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Mathematik: Kategorien (2) und Diagrammjagd Released by matroid on Sa. 26. März 2005 23:35:42 [Statistics] [Comments] Written by Zaos - 8062 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Liebe Planetarier, Dieser Artikel ist einerseits als Fortsetzung des Artikels Kategorientheorie, in dem ich eine Einführung in die Sprache der Kategorien gab, gedacht. Andererseits will Ich ich eine Einführung in die Technik von Diagrammen und Sequenzen geben. Letztere sind sehr mächtige und effiziente Werkzeuge für Kategorien, oder auch in der Algebra und Topologie. [Edit] [To the bottom] Der folgende Text erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit einer Einführung in die Theorie. Dafür sollte man lieber ein Lehrbuch zu Rate ziehen. Es ist vielmehr eine Sammlung von Konzepten, die die wesentlichen Ideen der Theorie näherbringen soll. Vieles im Text ist eine Umformulierung von Dingen, die einem vielleicht geläufig sind und ein "das kenn ich doch" erzeugt - und genau dafür ist der Artikel gedacht: array( ) \big\Bekannte Dinge neu entdecken Da nicht vieles in diesem Artikel aufeinander aufbaut, möchte Ich eine Auflistung der Abschnitte angeben, wobei bei jedem Abschnitt in eckigen Klammern die Nummer des Abschnitts angegeben ist, den Ich für das Verständnis empfehle. So muss man sich nicht den gesamten Artikel durchlesen, wenn einem nur eine bestimmte Sache interessiert. 1.1. Diagramme 1.2. Exakte Sequenzen [1.1] 2.1. Mehr über Funktoren\/natürliche Transformationen [1.1] 2.2. Die duale Kategorie 2.3. Funktor-Kategorien [1.1, 2.2] 2.4. Das Yoneda-Lemma [1.1, 2.1, 2.2, 2.3] 2.5. Universelle Objekte [2.2] 2.6. Produkte und Koprodukte [1.1, 2.2, 2.5] 1 Diagramme und Sequenzen In diesem Abschnitt werden zunächst die Grundlagen für die Techniken mit Diagrammen erarbeitet. Als Anwendung führe Ich dann im nächsten Kapitel meinen Artikel über die Kategorientheorie fort. Ohne die Sprache der Diagramme wäre das ein sinnloses Unterfangen. Ich setze die Definitionen und Beispiele aus meinem ersten Artikel über Kategorien voraus. Es ist jedoch nicht ausgeschlossen, dass sich etwas wiederholt. 1.1. Diagramme makro(b,\big\%1) b(1.1 Definition) Formal ist ein b(Diagramm) ein gerichteter Graph, dessen Ecken Objekte einer fest gewählten Kategorie und die Kanten Morphismen sind. Ein Untergraph hiervon heißt b(Unterdiagramm). Ein Diagramm heißt b(kommutativ), oder man sagt, es b(kommutiert), wenn für alle Paare von Ecken A,B, (A=B nicht ausgeschlossen), alle gerichteten Wege von A nach B den selben Morphismus A-> B definieren. Man muss sich jedoch nicht in der Graphentheorie auskennen, um das zu verstehen. Ein Diagramm ist eine Ansammlung von Pfeilen \(z.B Morphismen, Abbildungen) zwischen manchen Objekten\/Mengen. Am folgenden Beispiel sollte klar sein, was gemeint ist. b(1.2 Beispiel) Wir betrachten das folgende Diagramm makro(b,\big\%1) Dieses ist kommutativ, falls folgende Identitäten gelten: array(b((AE)),f_4 \circ f_1 = f_6 \circ f_3 \circ f_1=f_6 \circ f_5 \circ f_2;b((AD)),f_3 \circ f_1 =f_5 \circ f_2;b((BE)),f_4= f_6 \circ f_3) Dabei heißt b((AE)) zum Beispiel, dass wir alle Morphismen (oder Wege) von A nach E betrachten. Es ist nicht schwer zu sehen, dass das obige Diagramm genau dann kommutiert, wenn die Unterdiagramme makro(b,\big\%1) beide kommutieren. Als kleine Übung betrachten wir die Diagramme makro(b,\big\%1) die kommutieren sollen, und in denen jeweils alle Pfeile bis auf einer Isomorphismen sind. Man mache sich klar, das dann auch jeweils der übrige Pfeil ein Isomorphismus ist. b(1.3 Bemerkung) Ist ein Diagramm D in einer Kategorie \calK und ein Funktor F:\calK-> \calL gegeben, so können wir ein neues Diagramm FD in \calL definieren, indem wir jedes Objekt und jeden Morphismus des Diagramms mit dem Funktor F nach \calL abbilden. Wenn das Diagramm D in \calK kommutativ ist, so ist FD ein kommutatives Diagramm in \calL. Dies ist eine unmittelbare Konsequenz der Funktoraxiome, denn es gilt F(f \circ g)=F(f) \circ F(g) oder F(f \circ g)=F(g) \circ F(f) je nachdem, ob F ko- oder kontravariant ist. b(1.4 Beispiel) (Gruppenaxiome) Hier wird beschrieben, wie man die Gruppen\- axiome mit Hilfe von Diagrammen formulieren kann. Sei G eine Menge und \m : G \times G->G eine Abbildung. Dann definiert \m genau dann eine Gruppen- verknüpfung auf G, wenn es ein 1\in G mit \m(1,g)=g=\m(g,1) für alle g\el G und \iota:G->G gibt, so dass das Diagramm makro(b,\big\%1) kommutiert. Dabei bezeichnet 1:G->G die konstante Abbildung, die alles auf das Element 1\in G schickt. Ist dies erfüllt, so ist \iota die Inversen- bildung, das heißt \iota(g)=g^(-1). Man sollte sich überlegen, warum das wahr ist und wenns einem Spaß macht, die