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In diesem, meinem ersten Artikel hier auf dem Matheplaneten, möchte ich euch das Approximationsproblem ein wenig näher bringen. Die meisten von euch werden sich wahrscheinlich in dieser Materie bereits sehr gut auskennen, trotzdem möchte ich eine für alle verständliche Einführung anbieten.
Im ersten Teil des Artikels werde ich bis zum Approximationssatz von Weierstraß vorstoßen, im zweiten wird das Approximationsproblem in allgemeinen normierten Räumen betrachtet, sowie die lineare Approximation. Ich werde auf den Begriff der Haar'schen Räume eingehen der uns direkt zum Alternantensatz führen wird. Im dritten Teil möchte ich auf die Anwendung des Alternantensatzes, den Algorithmus von Remez, eingehen, sowie die berühmte Abschätzung von de la Vallee' Poussin beweisen und Tschebyscheff-Polynome besprechen.
Voraussetzungen, um alle in diesem Artikel verwendeten Begriffe zu verstehen, sind bloß elementare Definitionen der Analysis und der Vektorraumtheorie.
Im ersten Abschnitt werden monotone lineare Operatoren und Korovkin-Folgen behandelt.
\black\double\frame
(Definition:)__
Sei I ein beliebiges reelles Intervall, dann wird
((C^-)_+) := menge(f \el\C[I]| f(x)>=0 \forall x \el\ I)
ein "positiver Kegel" genannt.
\frameoff
\black\double\frame
(Definition:)__
Sei K ein linearer Operator K: C[I]->C[I] und I ein beliebiges reelles Intervall, dann wird K ein monotoner linearer Operator genannt, genau dann wenn K((C^-)_+) \subsetequal\ C^-_+
\frameoff
Mit dieser Definition gilt:
\blue\double\frame
(Lemma1:)__
Sei K ein monotoner linearer Operator und für f,g \el\ C[I], I ein beliebiges reelles Intervall, gelte f(x)>=g(x) \forall\ x \el\ I, dann gilt K(f)>=K(g)
\frameoff
Beweis:
f(x)>=g(x) \forall x \el\ I
f(x)-g(x)>= 0 dh also f(x)-g(x) \el\ C^-_+
K monoton => K(f(x)-g(x)) \el\ C^-_(+) =>K(f(x)-g(x))>=0
K linear => K(f(x))-K(g(x))>=0 \forall\ x \el\ I
K(f)>=K(g)
\black\double\frame
(Definition:)__
Sei f \el\ C[a,b], dann wird
norm(f)_\inf := max(x \el intervall(a,b),abs(f(x)))
Tschebyscheff-Norm, oder Maximum-Norm genannt.
\frameoff
Beweis, dass norm(f)_\inf wirklich eine Norm ist:
Definitheit und Homogenität sind offensichtlich erfüllt, zu zeigen ist noch die Dreiecksungleichung:
abs(f(x)+g(x))<=abs(f(x))+abs(g(x))<=norm(f)_\inf +norm(g)_\inf \forall x \el\ [a,b]
=> max abs(f(t)+g(t)) x \el\ [a,b] <=norm(f)_\inf +norm(g)_\inf
\black\double\frame
(Definition:)__
Eine Folge (( K_n ))_array(n \in \IN) monotoner linearer Operatoren C[0,1]->C[0,1] heißt Korovkin-Folge, falls
lim(n->\inf, norm(K_n(f_j)-f_j)_\inf =0 für f_j(x)=x^j \, j=1\,2\,3
gilt.
