Mathematik: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
Released by matroid on Di. 17. Mai 2005 19:25:34 [Statistics]
Written by Gockel - 11432 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)

Ana[rchie]

Was in den früheren Schuljahren einfach unter dem Thema "Funktionen" behandelt wird, nennt sich in der Oberstufe Analysis und ist meist das erste und umfassendste von den Themenbereichen der Mathematik, die zum Ende der Schullaufbahn und Beginn des Studiums behandelt werden. Eben weil dies ein so umfangreiches, anspruchsvolles und manchmal auch problematisches Thema ist, möchte ich den MP und seine Besucher/Bewohner mit einer Artikel-Reihe zum Thema Analysis für Oberstufen-Schüler bereichern.

Teil I: Folgen Sie mir!

Wir werden dabei so vorgehen, wie es in den meisten Lehrplänen der Oberstufe gemacht wird. Im ersten Teil wollen wir uns deshalb den so genannten Zahlenfolgen und der Grenzwertbetrachtung widmen, da diese die Basis der heutigen Analysis darstellen (nicht nur in der Schule).

Folgen an sich

Folgen? Wofür zum Teufel brauche ich das? wird sich der ein oder andere vielleicht denken (okay, das denkt sich meiner Erfahrung nach die Mehrheit der Schüler eines Mathekurses :D) Ehrlich gesagt: Ich weiß keine bessere Antwort als Ihr braucht es halt, um den Rest zu verstehen. Aber schwafeln wir nicht: Stürzen wir uns ins Geschehen! Was ist eine Folge? Nun vor allem ist es erstmal eine Abfolge von Objekte jeglicher Art. In der Schule sind das fast immer reelle Zahlen. Um etwas formaler zu werden: Eine Funktion \IN->\IR wird \darkblue\ Zahlenfolge__\black genannt. Notiert wird das sehr häufig als (an). Hierbei ist a einfach der Name der Folge. Das n drückt aus, dass n hier die Variable (das Funktionsargument) ist, die die natürlichen Zahlen durchläuft. Das Element der Zahlenfolge an n-ter Stelle wird dann als an geschrieben. (Achtung: Man muss zwischen der Folge als gesamtes (an) und einem einzelnen Element an unterschieden) Zur Anschauung fehlen also nur noch ein paar Beispiele: \geo ebene(500,200) x(0,10) y(1,3) nolabel() color(red) punkt(0,3) print(a_0,0.2,2.97) punkt(1,1.5) print(a_1,1.2,1.47) punkt(2,2.25) print(a_2,2.2,2.25) punkt(3,1.875) print(a_3,3.2,1.84) punkt(4,2.0625) print(a_4,4.2,2.03) punkt(5,1.96875) print(a_5,5.2,1.93) punkt(6,2.015625) print(a_6,6.2,1.98) punkt(7,1.9921875) print(a_7,7.2,1.96) punkt(8,2.00390625) print(a_8,8.2,1.97) punkt(9,1.998046875) print(a_9,9.2,1.97) print(a_n=2+(-1/2)^n,8,3) \geooff \geoprint() Und hier noch eins: \geo ebene(500,200) x(0,5.2) y(-1,4) nolabel() color(red) punkt(0,0.1) print(a_0,0.1,0) punkt(1,0.2) print(a_1,1.1,0.1) punkt(2,0.4) print(a_2,2.1,0.3) punkt(3,0.8) print(a_3,3.1,0.7) punkt(4,1.6) print(a_4,4.1,1.5) punkt(5,3.2) print(a_5,5.1,3.1) print(a_n=1/5*2^(n-1),4.3,4.1) \geooff \geoprint() Dabei kann man Zahlenfolgen natürlich auch Eigenschaften zuordnen, die andere Funktionen auch besitzen können. Eine Zahlenfolge kann zum Beispiel array(\darkblue\ monoton steigend \(fallend\))__\black sein. Formal heißt das: Die Zahlenfolge ((a_n)) heißt monoton steigend (bzw. fallend), wenn für na_m) gilt. Anschaulich formuliert: Wenn m weiter rechts auf der x-Achse als n ist, dann muss a_m auch weiter oben (respektive unten) sein als a_n, damit \(a_n\.\) monoton steigend (fallend) ist. Aber wie bei Funktion gilt auch für Folgen: eine Zahlenfolge muss weder monoton steigend noch fallend sein. \(Anmerkung: Man unterscheidet manchmal streng monoton steigend\/fallend und nur monoton steigend\/fallend. Die strenge Version meint dabei das, was ich geschrieben hab, während bei "einfacher" Monotonie a_n<=a_m \(bzw. a_n>=a_m\.\) zugelassen ist.\) Auch Begriffe wie Beschränktheit, die vielleicht schon bekannt sind, lassen sich übertragen: Eine Folge heißt array(\darkblue\ nach oben bzw. unten beschränkt)__\black||, wenn es eine Zahl s\el\IR gibt mit a_n<=s bzw. a_n>=s für alle n. Ist eine Folge nach oben und unten beschränkt, sagt man kürzer auch einfach nur, die Folge sei \darkblue\ beschränkt__\black||.

