Physik: Über die Masse des Mondes
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Physik

\(\begingroup\)   Über die Masse des Mondes Umkreist ein Körper der Masse m ein Gravitationszentrum der Masse M im Abstand r, und sind dabei \omega und G seine Winkelgeschwindigkeit bzw. die Gravitationskonstante, dann gilt durch Gleichsetzung der Terme für die Zentripetal- und die Gravitationskraft m*\omega^2*r = G*m*M/r^2|.

Hierbei hebt sich die Masse des umkreisenden Körpers heraus; übrig bleibt die Masse des umkreisten Körpers. Wenn G als bekannt vorausgesetzt wird und r sowie \omega=2\pi/T mit T als Umlaufzeit gegeben sind, kann man damit die Masse des umkreisten Körpers berechnen. Das funktioniert sehr schön bei dem System Erde\-Sonne zur Bestimmung der Sonnenmasse. Die Masse der Erde erhält man so: ein Körper der Masse m auf dem Erdboden unterliegt der Anziehungkraft GmM/R^2|, wobei jetzt M die Masse der Erde und R ihren Radius bedeuten. Diese Anziehungskraft ist gleichzeitig das Gewicht des Körpers m*g, g=Erdbeschleunigung, so daß sich aus beiden Krafttermen für die Erdmasse ergibt: M=gR^2/G|. Die Masse eines Planetenmondes läßt sich| n i c h t| durch die Gleich\- setzung von Gravitations\- und Zentripetalkraft bestimmen; hier wäre der Mond wieder der umlaufende Körper, dessen Masse sich aus der Rechnung herauskürzt. Darauf weist Norbert (Splendour MN) am 30.12.,16:33 in seiner Antwort auf eine Frage bezüglich eines der Jupitermonde hin. Die Bestimmung der (Erd)mondmasse ist somit kein einfaches Problem. Sowohl in Lehrbüchern wie im Internet wird oft erwähnt, daß sie ungefähr 1/81 der Erdmasse beträgt - eine Erklärung, wie man darauf gekommen ist, fehlt in den meisten Fällen. Ein paar Literaturstellen bemerken, daß sich dieses Massenverhältnis aus Messungen der Fallbeschleunigung auf dem Mond ergeben habe, nachdem Astronauten auf ihm gelandet waren, doch kann das nicht die einzige Quelle dafür sein. Der angenäherte Wert 1/81 war bereits bekannt, lange bevor es künstliche Satelliten und Mondlandungen gab. Im folgenden will ich versuchen, ihn möglichst kurz zu begründen. Bei jedem Zweikörpersystem umkreisen beide Partner ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt. Bei Erde und Sonne fällt er praktisch mit dem Sonnenmittelpunkt zusammen. Anders ist es dagegen bei Mond und Erde: hier liegt der Schwerpunkt deutlich außerhalb des Erdmittelpunktes. Man kann sich die Sache so vorstellen, als ob Erde und Mond durch eine (masselose) Stange verbunden sind, die sich um den Schwerpunkt S dreht. Die Winkelgeschwindigkeit \omega ist deshalb für beide Himmelskörper gleich. Bezeichnet r_1 den Abstand des Erdmittelpunkts von S und r_2 den Abstand des Mondmittelpunktes von ihm, so unterliegt die Erde der Zentripetalkraft M\omega^2|r_1 und der Mond der Zentripetalkraft m\omega^2|r_2|. Die zwischen ihnen wirkende Gravitationskraft ist für beide einheitlich gegeben durch GmM/(r_1+r_2)^2|. Wiederum durch Gleichsetzen der Terme für Zentripetal\- und Gravitations\- kraft erhält man hieraus die beiden Gleichungen \omega^2|r_1=Gm/(r_1+r_2)^2 und \omega^2|r_2=GM/(r_1+r_2)^2|, aus denen sich für das Massenverhältnis Mond\-Erde ergibt: m/M=r_1/r_2|. Damit geht es jetzt "nur" noch darum, wie groß r_1 und r_2 sind, d. h., wo sich der Massenmittelpunkt von Erde und Mond befindet. Ohne den Mond würde die Erde eine "glatte" Kreisbahn um die Sonne be\- schreiben, deren genaue Größe und Lage im Weltraum man kennt. Durch die Anwesenheit des Mondes weicht die Erde von dieser idealen Bahn gering\- fügig ab \(der Kreis wird etwas wellig), und die Abweichungen können die Astronomen messen. Die Winkeldifferenzen einzelner, von der Erde aus beobachteter Sonnenpositionen betragen nur wenige Sekunden. Daraus wurde r_1 zu rund 4700 km berechnet, d. h. der Schwerpunkt Erde\-Mond liegt etwa 1670 km unter der Erdoberfläche bei einem Erdradius von rund 6370 km, während sich für r_2 ca. 379300 km ergeben. Beide Werte führen dann angenähert zu dem oben genannten Massenverhältnis 1/81. Abschließend sei bemerkt, daß die Mondbewegung sehr viel komplizierter ist, als hier beschrieben wurde und von zahlreichen weiteren Parametern und physikalisch Erscheinungen abhängt, die im Rahmen dieses Beitrags nicht einmal angedeutet werden können. Ein frohes, gesundes, erfolgreiches Neues Jahr wünscht allen Besuchern und Mitgliedern des Matheplaneten Hans\-Jürgen. \mixoff
