Mathematik: Reihen
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Analysis

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Reihen Bild Mit diesem Artikel möchte ich etwas über Reihen schreiben, was das ist, wie man deren Konvergenz überprüft, den Beweis einiger gängiger Konvergenzkriterien liefern uvm.

pdf-Version des Artikels Hier ein vorläufiges Inhaltsverzeichnis: 1. Linearität der Reihen 2. Trivialkriterium 3. Cauchy- Kriterium 4. Integralkriterium 5. Majoranten- Minoranten- Kriterium 6. Grenzwertkriterium 7. Wurzelkriterium 8. Quotientenkriterium 9. Leibniz- Kriterium 10. Monotoniekriterium 11. Verdichtungskriterium 12. Partielle Summation 13. Abelsches und Dirichlet Kriterium 14. Cauchy- Schwarz- Ungleichung
Damit wir eine Reihe bilden können, benötigen wir zunächst eine Folge a_k (k\el\ \IN). Nun können wir die Partialsummen bilden s_0=a_0=sum(a_k,k=0,0) s_1=a_0+a_1=sum(a_k,k=0,1) s_2=a_0+a_1+a_2=sum(a_k,k=0,2) . . . s_n=a_0+a_1+...+a_n=sum(a_k,k=0,n) Man kann bei der Reihe sum(a_k,k=m,n) den Index verschieben z.b. sum(a_(k-p),k=m+p,n+p) und es bleibt weiterhin die gleiche Reihe. Wenn die Patialsummenfolge konvergiert, also lim(n->\inf,s_n)=S ist, spricht man davon, dass die Reihe sum(a_k,k=0,\inf) konvergiert, andernfalls divergiert die Reihe. Wenn nicht nur sum(a_k) konvergiert, sondern auch sum(abs(a_k)) konvergiert, ist die Reihe absolut konvergent. Absolut konvergente Reihen sind auch konvergent, aber nicht umgekehrt. Jede Reihe ist Folge ihrer Partialsummen. Umgekehrt ist auch jede Folge die Partialsummenfolge einer Reihe, denn a_0+sum(a_k-a_(k-1),k=1,n)=a_0+(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+...+(a_n-a_(n-1))=a_n Reihen, die man in der Form sum((a_k-a_(k-1))) darstellen kann, nennt man Teleskop-Reihen. \big Beispiel: sum(1/((k+1)*(k+2)),k=0,\inf) Wegen 1/((k+1)*(k+2))=1/(k+1)-1/(k+2) ist s_n=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))+(1/(n+1)-1/(n+2))=1-1/(n+2) für n->\inf gilt offensichtlich s_n->1, also konvergiert die Reihe sum(1/((k+1)*(k+2)),k=0,\inf) gegen 1 Betrachten wir nun die geometrische Reihe sum(x^k,k=0,\inf) Im Fall x=1 ist sum(x^k,k=0,n)=n+1 und die Folge a_n=n+1 ist unbeschränkt, also divergiert die Reihe für x=1 und in den nächsten Rechnungen schliessen wir x=1 aus \lr(1) s_n=1+x+...+x^n multiplizieren wir (1) mit x erhalten wir x*s_n=x+x^2+...+x^(n+1) subtrahieren wir diese Gleichung von der ersten, erhalten wir s_n-x*s_n=(1+x+...+x^n)-(x+x^2+...+x^(n+1)) s_n*(1-x)=1-x^(n+1) s_n=(1-x^(n+1))/(1-x) offensichtlich ist für abs(x)>1 s_n unbeschränkt, da in diesem Fall x^(n+1) unbeschränkt ist, und für abs(x)<1 geht s_n->1/(1-x), da x^(n+1) gegen Null konvergiert. \blue Die geometrische Reihe sum(x^k,k=0,\inf) konvergiert nur für abs(x)<1 \big Beispiel sum((1/2)^k,k=0,\inf)=1/(1-1/2)=2 Man muss aber darauf achten, bei welchem k man beginnt zu summieren. Es ist sum((1/2)^k,k=1,\inf)=sum((1/2)^k,k=0,\inf)-1=1 Wie man sieht, konvergiert sum((1/2)^k,k=0,\inf) gegen 2, aber sum((1/2)^k,k=1,\inf) hingegen gegen 1.