Grenzwerte von Folgen

Mit Folgen direkt verbunden sind die Grenzwerte. Sie treten überall dort auf, wo man über jede Beschränkung hinaus will, wenn man z.B. einen Vorgang im Gedankenexperiment "unendlich oft" wiederholt oder zwei Punkte "beliebig dicht" aneinander kommen lassen will. Für Folgen werden nur Grenzwerte betrachtet, bei denen man das n gegen unendlich gehen lässt. Anschaulich ist ein Grenzwert ein Wert, an den sich die Folge "in der Unendlichkeit" annähert, also zu dem der Abstand beliebig gering wird bei wachsendem n. Um das formalisieren zu können, benutzt man die so genannten Epsilon-Umgebungen. Eine \e\-Umgebung von g ist dabei ein Bereich um eine reelle Zahl g. Speziell der Bereich von g-\e bis g+\e ist damit gemeint. \(Übrigens wird hier die bekannte Konvention getroffen, dass mit \e in der Analysis meistens array(beliebige positive reelle)__ Zahlen gemeint sind.\) Zwei \e\-Umgebungen für die erste Beispielfolge: hier ist g=2 gewählt (rote Linie). Der breitere Streifen stellt die 0.2\-Umgebung, der dünnere die 0.05\-Umgebung von g dar. \geo ebene(500,200) x(-0.2,10) y(1,3) nolabel() print(1,-0.2,1.1) print(2,-0.2,2) print(3,-0.2,3) color(99ffcc) punkt(0,1.8,q1,hide) punkt(0,2.2,q2,hide) punkt(11,1.8,q3,hide) punkt(11,2.2,q4,hide) strecke(q1,q2) strecke(q1,q3) strecke(q3,q4) strecke(q2,q4) fill(1,2,99ffcc) color(33ff66) punkt(0,1.95,r1,hide) punkt(0,2.05,r2,hide) punkt(11,1.95,r3,hide) punkt(11,2.05,r4,hide) strecke(r1,r2) strecke(r1,r3) strecke(r3,r4) strecke(r2,r4) fill(1,2,33ff66) color(red) punkt(0,2,a1,hide) punkt(3,2,a2,hide) strahl(a1,a2) punkt(0,3) print(a_0,0.2,2.97) punkt(1,1.5) print(a_1,1.2,1.47) punkt(2,2.25) print(a_2,2.2,2.25) punkt(3,1.875) print(a_3,3.2,1.84) punkt(4,2.0625) print(a_4,4.2,2.03) punkt(5,1.96875) print(a_5,5.2,1.93) punkt(6,2.015625) print(a_6,6.2,1.98) punkt(7,1.9921875) print(a_7,7.2,1.96) punkt(8,2.00390625) print(a_8,8.2,1.97) punkt(9,1.998046875) print(a_9,9.2,1.97) print(a_n=2+(-1/2)^n,8,3) \geooff \geoprint() Hier ist sehr schön das Konzept des Annäherns für wachsendes n zu sehen: Für \e=0.2 liegen alle a_n für n>=3 innerhalb der \e\-Umgebung. Bei \e=0.05 ist der Schwellenwert n>=5, wie man sieht (oder sich berechnen kann). Andersrum kann man an der zweiten Beispielfolge erkennen, dass diese keinen Grenzwert besitzt, denn von jeder Zahl, die wir für einen Grenzwert halten könnten, entfernen sich die nächsten Folgenglieder immer weiter, anstatt sich anzunähern. Mit diesem Konzept kann man nun den Begriff des array(\darkblue\ Grenzwert)__\black\ es definieren: Eine reelle Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge ((a_n)), wenn es für jedes \e>0 eine natürliche Zahl n_0 gibt, so dass alle a_n mit n>=n_0 in der \e\-Umgebung von g liegen. Oder in Formeln: \forall\e>0: \exists n_0\el\IN: n>=n_0 => abs(g-a_n)<\e Hier hilft die Anschauung sehr stark weiter: Die \e\-Umgebungen des Grenzwertes kann man sich wie in der Darstellung als Streifen vorstellen. Wenn für jeden - noch so schmalen - dieser Streifen um die Zahl g, die Folge ab einem n_0 innerhalb der jeweiligen \epsilon\-Umgebung liegt, so muss sich die Folge unweigerlich an diese Zahl g beliebig dicht annähern, denn wir können die \e-Umgebungen ja beliebig verschmälern. g muss also der gesuchte Grenzwert sein. Die Schreibweise, die hierfür verwendet wird, ist der \darkblue\ Limes__\black||. Exisitiert ein solcher Grenzwert g, dann schreibt man: lim(n->\inf,a_n)=g. Man spricht in diesem Fall auch von \darkblue\ Konvergenz__\black und sagt, die Folge (a_n) array(\darkblue\ konvergiert gegen g)__\black||. Existiert der Grenzwert nicht, heißt das dann \darkblue\ Divergenz__\black und man sagt, die Folge (a_n) \darkblue\ divergiert__\black||. Bei Divergenz unterscheidet man noch zwei besondere Fälle. Zum einen, dass a_n beliebig groß wird für wachsende n. Dann schreibt man auch lim(n->\inf,a_n)=\inf. Wird a_n für wachsendes n beliebig klein, schreibt man lim(n->\inf,a_n)=-\inf. Das sind allerdings nur Schreibweisen. Das deutet weder an, dass die Folgen in irgendeinem Sinne mit konvergierenden Folgen vergleichbar sind, noch dass man mit diesem \inf in irgendeinem Sinne rechnen könnte. Die \inf-Zeichen sind eher als "beliebig groß" bzw. "beliebig klein" zu verstehen, aber keinesfalls als Zahlen. Insbesondere sind beliebte Dinge wie 1/\inf=0 schlichtweg falsch, da \inf nichts ist, womit man rechnen kann. \big\darkgreen\ Beispiele__: Einige Folgen und ihre Grenzwerte sollten immer im Hinterkopf vorhanden sein. Am einfachsten sind dabei die konstanten Folgen: a_n=a $ $ (a\el\IR) lim(n->\inf,a_n)=a Auch wichtig sind die \darkblue\ Nullfolgen__\black||, deren Grenzwert 0 ist. Bekannt sollten folgende Nullfolgen sein: a_n=c/n^k $ $ (c\el\IR, k\el\IR_>0) lim(n->\inf,a_n)=0 (wie gesagt, sind dies ja Nullfolgen) a_n=q^n $ $ (q\el\IR und abs(q)<1) lim(n->\inf,a_n)=0 Eine sehr häufig vorkommende Folge ist diese hier: a_n=(1+c/n)^n $ $ (c\el\IR) lim(n->\inf,a_n)=exp(c) Durch Substitution \(d.h. Ersetzen\) von n=1/m ergibt sich eine andere Schreibweise dieses Grenzwertes und dieser Folge: a_m=(1+cm)^(1/m) $ $ (c\el\IR) lim(m->0,a_m)=exp(c)

