Physik: Einsteins Modell
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Physik

\(\begingroup\) In Fortsetzung zu Der Auswertung des Randomwalks Einsteins Modell und Fouriers Wärmeleitung Ich habe in meinen letzten Artikeln begonnen, mit eurer Hilfe ein Experiment durchzuführen. Nun möchte ich ein Modell vorstellen, mit dem man das Verhalten unseres betrunkenem Wanderers beschreiben kann. Dieses Modell geht auf Albert Einstein zurück. Diesem verdanken wir, dass heute das Jahr der Physik beginnt. Die Arbeit in der das hier vorgestellte Modell beschrieben wurde, war übrigens eine der 3 Arbeiten Einsteins aus dem Jahr 1905. Sie beschrieb aber keine betrunkenen Wanderer, sondern die Brownsche Molekularbewegung. Ich möchte mich deswegen auch an dieses Original halten. Ausserdem werde ich im Anschluss noch Fouriers Wärmeleitung behandeln, die ein ähnliches Phänomen beschreibt.

Annahmen

Die Annahmen, die ich hier treffen werde, sind nicht von mir, sondern stammen von Albert Einstein. Wir können hier als erstes die Annahme von diskreten Schritten aufgeben, sondern gehen zu kontinuirlichen über. Ausserdem beschränken wir uns auf den 1 dimensionalen Fall, um unnötige Verkomplikationen zu vermeiden. \ Ich möchte jetzt die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens an einem bestimmten Ort zu sein mit einer Funktion n(x,t) beschreiben. Aber mich interessiert hier die Veränderung von dieser Funktion. Die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens sich um \Delta zu bewegen soll mit der Funktion \phi(\Delta) beschreiben werden. Für welche folgende 3 Annahmen gelten sollen: \ll(1) int(\phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) = 1 Also dass sich mein Teilchen immer irgendwohin bewegt und nicht plötzlich verschwindet. Hierbei ist für mich auch der Stilstand eine Bewegung. \ll(2) \phi(\Delta) = \phi(- \Delta) Also dass mein Teilchen weder rechts noch links bevorzugt. Wir betrachten hier ja nur den 1 dimensionalen Fall. Also unser Teilchen bewegt sich auf einer Geraden. \ll(3) \phi(\Delta) -> 0 für \Delta -> + \inf und \Delta -> - \inf Also dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass mein Teilchen in die Unendlichkeit zu verschwindet.

Berechnung

\ Ich nehme jetzt an, dass ich weiss, wo sich mein Teilchen zum Zeitpunkt t befindet, und ich berechnen möchte, wo es zum Zeitpunkt t + \tau ist, wobei \tau als klein angenommen wird. Ich kann jetzt mit Hilfe meiner Funktion \phi schreiben: \ll(4) n(x, t + \tau) = int(n(x + \Delta,t) * \phi(\Delta), \Delta, - \inf, \inf) Hierbei wollen wir ja aufschreiben wie wahrscheinlich es ist, dass sich ein Teilchen zum Zeitpunkt t + \tau an der Stelle ist. Man integriert also über den gesamten Raum, wobei man an jedem Raumpunkt die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen dort ist n(x + \Delta,t) mit der Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen um \Delta zum Punkt x bewegt \phi(\Delta). Jetzt kommen ein paar Reihenentwicklungen: n(x, t + \tau) = n(x,t) + (\pd n)/(\pd t) (x,t) * \tau + ... n(x + \Delta,t) = n(x,t) + (\pd n)/(\pd x) (x,t) * \Delta + (\pd^2 n)/(\pd x^2) (x,t) * \Delta^2 / 2 + ... Wenn ich jetzt meine linke Seite von (4) in Reihendarstellung integriere, kann ich die Linearität des Integrals ausnutzen, um die einzelnen Summanden getrennt zu berechnen, also: int(n(x + \Delta,t) * \phi(\Delta), \Delta, - \inf, \inf) = = int(n(x,t) * \phi(\Delta), \Delta, - \inf, \inf) + + int((\pd n)/(\pd x) (x,t) * \Delta * \phi(\Delta), \Delta, - \inf, \inf) + + int((\pd^2 n)/(\pd x^2) (x,t) * \Delta^2 / 2 * \phi(\Delta), \Delta, - \inf, \inf) Ich erhalte nun für den ersten Summand: int(n(x,t) * \phi(\Delta), \Delta, -\inf, \inf) = n(x,t) *int(\phi(\Delta), \Delta, -\inf, \inf) = n(x,t) unter Verwendung von Annahme 1, und für den zweiten Summand: int((\pd n)/(\pd x) (x,t) \Delta * \phi(\Delta), \Delta, -\inf, \inf) = (\pd n)/(\pd x) (x,t) *int(\Delta \phi(\Delta), \Delta, -\inf, \inf) = 0 Hierbei verwende ich, dass ich eine antisymmetrische Funktion über symmetrische Grenzen integriere. \Delta * \phi(\Delta) ist antisymmetrisch, weil \Delta antisymmetrisch ist, und \phi(\Delta) nach Annahme 2 symmetrisch ist. Ausserdem geht hier Annahme 3 ein, weil ich eigentlich einen Grenzübergang mache. Die Behauptung mit der antisymmetrischen Funktion gilt strenggenommen nämlich nur, für eigentliche Integrale, deswegen wäre es bei einer sauberen Behandlung nötig: lim(R -> \inf, int(...,,-R,R)) zu schreiben. Aber dies kann ich hier, weil die Beiträge gegen unendlich verschwinden.
Die Rechnungen gehen weiter: \ Ich habe jetzt: n(x,t) + (\pd n)/(\pd t)(x,t) * \tau = n(x,t) + 0 + (\pd^2 n)/(\pd x^2) int(\Delta^2/2 \phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) Das n(x,t) kürzt sich auf beiden Seiten weg, also erhalte ich: (\pd n)/(\pd t)(x,t) * \tau = (\pd^2 n)/(\pd x^2) int(\Delta^2/2 \phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) und mit der Bezeichnung D für Diffusionskoeffizient: \ll(5) D = 1/\tau int(\Delta^2/2 \phi(\Delta),\Delta,-\inf,\inf) erhalten wir folgende Gleichung: \ll(6)(\pd n)/(\pd t) = D * (\pd^2 n)/(\pd x^2) Vielleicht kommt diese Gleichung ja manchen hier bekannt vor. Mehr dazu in meinem nächsten Artikel. Erstmal möchte ich aber noch ein paar Worte zu dieser Gleichung verlieren.

