Physik: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
Released by matroid on Fr. 11. Februar 2005 14:22:01 [Statistics]
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Physik

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Bildallo Leute,


ich möchte diesen Artikel allen Physikinteressierten widmen und wünsche Euch viel Spaß beim Lesen.

In dem Artikel Schiefer Wurf mit Luftwiderstand wurde bereits aufgezeigt, welchen dramatischen Einfluss Reibungskräfte auf einen bewegten Gegenstand haben und dass die idealisierten Newtonschen Bewegungsgleichungen, die wir aus der 11. Klasse her kennen, nur eine Annäherung für hinreichend kleine Geschwindigkeiten sind. Jedoch wurde in diesem Artikel die nicht zutreffende Annahme gemacht, dass "[...] die Luftwiderstandskraft proportional zur Geschwindigkeit [...], und nicht propotional zu ihrem Quadrat [...]" ist.

In diesem Artikel möchte ich die Bahnkurve für einen schräg nach oben geworfenen Gegenstand berechnen, der eine zum Quadrat seiner Geschwindigkeit proportionale Luftwiderstandskraft, erfährt.

1. Ein mathematisches Modell

Als allererstes müssen wir uns ein mathematisches Modell schaffen, das die Bewegung des geworfenen Gegenstandes beschreibt. Dazu verwenden wir einen der zwei mächtigen Ansätze der Physik: Den Kraftansatz.^1 Das zweite Newtonsche Gesetz \small(Lex Secunda (Grundgesetz der Mechanik))\normal lautet:^2 Kraft = Masse * Beschleunigung F = m * a \ll(1) a = F/m Um daraus auf die Bewegung schließen zu können, müssen wir diesen Ansatz mit den Größen s(t) und v(t) in Verbindung bringen. In Gleichung \ref(1) ist die Beschleunigung a nichts anderes als die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit: \ll(2) a = dv/dt = v^* und die Geschwindigkeit selbst ist definiert durch die Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit: \ll(3) v = ds/dt = s^*

2. Daten des geworfenen Gegenstandes

Der Gegenstand den wir betrachten, soll folgende Eigenschaften haben:
GeometrieKugel3

c_w-Wert:

0.45

Radius: r

0.060 m

Masse: m

7.275 kg

Abwurfwinkel: \phi

45°

Anfangsgeschwindigkeit: (v^>_0)

(x^*_0; y^*_0) = (v_0 * cos \phi; v_0 * sin \phi) = (100 (m/s); 100 (m/s))
\ Zum Zeitpunkt t_0 = 0 soll sich der Körper im Koordinatenursprung befinden. Damit haben wir nun alles, was wir brauchen. Fangen wir also an.

3. Der reibungsfreie Wurf

\ Zunächst möchte ich den schrägen Wurf ohne Reibung behandeln, damit wir die Bahnkurven später vergleichen können. Die Bewegung eines schräg geworfenen Gegenstandes setzt sich aus der Bewegung in horizontaler und vertikaler Richtung zusammen.

3.1 horizontal:

\ In horizontaler Richtung erfährt der geworfene Körper keine Kraft. Aus Gleichung \ref(1) folgt somit: a = 0 und aus Gleichung \ref(2) bekommen wir: d(x^*)/dt = 0 => x^* = konst. Die Geschwindigkeit x^* in horizontaler Richtung bleibt also stets konstant (x^*)(t) = x^*_0. Durch Einsetzen in Gleichung \ref(3) bekommen wir endlich: x^* = dx/dt = x^*_0 => dx = x^*_0 dt => int(, x, x_0, x) = int(x^*_0, t, t_0, t) => x - x_0 = x^*_0 (t - t_0) Da der Körper sich zum Zeitpunkt t_0 im Ursprung befindet, ist t_0 = 0 und x_0 = 0. Die Bewegung in horizontaler Richtung wird also beschrieben durch: \ll(4) x(t) = x^*_0 t

3.2 vertikal:

\ In vertikaler Richtung erfährt der Körper stets die konstante Erdanziehungskraft F_G, womit sich für die Beschleunigung folgendes ergibt: a = F_G/m = - (m*g)/m = - g Die Beschleunigung ist negativ, weil die Kraft F_G auf der y-Achse nach "unten" wirkt. Wegen Gleichung \ref(2) gilt: d(y^*)/dt = - g => d(y^*) = - g dt => int(, y^*, y^*_0, y^*) = int(- g, t, t_0 = 0, t) => y^* - y^*_0 = - g (t - 0) y^* = - g*t + y^*_0 Analog zum obigen Fall setzen wir dies nun in Gleichung \ref(3) ein und bekommen so die Bewegung in vertikaler Richtung: dy/dt = y^* = - g*t + y^*_0 => dy = (- g*t + y^*_0) dt => int(, y, 0, y) = int((- g*t + y^*_0), t, 0,t) \ll(5) => y(t) = - 1/2 g t^2 + y^*_0 t

3.3 Bahnkurve:

\ Wir haben nun die Bewegung in x- und in y-Richtung vollständig beschrieben. Beide Funktionen sind über den Parameter t verknüpft. Man könnte jetzt eine der Gleichungen (vorzugsweise die einfachere Gleichung \ref(4)) nach t auflösen und in Gleichung \ref(5) einsetzen. Da dieser Weg jedoch nicht immer so einfach wie in diesem Fall ist und nicht jede Gleichung sich ohne Probleme nach dem Parameter auflösen lässt, bevorzuge ich die parametrisierte Darstellung. Der geworfene Gegenstand befindet sich im Punkt P(t) = (x^*_0 t ; - 1/2 g t^2 + y^*_0 t)

4. Wurf mit Luftreibung

\ Beim Wurf mit Luftreibung wird die Bewegung des geworfenen Gegenstandes durch die Luftwiderstandskraft F_W beeinflusst. Diese Kraft ist aus der Aerodynamik bekannt und wahrscheinlich ist die Gleichung dem Einen oder Anderen bereits untergekommen: F_W = 1/2 \rho c_w A v^2 \rho ist die Dichte des Mediums, durch das sich der Gegenstand bewegt. Für die Bahnkurven möchte ich dafür die Dichte der Luft unter Normalbedingungen (T = 0°C, p = 1013hPa) \rho = 1.293 kg/m^3 verwenden. Der c_w-Wert stellt den Einfluss der Geometrie dar. Dieser Wert wird in der Regel experimentell bestimmt und hängt sowohl von der Form als auch von der Oberflächen\- beschaffenheit ab. Ebenso ist dieser Wert geschwindigkeitsabhängig. Zur Vereinfachung möchte ich jedoch annehmen, dass sich dieser Wert während der Bewegung nicht ändert. A ist die sog. Stirnfläche des Körpers. Es ist die in Bewegungsrichtung projizierte Fläche des Gegenstands. In unserem Fall, einer Kugel, entspricht sie einem Kreis mit der Fläche A = \pi r^2 = 0.045m^2. Den Ausdruck (1/2 \rho c_w A ) werde ich zukünftig mit k abkürzen. Wenn wir nun den schrägen Wurf mit Luftwiderstand betrachten, wird es notwendig sein, die Bewegung in drei Abschnitte einzuteilen. Die Bewegung in horizontaler Richtung. Die Bewegung aufwärts während der Aufstiegsphase. Und ab dem Umkehrpunkt, zum Zeitpunkt t_U, die Bewegung abwärts. \red \small EDIT (28.11.2007) Wir gehen hier von der Näherung aus, dass sich die DGl in Aufwärts- und Abwärtsrichtung entkoppeln lässt!\black \normal