Weitere Grenzwerte

Neben Grenzwerten für Zahlenfolgen \(also Funktionen \IN->\IR\) sind Grenzwerte für beliebige Funktionen \IR->\IR in der Analysis wichtig. Dabei treten allerdings viele Neuerungen auf: Die noch unbedeutendste ist die Rückkehr zur gewohnten Schreibweise für Funktionen. Wir schreiben wieder f(x) anstelle von (a_n). Viel wichtiger ist, dass wir die Grenzwerte nun unterscheiden müssen, da wir x nicht nur gegen \inf sondern auch gegen -\inf und sogar gegen bestimmte reelle Zahlen laufen lassen können. Anschaulich bleibt aber gleich, dass wir uns bei der Grenzwertbetrachtung wieder eine Annäherung vorstellen müssen.

Grenzwerte gegen eine reelle Zahl

Für den ersten Fall nutzen wir unser Wissen über Zahlenfolgen und deren Grenzwerte aus. Um jetzt den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a\el\IR zu untersuchen, betrachten wir Folgen \(x_n\.\), deren Glieder x_n alle im Definitionsbereich (gegebenenfalls ausgenommen a) von f liegen und lim(n->\inf,x_n)=a erfüllen. Ausgehend von diesen konstruieren wir zu jeder Folge \(x_n\.\) eine Folge \(f_n\.\) mit f_n=f(x_n). Anschaulich bedeutet das, dass wir uns Punkte aus dem Definitionsbereich von f nehmen (eine Folge x_n) und so auf dem Graph von f entlang immer dichter an die Stelle a heranrücken. Jede Folge \(x_n\.\) beschreibt dabei eine andere Art der Annäherung, da andere Folgenglieder x_n auch andere Punkte auf dem Graph von f beschreiben. Wir können es uns an dieser Funktion mal verdeutlichen: \geo ebene(500,250) x(-4,4) y(0,1) plot(exp(-x^2/4),f) print(f(x)=exp(-x^2/4),-0.5,0.5) print(a=0,-0.1,0.3) nolabel() color(990000) punkt(f,4) punkt(f,2) punkt(f,1) punkt(f,0.5) punkt(f,0.25) punkt(f,0.125) punkt(f,0.0625) punkt(f,0.03125) punkt(f,0.015625) print(\darkred\ x_n=(1/2)^(n-2),2.5,1) color(000099) punkt(f,-3) punkt(f,-2.25) punkt(f,-1.6875) punkt(f,-1.265625) punkt(f,-0.949218) punkt(f,-0.711914) punkt(f,-0.533935) punkt(f,-0.400451) punkt(f,-0.300338) punkt(f,-0.225254) punkt(f,-0.168940) punkt(f,-0.126705) punkt(f,-0.095029) punkt(f,-0.071272) punkt(f,-0.053454) punkt(f,-0.040090) punkt(f,-0.030068) punkt(f,-0.022551) punkt(f,-0.016913) print(\darkblue\ x_n=3*(3/4)^n,-4,1) \geooff \geoprint() Existiert für jede der Folgen \(x_n\.\) der Grenzwert der zugehörigen Folge \(f_n\.\) und stimmen alle__ diese Grenzwerte überein, so wird diese Zahl als array(\darkblue\ Grenzwert der Funktion an der Stelle a)__\black bezeichnet und als lim(x->a,f(x)) notiert. Wichtig ist, dass für die Existenz des Grenzwertes alle Einzelgrenzwerte übereinstimmen müssen. Das sieht man auch ein, denn jede Folge \(x_n\.\) beschreibt eine andere Art sich auf dem Graph von f der Stelle a anzunähern. Wenn man auf jedem "Annäherungsweg" zum selben Wert kommt, dann ist das der Grenzwert der Funktion. Auch hier werden zwei Spezialfälle besonders behandelt: Gilt für alle \(f_n\.\) lim(n->a,f_n)=+-\inf, dann setzt man auch lim(x->a,f(x)=+-\inf. Falls das Verhalten der \(f_n\.\) aber irgendwie uneinheitlich ist, also z.B. einige konvergieren und andere divergieren oder einige gegen +\inf und andere gegen -\inf gehen, so ist lim(x->a,f(x)) undefiniert.

Rechts- und Linksseitige Grenzwerte

Bisher haben wir jede beliebige Art der Annäherung an die Stelle a zugelassen. Manchmal macht es aber auch Sinn, nur den Bereich x>a bzw. x a für alle n linksseitig: x_n < a für alle n Die Grenzwerte existieren auch hier nur dann, wenn die zugehörigen Folgen \(f_n\.\) einheitlich gegen dieselbe reelle Zahl konvergieren. Gehen sie einheitlich gegen +\inf oder -\inf, setzt man auch den entsprechenden Grenzwert gleich +\inf bzw. -\inf. Auch hier wieder ein Beispiel zur besseren Vorstellung: \geo ebene(500,250) x(-4,4) y(-2,2) nolabel() punkt(-1,-1,a1,hide) punkt( 0,-1,a2,hide) punkt( 0, 1,a4,hide) punkt( 1, 1,a5,hide) strahl(a2,a1) strahl(a4,a5) print(f(x)=sgn(x)=x/abs(x),1,-0.8) color(990000) punkt(4,1) punkt(2,1) punkt(1,1) punkt(0.5,1) punkt(0.25,1) punkt(0.125,1) punkt(0.0625,1) punkt(0.03125,1) print(\darkred\ x_n=(1/2)^(n-2),2.5,2) color(000099) punkt(-4,-1) punkt(-2,-1) punkt(-1,-1) punkt(-0.5,-1) punkt(-0.25,-1) punkt(-0.125,-1) punkt(-0.0625,-1) punkt(-0.03125,-1) print(\darkblue\ x_n=-(1/2)^(n-2),-4,-1.4) \geooff \geoprint() Der rechtsseitige Grenzwert ist offensichtlich +1, während der linksseitige -1 ist. Da man sich auf den Bereich rechts bzw. links von a beschränkt, wird ein rechtsseitiger Grenzwert als lim(x->a; x>a,f(x)) und ein linksseitiger als lim(x->a; xa,f(x)), dann existieren auch rechts- und linksseitiger Grenzwert und es gilt lim(x->a; x>a,f(x))=lim(x->a; xa,f(x)).