entsprechenden Diagramme für Ringe, Moduln \(oder spezieller Vektor- räume\), Körper etc finden. Man mag vielleicht auch überlegen, wie man das obige Diagramm so erweitern kann, dass man das Kommutativitätsgesetz auch noch hat, sprich ein Diagramm für die Axiome der abelschen Gruppen hat. Tipp: Es genügt ein zusätzlicher Pfeil. [Edit] 1.2 Exakte Sequenzen makro(b,\big\%1) Sequenzen sind spezielle, eine Art "lineare" Diagramme. Genauer: b(1.5 Definition) Sei J \in {\IZ, \IZ_<=b, \IZ^(>=a), \IZ array(>=a;<=b)} für feste a,b \in \IZ. Diese Indexmenge ist dazu da, um das fortwährende Abzählen zu array(formalisieren. Sei) \calK eine Kategorie und \( A_i )_(i \in J) eine Folge von Objekten in \calK. array(Außerdem sei) für jedes i\in J,i!=max(J) ein Morphismus f_i : A_i -> A_(i+1) gegeben. array(Dann heißt) makro(t,bigop(\big\textrightarrow\normal,,,%1)) define(tr,\big\textrightarrow\normal) ... \tr A_(i-1) t(f_(i-1)) A_i t(f_i) A_(i+1) \tr ... makro(b,\big\%1) eine b(Sequenz). Ist darüberhinaus \calK=b(Gr) die Kategorie der Gruppen, so heißt eine Sequenz b(exakt an der Stelle A_i), wenn ker f_i =im f_(i-1) gilt, das heißt, das Bild des Pfeiles auf A_i ist der Kern des nächsten Pfeiles. Die Sequenz heißt b(exakt), wenn sie an jeder Stelle, außer am Ende oder am Anfang (falls vorhanden), exakt ist. Die Definition von exakten Sequenzen kann man auf beliebige abelschen Kategorien verallgemeinern. Es fehlen hier noch Grundlagen, um abelsche Kategorien definieren zu können, und es würde den Rahmen sprengen auch diese Kategorien zu behandeln. Zu abelschen Kategorien gehören unter anderem die abelschen Gruppen oder allgemeiner Moduln über einem Ring R. b(1.6 Lemma) Seien A,B Gruppen [oder Moduln über einem Ring R] und A -> B ein Homo- morphismus. Es bezeichne 0 die triviale Gruppe [bzw. den trivialen Modul] und 0 -> X, X -> 0 die trivialen Homomorphismen. Dann gilt (i) A -> B injektiv <=> 0 -> A -> B exakt an der Stelle A (ii) A -> B surjektiv <=> A -> B -> 0 exakt an der Stelle B (iii) A -> B bijektiv <=> 0 -> A -> B -> 0 exakt Beweis. Exemplarisch für (i): "0 -> A -> B exakt" heißt ker(A -> B) =im(0 -> A)=0. \bigbox define(tr,\big\textrightarrow\normal) b(1.7 Definition) (kurze exakte Sequenzen) Besonders wichtig sind exakte Sequenzen der Form array( ) 0 \tr A \tr B \tr C \tr 0 Daher geben wir ihnen einen eigenen Namen. Solche Sequenzen heißen b(kurze exakte Sequenzen). Kurze exakte Sequenzen kann man übrigens als eine Kategorie auffassen. Die Morphismen sind dann die vertikalen Morphismen makro(b,\big\%1) die das Diagramm kommutativ machen. b(1.8 Lemma) Sei 0 -> A -> B -> C -> 0 eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen. Dann ist im(A -> B) ein Normalteiler von B und es gilt array((i),A~= ker(B -> C);(ii),C~= coker(A -> B):= B\/im(A -> B)) Beweis. Dass A Normalteiler von B ist, folgt aus im(A -> B)=ker(B -> C) (Ein Kern ist immer Normalteiler). Zu (i): Nach dem letzten Lemma ist A -> B injektiv, weil 0 -> A -> B exakt ist. Außerdem gilt im(A -> B) =ker(B -> C). Somit definiert diese Abbildung einen Isomorphismus A -> ker(B -> C). Zu (ii): Nach dem Homomorphiesatz gilt array(C~=B\/ker(B->C)=B\/im(A->B). \bigbox) b(1.9 Bemerkung) In der Kategorie der Vektorräume sind kurze exakte Sequenzen einfach zu charakterisieren. Hat man eine exakte Sequenz 0 -> U -> V -> W -> 0 von Vektorräumen, so kann man schnell aus der Dimensionsformel und den obigen Hilfsmitteln für Sequenzen zeigen, dass V~= U\oplus W gilt. Solch ein einfaches Ergebnis kann man z.B bei Gruppen nicht erwarten. Man kann jedoch zeigen: Ist 0 -> G -> H -> K -> 0 eine exakte Sequenz von Gruppen, die einen "Schnitt", also eine Abbildung K -> H, so dass die Komposition K -> H -> K die Identität auf K ist, besitzt, dann ist H isomorph zu einem semidirekten Produkt von G und K. Es gibt viele bekannte Sätze, die pfeiltheoretisch formuliert werden können. Beispielsweise: b(1.10 Satz) (Homomorphiesatz) makro(b,\big\%1) Beweis. Siehe Algebra-Vorlesung\/Buch etc. \bigbox Um den Satz mal zu übersetzen: Die Voraussetzungen sind, dass die obere Sequenz exakt ist und das gesamte Diagramm (ohne dem gepunkteteten Pfeil) kommutiert. Dann existiert dieser gepunktete Pfeil und ist eindeutig mit der Eigenschaft, dass das erweiterte Diagramm kommutiert. Um zu sehen, dass das wirklich der Homomorphiesatz ist, erinnern wir uns daran, was der Homomorphiesatz besagt: Ist f : A -> C eine Abbildung und K\subset A ein Normalteiler mit K\subset ker(f), dann gibt es genau einen Homomorphismus f^- : A\/K -> C mit f^-(g^-)=f(g). Wegen 1.8 ist in dieser Situation B~= A\/K und das linke Dreieck des Diagramms besagt, dass die Komposition K -> A -> C der triviale Homomorphismus ist, was gleichbedeutend mit K \subset ker (A -> C) ist. Somit sollte der Zusammenhang zwischen dem obigen Diagramm und dem Homomorphiesatz klar sein. Als Abschluß formuliere ich einen schönen Satz, den man unbedingt selber versuchen sollte. b(1.11 Satz) (Fünfer\-Lemma, five\-lemma) Seien A_i, B_i, C_i, D_i, E_i, i\in {1,2} Gruppen [Ringe, Moduln,...]