4.1 horizontal:5

\ Bei der Bewegung in horizontaler Richtung erfährt der Gegenstand ausschließlich die Luftwiderstandskraft F_W, so dass diese allein die auf den Körper wirkende Gesamtkraft ausmacht. Gleichung \ref(1) können wir in diesem Fall also so formulieren: F = m * a = - k v^2 Das Minuszeichen resultiert daraus, dass die Kraft stets entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung wirkt. Nach der Division durch m und einsetzen der Beziehung a = v^* kommen wir schließlich auf die Differentialgleichung^4 v^* = - k/m v^2 der wir durch Trennung der Veränderlichen zu Leibe rücken. v^* = dv/dt = - k/m v^2 => dv/v^2 = - k/m dt => int(1/v^2, v, v_0, v) = int(- k/m, t, 0, t) => -1/v + 1/v_0 = -k/m t => 1/v = k/m t + 1/v_0 => v(t) = 1/(k/m t + 1/v_0) Da es sich hier um die Bewegung in x Richtung handelt, schreiben wir: (x^*)(t) = 1/(k/m t + 1/x^*_0) Die Geschwindigkeit in x-Richtung ist also in 1. Näherung proportional zu 1/t: vx \ Um auch noch s(t) zu erhalten, gehen wir mit der erhaltenen Gleichung in Gleichung \ref(3) rein und kommen auf: dx/dt = x^* = 1/(k/m t + 1/x^*_0) => dx = dt/(k/m t + 1/x^*_0) => int(,x,0,x) = int(dt/(k/m t + 1/x^*_0),, 0, t) => x = m/k (ln(k/m t + 1/x^*_0) - ln(1/x^*_0)) = m/k ln (k/m t + 1/x^*_0)/(1/x^*_0) \ll(6) => x(t) = m/k ln (k/m x^*_0 t + 1) x

4.2 aufwärts:6

\ Im Gegensatz zur horizontalen Bewegung kommt bei der vertikalen Bewegung zur Widerstandskraft noch die Gewichtskraft hinzu, sodass sich die Gesamtkraft aus der Summe der beiden ergibt: F = m * a = - k v^2 - m * g Diese Gleichung stellt wieder eine Differentialgleichung dar, bei der man wieder die Veränderlichen trennen kann: v^* = - k/m v^2 - g => v^*/(k/m v^2 + g) = - 1 => v^*/(k/(m g) v^2 + 1) = - g => v^*/((v/v_\inf)^2 + 1) = - g Warum ich hier \sqrt(mg/k) =: v_\inf setze, wird später ersichtlich werden. dv/((v/v_\inf)^2 + 1) = - g*dt => int(dv/((v/v_\inf)^2 + 1),, v_0, v) = int(-g*, t, 0, t) Die Stammfunktion, die wir hier benötigen findet sich hier \ => v_\inf*( arctan v/v_\inf - arctan v_0/v_\inf) = -g*t => arctan v/v_\inf = arctan v_0/v_\inf - g/v_\inf * t => v(t) = v_\inf*tan(arctan v_0/v_\inf - g/v_\inf * t) Diese Funktion beschreibt den Geschwindigkeitsverlauf während des Aufstiegs und ist nur in der ersten Phase (I) für t <= t_U definiert und lässt sich (um Verwechslungen zu vermeiden) folgendermaßen schreiben: (y^*_I)(t) = v_\inf*tan(arctan y^*_0/v_\inf - g/v_\inf * t) für t <= t_U Den Umkehrzeitpunkt bekommen wir aus der Tatsache, dass (y^*_I)(t_U) = 0 ist. => arctan y^*_0/v_\inf - g/v_\inf * t_U = 0 \ll(7) => t_U = v_\inf/g*arctan y^*_0/v_\inf vy1 Wie schon so oft, folgt die Funktion s(t) aus Gleichung \ref(3): dy_I/dt = y^*_I = v_\inf*tan(arctan y^*_0/v_\inf - g/v_\inf * t) dy_I = v_\inf*tan(arctan y^*_0/v_\inf - g/v_\inf * t)*dt int(,y_I,0,y_I) = v_\inf*int(tan(arctan y^*_0/v_\inf - g/v_\inf * t),t,0,t) Für diese Stammfunktion habe ich hier im Forum Hilfe erhalten. \ => y_I(t) = m/k*ln((cos(arctan y^*_0/v_\inf-g/v_\inf*t))/(cos(arctan y^*_0/v_\inf))) für t <= t_U \ll(8) y_I(t) = (v_\inf)^2/g*(ln cos g(t_U-t)/v_\inf-ln cos gt_U/v_\inf) für t <= t_U y1

4.3 abwärts:5

\ Bei der Abwärtsbewegung hat der Gegenstand zum Umkehrzeitpunkt t_U die Geschwindigkeit (y^*)(t_U)=0 und er hat bereits den Weg y_U = y_I(t_U)=v_\inf^2/g*ln 1/cos(gt_U/v_\inf)=v_\inf^2/2g*ln(1+y^*_0^2/v_\inf^2) zurückgelegt. Für die Kräftebilanz müssen wir beachten, daß die Gewichtskraft jetzt in Bewegungsrichtung wirkt, also entgegengesetzt zur Luftwiderstandskraft. F = m * a = k*v^2 - m g Aus obiger Gleichung erhalten wir nun folgende Differentialgleichung vom RICATTIschen Typ^7. Um diese zu lösen, brauchen wir eine partikuläre Lösung^8, die wir erhalten können, wenn wir einen besonderen Fall betrachten: Der Gegenstand wird solange beschleunigt fallen, bis er den stationären Zustand erreicht hat und mit konstanter Geschwindigkeit weiter fallen wird. Dieser Zustand tritt genau dann ein, wenn sich die Gewichtskraft und die Luftwiderstandskraft gegenseitig kompensieren: F = m * a = 0 => k/m v^2 = g => v = - sqrt(m/k g)=-v_\inf<0, weil in v=dy/dt dy<0 und dt>0 ist. => v_\inf = sqrt(m/k g)>0 v_\inf deswegen, weil dieser Zustand erst für t -> \inf erreicht sein wird. Der Riccatische Ansatz für unsere DGl lautet also: v(t) = -(v_\inf - v_R); v^* = (v^*)_R mit der noch unbekannten Funktion v_R (0<=v_R int(du_h/u_h,,u_0,u_h) = int(p*,t,t_U,t) ln u_h - ln u_0 = p (t - t_U) ln (u_h/u_0) = p (t -t_U) => u_h = u_0 exp(p(t-t_U)) Da die hier vorliegende DGl eine DGl mit konstanten Koeffizienten ist, können wir uns den Ansatz mit der Variation der Konstanten Gott sei Dank sparen und können für die partikuläre Lösung ein Polynom 0. Grades ansetzen, weil die Störfunktion -k/m ebenfalls ein Polynom 0. Grades ist. u_p = B*t^0=B => (u^*)_p = 0 Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein, erhalten wir: => 0-pB = -k/m => B = k/mp = 1/(2 v_\inf) => u_p = 1/(2 v_\inf) Damit haben wir als Lösung der linearen Differentialgleichung u = u_0 exp(p(t-t_U)) + 1/(2 v_\inf) = (u_1 exp(p(t-t_U)) + 1)/(2 v_\inf) u_1 ist einfach nur eine andere Integrationskonstante. Um auf die Lösung unserer Ausgangsgleichung zu kommen, müssen wir nur noch u zurücksubstitutionieren: u = (v_R)^(-1) => v_R = (2 v_\inf)/(u_1 exp(p(t-t_U)) + 1) Damit folgt aus v = -(v_\inf - v_R): v(t) = -(v_\inf - (2 v_\inf)/(u_1 exp(p(t-t_U)) + 1)) Aus der Bedingung v(t_U) = 0 können wir die unbekannte Integrationskonstante u_1 ermitteln: v(t_U) = -v_\inf + (2 v_\inf)/(u_1 exp(p*0) + 1) = 0 => -v_\inf (u_1 + 1) + 2 v_\inf = 0 => u_1 + 1 = 2 => u_1 = 1 => (y^*_II)(t) = - (v_\inf - (2 v_\inf)/(1+exp(p(t-t_U))))=-v_\inf*(exp(p(t-t_U))-1)/(exp(p(t-t_U))+1) für t >= t_U vy2 \ Mit Hilfe von Gleichung \ref(3) erhalten wir auch hier wieder die Wegsfunktion (y_II)(t): d(y_II)/dt = (y^*_II) = - v_\inf + (2 v_\inf)/(exp(p(t-t_U)) + 1) d(y_II)/dt = - v_\inf + (2 v_\inf exp(-p(t-t_U)))/(1 + exp(-p(t-t_U)) d(y_II)/dt = - v_\inf - m/k (-p exp(-p(t-t_U)))/(1 + exp(-p(t-t_U)) => int(,y_II,y_U,y_II) = int((- v_\inf - m/k (-p exp(-p(t-t_U)))/(1 + exp(-p(t-t_U)))),t,t_U,t) => y_II - y_U = - v_\inf (t - t_U) - m/k*ln (1 + exp(-p(t-t_U)))/(2) \ll(9) => (y_II)(t) =y_U - v_\inf (t - t_U) - m/k ln (1/2 exp(-p(t-t_U)) + 1/2) für t >= t_U y2