Grenzwerte gegen Unendlich

Ähnlich zu den Folgen können wir auch für Funktionen Untersuchungen anstellen, wie sie sich im Unendlichen verhalten. Dazu gehen wir analog zu den Grenzwerten gegen eine reelle Zahl vor, indem wir Folgen \(x_n\.\) betrachten und mit deren Hilfe die Folgen \(f_n\.\) konstruieren. Einiziger Unterschied ist, dass lim(n->\inf,x_n)=\inf sein muss, da wir ja das Verhalten im Unendlichen untersuchen wollen. Auch hier gilt: Existieren alle Grenzwerte der \(f_n\.\) und stimmen sie alle überein, so ist dieser Wert der Grenzwert von f(x) für x gegen \inf. Notiert wird das konsequenterweise mit lim(x->\inf,f(x)). Ebenso analog werden wieder die beiden Divergenz\-Fälle definiert. Wenn für alle \(f_n\.\) gilt lim(n->\inf,f_n)=+-\inf, dann setzt man wie gehabt auch lim(x->\inf,f(x))=+-\inf. Ganz genauso funktionieren die Grenzwerte für x->-\inf, nur dass lim(n->-\inf,x_n)=-\inf gelten muss. \geo ebene(500,250) x(0,10) y(0,5) nolabel() plot(5*exp(-x/2),f) print(f(x)=5*exp(-x/2),8,5) color(990000) punkt(f,0) punkt(f,1) punkt(f,2) punkt(f,3) punkt(f,4) punkt(f,5) punkt(f,6) punkt(f,7) punkt(f,8) punkt(f,9) punkt(f,10) print(\darkred\ x_n=n,8,4) \geooff \geoprint() Im Unterschied zu Grenzwerten gegen eine reelle Zahl macht es offensichtlich keinen Sinn, bei Grenzwerten gegen unendlich zwischen rechts- und linksseitiger Annäherung zu unterscheiden. Ganz einfach, weil es nichts gibt, was "rechts neben \inf||" oder "links neben -\inf||" liegt. Wobei auf die Anführungszeichen Wert gelegt werden sollte. +-\inf sind keine__ Zahlen, mit denen man rechnen oder die man irgendwie in Verbindung mit "größer als" und "kleiner als" bringen kann! \(Beliebte Sachen wie "Sei 0<=n<\inf||" sind demzufolge zwar falsch, haben sich leider aber eingebürgert.\) \big\darkgreen\ Beispiele__: Auch zu Grenzwerten von Funktionen sollte man ein paar Standardgrenzwerte parat haben, als da z.B. wären: lim(x->+-\inf,c/x^k)=0 $ $ (c\el\IR, k\el\IR_>0) lim(x->-\inf,exp(cx))=0 $ $ $ lim(x->\inf,exp(cx))=\inf $ $ (c\el\IR_>0) lim(x->\inf,x^n/exp(x))=0 lim(x->0,sin(x)/x)=1 lim(x->0,(cos(x)-1)/x)=0

Die Grenzwertsätze

Okay wir haben nun eine Vorstellung, was Grenzwerte von Folgen und Funktionen sind. Aber das Bestimmen von Grenzwerten fällt uns doch relativ schwer, da die Definition mit dem Epsilon zwar sehr anschaulich, aber unhandlich ist. Sie eignet sich nur, wenn man schon eine Vermutung über den Grenzwert g hat und diesen nur mit der Definition bestätigen will. Und selbst das nur in einfachen Fällen. Nützlich wären also Sätze, die es uns erlauben, Grenzwerte direkter zu berechnen. Dazu gibt es die so genannten Grenzwertsätze: Sind \(a_n\.