. Sei makro(b,\big\%1) ein kommutatives Diagramm, wobei beide Zeilen exakt seien. Wenn \alpha,\beta,\delta,\e wie angedeutet Isomorphismen sind, dann ist \gamma auch ein Isomorphismus. Es gilt genauer: array((i),\beta und \delta injektiv und \alpha surjektiv => \gamma injektiv;(ii),\beta und \delta surjektiv und \epsilon injektiv => \gamma surjektiv) Beweis: Diagrammjagd \:\-\) (Übung!) \bigbox by Martin_Infinite [Edit] 2 Kategorien - Teil 2 makro(b,\big\%1) Als Einstimmung, also bevor es richtig weitergeht, noch zwei weitere Beispiele von Kategorien, die tweilweise in den Kommentaren des ersten Artikels erwähnt wurden, und teilweise erst mit der Sprache der Diagramme angenehm zu formulieren sind. b(2.1 Beispiele) (i) Sei (R,<=) eine Ordnung. Dann kann man auf folgende Weise daraus eine Kategorie machen: Die Objekte sind die Elemente von R und die Mor- phismen sind Relationen a<= b. Die Kompostion in dieser Kategorie liefert die Transitivität der Ordnung <=. Aus a<= b und b<= c folgt nämlich a<= c. Das Assoziativitätsaxiom und das Identitätsaxiom sind beide erfüllt. (ii) Eine Gruppe G läßt sich auf folgende Weise als Kategorie auffassen: Wir haben ein einziges Objekt, das wir e nennen können. Wir setzen Mor(e,e)=G und die Gruppenverknüpfung definiert die Komposition der Morphismen. Es folgt leicht aus den Gruppenaxiomen, dass die Axiomen für eine Kategorie erfüllt sind. (iii) Sei \calK eine beliebige Kategorie und X ein festgewähltes Objekt. Die Objekte sind alle Pfeile A -> X, A\in ob(\calK). Ein Morphismus zwischen zwei Objekten A -> X und B -> X ist ein kommutatives Diagramm makro(b,\big\%1) Das heißt es sind alle Morphismen A -> B mit A -> B -> X = A -> X. Die Kategorie-Axiome sind wieder leicht zu prüfen. Das letzte Beispiel ist sehr wichtig für gewisse Konstruktionen in der Algebra. Es ist der Prototyp einer "Kategorie von Diagrammen". 2.1 Mehr über Funktoren / natürliche Transformationen makro(b,\big\%1) Zur Erinnerung: Ein b(Funktor) F:\calK -> \calC zwischen zwei Kategorieren ist eine Zuordnung von Objekten und Morphismen, derart, dass F(\id_X)=\id_(F(X)) für alle X\in ob(\calK) und entweder array( ) F(f\circ g)= F(f)\circ F(g) oder array( ) F(f\circ g)=F(g)\circ F(f) gilt. Im ersten Fall sprechen wir von kovarianten, im zweiten von kontravarianten Funktoren. Wenn im folgenden der Begriff Funktor fällt, so ist immer kovarianter Funktor gemeint. Nun folgt ein wichtiges b(2.2 Beispiel) Sei \calK eine beliebige Kategorie und X\in ob(\calK) ein beliebiges Objekt. Sei b(Set) die Kategorie der Mengen und den Mengenabbildungen. Dann definiert array( ) Mor(X,-) : \calK -> b(Set) einen kovarianten und array( ) Mor(-,X) : \calK -> b(Set) einen kontravarianten Funktor. Die Funktoren sind folgendermaßen zu verstehen: Mor(X,-)(A):=Mor(X,A) und für einen Morphismus f:A -> B in \calK ist Mor(X,f)(\phi) := f \circ \phi für alle \phi\in Mor(X,A), oder anders formuliert: array( ) Mor(X,-)(A -> B) : [X -> A] |-> [X -> A -> B], soll heißen: Ein Morphismus X -> A wird auf die Komposition X -> A -> B geschickt. Der kontravariante Funktor Mor(-,X) ist analog definiert. Im ersten Artikel sagte ich bereits, dass man eine Art "Funktor von Funktoren" definieren kann. Das ist der Begriff einer natürlichen Transformation: b(2.3 Definition) Seien \calK und \calC zwei Kategorien und F,G:\calK -> \calC zwei Funktoren. Dann heißt eine "Regel" \eta, die jedem Objekt A in \calK einen Morphismus \eta(A):F(A)->G(A) zuordnet, eine b(natürliche Transformation), wenn für alle Objekte A, B in \calK und alle Morphismen f:A -> B das Diagramm (2.4) makro(b,\big\%1) kommutiert. Wir schreiben \eta: F => G. b(2.5 Beispiel) (aus der linearen Algebra) Sei \calK=\calC die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper K. Man wähle zu jedem Vektorraum V eine geordnete Basis B_V. Diese Basis definiert für alle V einen Isomorphismus \f_V : V -> K^array(dim V), indem wir die geordnete Basis auf die kanonische geordnete Basis von K^array(dim V) schicken. Sei nun f:V -> W ein Vektorraumhomomorphismus, n:=dim V und m:=dim W und f_(V,W) : K^n -> K^m die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen B_V von V und B_W von W. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass dann das Diagramm makro(b,\big\%1) kommutiert. Kategoriell kann das so formuliert werden: Sei F : \calK -> \calC der identische Funktor. Sei G der Funktor, der durch G(V)=K^array(dim V) und G(f)=f_(V,W) für einen Homomorphismus f:V -> W definiert sei. Dann ist die Zuordnung \eta: V |-> \f_V eine natürliche Transformation. [Edit] 2.2 Die duale Kategorie makro(b,\big\%1) Es gibt einen formalen Trick, den man bei jeder Kategorie durchführen kann. Sei \calK eine Kategorie. Dann definieren wir die b(duale Kategorie) \calK^op (opposite category), in dem wir die Objekte von \calK beibehalten und die Morphismen so definieren, dass wir alle Pfeile umdrehen. Genauer: Wir setzen array( ) ob(\calK)=ob(\calK^op) und für alle Objekte A,B von \calK array( ) Mor_(\calK^op)(A,B):=Mor_(\calK)(B,A) Darüberhinaus ist die Komposition \squaredot in \calK^op definiert durch array( ) f \squaredot g := g \circ f und zwar dann, wenn dies sinnvoll ist, das heißt, wenn wir zum Beispiel f : A -> B und g : B -> C haben. Es gilt offensichtlich (\calK^op)^op=\calK. Wofür ist das gut? Nun, erstens ist das eine Abstrahierung dessen, was man oft bei Gruppenoperationen macht. Wenn man eine Linkswirkung einer Gruppe G auf einem Objekt X in irgendeiner Kategorie hat, das heißt, einen Homomorphismus G -> Aut(A), dann erhält man eine Rechtswirkung, in dem man den Homomorphismus G^op -> Aut(X) betrachtet. Dabei verstehen wir G als Kategorie im Sinne von Beispiel 2.1. Anstatt dies genauer zu machen, formuliere ich allgemeiner: b(2.6 Lemma) Seien \calK und \calL Kategorien und F:\calK -> \calL ein Funktor. Dann sind äquivalent: (i) Der Funktor F : \calK ->\calL ist kovariant. (ii) Der Funktor F^op : \calK^op -> \calL ist kontravariant. Dabei ist F^op definiert durch F^op(A)=A für alle Objekte A und F^op(A -> B):= F(B -> A) für alle Morphismen B -> A in \calK. array(Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Definition von \squaredot. \bigbox) Diese Konstruktion ist wichtig für das Yoneda-Lemma, das wir später behandeln. by Martin_Infinite [Edit] 2.3 Funktor-Kategorien Wir machen die folgende Beobachtung: Seien \calK und \calL Kategorien. Wir ignorieren erst einmal mengentheoretische Schwierigkeiten und definieren eine Klasse von "Objekten" ob(\calK^\calL) als die Klasse von Funktoren \calL -> \calK. Um eine Kategorie zu erhalten, definieren wir die Morphismen zwischen zwei Funktoren F,G:\calL -> \calK als die natürlichen Transformationen von F nach G. Diese benötigen eine Kompositionsabbildung. Seien \eta : F => G und \theta : G => H natürliche Transformationen. Dann definieren wir array(\theta \circ \eta :) F => H durch \theta\circ\eta(A) := \theta(A)\circ\eta(A) für alle Objekte A von \calL. array(Dies ist) sinnvoll, denn \eta(A)\in Mor_(\calK)(F(A),G(A)) und \theta(A)\in Mor_(\calK)(G(A),H(A)), somit kann man diese miteinander komponieren. Um zu sehen, dass \theta\circ \eta eine natürliche Transformation ist, fügen wir die entsprechenden Diagramme aus 2.4 für \theta und \eta aneinander makro(b,\big\%1) und sehen, dass das äußere Rechteck kommutiert, weil die beiden kleineren kommutieren. Zu jedem Funktor F:\calL->\calK gibt es die Identische Transformation array(\id_F :F=>F) und zwar setze man \id_F(A):\=id_(F(A))\in Mor_(\calK)(F(A),F(A)) für alle A\in ob(\calL). Dies zeigt insgesamt, dass alle Kategorienaxiome erfüllt sind. Es spricht also nichts dagegen, von der Kategorie \calK^\calL der Funktoren array(von \calL nach \calK zu) sprechen. Jedenfalls fast nichts. Denn wir hatten definiert, dass in einer Kategorie Mor(A,B) für alle Objekte A,B eine Menge__ ist. Im Allgemeinen ist die Klasse der Funktoren zwischen zweier Kategorien keine Menge und somit keine Kategorie im strengen Sinne. Da diese Konstruktion nützlich ist, erhält \calK^\calL den Namen \big\Funktor\-Kategorie\normal\. Die Funktor-Kategorie der kovarianten Funktoren definieren wir als \calK^(\calL^op). Es gibt Situationen, in denen Funktor-Kategorien doch Kategorien sind: b(2.7 Satz) Sei I eine kleine Kategorie, das heißt, die Klasse der Objekte ist eine Menge. Dann ist die Funktor-Kategorie \calK^I eine Kategorie. define(m,menge__) Beweis. Seien F,G : I -> \calK zwei Funktoren. Eine natürliche Transformation \eta:F =>G ist durch die Wahl von Morphismen \eta(A)\in\Mor_(\calK)(F(A),G(A)) festgelegt. Somit ist Mor(F,G) eine Teil\m von union(Mor(F(A),G(A)),A\in ob(I)). \bigbox by Martin_Infinite [Edit] 2.4 Das Yoneda-Lemma makro(b,\big\%1) Nun kommen wir zur ersten ernsthaften Aussage in diesem Artikel, bisher waren es lediglich Definitionen und leichte Folgerungen. Das Yoneda- Lemma beantwortet die Frage, in wie fern kleine Kategorien mit der Kategorie der Mengen zusammenhängt. Ein gewisser Zusammenhang ist zu erwarten, weil die Klasse der Objekte einer kleinen Kategorie eine Menge ist. Sei \calK eine beliebige Kategorie und \calC:=b(Set) die Kategorie der Mengen und Mengenabbildungen. Sei G : \calK -> \calC der Funktor Mor_(\calK)(A,\-) aus 