4.4 Bahnkurve:

\ Nun haben wir die Bewegung in x-Richtung als auch in y-Richtung vollständig beschrieben. Hier kommt nun endlich der Graph, für den ihr Euch so mühsam durch diesen Artikel gekämpft habt. Ihr habt es Euch verdient! \*g\* Der geworfene Gegenstand hält sich zum Zeitpunkt t in dem Punkt P(t)=(x(t);y(t)) =fdef(v_\inf^2/g*(ln(1+(x^*_0*g*t)/v_\inf^2);ln cos g(t_U-t)/v_\inf-ln cos gt_U/v_\inf),für t<=t_U;,;\ v_\inf^2/g*(\ ln(1+(x^*_0*g*t)/v_\inf^2);-g(t-t_U)/v_\inf-ln((1+exp(-2g(t-t_U)/v_\inf))/2*cos gt_U/v_\inf)),für t>=t_U) auf. Bild Jetzt wäre es noch interessant zu wissen, bei welchem Abwurfwinkel \phi sich das Maximum der Wurfweite befindet, aber dazu habe ich nicht mehr den Nerv! Vielleicht hat jemand Lust sich die Mühe zu machen, so soll er es mir bitte bitte mitteilen. Ich hoffe, Ihr habt es genossen, diesen Artikel - hey, es war mein erster - zu lesen. Ich wünsche Euch noch eine schöne Zeit auf dem Matheplaneten. mfG Konstantin
PS.:
Ich möchte an dieser Stelle allen danken, die mir in den Foren weitergeholfen haben. Insbesondere einen recht herzlichen Dank an:
Franz Helge

die diesen Artikel noch einmal korrekturgelesen haben.

1 Der zweite ist der Energieerhaltungssatz
2 cf. de.wikipedia.org/wiki/Newton-Axiome Aufgerufen am: 08.02.2005 - 16:34
3 Ich habe eine Kugel gewählt um Effekte wie den Auftrieb, die ich hier nicht behandeln möchte, zu vermeiden.
4 Mehr zu Differentialgleichungen findet sich auf dem Matheplaneten in der Ganz genau Reihe
Ebenfalls zu empfehlen ist das Buch Heuser, H: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Wiesbaden, 20044, das eine hervorragende, ausführliche und anhand anschaulicher Beispiele gut verständliche Einführung in das Gebiet der DGlen bietet.
5 Den horizontalen Fall und den Fall abwärts habe ich bereits hier im Forum schon einmal angesprochen. Man beachte aber vor allem den Beitrag von von Jonas_Rist am Sa. 12. Februar 2005 20:04:38. Hier findet sich eine viel einfachere Rechnung für Abschnitt 4.3.
6 Dieser Fall findet sich ebenfalls im Forum
7 RICCATIsche DGl: siehe hier auf dem Matheplaneten
8 Eine partikuläre Lösung ist eine beliebige Lösung der Differentialgleichung
9 BERNOULLIsche DGl: siehe hier auf dem Matheplaneten