\) und \(b_n\.\) konvergente Folgen, so gilt: \darkred lim(n->\inf,(a_n+-b_n))=lim(n->\inf,a_n)+-lim(n->\inf,b_n) \darkred lim(n->\inf,(a_n*b_n))=lim(n->\inf,a_n)*lim(n->\inf,b_n) \darkred lim(n->\inf,a_n/b_n)=lim(n->\inf,a_n)/lim(n->\inf,b_n) $ $ \(falls lim(n->\inf,b_n)!=0 ist\) Die Richtigkeit dieser Sätze wird anschaulich sehr schnell deutlich: Wenn \(a_n\.\) und \(b_n\.\) Grenzwerte - nennen wir sie der Einfachheit halber a bzw. b - haben, dann nähern sich die Folgenglieder beliebig dicht an diese Werte an. Und wenn die a_n beliebig dicht an a sowie die b_n beliebig dicht an b herankommen, dann müssen die Glieder der Folge \(a_n+b_n\.\) auch beliebig dicht an a+b herankommen. Genauso schnell macht man sich die Gültigkeit der anderen Sätze klar. Natürlich kann man sie aber auch formell beweisen. Mit Hilfe der Grenzwertdefinition geht das auch vergleichsweise schnell \(Hier einmal am Beispiel des Grenzwertsatzes der Addition\): Sei lim(n->\inf,a_n)=a und lim(n->\inf,b_n)=b. Wir wollen zeigen, dass a+-b der Grenzwert der Folge \(a_n+-b_n\.\) ist, dazu betrachten wir den Ausdruck abs((a_n+-b_n)-(a+-b))=abs((a_n-a)+-(b_n-b))<=abs(a_n-a)+abs(b_n-b) Dass die letzte Umformung erlaubt ist, folgt aus der Ungleichung $ $ abs(x+y)<=abs(x)+abs(y), die für alle reellen Zahlen gültig ist, wie man sich leicht überzeugen kann. Da aufgrund der Voraussetzung, dass \(a_n\.\) und \(b_n\.\) konvergieren, abs(a_n-a) und abs(b_n-b) beliebig klein werden können für wachsendes n, kann auch ihre Summe beliebig klein werden. Also ist die gesuchte Ungleichung abs((a_b+-b_n)-(a+-b))<\epsilon für alle \epsilon>0 erfüllt, a+-b ist also der gesuchte Grenzwert. Die andern beiden Sätze sind etwas vertrackter, aber ebenfalls machbar. Das Tolle an diesen Sätzen ist: Da Grenzwerte von Funktionen über Folgen von Funktionswerten definiert wurden, übertragen sich die Grenzwertsätze von Folgen direkt auf Grenzwerte von Funktionen (hier sei a\el\IR oder +-\inf): \darkred lim(x->a,(f(x)+-g(x)))=lim(x->a,f(x))+-lim(x->a,g(x)) \darkred lim(x->a,(f(x)*g(x)))=lim(x->a,f(x))*lim(x->a,g(x)) \darkred lim(x->a,f(x)/g(x))=lim(x->a,f(x))/lim(x->a,g(x)) $ $ \(falls lim(x->a,g(x))!=0 ist\) Voraussetzung ist natürlich auch hier, dass die Grenzwerte lim(x->a,f(x)) und lim(x->a,g(x)) auch existieren. Wie man sich leicht überlegt, gelten die Grenzwertsätze auch, wenn man nur rechts\- bzw. linksseitige Grenzwerte betrachtet statt der hier aufgeführten beidseitigen.

