Mathematik: Ana[rchie] IV: Extremsport
Released by matroid on Mo. 10. Oktober 2005 19:19:11 [Statistics]
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Analysis

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Ana[rchie] IV: Extremsport


Hallo, liebe Mit-Anarchisten!

Dies soll nun der lange (und ungeduldig ;-)) erwartete vierte Teil der Ana[rchie]-Artikelreihe sein, in dem wir uns vor allem der zweiten Hauptanwendung der Differentialrechnung - den Extremwertaufgaben - widmen wollen.
Der wesentliche Gedanke dabei ist, dass man die Erkenntnisse der Kurvendiskussion ausnutzt, um für praktische Probleme die optimalen Lösungen wie z.B. einen minimalen Ressourcenverbrauch und/oder einen maximalen Gewinn zu finden.


Der Grundlegende Algorithmus



Extremwertaufgaben haben ein weitgefächertes Anwendungsgebiet. Es gibt je nach konkretem Sachverhalt andere Strategien, die zum Ziel führen.
Die einzelnen Schritte sind jedoch immer sehr ähnlich. In der Tat kann man jede Extremwertaufgabe in diesem Schema lösen (wenn sie denn lösbar ist :-)):

1.) Sachverhalt klarmachen


Zuerst sollte man sich immer die Frage stellen: Von welcher Größe suchen wir einen Extremwert?
Außerdem ist bei vielen Sachverhalten eine Skizze unverzichtbar, um Zusammenhänge erkennen zu können, die die Lösung des Problems ermöglichen.

2.) Haupt- und Nebenbedingungen


Im zweiten Schritt geht es um genau das Erkennen dieser Zusammenhänge. Es stellen sich im Wesentlichen die Fragen: Wie kann man die gesuchte Größe berechnen? Welche zusätzlichen Angaben stehen uns zur Verfügung?
Hier liegt eine große Schwierigkeit für viele Schüler, denn das Erkennen dieser Zusammenhänge erfordert u.U. ein sehr gefestigtes Wissen der bisher behandendelten Mathematik. Es geraten oft viele Zusammenhänge in Vergessenheit, die bei solchen komplexen Anwendungen wie Extremwertaufgaben wieder gebraucht werden.

3.) Zielfunktion erstellen


Durch Kombination der Haupt- und Nebenbedingungen stellen wir eine Funktion auf, nach der sich unsere Größe berechnen lässt. Dabei ist nicht selten ein wenig Kreativität gefragt, wenn es darum geht, die Nebenbedingungen so einzusetzen, dass man eine nutzbare und möglichst einfache Zielfunktion erhält.
Mit ein wenig Erfahrung relativiert sich das aber.

4.) Kurvendiskussion


Es wird anschließend eine Kurvendiskussion dieser Zielfunktion durchgeführt. Da bewegen wir uns theoretisch auf sicherem Gebiet, denn Kurvendiskussion ist i.d.R. das Thema, was direkt vor Extremwertaufgaben behandelt wird und so noch am besten abrufbar ist bei den Schülern. (siehe dazu Teil III der Reihe)
Meiner Erfahrung nach liegen in diesem Punkt auch die wenigsten Probleme bei den Schülern, da es sich meist um die Abarbeitung von "Schema F" handelt.




Da insbesondere Schritt 2 und 3 stark von der jeweiligen Aufgabe abhängen, werden wir hier exemplarisch drei Beispiele durcharbeiten, die das grundlegende Prinzip zumindest verdeutlichen sollen.
Insbesondere werden wir dabei im dritten, fortgeschritteneren Beispiel zwei typische "Tricks" anwenden: Den Strahlensatz und das Verwenden einer Ersatzfunktion.

1.Beispiel



Aufgabe:
Gegeben sei ein Rechteck mit festem Flächeninhalt A. Man zeige, dass der Umfang dieses Rechtecks genau dann minimal wird, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Erster Schritt


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Wir haben also ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b und suchen das Minimum des Umfangs u.