Nun zu etwas allgemeinerem \red\double\frame 1. Sei sum(a_k,k=0,\inf)=l und sum(b_k,k=0,\inf)=m so ist sum(a_k+b_k,k=0,\inf)=l+m 2. Sei sum(a_k,k=0,\inf)=l, dann gilt für reelle \a sum(\a*a_k,k=0,\inf)=\a*l \frameoff \big Beweis: Es sei s_n=sum(a_k,k=0,n), t_n=sum(b_k,k=0,n), u_n=sum(a_k+b_k,k=0,n), v_n=sum(\a*a_k,k=0,n) Wie man sieht ist u_n=s_n+t_n und v_n=\a*s_n Für s_n->l und t_n->m geht also u_n->l+m und v_n->\a*l.
Kommen wir nun zu einem notwendigen, aber nicht hinreichenden Kriterium, dem \red\double\frame Trivialkriterium: Ist die Reihe sum(a_k) konvergent, so gehen die Summanden a_n->0 bzw. streben die Summanden nicht gegen Null, so divergiert die Reihe. \frameoff \big Beweis: Wenn die Reihe konvergiert, so auch s_n=sum(a_k,k=0,n) OBdA gelte s_n->l Offenbar geht dann auch s_(n-1)->l. Wegen a_n=s_n-s_(n-1) haben wir a_n->l-l=0 Also a_k->0
Kommen wir nun zu einem der wenigen notwendigen und hinreichenden Kriterien, dem \red\double\frame Cauchy-Kriterium: sum(a_k) konvergent <=> \forall \eps>0 \exists n_0 \forall m>=n>=n_0: abs(sum(a_k,k=n,m))<\eps \frameoff Diesen Satz können wir auf Folgen beziehen. Jede Cauchyfolge ist konvergent und jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.
Kommen wir nun zum \red\double\frame Integralkriterium: Ist die Funktion f stetig, monoton fallend und positiv auf dem Intervall [1,\inf ), so konvergiert sum(f(k),k=1,\inf) genau dann, wenn int(f(x),x,1,\inf) konvergiert \frameoff Das Integral int(f(x),x,1,\inf) konvergiert genau dann, wenn int(f(x),x,1,n) konvergiert. Zur Veranschaulichung betrachte man folgende drei Bilder \geo xachse(0,7) plot(3/x,f) form(.) c(red) nolabel() p(1,1.5,p1) p(2,1.5,p2) p(2,1,p3) p(3,1,p4) p(3,0.75,p5) p(4,0.75,p6) p(4,0.6,p7) p(5,0.6,p8) p(5,0.5,p9) p(6,0.5,p10) p(1,0,x1) p(2,0,x2) p(3,0,x3) p(4,0,x4) p(5,0,x5) p(6,0,x6) s(p1,p2) s(p3,p4) s(p5,p6) s(p7,p8) s(p9,p10) s(x1,p1) s(x2,p2) s(x3,p4) s(x4,p6) s(x5,p8) s(x6,p10) f(x1,p1,p2,x2,red) f(x2,p3,p4,x3,red) f(x3,p5,p6,x4,red) f(x4,p7,p8,x5,red) f(x5,p9,p10,x6,red) \geooff geoprint() f(2)+...+f(n) \geo xachse(0,7) c(red) plot(3/x,f) form(.) nolabel() p(1,3,p1) p(6,0.5,p2) p(1,0,x1) p(6,0,x2) s(p1,x1) s(x1,x2) s(p2,x2) f(1.8,1.1,red) c(black) plot(3/x,ff) \geooff geoprint() int(f(x),x,1,n) \geo xachse(0,7) plot(3/x,f) form(.) c(red) nolabel() p(1,3,p1) p(2,3,p2) p(2,1.5,p3) p(3,1.5,p4) p(3,1,p5) p(4,1,p6) p(4,0.75,p7) p(5,0.75,p8) p(5,0.6,p9) p(6,0.6,p10) p(1,0,x1) p(2,0,x2) p(3,0,x3) p(4,0,x4) p(5,0,x5) p(6,0,x6) s(p1,p2) s(p3,p4) s(p5,p6) s(p7,p8) s(p9,p10) s(x1,p1) s(x2,p2) s(x3,p4) s(x4,p6) s(x5,p8) s(x6,p10) f(x1,p1,p2,x2,red) f(x2,p3,p4,x3,red) f(x3,p5,p6,x4,red) f(x4,p7,p8,x5,red) f(x5,p9,p10,x6,red) \geooff geoprint() f(1)+...+f(n-1) Da die Funktion f auf dem Intervall [1,n] monoton fällt, ist f(2)+..+f(n) eine Untersumme und f(1)+...+f(n-1) eine Obersumme und es ist f(2)+..+f(n)<=int(f(x),x,1,n)<=f(1)+...+f(n-1) Wenn die Folge der Integrale konvergiert, ist sie auch beschränkt. Nach der ersten Ungleichung ist dann die Partialsummenfolge beschränkt und die Reihe damit konvergent. Nehmen wir nun an, dass die Folge der Integrale divergiert. Da f positiv ist, wächst diese Folge monoton, int(f(x),x,1,n) \red\double\frame Majoranten- Minoranten- Kriterium 1. Gilt 0<=abs(a_k)<=b_k ab einem k_0 und ist die Majorante sum(b_k) konvergent, so konvergiert sum(a_k) absolut. 2. Gilt 0<=a_k<=b_k ab einem k_0 und ist die Minorante sum(a_k) divergent, so divergiert sum(b_k) \frameoff \big Beweis: zu 1. Da sum(b_k) konvergiert gilt \forall \eps>0 \exists k_0 \forall m>=n>=k_0: abs(sum(b_k,k=n,m))<\eps ab diesem k_0 gilt dann da ab hier 0<=abs(a_k)<=b_k sum(abs(a_k),k=n,m)<=sum(b_k,k=n,m)<\eps zu 2. Dies folgt sofort durch Kontraposition des Majorantenkriteriums.