Anwendungsbeispiele

Widmen wir uns doch mal ein paar Anwendungen für die Grenzwerte: So können wir unsere Beispielfolgen und -Funktionen sehr schnell auf Konvergenz prüfen: array(1.Beispiel)__: a_n=2+(-1/2)^n Es gilt nach den Grenzwertsätzen: lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,2)+lim(n->\inf,(-1/2)^n)=2+0=2 lim(n->\inf,(-1/2)^n)=0 ist dabei die Anwendung der Regel lim(n->\inf,q^n)=0 für abs(q)<1. Das Ergebnis, das wir also bereits bei Einführung der \epsilon\-Definition ermittelt hatten, lässt sich auch mit den Grenzwertsätzen bestätigen. array(2.Beispiel)__: f(x)=5*exp(-x/2) lim(x->\inf,f(x))=lim(x->\inf,5)*lim(x->\inf,exp(-1/2*x))=5*0=0 Auch dieses Ergebnis konnten wir bereits an der Darstellung des Funktionsgraphen erkennen und hiermit auch formell bestätigen. array(3.Beispiel)__: Die Grenzwertsätze ermöglichen uns auch die Behandlung komplexerer Funktionen, wie dieser z.B.: f(x)=(x^3+4x^2-5)/(1/3*x^3-3*x+17) lim(x->+-\inf,f(x))=lim(x->+-\inf,(x^3(1+4/x-5/x^3))/(x^3(1/3-3/x^2+17/x^3)))=lim(x->+-\inf,(1+4/x-5/x^3)/(1/3-3/x^2+17/x^3)) =lim(x->+-\inf,(1+4/x-5/x^3))/lim(x->+-\inf,(1/3-3/x^2+17/x^3))=(lim(x->+-\inf,1)+lim(x->+-\inf,4/x)-lim(x->+-\inf,5/x^3))/(lim(x->+-\inf,1/3)-lim(x->+-\inf,3/x^2)+lim(x->+-\inf,17/x^3)) =(1+0-0)/(1/3-0+0)=3

