfalten ermoeglichte Geometrie erstaunliche Dinge vollbracht werden koennen. Im Internet findet man daher auch einiges an Material (Stichworte "math origami"), darunter auch ein Axiomensystem als Grundlage fuer eine "richtige" ausgefeilte Geometrie. Ich hoffe also, dass ich dem einen oder anderen vermitteln konnte, dass Origami nicht nur aus Kraniche falten besteht und durchaus ein vielleicht nicht ganz ernst zu nehmendes Thema fuer Mathematikinteressierte sein kann.
In Zukunft koennte ich mir vorstellen diesen Artikel noch etwas zu erweitern, z.b. durch die Konstruktion der dritten Wurzel aus 2 oder gewissen regulaeren n-Ecken, die nicht alle mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Gruss, syn.

 
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"Mathematik: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga" | 3 Comments
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Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von: Martin_Infinite am: Fr. 31. Dezember 2004 19:56:46
\(\begingroup\)Hi syn, dieser, dein erster, ist dir super gelungen! Da kann man gleich mitbasteln 😄 Mögen wir noch weitere Artikel von dir lesen können. Sensationell ist auch, dass matroid den Artikel erst in der Zukunft freigeben wird, aber wir ihn jetzt bereits lesen können! Bild Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von: matroid am: So. 02. Januar 2005 16:11:54
\(\begingroup\)Hi syngola, das ist ein wunderbares Thema, so phantasieanregend. Schön, daß Du darüber geschrieben hast. Es ist auch alles gut verständlich, wozu sicher auch die vielen Skizzen beitragen. Es gefallt mir einfach gut. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von: syngola am: Do. 22. Juni 2006 20:05:02
\(\begingroup\)Hallo, ich wurde darauf hingewiesen, das die Dreiteilung eines beliebigen Winkels doch moeglich sei (nach Karel Markowski). Dazu ist ein wichtiger Unterschied zu beachten: die Unmoeglichkeit bezieht sich auf die Verwendung eines (unmarktierten) Lineals und eines normalen Zirkels. Sobald man das Lineal markieren darf, loest sich das Problem in Luft auf, das ist schon lange bekannt. Aufgrund dessen werde ich den Vorschlag des anonymen Hinweisenden nicht umsetzen koennen. Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

 
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