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Im folgenden Abschnitt wird der Satz von Korovkin bewiesen:
\red\double\frame
(Satz:)__ (von Korovkin)
Sei (K_n) eine Korovkin-Folge, dann gilt bereits:
\forall f \el\ C[0,1] lim(n->\inf,norm(K_n(f)-f)_\inf)=0
\frameoff
Beweis:
f \el\ C[0,1] und [0,1] kompakt => f gleichmäßig stetig in [0,1]
dh \forall \epsilon \exists \delta \forall x,y \el\ [0,1] : abs(x-y)< \delta => abs(f(x)-f(y))< \epsilon
Sei \epsilon:= \epsilon/3
Sei t \el\ [0,1] fest gewählt, so gilt für abs(x-t)< \delta dass abs(f(x)-f(t)) < \epsilon/3
Für abs(x-t)>= \delta gilt:
abs(f(x)-f(t))<=abs(f(x))+abs(f(t))<=2*norm(f)_\inf<=2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
somit gilt: \forall x \el\ [0,1] abs(f(x)-f(t))<= \epsilon/3+2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
f(t)-\epsilon/3-2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2<=f(x)<=f(t)+\epsilon/3+2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
Wir bezeichnen im Folgenden:
p_t(x):=f(t)-\epsilon/3-2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
und
q_t(x):=f(t)+\epsilon/3+2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
Da K_n monoton ist folgt mit Lemma1:
K_n(p_t(x))<=K_n(f(x))<=K_n(q_t(x))
Nun kann man q_t(x) abschätzen:
\align
q_t(x)=f(t)+\epsilon/3+2*norm(f)_\inf*((x-t)/\delta)^2
=(f(t)+\epsilon/3+(norm(f)_\inf*2*t^2)/\delta^2)*f_0(x)-(4*t*norm(f)_\inf)/\delta^2*f_1(x)+(norm(f)_\inf*2)/\delta^2*f_2(x)
=\alpha*f_0(x)+\beta*f_1(x)+\gamma*f_2(x)
\stopalign
wobei f_0(x)=1, f_1(x)=x, f_2(x)=x^2 wie in der obigen Definiton der Korovkin-Folgen. Da K_n linear ist ergibt sich weiters:
K_n(q_t(x))=\alpha*K_n(f_0(x))+\beta*K_n(f_1(x))+\gamma*K_n(f_2(x))
K_n(q_t(x))-q_t(x)
=\alpha*(K_n(f_0(x))-f_0(x))+\beta*(K_n(f_1(x))-f_1(x))+\gamma*(K_n(f_2(x))-f_2(x))
abs(K_n(q_t(x))-q_t(x))
<=abs(\alpha)*abs((K_n(f_0(x))-f_0(x)))+abs(\beta)*abs((K_n(f_1(x))-f_1(x)))+abs(\gamma)*abs((K_n(f_2(x))-f_2(x)))
Da t \el\ [0,1] gilt weiters:
abs(\alpha)<=norm(f)_\inf+\epsilon/3+(norm(f)_\inf*2*t^2)/\delta^2=\epsilon/3+(1+(2*t^2)/\delta^2)*norm(f)_\inf
<=\epsilon/3+(1+2/\delta^2)*norm(f)_\inf:=\alpha^~
abs(\beta)=(4*abs(t)*norm(f)_\inf)/\delta^2<=(4*norm(f)_\inf)/\delta^2=:\beta^~
abs(\gamma)=:\gamma^~
Nochmals mit der Norm abgeschätzt erhält man:
abs(K_n(q_t(x))-q_t(x))
<=\alpha^~*norm((K_n(f_0(x))-f_0(x)))_\inf+\beta^~*norm((K_n(f_1(x))-f_1(x)))_\inf+\gamma^~*norm((K_n(f_2(x))-f_2(x)))_\inf
Da nun aber K_n eine Korovkin-Folge ist ergibt sich:
für n-> inf => abs(K_n(q_t(x))-q_t(x))->0 und zwar unabhängig von x, t!