2.2 für ein festes Objekt A\in ob(\calK). Sei F : \calK ->\calC ein beliebiger Funktor. Wähle ein festes a aus der Menge F(A) \(dies ist eine Menge, denn der Funktor F bildet in die Kategorie der Mengen ab). Wir definieren nun eine natürliche Transformation \eta^a : G => F auf folgende Weise. Für alle X\in ob(\calK) sei array( ) \eta^a(X) : G(X)=Mor_(\calK)(A,X) -> F(X); \xi |-> F(\xi)(a). Die Definition ist sinnvoll, denn wegen \xi:A->X ist F(\xi):F(A)->F(X). Um zu sehen, dass dies eine natürliche Transformation ist, müssen wir zeigen, dass das entsprechende Diagramm 2.4 kommutiert. Es gilt für alle f : X -> Y und \xi : A -> X: \align array(\eta^a(Y) \circ (G(f)(\xi)))=\eta^a(Y)(f \circ \xi) =F(f \circ \xi)(a) =F(f) \circ F(\xi)(a) =F(f) \circ \eta^a(X)(\xi) makro(b,\big\%1) Somit ist \eta^a eine natürliche Transformation. Das folgende Lemma ist die Kernaussage des Yoneda-Lemmas und besagt, dass alle natürlichen Transformationen G => F von dieser Form sind. b(2.8 Lemma) Sei F : \calK -> \calC=b(Set) ein Funktor und \eta : Mor(A,-) -> F eine natürliche Transformation für ein festes A \in ob(\calK). Dann existiert genau ein a \in F(A) mit \eta=\eta^a, nämlich a=\eta(A)(id_A). Beweis. Weil \eta eine natürliche Transformation ist, kommutiert für jedes X \in ob(\calK) und für alle \xi : A -> X das Diagramm (2.9) makro(b,\big\%1) Insbesondere gilt, wenn wir das Element id_A\in Mor(A,A) durch das Diagramm wandern lassen: \align \eta(X)(\xi)= \eta(X)(\xi \circ id_A) =\eta(X) \circ Mor(\xi,-)(id_A) =F(\xi)(\eta(A)(id_A)) =F(\xi)(a) makro(b,\big\%1) für a:=\eta(A)(id_A). Somit gilt \eta(X)(\xi)=\eta^a(X)(\xi), also insgesamt \eta = \eta^a. Dies beweist das Lemma. \bigbox b(2.10 Korollar) (Yoneda-Lemma) Sei I eine kleine Kategorie. Dann existiert ein vollständig-treuer Funktor I -> b(Set)^array(I^op). Der Satz besagt übersetzt, dass man eine kleine Kategorie I immer als eine volle Unterkategorie von b(Set)^array(I^op) betrachten kann. Dabei heißt eine Unterkategorie \calL von einer Kategorie \calK voll, wenn für alle Objekte A,B der Unterkategorie Mor_(\calL)(A,B)=Mor_(\calK)(A,B) gilt. by Martin_Infinite [Edit] 2.5 Universelle Objekte makro(b,\big\%1) Universelle Objekte sind sehr wichtige allgemeine Konstruktionen und tauchen oft (sehr unscheinbar) auf. Vor der Definition ein paar b(2.11 Beispiele) (i) In der Kategorie b(Set) betrachte man das Objekt \emptyset, die leere Menge. Für jede Menge A existiert genau eine Abbildung \emptyset -> A. Offensichtlich ist die leere Menge die einzige Menge von der zu jeder anderen Menge genau eine Abbildung existiert. Jetzt betrachten wir eine beliebige einelementige Menge {p}. Für jede Menge A existiert genau eine Abbildung A -> {p}. Die Menge {p} ist zwar nicht die einzige Menge mit dieser Eigen- schaft, aber alle anderen sind gleichmächtig dazu. \(leicht zu sehen, wird noch später allgemeiner bewiesen\). In der Kategorie der Mengen sind daher alle Mengen mit dieser Eigenschaft isomorph, denn in dieser Kategorie sind die Isomorphismen genau die Bijektionen. (ii) Wir betrachten die Kategorie der Gruppen. Sei 0 die triviale Gruppe. Dann gibt es zu jeder Gruppe G genau einen Homomorphismus G -> 0 und genau einen Homomorphismus 0 -> G. Analoges gilt auch für die Kategorien der Vektorräume, Moduln, abelsche Gruppen etc. b(2.12 Definition) Sei \calK eine Kategorie. Ein Objekt T heißt b(terminal), wenn für alle Objekte A genau ein Morphismus A -> T existiert, sprich: Mor_(\calK)(A,T) ist einelementig. Insbesondere gilt Mor_(\calK)(T,T)={id}, denn die Identität ist wegen der Axiome immer in dieser Menge. Ein Objekt I heißt b(initial), wenn für alle Objekte A genau ein Morphismus I -> A existiert, sprich: Mor_(\calK)(I,A) ist einelementig. Insbesondere gilt Mor_(\calK)(I,I)=menge(id_I). Initiale oder terminale Objekte heißen auch b(universell). Ein Objekt I ist genau dann initial in \calK, wenn es terminal in \calK^op ist. Umgekehrt ist T genau dann terminal in \calK, wenn es initial in \calK^op ist. Dies folgt unmittelbar aus den Definitionen. Universelle Objekte müssen natürlich nicht immer existieren. Universelle Objekte sind, sofern sie existieren, stets eindeutig bis auf Isomorphie. Ich demonstriere das am Beispiel von initialen Objekten. Für terminale Objekte dreht man einfach alle Objekte um \(das heißt, man arbeitet in der dualen Kategorie\). Seien also I und J initiale Objekte. Dann gibt es genau einen Morphismus f : I -> J und genau einen g : J -> I. Nun ist f \circ g: J -> I -> J \in Mor(J,J)=menge(id_J). Es folgt f \circ g=id_J. Analog zeigt man g \circ f=id_I. Somit sind f und g Isomorphismen, das heißt, I und J sind isomorph in der Kategorie \calK. In der Algebra \(nicht nur dort, z.B auch in der algebraischen