Mathematik: Hesse'sche Normalenform
Released by matroid on Mi. 11. Mai 2005 22:54:29 [Statistics]
Written by Gonzbert - 18365 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Lineare Algebra

\(\begingroup\)

Die Hesse'sche Normalenform

BildIn der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die Hesse'sche Normalenform. Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat den Abstand eines Punktes zu einem (n-1)-dimensionalen affinen Unterraum zu berechnen.

Abstand affiner Unterräume

Zunächst ein paar Formalitäten, wer diese nicht lesen möchte, kann sie auch beruhigt überspringen, denn sie sind für das weitere Verständnis nicht unbedingt nötig. Seien H_1=P_1+U_1 und H_2=P_2+U_2 affine Unterräume des \calA^n, wobei P_1 und P_2 Punkte sind und U_1 und U_2 Teilmengen des Translationsraumes T(\calA). Der Abstand der affinen Unterräume ist folgendermaßen definiert: Definition__: d(H_1,H_2) := inf menge(abs(PQ^>)|P\el\H_1, Q\el H_2). Mit anderen Worten ist der Abstand d(H_1, H_2) also das Infimum der Abstände zwischen Punkten der affinen Unterräume. Ohne Beweis möchte ich hier 2 Tatsachen angeben: \stress\(1)\normal\ Der Abstand zweier affiner Unterräume ist endlich. \stress\(2)\normal\ In je 2 affinen Unterräumen H_1 und H_2 gibt es 2 Punkte mit minimalem Abstand. Es ergibt sich also d(H_1, H_2)=inf menge(abs(PQ^>)|P\el\H_1, Q\el H_2) = d(P_0, Q_0) = abs((l_0)^>) mit (l_0)^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array((U_1+U_2)^array(\void\senkrechtauf)) array(P_1 P_2)^>. array(l_0)^> ist also die orthogonale Projektion des Vektors array(P_1 P_2)^> auf das orthogonale Komplement von U_1+U_2.

Die Hesse'sche Normalform

Die Hesse'sche Normalenform lernt man in der Schule normalerweise kennen, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene, also einer Hyperebene im \IR^3 zu berechnen. Dies kann man verallgemeinern für Hyperebenen im n-dimensionalen affinen Raum. Eine array(affine Hyperebene)__ H\subset\ \calA^n mit dim(H)=n-1 ist bestimmt durch die Lösungsmenge einer__ linearen Gleichung der Form sum(a_k*x_k,k=1,n)=b. \stress\(3)\normal\ \stress\(3)\normal\ ist eindeutig bestimmt bis auf einen konstanten Faktor. Betrachtet man den Koeffizientenvektor a^>=(a_1;...;a_n) kann man diesen normieren, also durch abs(a^>) teilen. OBdA ist nun abs(a^>)=1 und \stress\(3)\normal\ ist nun eindeutig bestimmt bis auf ein Vorzeichen. Man kann nun also wiederrum OBdA annehmen, dass b >= 0 ist. \blue Die Gleichung \stress\(3)\normal\ mit abs(a^>)=1 und b>=0 ist die array(Hesse'sche Normalenform)__ der Hyperebene H.