Es ist in den meisten Fällen einfach, herauszufinden, welche Größe extremal werden soll, da es ja in der einen oder anderen Form immer in der Aufgabe steht. So ist es auch hier, denn die Aufgabe sagt ja, dass das Rechteck minimalen Umfang haben soll.

Zweiter Schritt


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Dritter Schritt


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Letzter Schritt


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2.Beispiel



Aufgabe:
Eine als halbkugelförmig angenommene Kuchenglocke hat den Durchmesser 20cm. Wenn jeder Kuchen zylindrisch ist, wie groß ist dann das maximale Volumen, das so ein Kuchen haben darf, damit er noch geradeso unter die Glocke passt? Welche Höhe hat der Kuchen in diesem Maximalfall?

Um diesen Sachverhalt zu verstehen, benutzen wir am besten diese Skizze, die die Kuchenglocke mit Kuchen im Querschnitt darstellen soll:

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Erster Schritt


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Zweiter Schritt


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Dritter Schritt


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Letzter Schritt


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3.Beispiel



Aufgabe:

Auf einem - als flache Ebene angenommenen - Meer fahren zwei Schiffe mit konstanter Geschwindigkeit und komplett geradlinig.
Ein Passagierschiff fährt mit 26kn * vom Punkt A(72;0) nach B(0;30). Der langsamere Tanker fährt mit 15kn von C(0;0) nach D(40;30). Beide Schiffe starten zeitgleich von ihrem jeweiligen Ausgangspunkt.

Da sich die beiden Kapitäne kennen, wollen sie ein Funk-Gespräch führen. Das geht aber nur solange die Schiffe sich in Sichtweite (die wir auf 12 Seemeilen festlegen**) zueinander befinden.

a.) Ist ein Gespräch möglich? Wenn ja, für wie lange?
b.) Wann ist der Abstand zwischen den Schiffen am kleinsten? Welcher Abstand ist das genau?


* 1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde. Alle Längeneinheiten betrachten wir ab sofort als Seemeilen, alle Zeiteinheiten als Stunden.
** Das ist eine grobe Näherung, die sich auf ein 20 Meter hohes Schiff bezieht.


Erster Schritt


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Zweiter Schritt


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Dritter Schritt


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Vierter Schritt


Die beiden Teilaufgaben lösen wir getrennt.

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(An dieser Stelle sollte man sich klar machen, wieso hier das Einsetzen dieser beiden Stellen reicht, um zu bestätigen, dass es sich um einen Extremwert handelt.)

Abschluss



Ich hoffe, dass ich euch einen grundsätzlichen Eindruck über das Handling von Extremwertaufgaben und der zwei "Tricks" vermitteln konnte.
Wenn ihr auch das dritte große Gebiet der Schulanalysis - die Integralrechnung - kennenlernen wollt, seid gespannt auf Teil V der Ana[rchie]-Reihe.

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Die Ana[rchie]-Reihe


Teil I: Folgen Sie mir!
Teil II: Der Blitzableiter
Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
Teil IV: Extremsport
Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten
Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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: Analysis :: Schüler aufwärts :: Leicht verständlich :: Differentialrechnung :: Extremwertaufgaben :
Ana[rchie] IV: Extremsport [von Gockel]  
Teil IV der Ana[rchie]-Reihe beschäftigt sich mit der zweiten Hauptanwendung der Differentialrechnung, den Extremwertaufgaben.
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"Mathematik: Ana[rchie] IV: Extremsport" | 10 Comments
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Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: jannna am: Di. 11. Oktober 2005 13:45:23
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Hallo Gockel

Schulmathe ist zwar nicht grade mein Gebiet im Moment aber der Artikel ließt sich super und die Beispiele sind gut (lecker Himbeertorte 😉 ).

Für Nachhilfe kann man sich an deinen Artikeln gut orientieren.