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Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II [von kostja]  
Die Bahn eines schräg nach oben geworfenen Gegenstandes beschreibt eine Parabel. Zumindest in der Theorie, wenn störende Einflüsse wie die Luftreibung ausgeblendet werden. Aber wie sieht sie aus, wenn die Luftreibung mit dem Geschwindigkeitsquadrat zunimmt?
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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201302-02 (207x)http://google.hr/search?um=1&q=Schiefe Wurf Luftreibung gewicht einfluss
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2012-2017 (15x)http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=67886
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202010-10 (9x)https://www.bing.com/search?q=wurfparabel mit luftwiderstandberechnen
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"Physik: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II" | 57 Comments
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Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: matroid am: Fr. 11. Februar 2005 15:00:09
\(\begingroup\)Wow, kostja! Das ist ein toller Einstand! Du bist ja ein echter Gewinn für uns. Mich freut auch, daß Du gleich schon Zusammenarbeit praktizierst. Besten Dank für diesen Artikel. Auch formal gefällt er mir sehr gut. Gruß Matroid PS: Kann noch jemand einen Vorwärtslink vom Teil I auf den Teil II machen? \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Spock am: Fr. 11. Februar 2005 20:13:54
\(\begingroup\)Hallo Konstantin, auch von mir ein Lob für die Arbeit, die Du in den Artikel gesteckt hast, und ich kann mich Martin nur anschließen, Du bist ein Gewinn für diesen Planeten. Ein kleiner Hinweis zu Deinem schiefen Wurf mit Luftreibung sei mir gestattet: Dein Ansatz für die Reibkraft ist zwar quadratisch, jedoch nur komponentenweise, d.h. Deine angenommene Reibkraft F^>_R ist von der Form \lr(1)F^>_R=const matrix(x^*^2;y^*^2) Das hat zur Folge, daß die beiden Differentialgleichungen entkoppeln, und eine analytische Lösung ist möglich, wie Du es uns ja so schön gezeigt hast. Allerdings fällt mir keine gute physikalische Begründung für die Annahme (1) ein. Bei größeren Geschwindigkeiten ist die sogenannte Newton-Reibung relevant, allerdings hängt sie vom Betragsquadrat der Geschwindigkeit ab und zeigt immer in Richtung der momentanen Geschwindigkeit, \lr(2)F^>_R=const abs(v^>)^2 v^>/abs(v^>)=const sqrt(x^*^2+y^*^2) matrix(x^*;y^*) Dummerweise entkoppeln die Differentialgleichungen dann nicht mehr, und man ist auf numerische Lösungen angewiesen. Gruß Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Sa. 12. Februar 2005 00:49:51
\(\begingroup\)Hallo Jürgen! Ja, von dem Problem habe ich schon mal gelesen. Im Heuser glaube ich. Aber die entkoppelten Gleichungen sind dennoch eine gute Näherung wie ich finde. Aber das ist doch ein guter Anlass Teil 3 zu schreiben, oder nicht? *g* mfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Jonas_Rist am: Sa. 12. Februar 2005 20:04:38
\(\begingroup\)Hi Konstantin, ein schöner Artikel zu einem sehr interessanten Thema! Eine Anmerkung zu 4.3: Die Funktion (y_(II))^*(t) kann man mit deutlich weniger Aufwand bestimmen, nämlich genau wie unter 4.2 durch Trennung der Variablen: dv/dt= -g+k/m*v^2 => dv/(-g+k/m*v^2)=dt => int((-g+k/m*v'^2)^(-1),v',0,v)=int(1,t,0,t) <=> -sqrt(m/(k*g))*Arctanh(sqrt(k/(g*m))*v)=t + const (u.s.w) Gruß Jonas\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Schnabbert am: So. 13. Februar 2005 10:48:09
\(\begingroup\)Hallo, kostja, einen Superbeitrag hast du hier hingeschmettert. Alle Achtung! MfG \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: So. 13. Februar 2005 23:31:19
\(\begingroup\)@Jonas_Rist: Richtig, darüber habe ich auch schon nachgedacht. Das Probleme ist nur, das diese Lösung eine tan Funktion und somit nicht stetig ist. Deshalb ist zwar eine Lösung der Differentialgleichung, aber keine Lösung des gegebenen Problems. mfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: firol am: Sa. 19. März 2005 13:39:05
\(\begingroup\)Schöner Artikel kostja! Hat mir sehr weiter geholfen .. DANKE! Eine Sache hätt ich da noch: Bei der Wurfparabel mit Luftwiderstand, müsste das v in der 2. Zeile, also in y_I nicht v_\inf sein? Gruß firol\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Mo. 04. April 2005 17:22:51
\(\begingroup\)Hallo firol! Ich freue mich sehr, dass Dir dieser Artikel gefallen hat. Vielen dank auf das aufmerksam machen, dass ich da einen Index vergessen habe. Ich habe eine Änderung eingereicht. mfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: KingGeorge am: Mo. 18. Juli 2005 17:20:25
\(\begingroup\)Hallo kostja, ein sehr schöner Artikel, den ich uneingeschränkt weiterempfehlen kann. lg Georg \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 02. Februar 2006 19:54:46
\(\begingroup\)Hi, also mich würd ja grad die Auflösung nach t der Gleichung (9) brennend interessieren. Damit könnte man dann, wenn man Y_II(t) = 0 setzt den Auftreffzeitpunkt und -entfernung berechnen. Kann das jemand von euch? Ich bin dafür irgendwie zu unfähig um das t und das t im Exponenten rauszusiehen und zusammen zu schmeißen. Gruß Karsten\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 12. Februar 2006 16:34:26
\(\begingroup\)Hallo, ja ein sehr schöner Artikel. Nur leider hat Spock wirklich Recht. Eigentlich würde es so aussehen: E_kin = 1/2*m*x^*^2 + 1/2*m*y^*^2 E_pot = m*g*y => L = 1/2*m*x^*^2 +1/2*m*y^*^2 -m*g*y D=1/3*k*abs(V_Rel)^3 V_Rel=norm(V__) =sqrt(x^*^2+y^*^2) => D = 1/3*k*abs(sqrt(x^*^2+y^*^2))^3 Lagrange Formalismus: diff((\pd|L)/(\pd|q^*_j),t)-\pd\ L/\pd\ q_j+(\pd|D)/(\pd|q^*_j)=0 Nur solange ausschließlich potential oder dissipative Kräfte (Reibung, Dämpfung) vorliegen! \delta x: diff((\pd|L)/(\pd|x^*),t)-\pd\ L/\pd\ x+(\pd|D)/(\pd|x^*)=0 m*x^**+k*abs(sqrt(x^*^2+y^*^2))^2*sign(sqrt(x^*^2+y^*^2))*1/(2*sqrt(x^*^2+y^*^2))*2*x^*=0 <=>m*x^**+k*x^* *sqrt(x^*^2+y^*^2)=0 \delta y: diff((\pd|L)/(\pd|y^*),t)-\pd\ L/\pd\ y+(\pd|D)/(\pd|y^*)=0 m*y^**+m*g+k*abs(sqrt(x^*^2+y^*^2) )^2*sign(sqrt(x^*^2+y^*^2))*1/(2*sqrt(x^*^2+y^*^2))*2*y^*=0 <=>m*y^**+k*y^* *sqrt(x^*^2+y^*^2)=-m*g Ich habe leider mit Numerischen Lösungen überhaupt keine Erfahrung. Möchte nicht jemand mit den gegebenen Anfangsbedingungen (siehe Artikel) mal eine Simulation machen, wenn sowas nicht zu aufwändig ist? (Falls es großer Aufwand ist, vergesst was ich geschrieben habe ;) Wäre bestimmt mal interessant zu sehen. MfG Jost Edit: Ich hatte leider ein paar Fehler drin -autsch- , hab das nun endlich geändert. Jost - 17.09.2008\(\endgroup\)
 

Partielle Ableitungen im fed
von: fru am: So. 12. Februar 2006 20:12:19
\(\begingroup\)Hallo, Jost! So läßt sich das in der von Dir beabsichtigten Form darstellen: (\pd|L)/(\pd|q^*_j) Liebe Grüße, Franz\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 12. Februar 2006 23:38:02
\(\begingroup\)Danke! Habs geändert. Falls ihr nen Fehler findet, sagts mir bitte. Hab gerade erst angefangen mich damit zu beschäftigen. MfG Jost\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 16. März 2006 16:30:17
\(\begingroup\)Sehr schöner Beitrag! Respekt! Ist aber die Dichte der Luft nicht 0,001293 kg/m^3 oder 1,293 g/cm^3 statt 1,293 kg/m^3 ? MfG\(\endgroup\)
 

Dichte von Luft
von: fru am: Do. 16. März 2006 18:39:38
\(\begingroup\) Hallo, Anonymer! Der Wert 1.293|kg/m^3 stimmt schon. Die beiden Darstellungen des von Dir als Ersatz vorgeschlagenen Wertes unterscheiden sich übrigens um einen Faktor 1 Million : 1.293|g/cm^3=1000000*0.001293|kg/m^3 Im einen Fall wäre Luft schwerer als Wasser, dessen Dichte 1|g/cm^3 ist. Oder sollen sie gar nicht denselben Wert darstellen und Du meinst damit zwei__ verschiedene Alternativen ? Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

[Kein Betreff]
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 05. September 2006 09:44:16
\(\begingroup\)Hallo, ich wollte diese Seite als Quelle für meine Seminararbeit verwenden. Würd mich daher freuen, wenn ich den vollständigen Namen des Verfasser erfahren könnte. Grüße, Markus \(\endgroup\)
 

