Mathematik: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
Released by matroid on Fr. 21. Oktober 2005 19:30:52 [Statistics]
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Mathematik

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Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten



Hallo Leute.

Wie angekündigt, kommt hier nun Teil V der Ana[rchie]-Reihe.
Dieses Mal soll es uns um die so genannte Integralrechung gehen und insbesondere um das Problem des Berechnens von Flächeninhalten, die nicht vollständig durch gerade Linien, sondern durch Funktionen begrenzt sind.
Dazu ist ein sicherer Umgang mit der Differentialrechnung notwendig und wird deshalb hier vorausgetzt. Wer das Wissen diesbezüglich vertiefen möchte, sollte den zweiten Teil unserer Reihe nochmal lesen.


Das Flächeninhaltsproblem



Ähnlich wie der Differentialrechnung das Tangentenproblem zugrunde lag, liegt auch der so genannten Integralrechung ein einfaches geometrisches Problem zugrunde, nach dessen Lösung man suchte und sie mit der Integralrechnung (er)fand.
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So eine Fläche können wir bisher nicht genau bestimmen, da die Geometrie sich vor der Integralrechnung vor allem auf geradlinig begrenzte Flächen wie Rechtecke, Paralellogramme oder allgemeiner Polygone bezog.
Dieses "Manko" wollen wir beheben, indem wir die Integralrechnung einführen. Wesentlich ist dabei wie gesagt die Berechnung einer Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse.

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Das bestimmte Integral



Genau wie bei der Lösung des Tangentenproblems der Differentialrechnung, können wir mit den Mitteln der Grenzwertbetrachtung eine Lösung zum Flächeninhaltsproblem finden:

Die Grundidee dabei ist es, das Intervall [a;b], innerhalb dessen wir uns bewegen, in kleinere Teilintervalle zu unterteilen. Dann findet man für jedes Teilintervall eine Annäherung an den wahren Flächeninhalt und summiert diese Werte auf. So bekommt man eine Näherung für den Gesamtflächeninhalt.
Konkret benutzt man folgende Näherungsmethode: Man schätzt schlicht zweimal die Fläche pro Streifen; einmal schätzt man knapp drüber und einmal knapp drunter, indem man Rechtecke über bzw. unter den Funktionsgraphen legt und deren (deutlich einfacher zu berechnenden) Flächeninhalte zu einer Schätzung des Gesamtflächeninhalts aufsummiert.

Hier ist das einmal mit einer Streifenbreite von 0.25 verdeutlicht:

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Die links dargestellten Rechtecke haben in ihrer Summe einen leicht größeren Flächeninhalt, die rechts dargestellten einen leicht niedrigeren, als den, den wir suchen.

Man erkennt aber, dass die Abweichungen der geschätzten Flächeninhalte vom wahren Wert bei dieser Methode direkt damit zusammenhängen, wie breit man die Streifen wählt: Je kleiner man die Streifen macht, desto genauer liegen die Schätzungen am echten Wert.

Nun kommt die Grenzwertbetrachtung ins Spiel, denn wenn man die Streifenbreite gegen 0 streben lassen würde, erhielte man den genauen Wert.

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Eine kleine Anmerkung: Es ist keineswegs notwendig, den hier beschriebenen Weg zu gehen. Er ist zwar der einfachste, aber man kann den Flächeninhalt in der Tat auch anders (aber gleichwertig) berechnen. Zum Beispiel könnte man Trapeze an stelle von Rechtecken verwenden oder die Streifenbreite nicht einheitlich festlegen, sondern für jeden Streifen anders. Vieles ist möglich, aber es führt zum selben Ergebnis.

Eigenschaften des bestimmten Integrals



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Hier ergibt sich das Problem, dass es zwei Flächen gibt, deren bestimmte Integrale unterschiedliche Vorzeichen haben, so dass das bestimmte Integral keinerlei Aussage mehr über den Flächeninhalt der zwischen x-Achse und Funktionsgraph eingeschlossenen Fläche macht.
In einem solchen Fall prüft man die Funktion auf Nullstellen und Integriert dann abschnittsweise von Nullstelle zu Nullstelle. Auf diese Weise stellt man sicher, dass so ein Vorzeichenwechsel nicht vorkommt. Indem man anschließend die Beträge der Teilintegrale addiert, bekommt man dann doch den Flächeninhalt.