Stetigkeit

Ein Spezialfall ist es, wenn der Grenzwert lim(x->a,f(x)) für a\el\IR existiert und dann auch mit f(a) übereinstimmt \(vorausgesetzt, dass a im Definitionsbereich von f liegt\) Tritt dieser Fall auf, so spricht man davon, dass f array(\darkblue\ an der Stelle a stetig)__\black ist. Ist eine Funktion für jede Stelle ihres Definitionsbereichs stetig, so sagt man kürzer auch einfach nur sie sei \darkblue\ stetig__\black||. Stetigkeit heißt also insbesondere, dass man Grenzwertbildung und Funktionswertermittlung vertauschen kann: lim(n->\inf,f(x_n))=f(lim(n->\inf,x_n)) Das nutzt man bei einigen Umformungen zur Ermittlung von Grenzwerten aus. Anschaulich ist eine stetige Funktion nichts anderes als eine Funktion, deren Graph sich "in einem Zug" zeichnen lässt, also keine Sprünge aufweist. Ein Beispiel für eine stetige Funktion ist die Betragsfunktion: \geo ebene(400,266) x(-3,3) y(-1,3) plot(abs(x)) print(f(x)=abs(x)=fdef(x,x>=0;-x,x<0),0.1,-0.1) \geooff \geoprint() Ein unstetige Funktion ist z.B. die Signum\-Funktion, die wir weiter oben schon hatten: \geo ebene(400,200) x(-4,4) y(-2,2) nolabel() punktform(of) punkt(0,0,O) punktform(o) punkt(0,1,p1) punkt(1,1,p2,hide) strahl(p1,p2) punkt(0,-1,q1) punkt(-1,-1,q2,hide) strahl(q1,q2) print(f(x)=sgn(x)=fdef(1,x>0;0,x=0;-1,x<0),0.1,-0.1) \geooff \geoprint() Diese kann man offensichtlich nicht in einem Zug zeichnen, weil an der Stelle 0 ein Sprung auftritt. Dort ist auch die Bedingung verletzt, dass der Grenzwert existieren und mit dem Funktionswert übereinstimmen muss. Problematisch wirds bei Definitionslücken... manchmal sagt man, dass diese keine Unstetigkeitsstellen seien, weil sie ja nicht zum Definitionsbereich dazugehören, oft zählt man sie aber trotzdem dazu. Funktionen wie diese können also manchmal Uneinheitlichkeiten nach sich ziehen, weil einem verschiedene Auffassungen von Unstetigkeitsstellen begegnen können. \geo xy(-3,3) plot((-3*x+2)/(x^2+1)) nolabel() color(ffffff) punktform(of) punkt(0,2) color(000000) punktform(o) punkt(0,2) print(f(x)=(-3x^2+2x)/(x^3+x),0.1,-1) \geooff \geoprint() Wenn man sich erst klar gemacht hat, was stetige Funktionen sind, so kann man sich genauso leicht mit Hilfe der Grenzwertsätze klarmachen, dass gilt: Sind f und g stetige Funktionen, so sind auch f(x)+-g(x), f(x)*g(x), f(g(x)) und für g(x)!=0 auch f(x)/g(x) stetige Funktionen. \darkgreen\big\ Beispiele__: Wie man leicht erkennt, sind die Funktionen f(x)=x und f(x)=a für ein konstantes a\el\IR stetige Funktionen. Aufgrund der Grenzwertsätze ergibt sich damit, dass auch jede Polynomfunktion wie z.B. x^3+4x^2-4x+7 und alle gebrochenrationalen Funktionen \(mit Ausnahme eventueller Nullstellen der Nennerfunktion\) wie z.B. (-3x+2)/(x^2+1) stetig sind. Andere Beispiele für stetige Funktionen sind exp(x), die trigonometrischen Funktionen sin(x),cos(x),tan(x) etc., deren Umkehrfunktionen, Wurzelfunktionen und viele mehr.

Abschluss

Besonders die Grenzwertbetrachtung und die Stetigkeit von Funktionen erfüllen eine wichtige Rolle in der Analysis, wie wir im nächsten Teil sehen werden, wo wir mit der Differentialrechnung eine der wichtigsten Anwendungen der Grenzwertbetrachtung kennenlernen werden. Bleibt also gespannt auf Teil II der Anarchie-Reihe. Ansonsten hoffe ich, dass ich euch einen interessanten und lehrreichen Einstieg in das Thema Folgen & Grenzwerte gegeben habe. lim(m->f,g)=Gockel.

Die Ana[rchie]-Reihe

Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 354 KB, vom 29.09.2006 22:54:35, bisher 3020 Downloads


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Analysis :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Folgen und Reihen :
Ana[rchie] I: Folgen Sie mir! [von Gockel]  
Auftakt der Reihe "Analysis für Schüler" - Inhalt des Artikels: Grenzwertbetrachtung, Zahlenfolgen, Stetigkeit
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 11432
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 1177 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.12 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com10.1%0.1 %
http://www.onlinemathe.de106190.1%90.1 %
http://www.matherockt.de403.4%3.4 %
http://google.de413.5%3.5 %
http://www.uni-protokolle.de161.4%1.4 %
http://matherockt.de40.3%0.3 %
http://google.com30.3%0.3 %
http://www.mathe-rockt.de30.3%0.3 %
https://www.bing.com10.1%0.1 %
http://r.duckduckgo.com10.1%0.1 %
http://search.conduit.com10.1%0.1 %
http://suche.web.de10.1%0.1 %
http://mathe-rockt.de10.1%0.1 %
http://google.ch10.1%0.1 %
http://suche.t-online.de10.1%0.1 %
http://ecosia.org10.1%0.1 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 1149 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012-2018 (1002x)http://www.onlinemathe.de/forum/Was-sind-Abschaetzungen-abschaetzen
2012-2017 (59x)http://www.onlinemathe.de/forum/Brauche-dringend-Mathehilfe
2012-2020 (30x)http://www.matherockt.de/mathe/analysis.htm
2013-2017 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2019 (9x)http://www.matherockt.de/pdfs/matherockt-Galerie-Analysis.pdf
2012-2013 (8x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/82256,0.html
201205-05 (8x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CGMQFjAB
201201-01 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Zahlenfolgen Standardgrenzwerte
201207-12 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=standardgrenzwerte mathe
2013-2015 (4x)http://matherockt.de/mathe/analysis.htm
2012-2018 (4x)http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/82256,15.html
201202-02 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=standardgrenzwerte mathematik