Topologie\) wird diese Tatsache sehr oft benutzt: Es genügt zu zeigen, dass zwei spezielle Konstruktionen die selbe universelle Eigenschaft erfüllen, um eine Isomorphie zwischen ihnen zu haben. Außerdem passen universelle Eigenschaften sehr gut zum in der Mathematik allgegenwärtigen Motto: Sag mir welche Eigenschaft das Objekt hat und ich kann damit arbeiten. b(2.13 Beispiel) (Tensorprodukt) Seien A und B beliebige, fest vorgegebene abelsche Gruppen. Wir betrachten nun eine Kategorie, in der bilineare Abbildungen A \cross B -> C \(C durchläuft alle abelschen Gruppen\) die Objekte sind und ein Morphismus zwischen zwei bilinearen Abbildungen A \cross B -> C und A \cross B -> D bestehe aus einem Gruppenhomomorphismus C -> D derart, dass das Diagramm makro(b,\big\%1) kommutiert. Das universelle initiale Objekt, nennen wir, sofern es existiert, das b(Tensorprodukt) von A mit B und notieren es mit A \otimes B. Um es elementarer auszudrücken: Das Tensorprodukt A \otimes B \(eine abelsche Gruppe\) ist folgendermaßen charakterisiert: Es existiert eine bilineare Abbildung \phi : A \cross B -> A \otimes B, so dass zu jeder array(bilinearen Abbildung f :) A\cross B -> C genau ein Gruppenhomomorphismus__ g : A \otimes B -> C mit g \circ \phi = f existiert. Man sagt daher, das Tensorprodukt A \cross B sei universell für alle bilinearen Abbildungen auf A\cross B. Oder anders ausgedrückt: Die Homomorphismen auf A \otimes B klassifizieren die bilinearen Abbildungen auf A \cross B. Hier ist die Idee des Tensorproduktes versteckt: Es löst das Problem, bilineare Abbildungen (irgendwie) als Homomorphismen aufzufassen. Man kann das Tensorprodukt auf beliebige Faktoren A_1 \cross ... \cross A_n verallgemeinern \(dann betrachtet man multilineare Abbildungen\). Außerdem ist eine Verallgemeinerung in der Kategorie der R-Moduln möglich. \(Abelsche Gruppen kann man als \IZ-Moduln auffassen\). Darüberhinaus gibt es eine Konstruktion, die die Existenz des Tensorprodukts sichert. Man kann es als array( ) F(A \cross B)\/R definieren. Dabei ist F(A \cross B) die freie abelsche Gruppe über A \cross B und R ist die Untergruppe, die von den Elementen der Form array( ) (a+a',c)-(a,b)-(a',b) array( ) (a,b+b')-(a,b)-(a,b') array( ) (ka,b)- k(a,b) array( ) (a,kb)-k(a,b) erzeugt wird. ("Die bilinearen Relationen werden herausgeteilt"). Weil ich gerade zu faul bin, um die entsprechenden Diagramme abzutippen: b(2.14 Aufgabe) Man charakterisiere den Kern bzw Kokern eines Homomorphismus durch universelle Eigenschaften. Genauer: Man finde zu einem gegebenen Homomorphismus f : A -> B eine Kategorie, in der ker(f) terminal ist und eine Kategorie, in der coker(f) initial ist. by Martin_Infinite [Edit] 2.6 Produkte und Koprodukte makro(b,\big\%1) In vielen Kategorien kann man das direkte Produkt A \cross B bilden: Mengen, Vektorräume, Gruppen, Moduln. Doch was haben disjunkte Vereinigungen von Mengen mit direkten Summen zu tun? Es gibt eine gemeinsame kategorielle Beschreibung von diesen. b(2.15 Definition) Seien A_i, i\in\I Objekte einer Kategorie \calK. Es sei ein Objekt C mit Morphismen p_i : C -> A_i für alle i gegeben, so dass für alle Objekte D und Morphismen f_i : D -> A_i genau ein Morphismus f : D -> C existiert, so dass f_i = p_i \circ f gilt. Anders (sehr unpräzise) ausgedrückt: ((C, p_i))_(i \in I) ist terminal- universelles Objekt der Diagramm-Kategorie makro(b,\big\%1) Im Falle der Existenz von solch einem C und den Morphismen p_i nennen wir C das b(Produkt) der A_i und die p_i die b(Projektion) auf die i-te Komponente. Als universelles Objekt ist das Produkt eindeutig bis auf Isomorphie und wir setzen array( ) prod(A_i,i \in I) := C In den geläufigen Kategorien wie Mengen, Vektorräume etc. stimmt das Produkt mit dem kartesischen Produkt überein und die Projektionen des Produkts sind die üblichen mengentheoretischen Projektionen. Dual dazu definieren wir das b(Koprodukt): Es ist das Produkt in der dualen Kategorie und wir bezeichnen es als array( ) coprod(A_i,i \in I) Die Projektionen p_i : prod(A_i,i \in I) -> A_i drehen sich bei der Dualisierung um zu b(Inklusionen) \iota_i : A_i -> coprod(A_i, i \in I). Das Koprodukt ist also dadurch charakterisiert, dass zu allen Morhismen f_i : A_i -> D ein eindeutiger Morphismus f : coprod(A_i,i \in I) -> D existiert, so dass für alle i\in I das Diagramm makro(b,\big\%1) kommutiert. In der Kategorie der Mengen ist das Koprodukt die disjunkte Vereinigung. Bei Moduln, abelschen Gruppen und Vektorräumen ist es die direkte Summe. Bei Gruppen ist es das freie Produkt \(die Gruppe der Wörter in den jeweiligen Gruppen\). b(2.16 Aufgabe) Man finde Kategorien, in denen das Produkt bzw. das Koprodukt universelle Objekte sind. Tipp: Es sind Diagrammkategorien. by