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Das Unbestimmte Integral



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Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung



Jetzt stellt sich die berechtigte Frage, was bestimmte mit unbestimmten Integralen zu schaffen haben, wenn man vom Namen und der scheinbar willkürlich ähnlich gewählten Notation einmal absieht.

In der Tat gibt es einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen diesen beiden, dem wir uns jetzt nähern wollen.

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Integrationsregeln



Ähnlich wie beim Differenzieren wollen wir uns nun einige Regeln ermitteln, um solche Stammfunktionen zu finden.
Das wichtigste Hilfsmittel dabei wird die Kenntnis sein, dass Stammfunktionen über eine Ableitung definiert sind, dass also F'(x)=f(x) gelten muss.

Die Summenregel



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Faktorregel



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Partielle Integration



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Anmerkung:
Eine Quotientenregel könnte man nach diesem Strickmuster zwar auch formulieren, sie wird aber eher selten gebraucht, da sie im wesentlichen der Regel für partielle Integration entspricht. Sie würde dann so z.B. aussehen:
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Deshalb ist eine eigene Quotientenregel vollkommen unnötig.

Substitutionsregel



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Wichtig ist die Ersetzung der Differentiale. Man fasst hierbei g'(x) und das Differential dx zu einem neuen Differential dt zusammen.
Beim (manchmal recht komplizierten) Vorgang des Ersetzens fasst man die Differentiale sehr oft als normale Variablen auf: Man teilt durch sie, multipliziert sie etc. Das führt zum richtigen Ergebnis, aber man sollte immer dran denken, dass es keine Variablen sind (insbesondere sind es nicht zwei Variablen, sondern eine einzige mit dem Namen dx bzw. dt, dz oder was man sonst gerade hat).
Wichtig ist, dass es erlaubt ist und funktioniert, auch wenn es schwer ist zu erklären, warum.



Eine vereinfachte Art der Substitution ist die so genannte "lineare Subsitution", die immer dann zum Einsatz kommt, wenn die innere Funktion eine lineare ist:
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Wenn man also ein bestimmtes Integral durch Substitution löst, müssen die Grenzen ebenfalls angepasst werden. Das kann von Vorteil sein, da man sich im Gegensatz zum unbestimmten Integral dann die Rücksubstitution sparen kann. Das kann aber auch ein Nachteil sein, da es wieder ein kleines Detail ist, auf das man als Anfänger achten muss und das Fehlerquellen birgt.



Zusammenfassend sei noch gesagt, dass die Schwierigkeit beim Substituieren schlichtweg dadrin besteht, dass man nicht einfach beliebige Ausdrücke durch t ersetzen kann, sondern die Differentiale auch noch anpassen muss (aus einem dx muss ein dt werden). Es muss also zwingend auch die Ableitung vom ersetzen Ausdruck "eingearbeitet" werden in die Rechnungen.
Dass das manchmal sehr schwer fällt, wird jedem Anfänger sehr schnell deutlich, der sich am Integrieren versucht. Nicht umsonst gibt es das geflügelte Wort: "Differenzieren ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst."

Umkehrregel



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Grundlegende Stammfunktionen



Ähnlich wie bei den Ableitungen in Teil II kommt nun nach den allgemeinen Regeln eine Aufstellung der bekanntesten Beispiele, aus denen man sich mit Hilfe der obigen Regeln viele Stammfunktionen ermitteln kann.
Es sei aber nochmal angemerkt, dann man im Gegensatz zum Differenzieren sehr häufig auf Funktionen stoßen wird, denen man keine so genannte elementare Stammfunktion zuordnen kann.

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(siehe oben)

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Beweis

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Beweis

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Beweis


Prinzipiell kann man sich von der Richtigkeit der Formeln durch einfaches Ableiten überzeugen. Ebenfalls ist natürlich die Tabelle der Ableitungsfunktionen aus Teil II ebensogut als Tabelle für Stammfunktionen zu gebrauchen. Exemplarisch sei hier doch in ein paar Fällen der Weg über die Integrationsregeln vorgeführt:


Logarithmusfunktionen



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Die Tangensfunktion



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Die Arcus-Funktionen



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Wenn man sich in der Trigonometrie ein wenig auskennt, kann man den arctan-Fall genauso abhandeln, man muss nur einen geschlossenen Ausdruck für cos(arctan(x)) finden. Dazu sei pendragon302s Artikel Die Beziehungen von Sinus und Cosinus empfohlen.
Wir wollen jetzt einmal den Weg über die Integrationsregel zur partiellen Integration gehen:

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Andere Funktionen



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Uneigentliche Integrale



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Nochmal Flächeninhalte



Nach all der Theorie, wollen wir jetzt einmal in die Praxis übergehen und die Integralrechung an einem Beispiel erproben:

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Jaa, auch wenn mancher zwischendurch gedacht haben mag, dass dieser Artikel nie ein Ende hat: Er hat! Und zwar in nur wenigen Zeilen.