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"Physik: Über die Masse des Mondes" | 11 Comments
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Re: Über die Masse des Mondes
von: bodzcount am: Fr. 31. Dezember 2004 15:47:30
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, ein interessanter Artikel. Über das Thema habe ich mir noch garkeine Gedanken gemacht. Guten Rutsch Benjamin\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Wauzi am: Fr. 31. Dezember 2004 15:55:43
\(\begingroup\)Ein sehr interessanter Beitrag. Ich hätte nie gedacht, daß das so schwierig ist, die Masse des Mondes zu bestimmen. Die Physik bietet eben immer wieder Überraschungen. Ein kleines Aufgäbchen in diesem Zusammenhang (für Nichtphysiker!!): Wieso ist das Gewicht eines Gegenstandes auf dem Mond deutlich größer als 1/81 seines Gewichts auf der Erde? Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: cow_gone_mad am: Fr. 31. Dezember 2004 16:08:12
\(\begingroup\)Hallo Hans-Juergen, weisst du das es so gemacht worden ist? Es ist eine Möglichkeit, aber halt nur eine von vielen. Man hat ja auch noch zum Beispiel Bahnen von Kometen, oder die Beeinflussung durch andere Planeten, wobei ich jetzt nicht sagen kann wie stark die dadurch hervorgerufene Abweichung ist. Liebe Grüss,e cow_\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: shadowking am: Fr. 31. Dezember 2004 22:26:11
\(\begingroup\)Hallo, habe ich nicht letztens gelesen, dass es auch einen kleinen Begleiter des Mondes gibt? Mit dessen Umlaufzeit und mittlerem Abstand vom Mond könnte man doch die Mondmasse auf dem klassischen Weg berechnen. Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Hans-Juergen am: Sa. 01. Januar 2005 12:10:31
\(\begingroup\)Hi cow, hi Norbert, mit meinem Beitrag wollte ich hauptsächlich darauf hinweisen, wie schwierig es ist, die Masse des Mondes zu bestimmen, während dies bei den Massen von Sonne und Erde verhältnismäßig leicht gelingt. Außerdem lag mir daran, die Herkunft des so oft genannten, aber nur selten begründeten Massenverhältnisses 1/81 zu beschreiben, wobei nur eine ältere Methode in Frage kommen sollte. Von modernen, die unter anderem Bahnstörungen von Satelliten auswerten, weiß ich zu wenig. Hier müßte man Spezialliteratur zu Rate ziehen. Sollte es einen kleinen Begleiter des Mondes auf einer Kreisbahn geben, deren Daten bekannt sind, dann ließe sich wohl damit die Mondmasse "klassisch" berechnen, vorausgesetzt, der Massenmittelpunkt des Begleiters liegt genügend nahe beim Schwerpunkt des Mondes, und es besteht nicht eine ähnliche Situation wie bei Mond und Erde. Im übrigen ist über einen solchen Mondbegleiter zumindest im Internet anscheinend nichts zu finden. Hier wird etwas anderes berichtet, das mit unserem Thema nicht mehr direkt zusammenhängt, nämlich über einen Asteroiden, der die Erde zusätzlich zum Mond auf einer "korkenzieherförmigen" Bahn begleitet. Ich grüße Euch herzlich, Hans-Jürgen. \(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Gockel am: Sa. 01. Januar 2005 15:20:46
\(\begingroup\)Hi. Wenn ich es richtig verstehe, könnte man doch einfach annehmen, dass die Erde um den Modn kreist und würde somit die erste Formel zur Berechnung der Mondmasse wunderbar benutzen können. Was spricht gegen dieses Vorgehen? Die Wahl eines Bezugsystems ist doch schließlich uns überlassen... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: cow_gone_mad am: Sa. 01. Januar 2005 16:10:28
\(\begingroup\)@Gockel: Du irrst. Rotationsbewegungen sind nicht vom Bezugssystem unabhängig. Du betrachtest hier ja sogenannte Scheinkräfte.\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: bruhns am: Di. 04. Januar 2005 20:47:12