Name des Autors
von: fru am: Di. 05. September 2006 10:10:57
\(\begingroup\)Hi Markus! In kostjas Profil findest Du alle Informationen. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 05. September 2006 10:13:05
\(\begingroup\)@Markus: Wenn du auf den Nicknamen des Verfassers klickst, landest du beim Profil des Verfassers und dort eventuell auch auf seinen richtigen Namen. Bei kostja ist das der Name: Konstantin Heil Gruß Balu\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 06. September 2006 09:57:51
\(\begingroup\)@ Franz und Blau: Vielen Dank für die rasche Antwort! Grüße Markus\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf m. Luftwiders. - T. II - Fehlerabschätzung
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 27. September 2006 18:40:06
\(\begingroup\)Hallo, Bewohner des Matheplaneten! Sehr interessanter Beitrag und Diskussion!!! Ich würde gerne einen kleinen Beitrag zur Fehlerabschätzung hinzufügen, und zwar wie groß der Unterschied ist zwischen der analytischen Lösung der Bahnkurve (d.h. ENTKOPPELTE DGLn) mit Ergebnis oben laut 4.4 und einer numerischen Lösung der NICHT ENTKOPPELTEN DGLn mit Newton-Reibung, wie in dem Beitrag von Spock erwähnt. Ich habe beide Varianten mal mit folgenden Parametern gerechnet: Projektil: Tischtennisball, Radius 0.02 m, Masse 0.0027 kg, cw 0.47 Luftdichte bei 20°C (s. Wikipedia) 1.204 kg/m³, Erdbeschl. 9.81 m/s² Abwurfwinkel 45°, Abwurfhöhe 0.8 m über dem Boden Anfangsgeschwindigkeit 5 m/s, d.h. v_0x=v_0y= 3.54 m/s Mit der Newton-Reibung und einer numerischen Lösung des Systems aus gewöhnlichen Differentialgleichungen (über Runge-Kutta-Verfahren) und den genannten Anfangswertbedingungen ergibt sich nach meiner Rechnung eine horizontale Weite bis zum Aufprall am Boden von 2.53 m. Mit dem Ansatz aus dem Artikel oben (entkoppelte Differentialgleichungen durch separate Kräftebilanzen in horizontaler und vertikaler Richtung), aber immer noch numerisch gelöst, ergibt sich eine horizontale Weite bis zum Aufprall am Boden von 2.55 m, d.h. die Abweichung zwischen den beiden Ansätzen wäre bei diesen Parametern < 1% (könnte bei anderen Parametern aber ggf. mehr sein...). Mit der Bahnkurve nach 4.4 (unter zusätzlicher Betrachtung der Abwurfhöhe und in einer Excel-Tabelle mit dem Solver den Aufschlagpunkt gesucht) bekomme ich leider EINE VIEL GRÖSSERE ABWEICHUNG, denn der Aufprall am Boden wäre nach diesen Formeln erst bei 2.63 m. Gerade dieses Ergebnis würde ich gerne nochmal auf Fehler untersuchen, insbesondere um herauszufinden, ob ich bei der Umsetzung der obigen Formeln laut 4.4 in Excel womöglich einen Term verloren habe, oder ob tatsächlich irgendwo noch ein analytischer Fehler steckt... (Vielleicht findet sich ja irgendwer, der das mal nachrechnen möchte...? 😉 Noch ein Zwischenergebnis zur besseren Kontrolle: Die Umkehrzeit t_u ergibt sich bei mir unter den gannten Parametern und den Formeln aus 4.4 zu 0.342 s. Die Höhe am Umkehrpunkt ergibt sich dabei zu 1.39 m über Boden, bzw. 0.59 m über Abwurfpunkt, bei einer horizontalen Weite im Umkehrpunkt von 1.12 m. Sorry wegen meiner Angewohnheit, einen Dezimalpunkt anstatt eines Kommas zu verwenden - ich arbeite offenbar zu viel in englischsprachigen Systemen... Noch ein Hinweis, falls jemand die numerische Lösung selber probieren möchte: In der Regel kann die gängige Software nur DGLn erster Ordnung verarbeiten, d.h. die 2 DGLn zweiter Ordnung müssen zuerst in ein System aus 4 DGLn erster Ordnung umgesetzt werden, was aber kein Problem sein sollte. Würde mich freuen, wenn noch jemand mal ein konkretes Rechnergebnis mit den Formeln aus 4.4 einstellen könnte, natürlich auch über solche mit anderen Parametern als den von mir gewählten... (Have Fun! 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 05. Oktober 2006 21:07:18
\(\begingroup\)Hi, ich denke so geht es NICHT, da man die horizontal und vertikal Komponenten bezüglich der Beschleunigung so NICHT zerlegen kann! Das geht nur falls eine Geschwindigkeitskomponente, v_x, oder v_y verschwindet, tut es aber nicht!!! Also muß man von |a| = c v^2 auf \vec{a] = - c \vec{v} v schließen, wobei \vec{a} die Beschleunigung und c eine Konstante kennzeichnet. D.h. die Beschleunigungen in x u. y sind jeweils abhängig von der anderen Komponente und somit nichtlinear. Geht aber auch, nur nicht mehr analytisch. Man erhält eine Parameterdarstellung für x(t), y(t) jeweils durch ein Integral, was im allgemeinen wohl nicht mehr analytisch integriebar ist. Gruß Jan \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 24. Oktober 2006 14:22:20
\(\begingroup\)Hallo, also ihr seit alle ganz toll und schlau, meine aufrichtige Anerkennung - nun meine Frage aus einer anderen Richtung... Da für die Betrachtung in Teil II zum Schluss keine Masse mehr als Variable zur Verfügung steht, weiß ich mir keinen Rat für folgenden Sachverhalt: Ein Sportschütze geht in einer geschlossenen Schießanlage schießen. Die Distanz zur Scheibe beträgt 25 m. Er verschießt zwei Munitionsarten: 1 Kugel aus Blei, Vo=300 m/s und 1 Kugel aus Kupfer, Vo=400 m/s. Der Haltepunkt im Ziel ist bei beiden Kugeln gleich. Nun wundert sich aber der Schütze, denn die Bleikugel mit der langsameren Geschwindigkeit und der größeren Masse hat einen höheren Sitz auf der Scheibe als die Kupferkugel, welche doch eigentlich weniger abfallen dürfte (?). Wie erklärt nun der Physiker mit seinen "1000" Ableitungen diese erstmal verwunderliche Erscheinung, wo doch für y keine Masse vorhanden ist? Anonymus \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: matroid am: Di. 24. Oktober 2006 14:30:26
\(\begingroup\) Hi Anonymer, trotz einer geschickten Überleitung bleibt doch, daß die Frage mit dem Artikel nichts zu tun hat. Darum möchte ich Dir anbieten, daß Du Dich als Mitglied registrierst, und dann im Forum Deine Fragen stellst. Danke für Dein Verständnis. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 25. Oktober 2006 19:59:23
\(\begingroup\)Die Masse ging eben sehr wohl ins Ergebnis ein, wenn man unter 4.2 mal richtig hinschaut... und ebenso in der numerischen Lösung (siehe meinen Beitrag zur Fehlerabschätzung, der vier Artikel weiter oben steht). \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 02. März 2007 12:59:35