\red\double\frame Grenzwertkriterium: Seien a_k, b_k positiv und für k->\inf sei 0\a/2 bzw. a_k>\a/2*b_k ab einem k_0. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz von sum(a_k) die Konvergenz von sum(b_k) Sei \b=lim sup a_k/b_k. Also gilt a_k/b_k<2*\b bzw. a_k<2*\b*b_k ab einem k_0. Nach dem Minorantenkriterium folgt aus der Divergenz von sum(a_k) die Divergenz von sum(b_k).
\red\double\frame Wurzelkriterium: sum(a_k) ist absolut konvergent, wenn limsup wurzel(k,abs(a_k))<1 \frameoff \big Beweis: limsup wurzel(k,abs(a_k))<1 => \exists q\el\ (0,1) und N \el\ \IN mit abs(a_k)=N Nach dem Majorantenkriterium konvergiert sum(a_k) absolut, weil die geometrische Reihe sum(q^k) konvergiert Falls limsup wurzel(k,abs(a_k))=1 ist keine Aussage möglich, den Fall limsup wurzel(k,a_k)>1 kann man wieder mit der geometrischen Reihe vergleichen und mit dem Minorantenkriterium die Divergenz beweisen.
\red\double\frame Quotientenkriterium: Gegeben sei sum(a_k) mit a_k!=0 für k>=k_0 \el\ \IN limsup abs(a_(k+1)/a_k)<1 => sum(a_k) absolut konvergent \frameoff Wegen limsup abs(a_(k+1)/a_k)<1 gibt es ein q\el\ (0,1) und N\el\ \IN abs(a_(k+1)/a_k)N es gilt also abs(a_k)=abs(a_k/a_(k-1))*abs(a_(k-1)/a_(k-2))...||abs(a_(N-1)/a_N)*abs(a_N)<=q^(k-N)*abs(a_N)=abs(a_N)/q^N*q^k Wieder haben wir eine konvergierende Majorante sum(abs(a_N)/q^N*q^k). Für limsup abs(a_(k+1)/a_k)=1 ist wieder keine Aussage möglich. Für limsup abs(a_(k+1)/a_k)>1 gibt es ein N>=k_0 mit abs(a_k)>=abs(a_(k-1))>=...>=abs(a_N) \forall k>=N => a_k ist keine Nullfolge (Trivialkriterium)
\red\double\frame Leibniz-Kriterium: Sei a_k eine monoton fallende Nullfolge. Dann ist sum((-1)^k*a_k,k=0,\inf) konvergent \frameoff \big Beweis: Für die Konvergenz ist zu zeigen: \forall \eps>0 \exists n_0 \forall m>n>=n_0: abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))<\eps Da a_k monoton fallend ist, gilt a_j-a_(j+1)>=0 für alle j, daraus folgt abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))=abs((-1)^n*a_n+(-1)^(n+1)*a_(n+1)+...) =abs((-1)^n*(a_n-a_(n+1)+a_(n+2)-+) =(a_n-a_(n+1))+(a_(n+2)-a_(n+3))+... =a_n-(a_(n+1)-a_(n+2))-(a_(n+3)-a_(n+4)-... <=a_n=abs(a_n) Sei \eps>0 beliebig. Wegen a_n->0 gibt es ein n_o, so dass ans(a_n)<\eps für alle n>=n_0 Nach der obigen Abschätzung folgt: abs(sum((-1)^k*a_k,k=n,m))<=abs(a_n)<=\eps für alle n>n_0
\red\double\frame Monotoniekriterium: Die Folge a_k sei beschränkt und die Reihe sum(b_k) absolut konvergent. Dann konvergiert auch die Reihe sum(a_k*b_k) absolut. \frameoff \big Beweis: Es muss gezeigt werden, dass die Folge der Partialsummen S_n=sum(abs(a_k*b_k),k=1,n) beschränkt ist. Die Folge a_k ist nach Voraussetzung beschränkt, etwa abs(a_k) \red\double\frame Verdichtungskriterium: Sei a_k eine monoton fallende Nullfolge. Dann sind die beiden Reihen sum(a_k,k=1,\inf) und sum(2^n*a_(2^n),n=1,\inf) entweder beide konvergent oder beide divergent. \frameoff \big Beweis: Sei zunächst sum(a_k) konvergent. Für die Partialsummen der Reihe sum(2^n*a_(2^n),n=1,\inf) gilt: sum(2^n*a_(2^n),n=1,N)=(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+(a_(2^N)+a_(2^N)+a_(2^N)+...