Fouriers Wärmeleitung

Hier wird es um die Wärmeleitung gehen. Die gebene Situation ist also, wir kennen die Wärmeverteilung in einem Stoff zu einem bestimmten Zeitpunkt und wollen vorraussagen, wie sie sich mit der Zeit entwickeln wird. Das hier vorgestellte Modell stammt von Joseph Fourier, der hier wahrscheinlich eher für seine Fouriertransformation bekannt sein wird. \ Wir haben also eine Temperaturverteilung T(x^>,t), wobei x^> hier ein Vektor ist. Ich möchte nun die Änderung beschreiben, hierfür führe ich den Wärmestrom in einem Punkt x^> \Phi ein. Dieser ist gegeben durch: \ll(7) \Phi = - K grad(T) wobei K die Wärmeleitfähigkeit ist. Die Gleichung (7) besagt hier, dass der Wärmestrom proportional zum Gefälle in der Temperaturverteilung ist. Weiters gehen wir hier davon aus, dass keine Wärmeenergie verloren geht. Die Energieerhaltung ist in den meisten physikalischen Systemen gegeben. Allerdings muss die Wärmemenge nicht unbedingt Proportional zur Temperatur sein, sondern es gilt: \ll(8) Q = c * T Wobei Q die Wärmemenge ist, und c die Wärmekapazität. Ich habe schon erwähnt, dass die Wärmeenergie nicht verloren gehen soll. Also erhalte ich folgende Kontinuitätsgleichung: \ll(9) div(\Phi) = - (\pd Q)/(\pd t) = - c (\pd T)/(\pd t) Diese besagt, dass die Quellstärke div(\Phi) genauso gross ist, wie die Wärmemenge, die pro Zeiteinheit hinein fliesst. Wenn man nun 1 und 3 zusammenfasst, erhält man: \ll(10) \Delta T = \kappa (\pd T)/(\pd t) Wobei \kappa = c / K ist. Dies ist der Wärmeleitungskoeffizient. Wenn man jetzt nur den 1 dimensionalen Fall betrachtet, erhält man, da der Laplace Operator im 1 dimensionalen zu \pd^2/(\pd x^2) wird einfach: \ll(11)(\pd^2 T)/(\pd x^2) = \kappa (\pd T)/(\pd t) Also genau die gleiche Gleichung wie die letzte Gleichung aus meinem letzten Artikel, bis dadrauf, dass das n gegen ein T ausgetauscht ist. Was ist jetzt aber der Zusammenhang? Sie beschreiben sehr ähnliche physikalische Phänomene.
Allerdings muss man sich überlegen, wie sie zusammenhängen. Hierfür möchte ich mich als erstes auf den Fall, dass unser Medium ein Gas ist einschränken. In einem Gas wird die Wärmemenge durch die Bewegung der Teilchen getragen. Da meine erste Gleichung aus dem letzten Artikel die Bewegung der Teilchen beschrieben hat, und diese die Wärme tragen. Also kann man annehmen, dass sich die Wärme genauso verteilt, wie sich die Teilchen verteilen. In Flüssigkeiten liegt ein ganz analoges Phänomen vor. In Leitern auch, dort wird die Wärmeenegie durch die Elektronen übertragen. Wie ist es aber in Festkörpern? Die Antwort ist wieder ganz analog, bis dadrauf, dass wir sogenannte Pionen einführen müssen. Dies sind sogenannte virtuelle Teilchen, die man aus der Quantenmechanik erhält. Natürlich ist es noch immer sehr unzufriedenstellend, was ich hier als Resultat habe, da man damit noch nicht das Ergebnis unseres Experimentes vorhersagen kann. Aber dazu werde ich noch kommen. In einem folgenden Artikel.
Dieser Artikel ist hier fortgesetzt,

Inhalt der Artikelserie zum Randomwalk

  • Der betrunkene Wanderer
  • Auswertung des Randomwalks
  • Einsteins Modell
  • Weiterführende Rechnungen
  • Rückblick auf das Experiment
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