\(\begingroup\)Hallo, ich hätte mal ne Frage zu diesem Artikel, und zwar, warum man bei der Newton Reibung die Bewegung unterteilen muss in auf- und abwärts, bei stokes aber offensichtlich nicht, zumindest wurde es nirgendwo wo ich was dazu gefunden hab gemacht und es kommt auch ne schöne Flugbahn raus. Danke, Casioa\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 27. Mai 2007 14:05:59
\(\begingroup\)Servus erstmal. Ich mochte die Mathematik schon immer und finde die Herleitung der Formel sehr nachvollziehbar, wenn man das so liest. Allerdings kennt man das ja... Man liest es und meint es zu verstehen, kann es aber nicht entsprechend selbst herleiten. Nun, darum soll es mir gerade nicht gehen. Ich selbst bin Programmierer und Webdesigner, und bin derzeit dabei ein Flashspiel zu programmieren, in dem man von einer Position aus eine andere beschießen soll, unter Angabe von Schusskraft und Winkel (derzeit nur). Allerdings ist mir das nicht realistrisch genug, und so machte ich mich auf die Suche nach einer Formel um eine Möglichst realistische Flugbahn zu beschreiben. Derzeit wird die Wurf bzw Schussparabel durch die Formel von Wikipedia beschrieben (http://de.wikipedia.org/wiki/Wurfparabel), allerdings ohne den Wind als Faktor integriert zu haben oder sonstige Faktoren. Nun meine Frage an euch, wie kann ich in diese Formel Wind und vllt noch Gewicht (Geschoss) integrieren, ohne eine Formel wie oben im Artikel hergeleitet in ActionScript (die Programmiersprache zu Flash) umsetzen zu müssen. Ich denke, für ein Spiel ist eine soooooooooo realistische Umsetzung nicht notwendig, einerseits weil es am Bildschirm optisch einen kleineren Unterschied macht und andererseits weil die Spieler den Unterschied wohl kaum erkennen würden. Gibt es eine einfachere Methode und Formel Wind und Geschossgewicht in meine Formel (siehe Link weiter oben) zu integrieren? Ich weiß nichtmal ob sich programmiertechnisch bei Flash solche Formeln berechnen lassen, oder ich weiß zumindest nicht wie. xD Es wäre schön wenn jemand eine Idee hätte, einen Tipp, oder zumindest einen Ansatz von dem aus ich weiterarbeiten kann. Liebe Grüße, Micha PS: Wer mag kann mich gerne per Mail anschreiben: pyrodrache666@gmail.com\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: sharkdp am: Fr. 03. August 2007 16:22:09
\(\begingroup\)Hallo, Ich weiß nicht, ob hier überhaupt noch jemand mitliest, aber ich habe noch eine kleine Anmerkung zu dem Thema. Spock hat oben geschrieben, dass der Ansatz für die Reibungskraft (quadratisch in jeder Komponente) falsch wäre. Angenommen die Reibungskraft wäre wirklich: \ \lr(2)F^>_R=const abs(v^>)^2 v^>/abs(v^>)=const sqrt(x^*^2+y^*^2) matrix(x^*;y^*) Dann könnte man die x-Komponente der Kraft angeben: \ \lr(2)F^>_x=const sqrt(x^*^2+y^*^2) x^* Hängt die "Reibungskraft in x-Richtung" wirklich von der vertikalen Geschwindigkeit ab? Würde das nicht der newtonschen Mechanik widersprechen? Fall 1: Keine Bewegung in y-Richtung. Ruhender Beobachter. Luftwiderstand in x-Richtung normal. Fall 2: Das Objekt bewegt sich in y-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit (ständige Beschleunigung gegen den Luftwiderstand durch Motor o.ä.). Mitbewegter Beobachter (ebenfalls konstante Geschwindigkeit). Der Luftwiderstand in x-Richtung ist jetzt größer als im Fall 1. Zwei unterschiedliche Ergebnisse, trotz einfacher Galilei-Transformation. Ich weiß selber die Antwort nicht genau. Nur ein paar Gedanken zum Thema. Übrigens: Nach meinen Rechnungen ist der optimale Abschusswinkel, z.B. für einen Tennisball mit 50m/s etwa 37°, statts der erwarteten 45°. Der Ball fliegt dann etwa 1,5 Meter weiter. Gruß David\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 03. August 2007 22:47:08
\(\begingroup\)Hi, ich bin auf der suche nach einer formel um die wurfweite mit luftwiederstand zu berechnen, hab aber nichts gutes gefunden. dein/euer beitrag sieht recht interresant aus (respekt!), jedoch sind mir die gleichungen viel zu kompliziert. 😵 (bin/war 10.klasse gym. und wir lernen nix interessantes, fühl mich echt unterfordert mit dem mist den wir "lernen") das liebste wäre mir eine formel in die ich nur noch die startgeschwindigkeit einfügen muss (ausgehent von einer 1,3cm stahlkugel, die 7,1g wiegen müsste). ich weiß zwar dass auch die ortsspezifischen faktoren eine rolle spielen, aber auf den cm genau will ichs garnicht wissen.\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 06. August 2007 13:06:35
\(\begingroup\)Hallo Der gesamte Artikel ist in dem Sinne falsch, dass x und y- Bewegung unabhängig behandelt werden! da aber die Reibung von |v| abhängt, also von v_x und v_y ist das falsch! 😵 Gruss ein Gast\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 18. August 2007 02:22:19
\(\begingroup\)hallo, ich habe zu diesem thema meine facharbeit geschrieben, bin aber auf etwas andere gleichungen gekommen. es würde mich nun sehr freuen, wenn sich jemand das mal anschaut, weil ich den fehler nicht finden kann. ich habe meine arbeit als pdf. könnte das jemand machen? bitte antwort an b.inischmiso@gmail.com. grüße\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: fru am: Sa. 18. August 2007 04:29:15
\(\begingroup\)Hallo Unbekannte(r) ! Wenn Du Dich hier anmeldest, dann kannst Du Deine Arbeit in Dein sog. Notizbuch hochladen, dieses dann öffentlich machen, und so allen Mitgliedern einen leichten Zugang ermöglichen. Am besten eröffnest Du dann im Physikforum einen Thread für die Diskussion des Themas. Ich schätze mal, daß dieser Weg erfolgversprechender ist, als auf private Anforderungen per Email zu warten. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: tomaso_landini am: Mi. 24. Oktober 2007 17:50:24
\(\begingroup\) \ Nach einer Diskussion mit einem Kollegen über Fallgeschwindigkeiten bei Luftwiderstand von Körpern gleicher Form und Größe aber verschiedener Masse stieß ich auf diesen Artikel. Meines Erachtens ist das Modell nicht korrekt (hat glaube ich schon ein anderer Leser festgestellt). Die Luftwiderstandskraft wirkt ja immer entgegen der Bewegungsrichtung, d.h. in Richtung (-x^*;-y^*), und ist proportional zum Quadrat der Bahngeschwindigkeit mit der Proportionalitätskonstante k. Also ist die Kraftbilanzgleichung, die die Bewegung zu jedem Zeitpunkt nach dem Wurf und vor dem Aufschlagen auf den Boden beschreibt, folgendermaßen: m * (x^**;y^**) = m*(0;-g) - k * sqrt(x^*^2 + y^*^2) * (x^*;y^*) Das lässt sich nicht in unabhängige horizontale und vertikale Komponenten zerlegen! Setzen wir z.B. x^* = v und y^* = w, so gilt pro Komponente: v^* = -k/m * v * sqrt(v^2+w^2) w^* = -g - k/m * w * sqrt(v^2+w^2) Dieses Differentialgleichungssystem ist nicht so lösbar, wie im Artikel und führt auch zu einer anderen Bahnbewegung als dargestellt.\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: KingGeorge am: Mi. 24. Oktober 2007 19:46:08