Grüße
Jana\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: FlorianM am: Di. 11. Oktober 2005 16:33:50
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Sehr schöner Artikel, wie alle aus dieser Reihe. :)
Verständlich und nachvollziehbar erklärt.
Freue mich schon auf die Integralrechnung.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: matroid am: Fr. 14. Oktober 2005 20:01:37
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Hi Gockel,

auch diese Fortsetzung ist wirklich gelungen. Ich mag Deinen Schreibstil. Das neue Logo finde ich spitze - professionell wie für eine DVD-Beschriftung.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: daloenni am: Sa. 15. Oktober 2005 08:05:42
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Ich liebe Extreme 😉\(\endgroup\)
 

Als die Extreme zusammenstießen
von: SchuBi am: Sa. 15. Oktober 2005 10:22:52
\(\begingroup\)
begriff Max Müller, wie nötig er sei.
Und er gründete die Partei
aller Menschen, die Müller hießen.

Müller liebte alle Klassen.
Politische Meinungen hatte er keine.
Wichtig war ihm nur das eine:
Sämtliche Müllers zusammenzufassen.
...
(Erich Kästner: Die deutsche Einheitspartei)\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: weserus am: So. 16. Oktober 2005 19:05:35
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Hallo gockel,
zu Deinem Artikel und die exzellente Bearbeitung
beglückwünsche ich Dich.

Hast Du jedoch selbst nicht die Befürchtung, dass der
Inhalt der Einführung und die Zielsetzung der behandelten
Themen bei einigen hier und Matroid auf Widerspruch
stossen könnte, wenn die behandelten Erkenntnisse u.a.
dazu dienen (ich zitiere Dich): "um........maximalen
Gewinn zu finden"?

"Maximalen Gewinn" streben doch nur die Ausbeuter dieses
Ausbeuterstaates an. Ich zitiere weiter(und Matroid stimmt
dem sicher zu): "Leben ist eben mehr als Markt( der wiederum nur
dem maximalen Gewinn anstrebt-Einschub von mir) und Ellenbogen,
auch wenn man es heute nobler umschreibt."
Bedenke(ich zitiere dem Inhalt nach mit Erweiterung):"Es könnte ekelhaft sein, mit solchen Berechnungsmethoden für die, die schon soviel haben noch mehr auf Kosten derjenigen zu schaffen, die schon jetzt kaum wissen, wie sie über die Runden kommen sollen."

Der MP und der hier behandelte Stoff sollte deshalb allein der "reinen Mathematik" dienen und nicht den zu beleidigenden Marktliberalisten.
Wenn Du jedoch selbst keine Bedenken hast und Dich gegen
Matroid und andere durchsetzen kannst, sollte der Artikel
selbstverständlich so bleiben.
Mit mathematischen Grüssen Peter
\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: huepfer am: So. 16. Oktober 2005 20:09:58
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Hallo Gockel,

Du hast mit diesem Artikel wieder gezeigt, dass die Schulmathematik alles andere als langweilig ist. Außerdem hast Du auch gezeigt, dass es möglich ist sie anschaulich und verständlich darzustellen. Das ist eine große Leistung.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: FlorianM am: So. 16. Oktober 2005 21:03:55
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Und genau damit der Matheplanet noch mehr anschauliche und verständliche Artikel zur Schulmathematik bekommt, wurde die Arbeitsgruppe MP-Schulmathematik ins Leben gerufen.

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Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. August 2009 15:07:53
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Hallo Gockel,
ich bin Neuling ( uralt ) und möchte mich rasch in Mathe wieder
einarbeiten. Die letzte Aufgabe von Beispiel 3 macht mir leider
Probleme besonders die Teilaufgabe b wie man dort zu d (2) und
d (1) über d ( x E ) gelangt.

Frdl. Gruß ManfredMüsse\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: huepfer am: Fr. 14. August 2009 15:20:05
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Hallo Manfred,

die Diskussion von Übungsaufgaben findet sinnvollerweise im Forum statt. Am besten Du registrierst Dich dort und erstellst einen Thread mit der Frage. Dort findest Du vermutlich auch mehr, die Dir weiterhelfen können.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

 
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