Physik: Weiterführende Rechnungen
Released by matroid on Fr. 28. Januar 2005 21:21:48 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) In Fortsetzung zu Einsteins Modell und Fouriers Wärmeleitung Weiterführende Rechnungen In diesem Artikel möchte ich die PDE jetzt nicht lösen, da diese mathematische Methoden erfordert in denen ich mich nicht sicher genug fühle, um sie in einem Artikel zu erklären. Allerdings möchte ich hier die zwei wesentlichen Lösungen der Gleichung aufschreiben, und sagen welches physikalisches Phänomen sie darstellen. Ausserdem möchte ich danach eine Formel zur Berechnung der mittleren Zurückgelegten Distanz ableiten.

\ Wir haben ja unsere partielle Differentialgleichung: \ll(0) (\pd n)/(\pd t) = D * (\pd^2 n)/(\pd x^2) Als Lösungen erhält man im folgende sehr verschieden Gleichungen: \ll(1)n(x,t)=(sin(\omega t - m x) exp(- m t) Wobei der Zusammenhang \omega = 2 \kappa m^2 gelten muss, und: \ll(2)n(x,t)=1/( sqrt(4 \pi D t)) exp(-x^2/(4 D t)) Diese Lösungen wurden sehr speziell von mir gewählt, um ihre Diskussion zu erleichtern. Es wäre zum Beispiel auch noch jede Funktion, die konstant in t und linear in x ist, eine Lösung dieser Gleichung. Aber ihre Diskussion brächte uns hier nicht wesentlich weiter. Deswegen habe ich mir die Freiheit genommen dadrauf zu verzichten, erwähne es aber hier.
Wenn man ein Ergebnis hat, sollte man sich immer überlegen, was es aussagt, und genau das möchte ich jetzt machen.

Interpretation der ersten Lösung

\ Bei der ersten Lösung haben wir den Term sin(\omega t - m x). Dieser führt zu einer Periodizität sowohl in t als auch in x. Wenn wir uns das Experiment zum Randomwalk anschauen, kommt in diesem nichts wirklich periodisches vor. Vor allem eine Periodizität im Ort liegt nicht vor, da wir zum Beispiel mit einem einzigen Anfangspunkt begonnen haben. Wenn wir örtlich periodisch gewesen wären, hätten wir ein Gitter auf das Blattpapier zeichnen müssen. Aber wir hatten noch ein zweites Phänomen: die Wärmeleitung. Hier ist die zeitliche Periodizität durchaus gegeben. Nämlich wenn wir uns die Temperatur des Erdbodens unter Sonneneinstrahlung berechnen wollen. Dort haben wir eine Periodizität, dadurch, dass die Sonne nur tagsüber scheint, und nachts halt nicht. Der Term -m x ist dann soviel wie eine Phasenverschiebung, da die Auswirkung der Sonneneinstrahlung mit zunehmender Tiefe später eintritt. Der Term exp(-m x) ist dann eine Dämpfung, weil die Wirkung klarerweise mit zunehmender Tiefe abnimmt. Ich möchte hier noch bemerken, dass man mit Gleichung (1) eigentlich nur die Temperaturänderung darstellen kann. Allerdings ist dies kein Problem, weil wir Terme, die in der Temperatur konstant sind, zur Gleichung dazu addieren können.

Interpretation der Zweiten Lösung

Die zweite Lösung besitzt keine solche Periodizität, und sie hat noch ein paar andere auf unser Problem zutreffende Eigenschaften. Es handelt sich hierbei um eine sogenannte Gausskurve, wie sie manchen von euch aus der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt sein wird. Wenn wir betrachten, wie sie sich bei t gegen 0 verhält, sehen wir, dass sie im Nullpunkt immer spitzer wird, also gegen unendlich wächst. Dies entspricht unserem Versuch auf Papier, weil wir dort an einem genau bestimmten Punkt begonnen haben. Ausserdem flacht sich unsere Kurve immer weiter ab, und wird breiter, dies entspricht auch der experimentellen Situation. Es ist also mangels Alternativen anzunehmen, dass diese Gleichung unsere Situation beschreibt.
\ Ich möchte noch ein paar technische Eigenschaften der Gleichung (2) in der Form, wie ich sie aufgeschrieben habe bemerken. Wir haben also: \ll(2) n(x,t)=1/( sqrt(4 \pi D t)) exp(-x^2/(4 D t)) Eine sehr schöne Eigenschaft der Gleichung ist, dass sie normiert ist. Wenn wir uns das Integral über den ganzen Raum berechnen: int(n(x,x),t,-\inf,\inf) = 1/( sqrt(4 \pi D t)) * int(exp(-x^2/(4 D t),x,-\inf,\inf) Mit der Substitution u = sqrt(4 D t) x und dann du = 2 sqrt(D t) erhalten wir: int(n(x,x),t,-\inf,\inf) = sqrt(4 D t)/( sqrt(4 \pi D t)) * int(exp(-u^2),u,-\inf,\inf) Das letzte Integral ist bekannt und hat den Wert sqrt(\pi) also erhalten wir: int(n(x,x),t,-\inf,\inf) = sqrt(4 D t)/( sqrt(4 \pi D t)) * sqrt(\pi) = 1 Wir stellen also fest, dass es sich bei der Funktion n(x,t) um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Ausserdem möchte ich noch anmerken, dass diese Gleichung symmetrisch, um den Ursprung ist. Was ja auch eine Forderung im Modell von Einstein war.
Es ist auch möglich diese Gleichungen in der Ebene und im Raum zu lösen. An der Gleichung ändert sich dabei nichts. Bis dadrauf, dass x ein Vektor ist. Allerdings muss man die Normierungsfaktoren ändern. Ich möchte mich aber aus Gründen der Einfachheit auf den eindimensionalen Fall beschränken. Es ist auch so kompliziert genug.