\(\begingroup\)Hallo tomaso_landini, dein Einwand ist berechtigt, aber das steht schon im zweiten Kommentar von Spock. Der Artikel soll eine Näherung des Problems beschreiben. lg Georg P.S.: Teil 3 von dir ?\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Clapton-Fanatiker am: Sa. 17. November 2007 16:27:18
\(\begingroup\)hi leute, ich bin neu hier. ich hätte ne frage zu 4.3, ich kapier nicht wie er gleich am anfang nach einsetzen t;u auf die nächste gleichung kommt? Wie verschwindet da der cos?!?bzw der arctan. Kannmir bitte jemand den schritt erklären, ich bräuchte ihn für meine facharbeit, danke. andreas \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Clapton-Fanatiker am: So. 18. November 2007 11:03:22
\(\begingroup\)so, ich bins nochmal, jetzt hab ich inzwischen den anfang von 4.3 auch kapiert, jetzt setzt aber bei mir bei dem riccatiscehn ansatz aus....wo wird was angesetzt 😉 HILFE 😵 \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: weserus am: So. 18. November 2007 12:06:53
\(\begingroup\)Hi Eric(Clapton), herzlich willkommen auf dem Matheplaneten. Du bist hier im Bereich eines konkreten Artikels und den dazu abgegebenen Kommentaren. Du wirst sicher schneller und besser Hilfe erhalten, wenn Du Deine Frage(n) in das entsprechende Forum einstellst. Danke und Grüße Peter\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Clapton-Fanatiker am: Mi. 28. November 2007 13:45:20
\(\begingroup\)auch das forum zum ricatti direkt aht mir elider nicht weiterhelfen können. es heißt hier in 4.3: "aus obiger Gleichung erhlaten wir nun folgende Differentialgleichung vom ricattischen Typ"! ich peils ab da leider überhaupt nicht mehr. wäre bitte jemand so nett mir des ausführlicher zu erklären...BITTTTE 😵 😮 \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Mi. 28. November 2007 15:10:17
\(\begingroup\)Hallo, ich bin's mal wieder nach langer Zeit. Da sich in den Kommentaren die Bemerkungen zu häufen scheinen, dass die Rechnungen in dem Sinne falsch sind, als das man die DGl nicht wirklich entkoppeln kann, so trifft das in der Tat zu und wurde bereits im zweiten Kommentar von Spock erwähnt. Vlt. findet sich ja einer, der die nicht entkoppelten DGl numerisch löst und einen dritten Teil daraus macht? Auch möchte ich unbedingt noch auf den vierten Beitrag von Jonas_Riest hinweisen, in dem sich für den Abschnitt 4.3 eine viel kürzere Rechnung findet. MfG Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 27. Dezember 2007 15:27:38
\(\begingroup\)hallo ich bins nochmal. ich stecke leider immer noch bei 4.3 fest! Ich versuche die Abwärtsbewegung OHNE Riccati zu lösen, das dies geht wurde mir schon gesagt. Man müsse dies einfach wie in 4.2 (aufwärts) machen, dann komm ich auf folgendes, mit dem ich dann nicht mehr weiterkomme. dv/dt= -g+k/m*v^2 => dv/(v^2/V\inf^2-1)=g*dt => int(1/(v^2/V\inf^2-1),v,0,v)=int(g,t,0,t) => V\inf/2*ln((v-V\inf)/(v+V\inf))=g*t => ln((v-V\inf)/(v+V\inf))=(2g*t)/V\inf => (v-V\inf)/(v+V\inf)=exp((2g*t)/V\inf) => v=V\inf*(exp((2g*t)/V\inf)+1)/(1-exp((2g*t)/V\inf)) Wie kommt man dann aber auf die Gleichung von kostja: v=-V\inf+(2V\inf)/(exp(g(t-tu))+1) Ich bitte um schnellstmögliche und ausführliche Hilfe! BITTE! Es geht um meine Facharbeit\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Do. 27. Dezember 2007 15:32:37
\(\begingroup\) \ Hallo Andreas, v^* = - g + k/m v^2 = -g(1-(v/v_\inf)^2) => dv/(1-(v/v_\inf)^2) = -g dt ... Kommst Du von hieraus alleine weiter? Ach mist, ich sehe gerade, dass Du das auch gerechnet hast. Ergänze am schluss nur noch im Zähler 0 = 1-1 und ziehe den Bruch auseinander. Außerdem musst Du beachten, dass Du nicht bei t_0 = 0, sondern bei t_0 = t_U anfangen musst. Konstantin \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 28. Dezember 2007 12:37:05
\(\begingroup\)danke konstantin, jetzt hats bei mir auch geschanckelt!\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 07. Januar 2008 21:40:25
\(\begingroup\)hallo zusammen, bräuchte eure Hilfe. kann mir jemand diesen Schritt erklären: int(1/(v^2/V\inf^2-1),v,0,v)=int(g,t,0,t) => V\inf/2*ln((v-V\inf)/(v+V\inf))=g*t ich komm selber immer nur auf int(1/(v^2/V\inf^2-1),v,0,v)=int(g,t,0,t) => V\inf/2*ln((v-V\inf)/(V\inf))=g*t kann mir jemand sagen, wo vll mein Fehler liegt? danke\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Mo. 07. Januar 2008 21:43:22
\(\begingroup\)Schreibe Deine Rechnung doch mal ausführlich hin, und wir zeigen mit dem Finger auf die kritische Stelle. 😄 Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 07. Januar 2008 21:55:19
\(\begingroup\)hallo nochmal, ist dieser ansatz soweit richtig?! int(((v/V\inf)-(v/V\inf)+1)/(v^2/V\inf^2-1))= int(((v/V\inf)/(v^2/V\inf^2-1))-int(((v/V\inf-1)/(v^2/V\inf^2-1)))) \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Di. 08. Januar 2008 19:29:10
\(\begingroup\)Sagen wir mal, da ist bisher kein Fehler drin. Aber ich weiß nicht, wie Du damit weiter arbeiten willst. Tipp: Du brauchst die Partialbruchzerlegung. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 12. Januar 2008 10:42:01
\(\begingroup\)hallo, hätte ein paar Fragen bezüglich 4.3: 1. Woher kommt die 2 im Nenner des Arguments des ln`s? \ => int(,y_II,y_U,y_II) = int((- v_\inf - m/k (-p exp(-p(t-t_U)))/(1 + exp(-p(t-t_U)))),t,t_U,t) => y_II - y_U = - v_\inf (t - t_U) - m/k*ln (1 + exp(-p(t-t_U)))/(2) \ 2. Wie kommt man von \ => (y_II)(t) =y_U - v_\inf (t - t_U) - m/k ln (1/2 exp(-p(t-t_U)) + 1/2) für t >= t_U auf \ v_\inf^2/g*(\ -g(t-t_U)/v_\inf-ln((1+exp(-2g(t-t_U)/v_\inf))/2*cos gt_U/v_\inf)),für t>=t_U) Bitte um ausführliche und schnelle Lösungen! Danke\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Sa. 12. Januar 2008 17:50:20