Also will ich kurz zusammenfassen, was wir erfahren haben: Wir haben das Flächeninhaltsproblem durch bestimmte Integrale gelöst und festgestellt, dass man mit Stammfunktionen sehr einfach den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen ermitteln kann. Wir haben uns Regeln erarbeitet, um Stammfunktionen zu ermitteln und sind auf uneigentliche Integrale eingegangen.
Damit haben wir ein sehr mächtiges Rüstzeug für die Berechnung von Flächeninhalten mit gekrümmten Begrenzungslinien gefunden und auch erprobt.
Wie wir im nächsten (und letzten) Teil der Ana[rchie]-Serie sehen werden, ist die Integralrechnung aber nicht nur für die Bestimmung von Flächen nützlich, sondern auch für die Bestimmung gekrümmter Strecken und Volumina von rotationssymmetrischen Körpern. Bleibt also gespannt auf Teil VI.

Vielen Dank geht an Buri für den genialen Beweis der Umkehrregel im Forum und an meine fleißigen Testleser(innen).

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Die Ana[rchie]-Reihe



Teil I: Folgen Sie mir!
Teil II: Der Blitzableiter
Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
Teil IV: Extremsport
Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten
Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten [von Gockel]  
Teil V der Ana[rchie]-Reihe beschäftigt sich mit der Integralrechnung, dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung und den Integrationsregeln.
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"Mathematik: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten" | 7 Comments
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Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: FlorianM am: Sa. 22. Oktober 2005 14:27:49
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Wunderbarer Artikel...
Aber war die Überschrift nicht zuerst Integrationsprobleme? :D\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: Gockel am: So. 23. Oktober 2005 21:00:04
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Nein die Überschrift war am Anfang gar nicht da (was aber nur die ersten 19 Leser gesehen haben), da ich vorm Freigeben des Artikels zu blöd war, den Titel den ich mir ausgedacht hatte, auch reinzuschreiben.
Aber von Anfang an war es genau dieser Text, der als Überschrift diente.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: Cocolin am: Di. 25. Oktober 2005 17:34:46
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Sehr schöne Arbeit!
Respekt!!

Gruß
Cocolin\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: huepfer am: So. 30. Oktober 2005 17:40:40
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Hallo Johannes,

ein sehr schöner Artikel, der in sehr einfachen Worten die Kunst des Integrierens darstellt. Ich werde diesen Artikel, wie auch die anderen vermutlich in meiner Übungsgruppe zur Pflichtlektüre erklären ;-)

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 06. November 2005 12:15:07
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Hallo Gockel

Ein erstklassiger Artikel! Die Heranführung an die Integralrechnung über das Flächeninhaltsproblem ist didaktisch mit Abstand die Anschaulichste. Es vermittelt dem Lernenden aber oft den Eindruck, dass es sich beim bestimmten Integral ausschliesslich um eine Fläche handelt. „Integralrechnung ist keine Flächenberechnung“ (Zitat meines Mathe-Dozenten). Wenn das integrieren „…von Nullstelle zu Nullstelle“ hier sinnvoll und notwendig ist um „negative“ Flächen zu vermeiden, so gibt es auch Beispiele, die diese Darstellung nicht gerecht werden (man denke z.B. an die Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Funktion). Daher als Anregung in deinem letzten Teil der Ana[rchie]-Serie: Eine Beispiel, welches zeigt, dass ein Integral auch eine physikalische Grösse sein kann.

Gruss Theo
\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: Hans-im-Pech am: Di. 08. November 2005 16:54:11
\(\begingroup\)
Hallo Gockel,

ein klasse Artikel!

Verständlich und alles abdeckend, großes Lob!

Viele Grüße,
HiP\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] V: Neues vom Integrationsbeauftragten
von: Holibert am: Sa. 10. Dezember 2005 05:24:56
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Hallo

 klasse Artikel ! :)
*auf Teil 6 wart*

*rumhüpf* ;)

Gruss\(\endgroup\)
 

 
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