\(\begingroup\)Die Messung der Abweichung der Erdbahn ist allerding sehr schwer. Verdammt schwer. Man hatte schon Probleme mit der (exakten) Messung des Radius der Erdbahn. Parallaxenverschiebung ist immer M\"ull. (Wir wollen Technologie des 18. Jh verwenden- zu Zeiten von Laplace. Und da hatte man keine Sateliten und keine Pr\"azisionsteleskope.) Gl\"ucklicherweise m\"ussen wir diese utopisch kleine Winkelabweichung nicht messen: Wir koennen einfach die St\"arke der Gezeiten messen. Die Geschichtsbestimmung geht IMHO folgenderma\ss en: Sei d die Distanz der Schwerpunkte von Erde und Mond. Sei R der Erdradius und C gleich Gravitationskonstante mal Mondmasse, \omega sei die Winkelgeschwindigkeit von 2 Pi/Monat. r Sei der Abstand von Erdschwerpunkt und gemeinsamen Schwerpunkt Erde-Mond. Die Gravitationskonstante sei positiv. Am dem Punkt auf der Erdoberfl\"ache, der dem gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond am n\"achsten gelegen ist, haben wir eine Gravitationsbeschleinigung von C/(d-R)^2, am entferntesten Punkt C/(d+R)^2. Am n\"achsten Punkt haben wir eine Fliehbeschleunigung von 2*Pi*(r-R)*\omega^2, am entferntesten von 2*Pi*(r+R)*\omega^2. Am Schwerpunkt herrscht Kr\"aftegleichgewicht mit C/d^2 = 2 Pi r \omega^2 Wir messen im Laufe eines Tages mit einer Waage die Gravitations"konstanten" g_{min} und g_{max}, wobei ungef\"ahr g=-9.81m/s^2 ist. Wir messen also die Differenz, die unsere Gezeitenbeschleunigung ausmacht, ich nenne sie G=|g_{max}-g_{min}|. Diese k\"onnen wir sehr genau messen, auch mit Technik von vor der franz\"osischen Revolution. Ein Torsionswaage bietet sich an, so wie beim "Wiegen der Erde"- Experiment, allerdings muss man etwas nachdenken, wie man eine genaue und relatv schnelle (0.5h Verz\"ogerung) Waage fuer vertikale Kraefte baut, falls man 5 Stunden warten muss, bis sie sich eingependelt hat, hat man ein Problem. (der halbe Tag hat nur verdammte 12h) Jetzt haben wir alles n\"otige: Es gilt G=|C/(d-R)^2 - C/(d+R)^2 + 2*Pi*(r-R)*\omega^2 - 2*Pi*(r+R)*\omega^2|. Man meditiere \"uber den Vorzeichen. Ich hoffe, ich habe sie richtig hingekriegt. Zusammen mit C/d^2 = 2 Pi r \omega^2 ergibt sich wenn ich nach C aufl\"ose: [ein langer Term in d, R, \omega und G, den ich ohne fedgeo nicht tippen werde]. Noch fix durch \gamma teilen und wir haben die Mondmasse. Wenn wir \gamma noch nicht genau genug kennen-- es ist schlie\ss lich noch keine Messung mit vielen geltenden Stellen gemacht worden-- k\"onnen wir doch das Masseverh\"altnis Mond-Erde sehr genau bestimmen, da [erdmasse]*\gamma/[erdradius]^2=Kilopond/Kilogramm Alle verwendeten Gr\"o\ss en waren realisitsch messbar, hart sind nur Gravitationskonstante \gamma und Gezeitenkraft G. Ich w\"urde das hier gerne als Erweiterung an den Artikel ranh\"angen-- wei\ss{} jemand hier, wie das geht oder kann das jemand machen? Und kann irgendjemand die Rechnungen \"uberpr\"ufen?\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Hans-Juergen am: Di. 04. Januar 2005 21:34:14
\(\begingroup\)Ergänzend zu meinem obigen Beitrag noch zwei Internet-Auszüge: Bild (aus www.gernot-geise.de/html/archiv/weltraum/mond/erdumkreisung1.htm, Bild gedreht) und »The mass of the Moon is tricky since it doesn't have any natural satellites. Until the age of spacecraft, this was done by measuring the Earth's motion around the common center of mass. This is 4600 km from the center of the Earth. As a result of this motion, the stars appear to make circles of diameter 6'' once a month.« (aus http://luna.tau.ac.il/~tomer/staff/morris/NewSite/Chapter2/Chapter2_index.html) Hans-Jürgen Dies hörte ich einmal: "Der Mond ist nicht nur bedeutend kleiner als die Erde, sondern auch wesentlich weiter von ihr entfernt." \(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 07. März 2006 08:56:03
\(\begingroup\)Och Menno, ich wollte doch einfach nur mal wissen, was der Mond wiegt...\(\endgroup\)
 

Re: Über die Masse des Mondes
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 02. März 2015 17:09:47
\(\begingroup\)@bruhns: dein text mit den \" liest sich allerdings sehr schwer. verdammt schwer.\(\endgroup\)
 

 
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