Analoges kann man auch für p_t(x) durchführen, also gilt insgesamt:
zu \epsilon/3 \exists N_0 \forall n >= N_0 \forall x,t : abs(K_n(q_t(x))-q_t(x))<= \epsilon/3 \and abs(K_n(p_t(x))-p_t(x))<=\epsilon/3
das bedeutet also:
q_t(x)-\epsilon/3<=K_n(q_t(x))<=q_t(x)+\epsilon/3
p_t(x)-\epsilon/3<=K_n(p_t(x))<=p_t(x)+\epsilon/3
=> p_t(x)-\epsilon/3<=K_n(f(x))<=q_t(x)+\epsilon/3
oder -q_t(x)-\epsilon/3<=-K_n(f(x))<=-p_t(x)+\epsilon/3
=> p_t(x)-q_t(x)-\epsilon/3<=f(x)-K_n(f(x))<=q_t(x)-p_t(x)+\epsilon/3
Diese Ungleichungskette gilt für beliebiges x und t \el\ [0,1], also gilt sie insbesondere für t=x!
Sei nun t=x
q_t(x)=q_x(x)=f(x)+\epsilon/3
p_t(x)=p_x(x)=f(x)-\epsilon/3
=> q_x(x)-p_x(x)=2\epsilon/3
p_x(x)-q_x(x)=-2\epsilon/3
=> -2\epsilon/3-\epsilon/3<=f(x)-K_n(f(x))<=2\epsilon/3+\epsilon/3
=> abs(f(x)-K_n(f(x)))<=\epsilon \forall n > N_0 \forall x \el\ [0,1]
=> x \el\ [0,1] max abs(f(x)-K_n(f(x)))<=\epsilon
=> \forall \epsilon \exists N_0 \forall n > N_0 : norm(K_n(f(x))-f)_\inf <= \epsilon
=> lim(n->\inf,norm(K_n(f)-f)_\inf=0
Damit ist dieser erstaunliche Satz bewiesen. Erstaunlich deswegen, weil doch nur die Limeseigenschaft für die Funktionen f_0(x)=1, f_1(x)=x, f_2(x)=x^2 gefordert wurde und man damit trotzdem zeigen konnte dass die Limeseigenschaft damit für alle stetigen Funktionen auf [0,1] gilt.
Für den Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß wird nun eine Korovkin-Folge benötigt die C[0,1] auf die Polynome abbildet:
\black\double\frame
(Definiton:)__
Bernstein-Operatoren B_n : C[0,1]->P_n sind eine Folge
monotoner, linearer Operatoren
B_n(f(x)):=sum((n;j)*f(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
\frameoff
Beweis dass die B_n monoton und linear sind:
Linearität:
\align
B_n((f+g)(x))=sum((n;j)(f+g)(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=sum((n;j)f(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)+sum((n;j)g(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=B_n(f(x))+B_n(g(x))
\stopalign
Monotonie:
z.z. f>=0 => B_n(f)>=0
Sei also f(x)>= 0 \forall x => f(j/n)>=0 \forall n,j
Da x \el\ [0,1] folgt somit:
(n;j)(f)(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j) =>sum((n;j)(f)(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)>=0
\red\double\frame
(Satz:)__
Die Bernstein-Operatoren bilden eine Korovkin-Folge
\frameoff
Beweis:
((f_0):)__
\align
B_n(f_0(x))=sum((n;j)f_0(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=sum((n;j)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=(x+(1-x))^n=1=f_0(x)
\stopalign
daraus ergibt sich:
norm(B_n(f_0)-f_0)_\inf= x \el\ [0,1] max abs(B_n(f_0(x))-f_0(x)) = x \el\ [0,1] max abs(f_0(x)-f_0(x))=0
somit ist auch lim(n->\inf,norm(B_n(f_0)-f_0)_\inf)=0
((f_1):)__
\align
B_n(f_1(x))=sum((n;j)f_1(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=sum((n;j)(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=sum((n-1;j-1)*x^j*(1-x)^(n-j),j=1,n)
=x*sum((n-1;j-1)*x^(j-1)*x^(n-j)