[Top of page]

"Mathematik: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!" | 12 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: Gonzbert am: Di. 17. Mai 2005 20:04:46
\(\begingroup\)Hi Gockel! Wow, ein schöner Artikel! :) Das wird bestimmt vielen auf ihrem Weg zum Abitur helfen, wenn sie ihn denn erstmal gefunden haben. Dazu tragen meiner Meinung nach besonders die vielen Beispiele bei. Viele Grüße Frank P.S. Die fed-Diagramme sind echt gut gelungen!\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: weserus am: Di. 17. Mai 2005 20:30:59
\(\begingroup\)Hi Gockel, wieder einmal ein sehr guter und anschaulicher Artikel (....wieder ein guter "Gockel".....;als Markenzeichen) von Dir. Danke! Gruss Peter \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: DaBrainBug am: Di. 17. Mai 2005 21:41:44
\(\begingroup\)Damit hast du deine Sammlung von Artikeln würdig erweitert! Bin gespannt auf die nächsten Teile der Reihe ;-). Gruß Alex.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: meru_v_ii am: Di. 17. Mai 2005 22:06:19
\(\begingroup\)ich find den artikel auch sehr gut (vielleicht liegt das daran das ich sonst nie mit Ana zu tun hatte aber wer weiss, wie dein zweiter Artikel wird^^) Meru\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: Gockel am: Mi. 18. Mai 2005 12:43:05
\(\begingroup\)Danke ihr alle. Teil zwei ist schon fertig und wird in wenigen Tagen von mir freigegeben *mit dem großen Zaunpfahl nach den Testlesern wink* Ich hoffe, dass er euch genauso gut gefällt. Aber seid gespannt :) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: dettman am: Mi. 18. Mai 2005 19:47:17
\(\begingroup\)hallo gockel, wirklich ein toller artikel! sowas müsste den weg in die ana-schülbücher finden! grüße dettman\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: schrei am: Mi. 18. Mai 2005 19:55:56
\(\begingroup\)Einfach hammer, ich bin froh, dass ich heute zeit hatte und grade den aktuelle Anfang dieser Reihe mitbekommen habe. Da ich jetzt nach einem halben keine Analysis mehr hatte aber wiederum in einem halben jahr (fast) schon wieder mein abi schreiben muss, wollte ich sowieso anfangen wieder analysis zu lernen und zu üben. Wie schon gesagt, das wird mir wirklich eine sehr große Hilfe. Ich bedanke mich im namen aller bald-Abitur-schreiber, denn gerade sowas brauchen wir :) Ich warte sehnsüchtig auf die nächsten Teile.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: Holibert am: Fr. 20. Mai 2005 00:44:06
\(\begingroup\)hallo gockel, Netter Artikel :) Hab einen Tipfehler unter "Grenzwert gegen Unendlich" gefunden. Du schreibst das als einzigster Unterschied zum Grenzwert gegen eine reele Zahl, lim x_n = a sein muss ;) was ja nicht stimmt. Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: fru am: Fr. 20. Mai 2005 14:03:31
\(\begingroup\)@Holibert: Gockel will hiermit offensichtlich den Unterschied n -> OO statt n -> a mit einer reellen Zahl a herausstreichen. Daß der Limes selbst mit a bezeichnet wird, ist etwas unglücklich und soll die beiden Fälle Konvergenz und Divergenz gemeinsam bezeichnen. Das ist aber hier nicht das Wesentliche, sondern die Stelle! So sehe ich das jedenfalls. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: Gockel am: Fr. 20. Mai 2005 14:37:22
\(\begingroup\)Ne das ist schon korrekt... da sollte wirklich lim(n->\inf,x_n)=+-\inf $ stehen Da war ich wohl mit meinen Gedanken woanders... Ich werds gleich korrigieren lassen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: bodzcount am: Fr. 20. Mai 2005 16:12:19
\(\begingroup\)Hi Gockel, ein schöner Artikel, er ist sicherlich auch für Studienanfänger interessant. Gruß Benjamin\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] I: Folgen Sie mir!
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 04. Januar 2006 13:31:38
\(\begingroup\)Was mir fehlt, ist die Anwendung der Grenzwertdefinition bei den Beispielen. Es wird kein Mal vorgerechnet wie man die Konvergenz über Epsilon und N(e) zeigt. Eigentlich wird kein einziger Beweis geliefert der die Grenzwertdefinition anwendet.\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]