Abstandsberechnung mit der Hesse'schen Normalenform

Die Hyperebene H kann man sehr gut mit dem Normalenvektor a^> beherschen. Es ist dann nämlich: H=menge((1;x^>)| braket(a^>,x^>)=b). Die 1 bei (1;x^>) deutet lediglich an, das es sich um einen Punkt handelt, und nicht um einen Vektor. Dies ist nur Konvention, wobei Vektoren, also Elemente des Translationsraumes, eine führende 0 in der Koordinatenschreibweise bekommen. Man kann sich x^> auch als Ortsvektor zum Punkt x vorstellen. Für den Translationsraum der Hyperebene T(H) gilt nun: T(H)=U=menge((0;x^>)| braket(a^>,x^>)=0)=array(a^>)^array(\void\senkrechtauf). Jetzt kommt nun die eigentliche Abstandsberechnung. Sei Q\el\H und braket(a^>,x^>)=b die Hesse Normalform von H und P\el\calA^n. Dann gilt: \blue d(P,H)=abs(braket(a^>, QP^>)) für den Abstand des Punktes P von der Hyperebene H. \black array(Beweis:)__ Der ist nun ein Einzeiler. Nach Definition ist d(P,H)=abs(array(l_0)^>) mit array(l_0)^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array(U^array(\void\senkrechtauf)) QP^>=array(pr^array(\void\senkrechtauf))_array(\IR*a^>) QP^>=braket(a^>,QP^>)*a^>=> abs(array(l_0)^>)=abs(braket(a^>,QP^>)) \checked.

Folgerungen aus der Hesse'schen Normalenform

Mit der Hesse'schen Normalenform kann man nicht nur sehr einfach den Abstand zwischen einem Punkt und einer Hyperebene berechnen, es ergeben sich auch 3 offensichtliche Folgerungen: \stress\(1)\normal\ \darkblue Es ist P\el\H <=> d(P,H)=0 <=> QP^>\senkrechtauf a^> <=> QP^>\el array(a^>)^array(\void\senkrechtauf)=T(H). \black Mit anderen Worten ist der Verbindungsvektor des Punktes Q und des Punktes P schon im Translationsraum der Hyperebene enthalten, wenn P selbst in der Hyperebene liegt. \stress\(2)\normal\ \darkblue d(0,H)=abs(braket(a^>,Q0^>))=abs(braket(a^>,0^>)-braket(a^>,Q^>))=abs(0-b)=b. \black Um den Abstand des Nullpunktes von der Hyperebene zu berechnen ist also keinerlei Aufwand nötig, man kann ihn direkt in der Hesse Normalform ablesen. \stress\(3)\normal\ \darkblue Das Vorzeichen von braket(a^>,PQ^>) gibt an, auf welcher Seite von H der Punkt P liegt.
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Lineare Algebra :: Analytische Geometrie :: Hesse'sche Normalenform :: Interessierte Studenten :
Hesse'sche Normalenform [von Gonzbert]  
Die In der Schule lernt man schon Abstände zwischen Ebenen, Geraden und Punkten zu berechnen, und das häufigste Hilfsmittel ist wohl die . Ich möchte diese Normalenform auf n-dimensionale affine Räume verallgemeinern, womit man dann eine Möglichkeit hat
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 18365
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 1402 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2022.05 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://matheplanet.com20.1%0.1 %
https://google.com644.6%4.6 %
https://google.de19914.2%14.2 %
http://google.de84560.3%60.3 %
https://www.bing.com412.9%2.9 %
http://google.fr372.6%2.6 %
http://www.delta-search.com372.6%2.6 %
http://google.lu302.1%2.1 %
http://google.it211.5%1.5 %
https://google.ru141%1 %
https://www.ecosia.org151.1%1.1 %
https://duckduckgo.com120.9%0.9 %
http://www.ecosia.org80.6%0.6 %
http://r.duckduckgo.com30.2%0.2 %
http://google.com30.2%0.2 %
http://ecosia.org80.6%0.6 %
https://www.startpage.com20.1%0.1 %
http://www.bing.com342.4%2.4 %
https://de.search.yahoo.com20.1%0.1 %
http://google.at20.1%0.1 %
http://images.google.de10.1%0.1 %
http://de.search.yahoo.com40.3%0.3 %
http://suche.t-online.de40.3%0.3 %
http://search.conduit.com20.1%0.1 %
http://search.snapdo.com10.1%0.1 %
http://suche.aol.de20.1%0.1 %
http://search.babylon.com20.1%0.1 %
http://int.search.myway.com10.1%0.1 %
http://m.yahoo.com10.1%0.1 %
http://www.k9safesearch.com10.1%0.1 %
http://www.metager.de10.1%0.1 %
http://search.certified-toolbar.com10.1%0.1 %
http://search.zonealarm.com10.1%0.1 %
http://de.ask.com10.1%0.1 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 28 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2022.05.01-2022.05.22 (2x)https://matheplanet.com/
2022.05.01-2022.05.20 (26x)https://google.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 1271 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2017 (211x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2021-2022 (160x)https://google.de/
201207-07 (75x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was kann ich mit der hesse-normalform alles...
201211-11 (54x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=normalgleichung hyperebene
201201-01 (49x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CCIQFjAA
201205-05 (46x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=normalengleichung für dummies
201306-06 (44x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hessesche normalform hyperebene
2020-2022 (39x)https://www.bing.com/
2020-2022 (38x)https://google.com/
201206-06 (37x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=abstand punkt hyperebene
201210-10 (34x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hyperebenen hessesche normalenform
201303-04 (34x)http://www.delta-search.com/?q=abstand unterraum punkt&babsrc=NT_ss&s=web&rlz...
201301-01 (33x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie ist hessesche normalform der hyp...
2020-2021 (32x)https://google.de
201204-04 (30x)http://google.lu/search?q=Abstand in der hyperebene
201401-01 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hesse normalform einer hyperebene
2013-2015 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hessesche normalform
201305-05 (25x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was kann man mit der hesseschen normalform ...
201202-02 (25x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=orthogonale projektion hesse form
201307-07 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=orthogonalprojektion normalenform
201208-08 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hessesche normalform maple
201212-12 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hessische normalenform
201312-12 (21x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
201302-02 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=ie hesse´sche normalenform
201203-03 (21x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=orthogonal projektion mit hesse normalform
201506-06 (20x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hyperebene punkte
201304-04 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=o hesse’sche normalenform
202005-05 (14x)https://google.ru
2021-2022 (13x)https://www.ecosia.org/
2020-2022 (12x)https://duckduckgo.com/
201403-03 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=hessesche normalform mathe seite
201505-05 (11x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCAQFjAB
201303-03 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe forum hessesche normalform
201209-09 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=beweis hessesche normalenform
201312-12 (4x)http://www.ecosia.org/search?q=hessesche normalform&start=10