+a_(2^N)) \small (a_(2^N)+a_(2^N)+a_(2^N)+...+a_(2^N)) hat 2^N Summanden =2*(a_2+(a_4+a_4)+...+(a_(2^N)+a_(2^N)+...+a_(2^N)) \small (a_(2^N)+a_(2^N)+...+a_(2^N)) hat nun 2^(N-1) Summanden <=2*(a_2+a_3+a_4+...+a_(2^(N-1)+1)+...+a_(2^N-1)+a_(2^N)) <=2*sum(a_k,k=1,\inf)<\inf Wenn sum(a_k) konvergiert, dann konvergiert auch sum(2^n*a_(2^n)) nach dem Majorantenkriterium und wir haben ebenso gezeigt, dass, falls sum(2^n*a_(2^n)) divergiert, auch sum(a_k) divergiert nach dem Minorantenkriterium. Sei nun sum(2^n*a_(2^n)) konvergent. Wir zeigen nun die Konvergenz von sum(a_k) sum(a_k,k=1,K)=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+...+a_K <=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+...+(a_(2^K)+...+a_(2^(k+1)-1)) <=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+(a_(2^K)+...+a_(2^K)) <=a_1+sum(2^n*a_(2^n),n=1,\inf)<\inf
\red\double\frame Partielle Summation: Seien a_n und b_n \el\ \IR und A_k=sum(a_j,j=1,k) dann gilt sum(a_k*b_k,k=1,n)=A_n*b_n+sum(A_k*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1) \frameoff \big Beweis: Mit A_0=0 gilt: sum(a_k*b_k,k=1,n)=sum((A_k-A_(k-1))*b_k,k=1,n)=sum(A_k*b_k,k=1,n)-sum(A_(k-1)*b_k,k=1,n) =sum(A_k*b_k,k=1,n)-sum(A_k*b_(k+1),k=0,n-1)=A_n*b_n+sum(A_k*b_k,k=1,n-1)-(A_0*b_1+sum(A_k*b_(k+1),k=1,n-1)) =A_n*b_n+sum(A*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1)
\red\double\frame 1. Abelsches Konvergenzkriterium: Ist b_k eine monotone beschränkte Folge reeller Zahlen und ist sum(a_k) konvergent, so konvergiert auch die Reihe sum(a_k*b_k) 2. Dirichlet- Kriterium: Die Reihe sum(a_k) habe beschränkte Partialsummen, die Folge b_k sei eine monotone Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe sum(a_k*b_k) \frameoff \big Beweis: zu 1. Mithilfe der partiellen Summation sum(a_k*b_k,k=1,n)=A_n*b_n+sum(A_k*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1), mit A_k=sum(a_j,j=1,k) A_n und b_n sind nach Voraussetzung beschränkt, nun bleibt zu beweisen, dass sum(A*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1) beschränkt ist. Die Reihe sum(b_k-b_(k+1)) ist wegen der Monotonie der Folge eine absolut konvergente Teleskopreihe sum(abs(b_k-b_(k+1)),k=1,n)=abs(sum(b_k-b_(k+1),k=1,n))=abs(b_1-b_(n+1)) Nach dem Monotoniekriterium ist die Reihe sum(A_k*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1) konvergent. zu 2. Es gilt A_n*b_n->0, da b_n->0 und A_n beschränkt ist. Die Reihe sum(A_k*(b_k-b_(k+1)),k=1,n-1) konvergiert wieder nach dem Monotoniekriterium.