Martin_Infinite [Edit] An dieser Stelle möchte Ich diesen Artikel beenden. Ich hoffe, dass dieser Artikel euch gefallen hat. Zwar gibt es noch viele Dinge, von denen man schreiben könnte, vor allem tiefergehende Ergebnisse. Aber ich möchte es doch dabei belassen, weil es einerseits den Rahmen sprengen würde und andererseits der Artikel im Grundgedanken (wieder) als eine Einführung und Vorstellung von bestimmten Sprechweisen und Techniken gedacht ist. Zu guter Letzt möchte ich maddin für seine Hilfe danken. Er hat von sich aus den gesamten Text, den ich in LaTeX verfasst habe, gefeddet. Eine außergewöhnliche Leistung. Darüberhinaus hat er viele Korrekturen vorgenommen und inhaltlich einiges verbessert und hinzugefügt. Bis zum nächsten Mal. Zaos Artikel zur Kategorientheorie Teil 1: Kategorientheorie Teil 2: Kategorien und Diagrammjagd Teil 3: Ja Mono Epi Iso Teil 4: Universelle Eigenschaften Teil 5: Limites und Kolimites Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie by Martin_Infinite [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Kategorientheorie :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Mathematik : Kategorien (2) und Diagrammjagd [von Zaos]   Liebe Planetarier, Dieser Artikel ist einerseits als Fortsetzung des Artikels Kategorientheorie, in dem ich eine Einführung in die Sprache der Kategorien gab, gedacht. Andererseits will Ich ich eine Einführung in die Technik von Diagrammen und Sequenzen geben. Letztere sind sehr mächtige und effi ... [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Kategorien (2) und Diagrammjagd von: Martin_Infinite am: So. 27. März 2005 00:15:14

\(\begingroup\)Hi Zaos, mit diesem Artikel hast du mich definitiv angesteckt! So nach und nach sehe ich, dass Diagramme nicht einfach nur irgendwelche andere Darstellungsweisen von Gleichungen für Hintereinanderausführungen von Morphismen sind, sondern vieles vereinfachen und sehr schön veranschaulichen. Der Artikel hat mich auch dazu gebracht, Diagramme im fed zu ermöglichen. Dein Anliegen, bekannte Dinge neu zu entdecken, ist jedenfalls bei mir voll angekommen, und es ist richtig interessant! Also: Vielen Dank für diesen Artikel! Ich freue mich schon auf den nächsten Jetzt noch etwas Inhaltliches: In diesem Skript über algebraische Topologie findet man einen Beweis des Five-Lemmas. Allerdings wird es, wie immer (?), nur für abelsche Gruppen formuliert. Dabei muss man am Ende nur j(b)+c anstatt c+j(b) als Urbild nehmen, und schon muss man die Kommutativität (der Verknüpfung, nicht des Diagrammes ) nicht ausnutzen. Vielleicht bin ich ja der erste, dem das auffällt ... Aber du hast mir ja erzählt, dass es meist sowieso nur um abelsche Gruppen geht, oder soger allgemein abelsche Kategorien. \geoon x(0,10) y(0,2) e(400,80) nolabel() replace() form(.) noaxis() name(bild1) konst(k,0.15) konst(kk,0.5) makro(pfeil,c(%5)\ konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\ konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\ konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\ konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\ konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\ konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\ p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\ f(p2,p3,p4,%5)) print(O,1,2) print(A,3,2) print(B,5,2) print(C,7,2) print(O,9,2) print(A \oplus C,4.7,0.6) for(i,0,3,1,pfeil(1.3+i*2,1.85,2.8+i*2,1.85)) pfeil(3.2,1.6,4.8,0.7) pfeil(5.2,0.7,6.8,1.6) pfeil(5.05,1.6,5.05,0.7) print(\big\a,4,1.8) print(\big\b,5.9,1.8) print(a->(a,0),2.5,1.2) print((a,c)->c,6,1.2) print(array( )~=,4.9,1.5) \geooff \geoon x(-5,0) y(-4.5,-1) e(150,105) name(bild2) nolabel() replace() form(.) noaxis() konst(k,0.3) konst(kk,0.5) makro(pfeil,c(%5)\ konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\ konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\ konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\ konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\ konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\ konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\ p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\ f(p2,p3,p4,%5)) print(A,-4.5,-4) print(B,-0.5,-4) print(A,-2.5,-1) pfeil(-3.9,-4.3,-0.8,-4.3) pfeil(-4.2,-3.9,-2.6,-1.7) pfeil(-0.8,-3.9,-2.2,-1.7) print(\big\a,-2.7,-3.8) print(id,-4,-2.5) print(\big\g,-1.3,-2.5) \geooff \geoon x(-10,-5) y(-4.5,-1) e(150,105) name(bild3) nolabel() replace() form(.) noaxis() konst(k,0.3) konst(kk,0.5) makro(pfeil,c(%5)\ konst(a,%1) konst(b,%2) konst(c,%3) konst(d,%4)\ konst(l,sqrt((c-a)*(c-a)+(b-d)*(b-d))) konst(f,k/l)\ konst(u,c-f*(c-a+kk*(b-d)))\ konst(v,d-f*(d-b+kk*(c-a)))\ konst(uu,c-f*(c-a+kk*(-b+d)))\ konst(vv,d-f*(d-b+kk*(-c+a)))\ p(a,b,p1) p(c,d,p2) s(p1,p2) p(u,v,p3) p(uu,vv,p4)\ f(p2,p3,p4,%5)) print(B,-9.5,-4) print(C,-5.5,-4) print(C,-7.5,-1) pfeil(-8.9,-4.3,-5.8,-4.3) pfeil(-7.6,-1.7,-9.2,-3.9) pfeil(-7.2,-1.7,-5.8,-3.9) print(\big\b,-7.7,-3.8) print(\big\d,-9,-2.5) print(id,-6.3,-2.5) \geooff makro(t,bigop(\big\textrightarrow\normal,,,%1)) define(tr,\big\textrightarrow\normal) Und weil's mir so viel Spaß macht, noch etwas zu 1.9, genauer gesagt zum \big\Splitting Lemma\normal\: Es sei eine exakte Sequenz 0 \tr A t(\big\a) B t(\big\b) C \tr 0 gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: \ref(1) Es gibt einen zu \a linksinversen Homomorphismus. array( ) Man sagt auch, dass \a ein \big\Split\normal ist. \ref(2) Es gibt einen zu \b rechtsinversen Homomorphismus. array( ) Man sagt auch, dass \b eine \big\Retraktion\normal ist. \ref(3) Es besteht eine Isomorphie B ~= A \oplus C, sodass array( ) geoprint(bild1) kommutiert. Beweis: Exaktheit ergibt schon einmal, dass \a injektiv und \b surjektiv ist, sowie \b\a=1. \ref(3) => \ref(1), \ref(2): Es sei f : B -> A \oplus C ein Isomorphismus. Dann gibt es Epi- morphismen f_1 : B -> A , f_2 : B -> C mit f(b)=(f_1(b)\,f_2(b)). Wegen (a,0)=(f \a)(a)=(f_1(\a(a))\,f_2(\a(a))) ist f_1 ein zu \a linksinverser Homomorphismus. Analog ist f_2 ein zu \b rechtsinverser Homomorphismus. \ref(1) => \ref(3): Sei \g ein zu \a linksinverser Homomorphismus, d.h. array( ) geoprint(bild2) kommutiert. Wir zeigen zunächst, dass B die direkte Summe von Ker(\g) und Im(\a) ist: Für b \in Ker(\g) \cut Im(\a) gibt es ein a \in A mit b=\a(a). Es folgt a=(\g\a)(a)=\g(b)=0, also auch b=0. Daher haben Ker(\g), Im(\a) trivialen Schnitt. Ferner gilt für alle b\in\B: \g(b)=(\g\a)(\g(b)) =\g(\a(\g(b))), also b = (b-\a(\g(b)))+\a(\g(b)) \in Ker(\g) + Im(\a). Damit ist B=Ker(\g) \oplus Im(\a) gezeigt. Für b \in Ker(\g) \cut Ker(\b) gibt es wegen Im(\a)=Ker(\b) ein a \in A mit \a(a)=b. Daraus folgt 0=\g(b) =(\g\a)(a)=a, also a=0 und damit b=0. Daher ist \b \| Ker(\g) ein Isomorphismus von Ker(\g) auf \b(Ker(\g))=\b(Ker(\g))+(\b\a)(A) =\b(Ker(\g)+\a(A))=\b(B+Kern(\b))=\b(B)=C. Ferner ist \a ein Isomorphismus von A auf Im(\a), weil \a injektiv ist. Daraus folgt die Behauptung mittels B = Ker(\g) \oplus Im(\a) ~= C \oplus A ~= A \oplus C. \ref(2) => \ref(3): Sei \d ein zu \b rechtsinverser Homomorphismus, d.h. array( ) geoprint(bild3) kommutiert. Das bedeutet \b\d=id, sodass \b surjektiv und \d injektiv ist. Analog zu \ref(1) => \ref(3) kann man nun B=Ker(\b) \oplus Im(\d), Ker(\b) ~= A, Im(\d) ~= C zeigen, woraus die Behauptung folgt. array(array( ) \bigbox) Ist eine der Bedingungen des Splitting Lemmas erfüllt, nenne ich die Sequenz gespalten (besser engl.: split). Haben wir jetzt die Kategorie der Gruppen, so haben wir gesehen, weil Kerne ja stets Normalteiler sind, dass das B in einer gespaltenen kurzen exakten Sequenz ein semidirektes Produkt ist. Ist umgekehrt B ein semidirektes Produkt von gewissen Gruppen A,C, dann können wir C als Normalteiler von B auffassen und A \cut C = menge(1), AC = B annehmen. Sei \a: A -> B die Inklusion und \b: B -> C die Projektion. Dann gilt Ker(\a)=menge(0), Im(\a)=A=Ker(\b) und Im(\b)=C, sodass 0 \tr A t(\big\a) B t(\big\b) C \tr 0 exakt ist. Die Projektion von B auf A ist offenbar ein zu \a linksinverser Homomorphismus. Fassen wir zusammen: \frameon\Ein semidirektes Produkt ist dadurch charakterisiert, dass es in der \frameoff\Mitte einer kurzen exakten gespaltenen Sequenz steht. Bei Vektorräumen ist das anders \(Im Falle unendlicher Dimension muss man das Auswahlaxiom heranziehen\): Sei \a eine injektive lineare Abbildung V -> W zwischen K-Vektorräumen. Wähle eine Basis B von V aus. Dann ist \a(B) linear unabhängig, sodass W eine Basis C mit \a(b) \subseteq C besitzt. Definiere nun die lineare Abbildung \g : W -> V dadurch, dass die Basis- vektoren von C \\ \a(B) festgelassen werden, und der Basisvektor \a(b) auf b abgebildet wird, wobei B von b durchlaufen wird. Dann ist offenbar \g\a=id_V. Also sind injektive lineare Abbildungen bereits Splits! \frameon\Alle kurzen exakten Sequenzen von Vektorräumen über einen festen Körper sind gespalten! Insbesondere ist der mittlere Vektorraum zur direkten \frameoff\Summe der beiden äußeren Vektorräume isomorph. Das habe ich ausnahmsweise mal selbst rausgefunden Gilt vielleicht Analoges für freie Gruppen / Moduln? Gruß Martin\(\endgroup\)

Re: Kategorien (2) und Diagrammjagd von: Martin_Infinite am: Fr. 13. Mai 2005 01:47:35

\(\begingroup\)Die Gruppenaxiome lassen sich also nicht so gut "diagrammisieren", aber sehr wohl die Axiome einer Kategorie :D Kompositionsaxiom: Das Parallelogramm kommutiert (genau dann), wenn beide Teildreiecke kommutieren. Identitätsaxiom: Das Parallelogramm kommutiert.\(\endgroup\)