[Top of page]

"Mathematik: Hesse'sche Normalenform" | 4 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Hesse'sche Normalenform
von: matroid am: Do. 12. Mai 2005 20:50:02
\(\begingroup\)Hi Gonzbert, ein starkes Bild, ein gutes Thema und ein klarer Artikel. Mir gefällt er gut. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Hesse'sche Normalenform
von: lookias am: Fr. 13. Mai 2005 19:11:11
\(\begingroup\)hallo, kann mich auch an das thema aus lin alg 2 erinnern. ich wuerde gerne wissen wie du das bild gemacht hast. das ist im gegensatz zu denen die ich mit maple mache wirklich super gut. ich lese aus matroids antwort dass das nicht so einfach mit den standardprogrammen funktioniert, also was ist dein geheimnis? \(\endgroup\)
 

Re: Hesse'sche Normalenform
von: Gonzbert am: Fr. 13. Mai 2005 19:54:44
\(\begingroup\)Hi! Mein Geheimnis war die google-Bildersuche ;-). Ich kriege solche Bilder leider auch nicht so schön hin, deshalb hab ich mir ein fertiges besorgt, aber das Copyright ist ja noch dabei! :) Viele Grüße\(\endgroup\)
 

Re: Hesse'sche Normalenform
von: lookias am: Fr. 20. Mai 2005 18:18:45
\(\begingroup\)habe das geheimnis gelueftet... und zwar werden diese bilder mit einem 3d grafikdesign programm gemacht, welches sich povray schimpft, das programm ist fuer windows und voellig kostenlos, sieht mir wie c code aus, also wird alles per text gemacht, aber es gibt da solche makros und include files die speziel fuer geometrie darstellung gemacht sind. ist bestimmt eine einarbeitung wert bei dem resultat ;)\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]