\red\frame Cauchy- Schwarz- Ungleichung (CSU) Für alle n\el\ \IN, x_k, y_k \el\ \IR gilt (sum(x_k*y_k,k=1,n))^2<=(sum(x_k^2,k=1,n))*((sum(y_k^2,k=1,n))) \frameoff \big Beweis: Es sei X=sum(x_k^2,k=1,n) und Y=sum(y_k^2,k=1,n) Falls X=0 oder Y=0 ist gilt in der CSU die Gleichheit. Sei also X>0 und Y>0 Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für j=1,...,n (abs(x_j)*abs(y_j))/sqrt(X*Y)=((x_j^2*y_j^2)/(X*Y))^(1/2)<=1/2*(x_j^2/X+y_j^2/Y) Summation auf beiden Seiten liefert sum((abs(x_j)*abs(y_j))/sqrt(X*Y),j=1,n)=1/sqrt(X*Y)*sum(abs(x_j*y_j),j=1,n)<=1/2X*sum(x_j^2,j=1,n)+1/2Y*sum(y_j^2,j=1,n)=1 sum(abs(x_j*y_j),j=1,n)<=sqrt(X*Y) Nun beide Seiten quadrieren, liefert (sum(abs(x_j*y_j),j=1,n))^2<=X*Y=(sum(x_j^2,j=1,n))*((sum(y_j^2,j=1,n))) Aus sum(x_j*y_j,j=1,n)<=sum(abs(x_j*y_j),j=1,n) folgt die CSU. Doch wann gilt die Gleichheit, genau dann wenn die Vektoren x^>=(x_1;.;.;.;x_n) und y^>=(y_1;.;.;.;y_n) linear abhängig sind, also wenn für alle k gilt x_k=\l*y_k
Dieser Artikel ist noch lange nicht fertig, ich werde demnächst versuchen diesen Artikel mit dem Cauchy-Produkt, Beispielaufgaben, Ungleichungen uvm. noch zu vervollständigen. Auf dem Matheplaneten gibt es eine Übersicht über im Forum gelöster Reihen und Produkte. Dort kann man sich zahlreiche Beispiele von Reihen anschauen mit Lösungen bzw. Lösungshinweisen. Gruß Artur Koehler (alias pendragon302) Literatur: Repetitorium der Analysis, Teil 1 Steffen Timmann, Binomi Verlag
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201303-03 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=trivialkriterium reihe divergent

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"Mathematik: Reihen" | 19 Comments
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Re: Reihen
von: scorp am: Mi. 09. Februar 2005 09:55:42
\(\begingroup\)Boah... sag mal Artur, zum Studieren hast du wohl genug Zeit oder? Mal wieder ein toller, sehr ausfuehrlicher Artikel der "ganz genau"-Reihe, auch wenn die Grafik dazu noch fehlt. Und wieder ein Artikel, der im Forum ab jetzt staendig verlinkt werden wird. Grossartige Arbeit, von der alle profitieren werden, Hilfesuchende wie Helfende. Lobende Gruesse, Alex\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: huepfer am: Mi. 09. Februar 2005 11:49:41
\(\begingroup\)Wow, nachdem ich das ganze Thema auch gerade Anfang der Woche durchgearbeitet habe, kann ich nur sagen: Das ist eine super Zusammenfassung. Da hätte ich mir eigentlich die 50 Seiten in Skript und Lehrbuch dazu sparen können 😉 Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Mathematiker84 am: Mi. 09. Februar 2005 12:10:52
\(\begingroup\)Der Artikel ist Dir richtig gut gelungen :) Gruß, Mathematiker\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Rebecca am: Mi. 09. Februar 2005 12:42:32
\(\begingroup\)Hi Artur, das wird sicher wieder ein Klassiker, so wie deine anderen Grundsatz-Artikel auch. Mir kommt dieser Artikel sehr gelegen, da ich mich gerade in die Reihen-Konvergenzkriterien einarbeite. Ich habe dazu zwar ein sehr gutes Buch (Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik I), aber das ist doch etwas sehr ausführlich. Deine knappe Zusammenfassung finde ich toll. Gruß Rebecca \(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Gockel am: Mi. 09. Februar 2005 13:16:01
\(\begingroup\)Hi Penny, Ich kann mich da nur anschließen: Das ist ein klasse Artikel. Sowas liest man gerne :) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: LutzL am: Mi. 09. Februar 2005 14:12:07
\(\begingroup\)Hi, da ich gerade auf der Wikipedia in den Konvergenzkriterien rumwurstelte: Kriterium Nummer Null ist die monotone Konvergenz. Eigentlich trivial, wird aber ueberall implizit benutzt, z.B. um die Konvergenz der geometrischen Reihe mit 0 < q < 1 zu beweisen. Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: RTC am: Mi. 09. Februar 2005 14:45:35