=x*(x+(1-x))^(n-1)=x=f_1(x)
\stopalign
also folgt wie oben:
norm(B_n(f_1)-f_1)_\inf= x \el\ [0,1] max abs(B_n(f_1(x))-f_1(x)) = x \el\ [0,1] max abs(f_1(x)-f_1(x))=0
und damit auch lim(n->\inf,norm(B_n(f_1)-f_1)_\inf)=0
((f_2):)__
Es gilt:
j^2/n^2=(j(j-1)/n(n-1))*(1-1/n)+j/n^2
\align
B_n(f_2(x))=sum((n;j)f_2(j/n)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
=sum((n;j)*(j^2/n^2)*x^j*(1-x)^(n-j),j=0,n)
\stopalign
=sum((n-2;j-2)*x^j*(1-1/n)*(1-x)^(n-j),j=2,n)+sum((n-1;j-1)*(x^j/n)*(1-x)^(n-j),j=1,n)
=x^2*(1-1/n)*sum((n-2;j-2)*x^(j-2)*(1-x)^(n-j),j=2,n)+x/n*sum((n-1;j-1)*x^(j-1)*(1-x)^(n-j),j=1,n)
=x^2-x^2/n+x/n
Dann gilt mit x \el\ [0,1]:
abs(f_2(x)-B_n(f(x)))=abs(x^2-x^2+x^2/n-x/n)=abs(x^2/n-x/n)=1/n*abs(x^2-x)<=2/n
Da lim(n->\inf,2/n)=0 ist auch lim(n->\inf, norm(B_n(f_2)-f_2)_\inf)=0
Damit ist auch der Satz über die Bernstein-Operatoren bewiesen und wir nähern uns dem Schlußpunkt des ersten Teiles über Approximationstheorie, dem Approximationssatz von Weierstraß.
Der letzte Abschnitt behandelt also den Approximationssatz von Weierstraß, der zum ersten Mal 1885 bewiesen wurde. Dieser Satz ist ein fundamentales Ergebnis der Analysis und erweckte sofort die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker. E. Borel kannte bis 1905 bereits 6 verschiedene Beweise für den Approximationssatz, der den Grundstein für einen damals neuen Zweig der Mathematik, der Approximationstheorie, darstellte.
\red\double\frame
(Satz:)__ (Der Approximationssatz von Weierstraß)
\forall f \el\ C[0,1] \forall \epsilon \exists n \exists p \el\ P_n : norm(f-p)_\inf < \epsilon
\frameoff
Beweis: Aufgrund des Satzes von Korovkin und des Satzes über die
Bernstein\-Operatoren B_n : C[0,1]->P_n ergibt sich sofort die Behauptung des Approximationssatzes.
\red\double\frame
(Corollar:)__
\forall f \el\ C[a,b] \forall \epsilon \exists n \exists p \el\ P_n : norm(f-p)_\inf < \epsilon
\frameoff
Beweis mittels linearer Transformation:
Sei f \el\ C[a,b], dann gilt g(s):=f((b-a)*s+a) \el\ C[0,1].
Auf Grund des Approximationssatzes gibt es nun q ein Polynom welches g auf [0,1]approxmiert. Damit folgt, dass q((t-a)/(b-a)) t \el\ [a,b] das gesuchte Polynom p ist, welches f auf [a,b] approximiert.
Nun sind wir am Ende des ersten Teiles angelangt.
Im zweite Teil wird der Begriff des Proximums eingeführt, dessen Existenz und Eindeutigkeit in allgemeinen normierten Räumen geklärt, sowie in endlichdimensionalen Teilräumen. Am Ende des zweiten Teiles wird der Alternantensatz bewiesen, der ein wichtiges Hilfsmittel für die Berechnung des Proximums darstellt.
Jetzt möchte ich noch kurz die Möglichkeit nutzen mich bei allen Leuten zu bedanken die mir am Matheplaneten geholfen haben. Danke :)
Mit freundlichen Grüßen
tack
PS: Mittlerweile ist der zweite Teil des Artikels fertiggestellt, hier der Link dazu:
Approximationstheorie Teil 2
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