\(\begingroup\)Hallo Thomas! 1. Die zwei kommt von der unteren Grenze der Integration. 2. Die Koeffizienten entstehen durch simple Erweiterung, wenn Du sie ausmultiplizierst und die Definition von v_oo einsetzt, dann siehst Du das. Das wirklich nicht ganz einfache ist der letzte Summand mit dem Logarithmus. Hier musst Du die Definition (gleich am Anfang von 6.3) von y_U einsetzen und in den Logarithmus via log(a) + log(b) = log(a*b) reinziehen. Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 12. Januar 2008 19:34:56
\(\begingroup\)Hallo Konstantin, vielen Dank für deine Mühen. Hast mir wirklich sehr weiter geholfen. Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 15. April 2011 00:47:29
\(\begingroup\)ich sehe in deiner Ausführung leider einen kleinen Fehler: Beim Newtonschen Reibungsgesetz F_R=-k v^2 geht das Quadrat der Gesamtgeschwindigkeit ein: F_R=-k (v_x^2 + v_y^2) Dadurch lässt sich das entstehende Gleichungssystem nicht so leicht entkoppeln: v_x'+k/m (v_x^2+v_y^2)=0 v_y'+k/m (v_x^2+v_y^2)+g=0 Damit bin ich dann etwas weiter gekommen, kann die resultierende Integralgleichung aber dann nicht weiter auflösen: (v_x^2+v_y^2+ gm/k ) dv_x = (v_x^2+v_y^2 ) dv_y Irgendeine Idee? \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 01. September 2011 17:31:20
\(\begingroup\)Hallo, es wurde schon mehrfach erwähnt und es wir auch im Artikel ausführlich vermerkt, dass die Entkopplung der Gleichungen leider nur eine Näherung ist. Meines Wissens nach, lässt sich die gekoppelte Gleichung nicht als "von Hand" lösen. Herzliche Grüße Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 29. September 2011 10:51:36
\(\begingroup\)Hallo, habe folgendes Problem: Projektil: Tischtennisball, Radius 0.02 m, Masse 0.0027 kg, cw 0.47 Luftdichte bei 20°C (s. Wikipedia) 1.204 kg/m³, Erdbeschl. 9.81 m/s² Abwurfwinkel 45°, Abwurfhöhe 0.8 m über dem Boden Anfangsgeschwindigkeit 5 m/s, d.h. v_0x=v_0y= 3.54 m/s wurde aus dem obenstehende Post von Anonymous vom 27 September 2006 verwendet und nachgerechnet. Dabei komme ich ebenfalls für die Zeit zum Umkehrpunkt auf 0,342s. Problematisch wird es erst bei der Berechnung der Schussweite und der Zeit bis zum Aufprall. Ich habe dabei die Formeln aus dem Beitrag verwendet bekomme jedoch für die Aufprallzeit 0,346s (y(t)=0) und für die Schussweite 0,85m (x(t)). Da stimmt doch was nicht. Müssen eventuell die Zeit bis zum Umkehrpunkt mit der errechneten Zeit bis zum Aufprall addiert werden um die Schussweite zu erhalten oder habe ich einfach einen Fehler in meiner Gleichung beim Umstellen gemacht: t=((ln(cos(g*t_h/(v_inf))))/(v_inf*g))+t_h+(ln(3/2))/(v_inf*g) v_inf = v unendlich t_h = Zeit bis zum Umkehrpunkt Was mache ich falsch oder kann mir jemand die fehlerlose Umstellung der Gleichung nach t zeigen? Problem ist bzw. war, dass man eine Summe im Loharithmus naturalis hat und man sich somit im Kreis dreht. Konnte ich jedoch beheben indem ich mit e durchmultipliziert, verrechnet und dann wieder den ln eingesetzt habe. Kann mir bitte jemand schnellstmöglich helfen. Ich benötige diese Rechnung für meinen Konstruktionsentwurf, den ich Ende nächster Woche abgeben muss. Vielen Dank im Voraus. \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: kostja am: Do. 29. September 2011 13:40:39
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, die Zeit bis zum Aufprall ist die Zeit, in der der Ball in der Luft ist. Erfolgt der Abwurf also in der Höhe h, so ist die Zeit bis zum Aufprall bis der Ball die Höhe Null erreicht hat: Die Zeit bis zum höchsten Punkt + die Zeit, die der Ball braucht, bis er runtergefallen ist. Während dieser Zeit kann sich der Ball in die andere Richtung bewegen.\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 29. September 2011 15:18:50
\(\begingroup\)Danke Kostja, ich habe jetzt gerade eben auch gemerkt, dass ich die Zeiten addieren muss. Ausserdem habe ich gemerkt, dass Excel den Sinus und den Cosinus im Bogenmaß angibt und daher schon von Beginn an die x- und y- Komponente meiner Anfangsgeschwindigkeit nicht gestimmt hat. Nun habe ich in etwa für meinen Konstruktionsentwurf der Fußballkanone herausbekommen, dass bei 37° das Maximum erreicht wird, und für eine Schussweite von 50 m bei 45° eine Anfangsgeschwindigkeit von 39 m/s erreicht werden muss. Hört sich jetzt auch logischer an. Danke dass du so schnell geanwortet hast. Hast mir bei meinem Problem echt weitergeholfen. Und es muss nochmals gesagt werden, dass dein Beitrag echt klasse ist und eine super Näherung für die Problemstellung ist. Alle Achtung! Also nochmals vielen Dank für die Hilfe. \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 14. April 2013 07:25:56
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 15. Juni 2013 12:24:33
\(\begingroup\)Grüß Gott! Meine Name ist Kevin. Kann mir jemand erklären warum die Massenträgheit auf Ebene der Beschleunigung nicht eingerechnet werden muss? LG \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 22. Juni 2014 16:10:13
\(\begingroup\)Hallo zusammen, ich habe den Artikel sehr gerne gelesen und versucht nachzuvollziehen. Vielen Dank für die tolle Arbeit! Ich benötigte die Formel um die Kurve von Schüttgut am Ende eines schräg stehenden Förderbandes nachzuvollziehen. Daher habe ich die Parameterdarstellung mit Excel umgesetzt. Das Schüttgut ist gefräster Asphalt mit einer Dichte von 2200kg/m³. Ich habe Kugeln mit Radien von 0,009m bis 0,2m in Excel darstellen lassen. Das merkwürdige: die schweren großen Steine fallen fast senkrecht nach unten. Die kleinen leichten Körner fliegen fast ohne Abweichung zur Kurve ohne Luftwiderstand. Das kann ich mir nicht erklären. Hier wird doch eigentlich deutlich, dass mit steigendem Radius die Bremsbeschleunigung a abnimmt. $ a = \frac{\frac{1}{2}*c_W*\rho_L*A*v^2}{\rho_S*V_S} $ umgeformt $ a = \frac{3}{8}*\frac{c_w*\rho_L*v^2}{\rho_S}*\frac{1}{r} $ kann mir das jemand erklären? Vielen Dank für eure Mühe! Malte \(\endgroup\)
 

Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 02. Juni 2015 16:46:55
\(\begingroup\)Hallo. Endlich mal ein sehr verständlicher Artikel zu diesem Thema. Danke, diese Ausführungen haben mir sehr weitergeholfen, da ich schon eine Weile an diesem Thema verzweifelt gerechnet habe :) *Daumen hoch* Ben\(\endgroup\)
 

 
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