Ableitung einer Formel für die zurückgelegte Distanz

Wir haben nun unsere Lösung: \ \ll(1) n(x,t) = 1/( sqrt(4 \pi D t))* exp(-x^2/(4 D t)) Jetzt wollen wir damit auch was rechnen. Nämlich wir wollen uns ausrechnen, wie weit unser Teilchen kommen wird. Dieses Ergebnis können wir dann auch wirklich mit den experimentellen Daten aus dem Experiment und mit etwaigen Computersimulationen vergleichen. \ Wir berechnen uns folgende Grösse x_(rms) das rms steht für root mean square. Also das mittlere Verschiebungsquadrat. Dieses ist gegen durch: \ll(2) (x_(rms))^2 = int(x^2 * 1/( sqrt(4 \pi D t)) exp(-x^2/(4 D t)),x,-\inf,\inf) Dieses Integral sieht zwar etwas wild aus, es ist aber zum Glück lösbar. \ Wir haben also: (x_(rms))^2 = int(x^2 * 1/( sqrt(4 \pi D t)) exp(-x^2/(4 D t)),x,-\inf,\inf) = =1/( sqrt(4 \pi D t)) * int(x^2 * exp(-x^2/(4 D t)),x,-\inf,\inf) wobei ich den von x unabhängigen Term herausgehoben habe. Jetzt substituire ich x = u * (sqrt(4 D t)) mit dx = sqrt(4 D t) du \ll(3) (x_(rms))^2 =(4 D t)/( sqrt(\pi )) * int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf)
\ Das Integral: int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) lässt sich jetzt durch partielle Integration lösen. Es gilt int(f * g') = f*g - int(f' * g) Hier mit f = u und g' = u * exp(-u^2) Dann haben wir f' = 1 und g = - 1/2 * exp(-u^2) uns somit: int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = = stammf(-1/2 u exp(-u^2),-\inf,\inf) + 1/2 int(exp(-u^2),u,-\inf,\inf) stammf(-1/2 u exp(-u^2),-\inf,\inf) = 0 (Wie man durch berechnen der Grenzwerte sieht) int(exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = sqrt(\pi) Wie dieses Integral zu lösen ist, findet ihr in folgendem Link. Somit ist: \ll(4) int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) = sqrt(\pi)/2 Die Berechnung des oben angegebenen Integrals findet ihr hier. \ Mit Gleichungen (3) und (4) erhalten wir: x_(rms)^2=(4 D * t)/( sqrt(\pi)) * int(u^2 * exp(-u^2),u,-\inf,\inf) =(4 D * t)/( sqrt(\pi)) * sqrt(\pi)/2 = 2 D t Und somit erhalten wir für das mittlere Verschiebungsquadrat: \ll(5) x_(rms) = sqrt(2 D t) Wenn man die Gleichungen für die mehrdimensionalen Analogen lösen würde, würde man hier Werte von 4 bzw. 6 anstelle von 2 bekommen.
Ich habe nun praktisch alles aus den Gleichungen herausgeholt, was ich aus ihnen herausholen wollte. In dem wahrscheinlich letzten Artikel dieser Reihe werde ich einen Rückblick auf das Experiment zu Anfang werfen.

Inhalt der Artikelserie zum Randomwalk

  • Der betrunkene Wanderer
  • Auswertung des Randomwalks
  • Einsteins Modell
  • Weiterführende Rechnungen
  • Rückblick auf das Experiment
    \(\endgroup\)
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    "Physik: Weiterführende Rechnungen" | 1 Comment
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    Re: Weiterführende Rechnungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 17. September 2005 15:16:06
    \(\begingroup\)ähm...........also ich checke es nicht einmal :D aber es hört sich sehr interessant an!!\(\endgroup\)
     

     
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