Mathematik: Über die Anzahl von Sitzordnungen am runden Tisch
Released by matroid on Fr. 20. Juli 2001 02:59:54 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Methoden der algebraischen Kombinatorik (Polya-Theorie) angewendet zur Lösung der Aufgabe:
Um einen Kreis sollen a Elemente der Art A und b Elemente der Art B angeordnet werden. Kombinationen, die durch Drehung auf sich selbst abgebildet werden können, werden nur einmal gezählt!
Wieviele Möglichkeiten gibt es?
Runder Tisch
Eine eigene Arbeit. Siehe hier

Auch die folgende Aufgabe kann man damit lösen:

An einem runden Tisch mit n Plätzen sitzen k Personen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, daß sie bei rein zufälliger Platzwahl alle voneinander getrennt sitzen.


Wenn k>n-k gibt es keine Möglichkeit.
Sei nun kDie Anzahl der Möglichkeiten k Personen auf n Plätze an einem runden Tisch zu setzen, nenne ich zunächst T(n,k). T(n,k) ist damit die Anzahl aller Möglichkeiten.
Wenn zwischen je zwei Personen mindestens ein leerer Stuhl stehen soll, dann steht rechts (oder links, ich nehme aber rechts) von jeder Person ein leerer Stuhl. Will ich nur solche Anordnungen erzeugen, dann kann ich das so tun:
Jede Person nimmt zwei Stühle in die Hand. Die restlichen n-2k Stühle werden zunächst beiseite gestellt. Nun gehen alle Personen zum Tisch, setzen sich auf einen ihrer beiden Stühle und stellen den zweiten Stuhl rechts neben sich an den Tisch.
Die restlichen Stühle werden nun zufällig verteilt. Das ergibt an manchen Stellen eben 2 oder mehr leere Stühle zwischen 2 Personen.

Wie zählt man die Möglichkeiten?
Die Anzahl der Möglichkeiten ist T(n-k,k),
denn es sind für Objekte von 2 verschiedenen Arten die Möglichkeiten zu zählen, diese an einem runden Tisch zu platzieren, wobei durch Drehungen aufeinander abbildbare Anordnungen nur einmal zählen.
Der eine Objekttyp ist "Person mit 2 Stühlen", der andere ist "leerer Stuhl".
Die Wahrscheinlichkeit ist als

T(n-k,k) / T(n,k)
Bleibt noch die Berechnung von T(n-k,k) und T(n,k).
Die Berechnungsmethode für die T(n,k) ist Inhalt meiner Arbeit.
\(\endgroup\)
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Über die Anzahl von Sitzordnungen am runden Tisch [von matroid]  
Um einen Kreis sollen a Elemente der Art A und b Elemente der Art B angeordnet werden. Kombinationen, die durch Drehung auf sich selbst abgebildet werden können, werden nur einmal gezählt!
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"Mathematik: Über die Anzahl von Sitzordnungen am runden Tisch" | 1 Comment
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Re: Über die Anzahl von Sitzordnungen am runden Tisch
von: matroid am: Sa. 21. Juli 2001 20:19:28
\(\begingroup\)Und hier ist ein Halsband-Generator
Erzeugt alle Perlenketten aus 1 bis 9 Farben.\(\endgroup\)
 

 
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