\(\begingroup\)Sehr guter Artikel, den hätte ich vor einem Jahr in Analysis 1 gebraucht ;) MfG, Mattias\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: SchuBi am: Mi. 09. Februar 2005 15:31:26
\(\begingroup\)Hallo, Arthur! Das ist klasse. Ich würde mich nicht wundern, wenn wir irgendwann eine Sammlung unter dem Titel Ein paar Reihen... hätten.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Martin_Infinite am: Mi. 09. Februar 2005 20:56:38
\(\begingroup\)@Schubi: Guuut :) http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=658 @Arthur: Hast du das Kapitel von " Repetitorium der Analysis, Teil 1 " abgeschrieben? \(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: SchuBi am: Do. 10. Februar 2005 16:17:52
\(\begingroup\)Martin, ich kenne den Artikel - allerdings heißt er Reihen- und Produktsammlung und wurde von Gockel publiziert.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: huepfer am: Do. 10. Februar 2005 16:52:45
\(\begingroup\)@Schubi, wenn ich mich richtig erinnere, hatte da auch Artur eine ganze Menge dazu beigetragen. War das nicht der Artikel neben dem Artikel über die Zahlen, weshalb Matro die Möglichkeit der Änderung in Artikeln eingeführt hat? Gruß Felix\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: matroid am: Do. 10. Februar 2005 16:57:17
\(\begingroup\)@huepfer: Oder umgekehrt, es waren das die beiden ersten Artikel, an denen man die gemeinschaftliche Ergänzung und Korrektur üben und anwenden konnte. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Gockel am: Do. 10. Februar 2005 17:46:14
\(\begingroup\)@Huepfer: In der urprünglichen AG des Reihen- und Produkte-Artikels war penny nicht mit drin. Soweit ich mich erinnere, waren nur die Leute, die am Ende des Artikel genannt werden drin, also Dr_Sonnhard_Graunber, shredhead, SchuBi, TobiPfanner und meine Wenigkeit. Aber jetzt wo dus sagst, wäre es wirklich wünschenswert, wenn penny sein Wissen da einbringen würde (was er ja dank der Bearbeitenfunktion auch jetzt noch kann). Natürlich sind auch alle andern eingeladen, weiterhin ein Auge auf diese beiden Sammel-Artikel zu haben, weshalb ich sie am besten gleich nochmal verlinke: Reihen und Produkte Integralsammlung mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: pendragon302 am: Fr. 11. Februar 2005 00:41:03
\(\begingroup\)DAnke an alle für die netten Worte. @martin Ein paar Beweise hab ich aus dem Buch übernommen Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Wauzi am: So. 13. Februar 2005 19:19:58
\(\begingroup\)Dieser Artikel ist ein schöner, zusammenfassender Einstieg in das Thema der unendlichen Reihen und dürfte gerade Anfängern eine echte Hilfe sein. Gut gemacht! Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Hans-im-Pech am: Mi. 04. Mai 2005 11:55:32
\(\begingroup\)Hallo Artur, als Abhandlung über Reihen und deren Konvergenz sehr gelungen! Zum Aufrischen, Wiederholen oder Nachschlagen genau das richtige! Gruß, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 12. Februar 2006 11:44:21
\(\begingroup\)...ich schließe mich den positven Kommentaren an! - wirklich toll! mfG Jensen\(\endgroup\)
 

Reihen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 31. Januar 2007 16:08:17
\(\begingroup\)Hallo, die Seite zu diesem Thema ist ideal aufgebaut. Hat mir ziemlich weitergeholfen! Danke und weiter so! Gruß, Max\(\endgroup\)
 

Re: Reihen
von: ceebie am: Di. 21. Juni 2011 16:28:33
\(\begingroup\)Bestes Skript ever.\(\endgroup\)
 

 
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